关于古典概型的计算(摸球问题)
概率-摸球问题
高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。
由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。
在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。
下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。
引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色；（2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。
总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即（1）一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。
解决的方法：用组合的思想去解决。
（2）逐次、每次不放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。
解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。
（3）逐次、每次有放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。
解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。
为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
（1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。
例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。
例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。
从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。
概率-摸球问题
高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。
由于摸球的方式、 球色的搭配及最终考虑的问题不同，其内容可以说是形形色色、千差万别。
在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同 学提高解决这一类问题的能力。
下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。
引例：盒中装有大小、重量相同的 5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色； （2） 连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3） 连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。
总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即 （1） 一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。
解决的方法：用组合的思想去解决。
（2） 逐次、每次不放回摸取：摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。
解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。
（3） 逐次、每次有放回摸取：摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。
解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k 次的概率。
为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家 的印象： 例1•一个口袋中装有大小相同的 2个白球和4个黑球。
（1） 从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2） 采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。
例2 •袋中有同样的小球 5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两 种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。
例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。
古典概型的特征和计算公式
抽象概括
(1).试验的所有可能结果只有有限个,且 每次试验只出现其中的一个结果； (2).每一个试验结果出现的可能性相同。
把具有上述两个特征的随机试验的数 学模型称为 古典概型（古典的概率模型）。
每个可能的结果称为基本事件。
思考交流
向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的， 你认为是古典概型吗？为什么？
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正）， （正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）， （反，反，反）.
1. 例2.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需要选取2个质量盘装在拉力器上.有2 个装质量盘的箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量盘:2.5kg, 5kg,10kg,20kg, 每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上,再拉动这个拉力器。
大量的重复试验
费时，费力。
对于一些特殊的 随机试验，我们 可以根据试验结 果的对称性来确 定随机事件发生 的概率。
