数字信号处理作业+答案

数字信号处理作业

哈尔滨工业大学

2006.10

DFT 习题

1. 如果)(~

n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~

n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~

1k X 表示)(~

n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~

n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~

2k X 表示)(~

n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~

1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~

2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~

1k X 确定)(~

2k X 。（76-4）

2. 研究两个周期序列)(~

n x 和)(~

n y 。)(~

n x 具有周期N ,而)(~

n y 具有周期M 。序列

)(~n w 定义为)()()(~

~~n y n x n w +=。

a. 证明)(~

n w 是周期性的，周期为MN 。

b. 由于)(~

n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~

k X 的周期也是N 。类似地，

由于)(~

n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~

k Y 的周期也是M 。)(~

n w 的离散傅里叶级数之系数)(~

k W 的周期为MN 。试利用)(~

k X 和)(~

k Y 求)(~

k W 。（76-5）

3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）:

a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000)()(δ

c ．10)(-≤≤=N n a n x n

（78-7）

4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）

5. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换

(a ） 证明如果)(n x 满足关系式：)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。 (b ） 证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2/(=N X 。（80-14）

6. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点序列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。（82-15）

7. 若)(n x 为一个N 点序列，而)(k X 为其N 点离散傅里叶变换，证明：

∑∑

-=-==10

k 2

1

2

)k (X N 1)(N N n n x ，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。

（82-16）

8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换)(k X ，如图所示。长度为16的

一个新的序列)(n y 定义为：

?????=为奇数

为偶数n n n

x n y 0)2()(，试画出相当于

)(n y 的16点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）

k

0 1 2 3 4 5 6

7

9. 令()x n 表示z 变换为()X z 的无限时宽序列，而1()x n 表示长度为N 的有限时

宽序列，其N 点离散傅立叶变换用1()X k 表示。如果()X z 和1()X k 有如下关系：1()()|, 0,1,2,,1k N

z W X k X z k N -===-

式中2j

N

N W e

π-=。试求()x n 和1()x n 之间的关系。（93-22）

10. 令)(ωj e X 表示序列)()2/1()(n u n x n =的傅里叶变换，并令)(n y 表示长度为10的一个

有限时宽序列，即0n 时，0)(=n y ，)(n y 的10点离散傅里叶变换用)(k Y 表示，它相当于)(ω

j e X 的10个等间隔取样，即)()(10/2k j e X k Y π=，试

求)(n y （94-23）

11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列)(n x ，0N n 时，0)(=n x ，我们要求

计算其z 变换)(z X 在单位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽N ；即N M ≤，试求一种得到)(z X 的M 个取样的方法，它只要计算一次M 点序列（这个序列是由)(n x 得来的）的M 点离散傅里叶变换。（96-25）

12. 研究两个0

时

当时

当20n 0)(8n 0)(≥=≥=n y n x ，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变

换，令)(n r 表示它的离散傅里叶反变换，指出)(n r 的哪些点相当于)(n x 与)(n y 线性卷积中的点。（96-26）

FFT 习题

1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：

1,...,1,0)()(1

)/2(-==∑-=-N k e n x k X N n kn

N j π，试指出如何用此程序来计算如下反变换：

1,...,1,0)(1)(1

)/2(-==∑-=-N n e k X N n x N k kn

N j π（193-8）

2. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本

题中讨论了两种减少计算量的途径：

a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换1()X k 和2()X k 的实序列1()x n 和2()x n ，令

()g n 为一个复序列，12()()()g n x n jx n =+，()G k 为其离散傅里叶变换。令

()OR G k 、()ER G k 、()OI G k 、()EI G k 分别表示()G k 的实部的奇数部分、实部的偶

数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用()OR G k 、()ER G k 、()OI G k 和

