基于数学史的平均数_中位数和众数的理解_吴骏

算术平均数的 前 概 念 可 能 是 中 点 值，即 两 个 极端值的算术平均数．中点值在９世纪至１１ 世纪 阿 拉 伯 人 的 天 文 、冶 金 和 航 海 中 有 广 泛 的 应 用 ．托 勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ，１００－１７０）在 《天 文 学 大 成 》中 指 出：取最大 值 和 最 小 值 的 平 均 数 是 一 条 法 则 ． ［４］ 这样做的目的 是 为 了 降 低 观 察 值 的 误 差，使 所 得 的结果介于最 大 值 和 最 小 值 之 间．一 个 雅 典 指 挥 官 Ｔｈｕｃｙｄｉｄｅｓ，在《伯罗奔 尼 撒 人 战 争 的 历 史》一 书讲述了利用中点值估计船员人数的问题：
数估计问题作 为 学 生 的 认 知 起 点，通 过 教 学 活 动 让学生再现这 种 方 法，以 培 养 他 们 对 平 均 数 的 直 觉能力．教师只 有 在 学 生 已 经 发 展 了 代 表 性 的 思 想 之 后 ，才 教 给 他 们 平 均 数 的 计 算 方 法 ，而 不 是 让 学生掌握了平 均 数 的 计 算 公 式 以 后，再 来 理 解 平 均数的代表性． ２ 中 点 值 是 算 术 平 均 数 的 前 概 念
多个观测值的 平 均 数 是 行 之 有 效 的，如 在 估 计 行
星的位置和月 球 的 直 径 时，平 均 数 能 把 误 差 降 低
到一个相对较小的程度． 从现代的观点 来 看，中 点 值 不 是 一 个 很 有 用
的 平 均 数 ，因 为 它 对 极 端 值 太 敏 感 ．学 生 在 开 始 学 习平均数时，可 能 会 把 中 点 值 的 计 算 作 为 求 平 均
平 均 数 是 统 计 学 中 的 重 要 概 念 ．陈 希 孺 指 出 ， 如 果 我 们 从 理 论 的 角 度 走 一 点 极 端 ，则 可 以 说 ，一 部数理统计学 的 历 史，就 是 从 纵 横 两 个 方 向 对 算 术平均数进行不断深入研究的历史［１］．实 际 上，描 述一组数据的 平 均 水 平，除 了 应 用 较 为 广 泛 的 平 均 数 外 ，还 有 中 位 数 和 众 数 ，这 三 个 概 念 各 有 优 缺 点 ，存 在 不 同 的 适 用 范 围 ．对 于 统 计 概 念 的 学 习 而 言 ，重 要 的 不 是 统 计 量 的 计 算 ，而 是 对 其 意 义 的 理 解．那么，统 计 概 念 的 理 解 到 底 体 现 在 哪 些 方 面 呢？纵观这三个 概 念 的 历 史 起 源，这 无 疑 为 我 们 开启了一扇新 的 窗 口．本 文 从 数 学 史 视 角 来 探 讨 对 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ，以 期 能 对 中 学 统 计教学有所裨益． １ 利 用 平 均 数 估 计 大 数
图 １ 希 腊 几 何 中 数 的 线 段 表 征
我国《九章算 术》方 田 章 第 ６ 题：今 有 三 分 之
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数学通报 ２０１３年 第５２卷 第１１期
一，三分之二，四 分 之 三．问：减 多 益 少，各 几 何 而 平 ？ 答 曰 ：减 四 分 之 三 者 二 ，三 分 之 二 者 一 ，并 ，以
１８０９ 年 ，高 斯 （Ｃ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ，１７７７－１８５５）在 其数学和 天 体 力 学 的 名 著 《天 体 运 动 理 论 》中 指 出 ：如 果 在 相 同 的 条 件 下 并 具 有 同 样 的 认 真 程 度 ， 任何一个对象 通 过 几 次 直 接 的 观 测 而 确 定，那 么 观测值的算术 平 均 数 提 供 了 最 可 能 的 取 值，即 使 不 是 太 严 格 ，但 至 少 十 分 接 近 ，使 得 它 总 是 一 个 最 安全的取值 ． ［４］