探究：
一． 投掷一枚均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上” 的机会相等吗？ 二． 抛掷一枚均匀的骰子,出现数字 “1”、 “2”、“3”、“4”、“5”、
“6” 的机会均等吗？ 三． 转动一个十等分(分别标上数字0、1、…、9)的转盘,箭头指向每个数字的
机会一样吗？
○ 这些试验有什么共同特点?
试验一、抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有_2_个，
其中“正面朝上”的概率0＝.5___.出现“反面 朝上”的概率0=._5__.
试验二、掷一粒均匀的骰子，试验结果有__6_ 个， 其中出现“点数5”的概率1＝/6___.
试验三、转10等份标记的转盘，试验结果有8___个， 出现“箭头指向4”的概率1＝/8___.
知识拓展：古典概型的基本模型—摸球模型
1 / 1 古典概型的基本模型——摸球模型
古典概型的定义
如果随机试验满足两个条件：（1）有限性：样本空间所包含的基本事件仅有n 个；
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.称这样的数学模型称为古典概型.
在古典概型中，设随机事件A 含有m 个样本点，那么事件A 发生的概率定义为 n
m A P =
)(. 一．无放回地摸球模型
设袋中有4只白球和2只黑球，现从中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。
解：设}2{只都是白球摸得=A 解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。
则5
25634)(2624=⨯⨯==A A A P 。
解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。
则52)(2624==C C A P 。
解法三：分析：用事件的“分解”及概率的运算法。
设)2,1}({==i i B i 次摸到白球第，则
5
25364)()()()(12121=⨯===B B P B P B B P A P 。
(乘法公式) 二．有放回地摸球模型
袋中有4个红球，6个黑球。
从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、第三次摸到红球的概率。
解法一：用古典概率方法求解。
144.010
466)(3=⨯⨯=A P 。
解法二：令i A ={第i 次摸到黑球}（3,2,1=i ）。
144.010
4106106)()()()()(321321=⨯⨯===A P A P A P A A A P A P 独立性。
摸球问题10个例题解析
摸球问题10个例题解析一、简单古典概型摸球问题。
例1：题目：一个盒子里装有3个红球和2个白球，从盒子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
（人教版）解析：首先确定基本事件总数，盒子里一共有球3 + 2=5个。
然后确定事件“摸到红球”包含的基本事件数为3个。
根据古典概型概率公式P(A)=(m)/(n)，其中n是基本事件总数，m是事件A 包含的基本事件数。
所以摸到红球的概率P = (3)/(5)。
例2：题目：在一个不透明的袋子里有4个黄球和6个蓝球，从中任意摸出一个球，求摸到蓝球的概率。
（人教版）解析：基本事件总数为球的总数4+6 = 10个。
事件“摸到蓝球”包含的基本事件数是6个。
由古典概型概率公式可得，摸到蓝球的概率P=(6)/(10)=(3)/(5)。
二、有放回摸球问题。
例3：题目：一个盒子中有2个黑球和3个白球，每次摸出一个球后放回，连续摸两次，求两次都摸到白球的概率。
（人教版）解析：每次摸球时，基本事件总数都是2 + 3=5个。
第一次摸到白球的概率为(3)/(5)，因为是有放回摸球，第二次摸球时情况不变，摸到白球的概率仍然是(3)/(5)。
根据分步乘法计数原理，两次都摸到白球的概率P=(3)/(5)×(3)/(5)=(9)/(25)。
例4：题目：袋中有5个红球，3个绿球，有放回地摸球3次，求恰好摸到2次红球的概率。
（人教版）解析：每次摸球基本事件总数为5+3 = 8个。
每次摸到红球的概率为(5)/(8)，摸到绿球的概率为(3)/(8)。
恰好摸到2次红球的情况有C_3^2=(3!)/(2!(3 2)!)=3种（即三次摸球中哪两次摸到红球的组合数）。
所以恰好摸到2次红球的概率P =C_3^2×((5)/(8))^2×(3)/(8)=3×(25)/(64)×(3)/(8)=(225)/(512)。
三、无放回摸球问题。
例5：题目：盒子里有5个不同颜色的球，其中3个红球，2个蓝球，无放回地先后摸出两个球，求第一次摸到红球，第二次摸到蓝球的概率。
概率综合(古典概型)
知识点之三：分房问题
例三、有n个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N（n间房间中的每一间，试求下 列各事件的概率： （1）指定的n间房中各有一人 (2)恰有n间房中各有一个; (3)指定的某间房中恰有r（r≤N)个人; （4)第一间房、第二间房…第n间房中分别有 r1,r2,…rN个人，（ r1+r2+…+rN=n，0≤r≤n)
有放回的抽样问题练习
4、袋中装有编号为1，2……N的球各一只, 采用有放回方式摸球,试求在第k次摸 球 时首次摸到1号球的概率.
解题分析：
从N个球中有放回地摸出k个球的所有各种可 能的结果为Nk个,把它们作为全体基本事件,有 利场合数为(N-1)k-1,故所求概率为:
(N 1) P K N
知识点练习一(不放回抽样练习)
1、甲袋中有3只白球，7只红球，15只， 黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9 只黑球，现从两袋中各取一球 ，求两球颜
色相同的概率。
解答： 从两袋中各取一球的所有可能作为基本事 件，总数有252，有利场合数 为3×10+7×6+15×9,故所求的概率 P=207/625
知识点练习一(不放回抽样练习)
3、从52张扑克牌中任取5张，求下列事件的 概率：①、4张A集中在一个人的手中。 ②、 以K打头的同花顺次五张牌； ③ 、同花顺 次五张牌；④ 、有四张牌同点数； ⑤ 、三 张同点数且另两张取其它同点数； ⑥、同 花五张； ⑦ 、异花顺次五张； ⑧ 、三张 同点数，另两张不同； ⑨ 、五张中 有两对； ⑩ 、五张中有一对。 说明：扑克牌的顺次为：A2345678910JKA