()EI G k 表示1()X k 和2()X k 。

b. 假设()x n 是一个N 点的实序列，且N 可以被2整除，令1()x n 和2()x n 为两个/2

N 点序列，其定义为：

1()(2),0,1,2,...,/21x n x n n N ==-， 2()(21),0,1,2,...,/21x n x n n N =+=-

试利用1()X k 和2()X k 求()X k 。（198-10）

3. 研究一个有限长度序列)(n x ，并且0n n <和01n N n +->时，0)(=n x 。假设我们想

要计算在z 平面内下列各点上)(n x 的z 变换之取样：

))/2((k M j k re z πθ+=，1,...,2,1,0-=M k ，式中N M <。试详细说出一种计算这些点上的

)(z X 的有效方法。

（199页-11）

4. 研究一个长度为M 的有限时宽序列)(n x ，并且0时，0)(=n x 。我们希

望计算z 变换∑-=-=

1

)()(N n n

z

n x z X 在单位圆上N 个等间隔点上的取样，即在

k N j e z )/2(π=，1,...,2,1,0-=N k 上的取样，试找出对下列情况只用一个N 点离散傅里

叶变换就能计算)(z X 的N 个取样的方法，并证明之。 （a ） M N ≤

（b ） M N >（200-12）

5.

)(ωj e X 表示长度为10的有限时宽序列)(n x 的傅里叶变换，

我们希望计算)(ω

j e X 在频率)9,...1,0)(100/2(2

==k k k πω时的10个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性：

(a) 直接利用10点快速傅里叶变换算法。 (b) 利用线性调频z 变换算法。（201-13）

6. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z 变换可以用来计算一个有限时宽序列()h n 在z 平面实z 轴上诸点{}k z 的z 变换()H z ，使

a) ,0,1,...,1,k k z a k N a ==-≠±为实数,a 1; b) ,0,1,...,1,0k k z a k N a ==-≠为实数,a c) a)和b)两者都行；

d) a)和b)都不行，即线性调频z 变换不能计算()H z 在z 为实数时的取样。（203-15）

Hilbert 变换习题

1． 令()x n 为()x n <∞的一个实因果序列，已知()x n 的z 变换为 0

()()n

n X z x n z

∞

-==

∑

上式为变量1

z -的泰勒级数，所以它在以z=0为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。[收敛区域包括点z=∞，事实上，()(0)X x ∞=]。我们说()X z 是解析（在其收敛区域内）的，表示对X 加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据()X z 的实部确定()X z ，条件是

()x n 为有限值的实因果序列。

令()x n 为实（有限值的）因果序列，其z 变换为：

()()()R I X z X z jX z =+

式中：R X 和I X 是z 的实函数。 假设j z

e ωρ=时，R X 给定为

cos ()j R X e ωραω

ρρ

+=

（α为实数）

假设除了z=0外，()X z 处处解析，试求()X z 并表示成z 的显函数。 （建议用时域法解此题）（214-4）

2． 序列()x n 的偶部定义为：()()

()2

e x n x n x n +-=

，假设()x n 是一个有限时宽实序列，定

义为0n <和n N ≥时，()0x n =。令()X k 表示为()x n 的N 点的离散傅立叶变换。 （a ）()e x n 的离散傅立叶变换是否等于Re[()X k ]？

（b ）试求出以()x n 表示的Re[()X k ]的离散傅立叶反变换。（228-15）

3． 研究一个长度N 的有限时宽实序列（即n<0,n ≥N 时，()x n =0），此处N 为奇数。用()

X k 表示()x n 的M 点的离散傅立叶变换，因

此

令()R X k 表示()X k 的实部。

（a ） 试利用N 来求能使()R X k 唯一确定()X k 的最小M 值（M=1,2除外）。

（b ） 如果M 满足（a ）中所确定的条件，则()X k 可以表示为()R X k 和序列()U k 的循环

卷积。请确定()U k 。（228-16）

1

(2/)0

()()N j M nk

n X k x n e π--==∑

4．研究一个复序列x（n），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z变换X(z)在单位圆的下半部分为零。即，π≤ω≤2π时，X(ejω)=0. x(n)的实部为

x r(n)=

1/2,0

1/4,2 0,

n

n

=

????-=±??????其他

试求X(e jω)的实部和虚部。