2018年徐汇高考数学二模标准答案

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学 2018.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知全集R U =，集合{}

0322>--=x x x A ，则=A C U .

2．在6

1x x ?

?+ ??

?的二项展开式中，常数项是 .

3．函数()lg(32)x

x

f x =-的定义域为_____________．

4．已知抛物线2

x ay =的准线方程是1

4

y =-，则a = . 5．若一个球的体积为

323

π

，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥??

≥??+≤?

，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．

7．函数()2

sin cos 1()1

1

x x f x +-=

的最小正周期是___________．

8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .

9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向

量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r

，则向量a b ⊥r r 的概率．．

是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .

11．若函数22

2(1)sin ()1

x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-????图像的一个对称中心是 ．

12．已知向量,a b r r 的夹角为锐角，且满足||15a =r 、||15

b =r ，若对任意的

{}

(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ?r r

的最小值为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且AC u u u r ·BD u u u

r ＝0，则四边形ABCD 是--------（ ）

（A ）菱形 （B ）矩形 （C ）直角梯形 （D ）等腰梯形

14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为

1

2

，且a S n n =∞→lim ，

(n ∈*N )，则复数i

a z +=

1

（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）

（A ）第一象限． （B ）第二象限． （C ）第三象限． （D ）第四象限． 15．在ABC ?中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的------------（ ）

（A ） 充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ） 充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点

,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ?周长的最小值为

------------------------------------------------------------------( ) （A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）12

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

N

M

D 1C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

如图在长方体1111D C B A ABCD -中，

2AB =，4AD =

，

1AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．

（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；

（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知

10BD =（公里）

，00

45,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ?是等腰三角形，0120ABD ∠=． （1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？

A

B C

D

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数2

()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]U ，

(1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；

(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

如图，,A B 是椭圆2

2:12

x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线

,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .

(1)求23k k ?的值；

(2)若直线MN 过点2,02?? ? ???

，求证：131

6k k ?=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知数列

{}

n a 的前n 项和n A 满足

*11

()12

n n A A n N n n +-=∈+，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．

(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ???，求该数列的前n 项和n S ；

(3)设1

n n n

c a b =

+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成

等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准 2018.4

一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1-

7．π 8．15π 9．

16 10． 22

20x y x y +--= 11．114?? ???

，

12．815 二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）

13．A 14．D 15．B 16．A 三．

解答题：（本大题共5题，满分74分）

17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

【解】（1） 连AC 、1AC ．ΘABC ?是直角三角形，∴AC =

Θ1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =?，

E

N

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．

又在1ACC Rt ?

中，1AC =

，AC =∴11CC =，∴11118ABCD A B C D V -=．--------6分

（2）解法一：如图建立空间直角坐标系

则()14,0,1A 、()4,1

,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =-u u u u r 、()12,0,1B N =--u u u u r

，10分

则向量1

AM u u u u r 与1B N u u u u r 所成角θ

满足1111cos A M B N A M B N

θ?==

?u u u u r u u u u r

u u u u r u u u u r ． ∴异面直线M A 1与N B 1

所成的角等于．14分

解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．

11////B A AB EN Θ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，

N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角

或

其补角．----------------------------------------9分

Θ1AM =，2AE =，11=AA

，得1

AM =

1A E =，5=EM ，

∴1cos EA M ∠=

=

1arccos 10EA M ∠=．

∴异面直线M A 1与N B 1

所成的角等于．----------------------------14分

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）10AB =（公里），

BCD ?中，由

00

sin 45sin30BD BC

=

，得BC =-------------------2分

于是，由

106051.215020

+≈>知， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．---------------------------------------6分

（2）在ABD ?中，由222

11010210103002AD ??

=+-???-

= ???