分析：这n个人在N间房中的所有不同的分配 ，相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列
摸球问题 有型可循
㊀㊀㊀摸球问题㊀有型可循∗◉福建省石狮市第一中学㊀李桂娟在古典概率问题中,有一类物品抽取问题,其概率的计算较为困难,如抽签㊁随机取数㊁次品抽取等．但如果能建立某种模型,将要解决的概率问题通过适当的转化,让它适用于该模型,往往能使问题更清楚,更容易看出问题本质．引例㊀一个袋子内有６个大小一样的小球,其中４个是黑球,２个是白球．(１)从中任意取出３个球,求既有黑球又有白球的概率;(２)从中不放回地依次取出３个球,求第三次摸到白球的概率;(３)从中有放回地依次取出３个球,求第三次摸到白球的概率．分析:以上三个问题,分别代表了古典概型中摸球问题的常见三种类型．(１)一次性摸取．摸球的特点:一次性摸取,元素不重复,无顺序．解决的方法:组合的思想．(２)逐次㊁每次不放回摸取．摸球的特点:逐次㊁每次不放回摸取,元素不重复,但有顺序．解决的方法:排列的思想．(３)逐次㊁每次有放回摸取．摸球的特点:逐次㊁每次有放回摸取,元素重复,同一个球每次被摸到的概率都一样．解决方法:独立重复试验中某事件发生的概率不变．解:(１)从６个球中任意取出３个球的总数是C ３６．既有黑球又有白球,可能１黑２白,也可能２黑１白,取法总数是C １４C ２２＋C ２４C １２．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝C １４C ２２＋C ２４C １２C ３６＝１６２０＝４５．(２)问题等价于 从６个球选出３个球进行排列,求第三个球是白球的概率 ．６个球选出３个球排列的总数是A ３６,而第三个球是白球的取法总数是A ２５C １２．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝A ２５C １２A ３６＝５ˑ４ˑ２６ˑ５ˑ４＝１３．(３)有放回地摸取,每次摸球都是独立的,从而只考虑此第三次摸球即可,不需要考虑前面２次摸球的情况．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝C １２C １６＝２６＝１３．反思:需要指出的是,在计算古典概型的事件A的概率时,注意P (A )＝有序有序＝无序无序．为了方便起见,把上述的第一种类型(一次性摸取)和第二种类型(逐次㊁每次不放回摸取),统称为不放回摸球模型．第三种类型(逐次㊁每次有放回摸取),称为有放回摸球模型．模型的析出:不放回摸球模型 解决的方法:组合或排列的思想．有放回摸球模型 解决的方法:独立重复试验中某事件发生的概率不变．在不放回摸球模型和有放回摸球模型中,最后一次摸到白球的概率是一样的．能否得到一般性的结论变式１㊀一个袋子内有a ＋b 个大小一样的小球,其中a 个是黑球,b 个是白球．(１)从中不放回地依次取出k 个球(１ɤk ɤa ＋b ),最后一次摸到白球的概率为多少?(２)从中有放回地依次取出k 个球(１ɤk ɤa ＋b ),最后一次摸到白球的概率为多少?分析:变式１是引例的推广．解:(１)问题等价于 从a ＋b 个球中任意取出k 个球进行排列,求第k 个球是白球的概率 ,所求概率１３２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试∗基金项目:本文系福建省２０１９年度泉州市基础教育课程教学研究课题高中数学题根教学实践研究 (编号:Q J Y K T ２０１９Ｇ１５４)的研究成果之一．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀P＝A k－１a＋b－１C１bA k a＋b＝(a＋b－１)!(a＋b－k)!ˑb(a＋b)!(a＋b－k)!＝b a＋b．(２)有放回地摸取,每次摸球都是独立的,从而可得所求概率P＝C１bC１a＋b＝ba＋b．反思:在不放回摸球模型和有放回摸球模型中,第k次摸到白球的概率是一样的．但是思考的方式却不同．在有放回摸球模型中,每次摸到白球都是独立的,从而只考虑第k次即可,不需要考虑前面k－１次摸球的情况;在不放回摸球模型中,前一次摸球会影响后一次摸球,所以整个摸球过程要当成一个整体考虑．变式２㊀(高考题改编)已知６只动物中有１只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止．方案乙:先任取３只,将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这３只中的１只,然后再逐个化验这３只,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则表明患病动物为另外３只中的１只,然后再逐个化验另外３只,直到能确定患病动物为止．(１)用X表示依方案甲所需化验次数,求X的期望;(２)用Y表示依方案乙所需化验次数,求Y的期望．分析:这是一道以摸球为背景的概率问题．问题等价于:有６个大小一样的小球,其中５个是黑球,１个是白球．方案甲:依次不放回地摸球,直到能确定摸出白球为止．方案乙:从中任取３个球,若这三个球含白球,则继续从这３个球中依次不放回摸球,直到能确定摸出白球为止;若这三个球不含白球,则继续从另外含白球的３个球中依次不放回地摸球,直到能确定摸出白球为止．属于不放回摸球模型．解决的方法:组合或排列的思想．解:化验次数X的所有可能取值是１,２,３,４,５．(１)当X＝１时,表示第一次就抽到患病的,概率为P１＝C１１C１６＝１６;当X＝２时,表示第一次抽到不患病的,第二次抽到患病的,概率为P２＝C１５C１１A２６＝１６;同理可得P３＝A２５C１１A３６＝１６,P４＝A３５C１１A４６＝１６;当X＝５时,表示前四次都抽到不患病的,第五次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束,概率为P５＝A４５A４６＝１３．因此,方案甲所需化验次数X的数学期望E X＝１ˑ１６＋２ˑ１６＋３ˑ１６＋４ˑ１６＋５ˑ１３＝１０３．(２)化验次数Y的所有可能取值是２,３．当Y＝２时,有两类:第一类,第一次任取的３只是含患病的,则继续从这３只中逐个化验,第一次就抽到患病的;第二类,第一次任取的３只是不含患病的,则继续从另外含患病的３只中逐个化验,第一次就抽到患病的．