±５．其 中ｒ＝３１６． 根据 所 给 的 分 布，可 算 得 单 个 误 差 不 超 过 １
秒的 概 率 为１３６６＝０．４４４，不 超 过 ２ 秒 的 是２３４６＝ ０．６６７．为比较起见，他 又 计 算 出 ６ 个 误 差 的 平 均 数不超过１ 秒 的 概 率 是 ０．７２５，不 超 过 ２ 秒 的 是 ０．９６７．可 见 ，平 均 数 的 估 计 优 于 单 个 值 ．这 个 结 果 可视为第一次 在 一 个 特 定 情 况 下，严 格 从 概 率 角 度证明了算术平均数的优良性 ． ［１］
数 的 原 始 方 法 ．因 此 ，教 师 可 以 把 中 点 值 的 教 学 作 为 学 生 探 究 平 均 数 的 基 本 策 略 ．例 如 ，某 公 共 汽 车 ２０个班次载客量的人数在 ４１≤ｘ≤６１范围内，由 于不知道每个 班 次 的 具 体 人 数，因 此 不 能 求 出 平
均数，也 无 法 确 定 中 位 数 和 众 数，只 能 取４１＋６１ ２
明了其结论．他 假 定 在 一 次 天 文 测 量 中 以 秒 来 度 量的误差只能取０，± １，± ２，±３，± ４，± ５ 这１１个 值，取 这 些 值 的 概 率 则 以 在 ０ 处 最 大，然
后在两边按比例下降，直到± ６处为０，即 Ｐ｛ｘ＝ｉ｝＝ （６－｜ｉ｜）ｒ，ｉ＝０，±１，± ２，…，
在 历 史 上 ，平 均 数 最 早 是 用 来 估 计 大 数 的 ．公 元４ 世 纪，在 古 印 度 有 一 个 估 计 果 树 上 树 叶 和 果 实数目的故事：
一棵枝 叶 茂 盛 的 大 树 长 有 两 条 大 的 树 枝， Ｒｔｕｐａｒｎａ需要估 计 这 两 条 树 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数目．他首先估 计 了 根 部 的 一 条 细 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数 目 ，然 后 乘 以 树 枝 上 所 有 细 枝 的 数 目 ，得 到 估计值为 ２０９５．经 过 一 夜 的 计 数，证 明 Ｒｔｕｐａｒｎａ 的 估 计 十 分 接 近 实 际 的 数 目 ［２－ ３］．
① 基金项目：云南省教育厅科学研究基金“数学史融入中学统计概念教学的理论与实践”（编号：２０１２Ｙ４１１）
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直到１６世纪，算术平均数才被推广到ｎ 个数
∑ 的 情 形 ：ａ
＝
１ ｎ
ｘｉ．１５８５ 年，Ｓｔｅｖｉｎ 发 明 的 小
数 为 这 种 计 算 提 供 了 便 利 ．在 当 时 ，天 文 学 家 计 算
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数学通报 ２０１３年 第５２卷 第１１期
基 于 数 学 史 的 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ①
吴 骏 黄青云
（曲 靖 师 范 学 院 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ６５５０１１）（云 南 省 曲 靖 市 麒 麟 区 第 一 中 学 ６５５０００）