，

得AD =，------------------------------------------------------------8分

在BCD ?中，0105CBD ∠=

，由

00

sin105sin 30CD =，

得(51CD =（公里），-----------------------------------------------------10分

由

(

5160152045.9851.2160

?+=+≈<（分钟）

知，汽车能先到达C 处．-----------------------------------------------------------14分

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

【解】

(1) 3[8,1]

3[73,136]

x y x ?-∈-?=?+∈??； ------------------------------------------------------6分

(2)01 若

302

t

≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分 02 若

3152

t

≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分 03 当33122t ≤

≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32

t

的对称区间是 []33,3t t -，于是当312332t t

3122

t t ->???≤??，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．

综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t ∈-∞+∞U U U ．------------------------------------------14分

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)设00(,)N x y

，由于(A B ，

所以2

2320

2y k k x ?==-，

因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是22

0012

x y +=，即220022x y -=-，

所以2023201

22

y k k x ?==--.------------------------------------------------------------------4分

(2)

设直线:2MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y

，由22222

x my x y ?=+

???+=?

得223

(2)02

m y +-

=，

于是()

1212

223

,222y y y y m m +=-

?=-++，------------------------------------6分

13k k ?=

=

()

()

()222222

3

3

221

2

3963222

22222m m m m m m -

-

+==

=---++++．10分

(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，

联立直线:MN x my t =+与椭圆2

2:12x C y +=的方程，可得 222(2)220m y mty t +++-=，

于是212122222

,22

mt t y y y y m m

-+=-

?=++.-------------------------------------------------12分

因为直线

:

AM y x =

+，直线:

BN

y x =

，

两式相除，可知

2211y y y y ===

2

22

1

22

2

1

2

22

()

22

2

(

2

t mt

m t y

m m

t

m t y

m

-

?++--

++

==

-

?+

+

2

==

于是2

xt=，所以

2

x

t

=，即直线AM与直线BN的交点Q落在定直线

2

x

t

=上．16分

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

【解】答案：(1)因为*

1

1

()

12

n n

A A

n N

n n

+-=∈

+

，于是数列n

A

n

??

??

??

是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，所以

11

22

n

A

n

n

=+，即*

(1)

()

2

n

n n

A n N

+

=∈，

当2

n≥时，

1

n n n

a A A n

-

=-=，又因为

1

1

a=，所以*

()

n

a n n N

=∈.--------------2分

又因为*

21

20()

n n n

b b b n N

++

-+=∈，于是数列{}n b是等差数列，

设{}n b的前n项和为n B，由于95936

B b

==，则

5

4

b=，由于

3

2

b=，

所以1(*)

n

b n n N

=-∈．---------------------------------------------------------------------------------4分

(2)数列{}n a的前n项和

(1)

2

n

n n

A

+

=，数列{}n b的前n项和(1)

2

n

n n

B

-

=．----5分

当2(*)

n k k N

=∈时，2

2

(1)(1)

22

n k k k

k k k k

S S A B k

+-

==+=+=；-----------6分

当43(*)

n k k N

=-∈时，

2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；----------7分

当41(*)n k k N =-∈时，

241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-；------------------------8分

所以2

2

21,243

,4341

,414

n n n k n S n k n n k ?=??+?==-?

??-=-?

?，其中*k N ∈．------------------------------------------------10分

(3)由(1)可知，1

21

n c n =

-. 若对于任意给定的正整数()2k k ≥，存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列，则

2l k m c c c =+，即

211

212121

l k m =+---，---------------------------------------11分 于是

121421

212121(21)(21)

k l m l k l k --=-=-----，

所以2

22(1)(214)(21)421421

kl k l k l k k m k l k l +--+-+-==----

2(21)1421k k k l -=-+--，即

2

(21)1421

k m k k l -=+---，------------------------------------------13分 则对任意的()

2,k k k N *≥∈，421k l --能整除2

(21)k -，且4210k l -->. 由于当2k ≥时，21k -中存在多个质数，

所以421k l --只能取1或21k -或()2

21k -------------------------------------------------14分

若4211k l --=，则21l k =-，2

452m k k =-+，于是

2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<；----------------------------15分

若42121k l k --=-，则k l =，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若2

421(21)k l k --=-，则2m k +=，于是0m ≤，矛盾．-------------------------------17分

综上，当2k ≥时，存在正整数2

21,452l k m k k =-=-+，满足k l m <<，且使得,,k l m c c c 成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分