这两类事件互斥,概率为P(Y＝２)＝C２５C１１C３６C１１C１３＋C３５C３６C１１C１３＝１３;同理,当Y＝３时,也有两类:第一类,第一次任取的３只是含患病的,则继续从这３只中逐个化验,第一次抽到不患病的,第二次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束;第二类,第一次任取的３只是不含患病的,则继续从另外含患病的３只中逐个化验,第一次就抽到不患病的,第二次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束．这两类事件互斥,概率为P(Y＝３)＝C２５C１１C３６C１２C１３＋C３５C３６C１２C１３＝２３．因此,方案乙所需化验次数Y的数学期望E Y＝２ˑ１３＋３ˑ２３＝８３．反思:本题也可以从对立事件的角度来求X＝５与Y＝３的概率．研究以摸球为背景的概率问题,我们可以在解题中以如下思路思考问题:不放回摸球模型解决的方法是利用组合或排列的思想;有放回摸球模型解决方法是利用独立重复试验中某事件发生的概率的不变性．善于利用对立事件,是探求解题捷径的重要手段之一．在摸球情景下,正确地求解概率问题,必须要具备一定的排列组合知识,熟悉并掌握必要的 概率模型 ,会灵活运用分类与讨论㊁化归与转化等数学思想．F２３命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
古典概型与几何概型计算实例
• |A2|=
P(A2)=3/4,
实际频率为（3+9）/16=3/4
P(A3)=2/8=1/4, 实际频率为（1+3）/16=1/4.
• 假如用组合措施： • | Ω |= • |A2|=2, |A3|=2
P(A2)=P(A3)=1/2. • 与试验成果不符
几何概型旳定义与例子
• 例1（Buffon投针）桌上画满间隔均为 a 旳平行 线，向桌上投掷一根长为 l 旳针，求针与直线相 交旳概率。
历史上旳抛针试验
• 例2 贝特郎奇论( Bertrand paradox): 在单位圆上任作一弦，求弦长不小于
3
3
3
3
古典概型与几何概型计算实例
有关等可能性
• 例1 掷两枚均匀旳硬币，关心出现正面旳 次数。
• 例2（赌本分配问题） 甲乙两人进行一场象棋比 赛，谁拿下3局即可获胜并赢得1000英镑旳奖金。 然而，比赛中，因为意外原因造成比赛半途终止， 此时旳比分是 2：1. 奖金应该怎样分配？
• 例3. 门、羊、车
1
2
3
古典概型计算实例
一、摸球问题
二、占位问题
附：占位问题——盒子与球旳试验
占位问题——球与杯子
• 将不可分旳 3 个球随机放入 2 个杯子中。 • 抛硬币决定球放入哪个杯子：抛 3 次硬币（或同步抛 3
枚硬币），正面对上（H）旳次数表达放入 1 号杯子旳球 数，剩余旳球放入 2 号杯子。 • 共抛 16 组，每组 3 次，试验成果统计如下：
正面对上旳次数
2
1
1
1
1
0
1
0
背面对上旳次数
1
2
2
2
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关于古典概率的计算（抽签问题）
1. 两种抽样方法
在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。
（1） 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放
回的抽样。
显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限
地进行下去。
（2） 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称
为无放回的抽样。
显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸
球只能进行有限次。
2. 计算古典概型的基本原则
初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。
拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算
当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。
3．例1 （抽签问题）袋中有a 根红签，b 根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别，
现有a+b 个人依次无放回的去抽签，求第k 个人抽到红签的概率。
解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k 次抽到红签的概率。
如
考虑把签一一抽
排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法：
记A k =“第k 个人抽到一根红签”。
（1） 把a 根红签和b 根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的
签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就
等于a+b 根不同签的所有全排列的总数为（a+b ）！
事件A k 包含的基本事件的特点是：在第k 个位置上排列的一定是红签，有
a 种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k 包
含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为：
P A k =a . a +b−1 ！
a +
b ！=a
a +
b （1≤k ≤a +b ）
（2） 把a 根红签、b 根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一
列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本
事件，基本事件总数就等于（a+b ）根含有相同签的全排列总数为 a +b ！
a ！.
b ！。
事件A k 可看成在第k 个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个
位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b 根是没有区
别的白签，共有 a +b−1 ！ a−1 ！b ！种放法，所以A k 包含的基本事件数为 a +b−1 ！ a−1 ！b ！，
a+b−1!
a−1!b! a+b! a!b!=a
a+b
1≤k≤a+b。
所求概率为：P A k=。