从算式到方程(基础)知识讲解

从算式到方程（基础）巩固练习
撰稿：孙景艳审稿：赵炜
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) .
（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.
【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式
不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；
④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；
⑦
2
5
1
x
=
+
；⑧
285
53
x x
-
=．
【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】下列说法中正确的是( ).
A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程
C．方程是等式 D．等式是方程
【答案】C．
2．检验下列各数是不是方程27
1
34
x x
=+的解．
(1).x＝12 (2).
12
13 x=-
【答案与解析】
解：(1).把x＝12分别代入方程的左边和右边，左边2
128
3
⨯=，右边
7
12122
4
=⨯+=．
∵左边≠右边，∴x＝12不是方程的解．
(2).把
12
13
x=-分别代入方程的左边和右边，左边
2128
31313
⎛⎫
=⨯-=-
⎪
⎝⎭
，
右边
7128
1
41313
⎛⎫
=⨯-+=-
⎪
⎝⎭
．∵左边＝右边，∴
12
13
x=-是方程的解．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是()
A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．2
17 3
x+=
【答案】A ．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．已知方程①32x x -=；②0.4x ＝11；③512
x x =-；④y 2-4y ＝3；⑤t ＝0；⑥x+2y ＝1．其中是一元一次方程的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B .
【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）④未知数的次数为2，⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程．
【总结升华】
3x 和2x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 3x 不是整式，2
x 是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．
①2x -1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④
151x -=-． 【答案】①②. 类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．
(1)如果41153x -=，那么453
x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -
=，那么t ＝________． 【答案与解析】
解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；
(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；
(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34
-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，
对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c .
B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得
2211a b c c =++. C ．在等式b c a a
=两边都除以a ，可得b ＝c . D ．在等式2x ＝2a -b 两边都除以2，可得x ＝a -b .
【答案】B .
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解
显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．
所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．
举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x的5倍比x的相反数大10；
(2)某数的3
4
比它的倒数小4；
(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则13
4
4
x
x
-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由
题意得11
(5)
3020
x x
+=．。