把观察数据分组的技 巧 引 人 到 天 文 学 中．１５８２ 年 至 １５８８ 年 ，他 对 某 一 天 文 量 进 行 重 复 观 测 得 到 一 组观 察 值．他 先 从 １５８２ 年 的 观 察 值 中，挑 选 了 ３ 个数据；其把 １５８２ 至 １５８８ 年 的 ２４ 个 数 据，两 个 数据组成 一 组，求 出 平 均 数，得 到 １２ 个 数 据；最 后 ，第 谷 求 出 这 １５ 个 数 据 的 平 均 数 作 为 真 实 值 的 估计值［６］．由 此 可 知，第 谷 使 用 算 术 平 均 数 来 消
益三分之 一，而 各 平 于 十 二 分 之 七．又 有 二 分 之 一，三分之二，四 分 之 三．问：减 多 益 少，各 几 何 而 平 ？ 答 曰 ：减 三 分 之 二 者 一 ，四 分 之 三 者 四 ，并 ，以 益二分之一，而各平于三十六分之二十三 ． ［８］
该题采用平分 法 来 求 解．平 分 指 当 各 个 分 数 参 差 不 齐 时 ，为 使 它 们 齐 等 ，可 减 那 个 分 数 所 多 的
少 ，否 则 所 得 总 数 将 会 变 得 太 大 或 太 小 ．用 现 代 术 语来说，选择枝条的一个 代 表 值ａ，再 乘 以 枝 条 的
∑ 数目ｎ，得到总数ｎ×ａ ＝ ｘｉ，其 中 ｘｉ 是 枝 条
上的树叶和果实数． 这 个 例 子 启 发 我 们 ，在 教 学 设 计 时 ，应 该 把 大
作 为 这 个 区 间 人 数 的 估 计 值 ，称 为 组 中 值 ，这 样 就
解决了公共汽车在该区间的平均载客量问题．
３ 重 复 测 量 取 平 均 数 可 以 减 小 误 差 对观测数据取平均数以减世 纪 末 期，第 谷 （Ｔｙｃｈｏ Ｂｒａｈｅ，１５４６－１６０１）把 对 一 个 对 象 重 复 观 察 以 及
除系统误差． 辛 普 森 （Ｔｈｏｍａｓ Ｓｉｍｐｓｏｎ，１７１０—１７６１）在
１７５５年向皇家学会宣读的 《在 应 用 天 文 学 中 取 若 干 个 观 测 值 的 平 均 数 的 好 处 》文 章 中 指 出 ，在 天 文
学 界 ，取 算 术 平 均 的 做 法 并 没 有 为 多 数 人 所 接 受 ． 当时，人们认为，当 有 多 个 观 测 值 时，应 选 择 其 中
那个“谨慎的观 测”所 得 的 值，认 为 这 比 平 均 数 可
靠 ．辛 普 森 试 图 证 明 ，若 以 观 测 值 的 平 均 数 估 计 真 值 ，误 差 将 比 单 个 观 测 值 要 小 ，且 随 着 观 测 次 数 的
增加而减小．辛 普 森 对 一 种 极 特 殊 的 误 差 分 布 证
Ｈｏｍｅｒ给出了船的 数 目 是 １２００ 条，并 指 出， 两种不同 的 船 分 别 有 １２０ 名 和 ５０ 名 船 员．我 猜 想，他的意思是 表 明 了 各 种 船 中 容 纳 船 员 的 最 大 数目是１２０人，最 小 数 目 是 ５０ 人，因 此 可 以 取 最 大和最小数目 的 平 均 数，作 为 每 条 船 上 船 员 的 平 均 人 数 ，再 乘 以 船 只 的 数 量 ，以 此 估 算 出 全 体 船 员 的人数 ． ［５］
在 希 腊 几 何 中 ，数 的 大 小 用 线 段 来 表 示 ．如 图 １，最长的线段长度为１０，最短的线段长度为 ２，中 间 线 段 的 长 度 为 ６．亚 里 斯 多 德 （Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，３８４－ ３２２ＢＣ）给出了平均数的 几 何 定 义：ａ 和ｃ 中 间 的 数ｂ 称为算 术 平 均 数，当 且 仅 当ｂ－ａ＝ｃ－ｂ．他 说，平均数的数量既不能 太 多 也 不 能 太 少．在 图 １ 中，中间的线段 不 太 长，也 不 太 短，正 好 补 偿 了 其 余两条线段的过长和过 短，而 且 １０－６＝６－２，因 此，６是１０和 ２ 这 两 个 数 的 平 均 数．数 的 线 段 表 征直观地显示 了 平 均 数 介 于 两 个 极 值 之 间，是 利 用补偿策略求平均数的脚手架．