高中数学必修5等比数列
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【自主解答】 (1)由 an＝18·2n－1＝2n－4 知，a4＝1，a8＝24，所以 a4 与 a8 的等 比中项为±4.
【答案】 A
(2)证明：b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab ＋ bc)2 ＝ a2b2 ＋ 2ab2c ＋ b2c2 ＝ a2b2 ＋ 2a2c2 ＋ b2c2 ， 所 以 (ab ＋ bc)2 ＝ (a2 ＋ b2)·(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
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[小组合作型] 等比数列的判断与证明
(1)下列数列是等比数列的是( ) A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B．－1,1，－1,1，－1，… C．0,2,4,6,8,10，… D．a1，a2，a3，a4，…
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(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列. 【导学 号：05920034】
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【自主解答】 (1)法一
因为aa23＋ ＋aa56＝ ＝aa11qq＋ 2＋aa1q1q4＝ 5＝198，，
① ②
由② ①得 q＝12，从而 a1＝32.
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
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法二 因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，得 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，得 n＝6. (2)由 2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2 或12，由 a25＝a10＝a1q9>0⇒ a1>0，又数列{an}递增，所以 q＝2. a25＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n.
阶
阶
段
段
一
三
2.4 等比数列
第 1 课时 等比数列
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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[基础·初探]
教材整理 1 等比数列的定义
阅读教材 P48～P49 倒数第一行，完成下列问题． 1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数 ，那
.
【解析】
由aa25＝ ＝aa11qq＝ 4＝32，4，
得a1＝32， q＝2，
【导学号：05920033】
所以 a8＝32·27＝192.
【答案】 192
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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等比中项应用的三点注意： 1由等比中项的定义可知Ga ＝Gb ⇒G2＝ab⇒G＝± ab,所以只有 a,b 同号 时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. 2在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的 前一项和后一项的等比中项. 3a,G,b 成等比数列等价于 G2＝abab>0.
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判断一个数列{an}是等比数列的方法： 1定义法：若数列{an}满足aan＋n1＝qq 为常数且不为零或aan－n1＝qn≥2，q 为 常数且不为零，则数列{an}是等比数列. 2等比中项法：对于数列{an}，若 a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，则数列{an}是等 比数列. 3通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1a1≠0，q≠0，则数列 {an}是等比数列.
.
【解析】 an＝a1qn－1＝4·3n－1.
【答案】 4·3n－1
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2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝
.
【解析】 ∵a2＝a1q＝2， ①
a5＝a1q4＝14，
②
∴②÷①得：q3＝18，∴q＝12.
【答案】
1 2
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3．在等比数列{an}中，已知 a2＝3，a5＝24，则 a8＝
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(1)在等比数列{an}中，已知 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n； (2)(2012·辽宁高考改编)已知等比数列{an}为递增数列，且 a25＝a10,2(an＋an＋ 2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式 an.
【精彩点拨】 (1)先由 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9， 列出方程组，求出 a1，q，然后再由 an＝1 解出 n. (2)根据条件求出基本量 a1，q，再求通项公式．
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教材整理 2 等比数列的通项公式
阅读教材 P49 倒数第 1 行～P51 例 3，完成下列问题． 1．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第 n 项 an，有公式 an＝a1qn－1 .这就是等比数 列{an}的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列一定是等比数列．
()
(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．
()
(3)等比数列中的项可以为零．
()
(4)若 a，b，c 三个数满足 b2＝ac，则 a，b，c 一定能构成等比数列．
()
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【解析】 (1)×.因为各项均为 0 的常数列不是等比数列． (2)√.因为任何一个各项不为 0 的常数列既是等差数列，又是等比数列． (3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为 0. (4)×.因为等比数列各项不能为 0；若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac，但 是反之不成立，比如：a＝0，b＝0，c＝1，则 a，b，c 就不是等比数列． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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探究 3 在等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 中，若已知 a1＝2，q＝12，你能 求出 a3 吗？若已知 Байду номын сангаас1＝2，a3＝8，你能求出公比 q 吗？这说明了什么？
【提示】 若 a1＝2，q＝12，则 a3＝2·122＝12； 若 a1＝2，a3＝8，则 2·q2＝8，所以 q＝±2， 由此说明在 an＝a1qn－1 中所含四个量中能“知三求一”．
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等比数列的通项公式
[探究共研型]
探究 1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为 a1，公比为 q 的等比数列{an}的通项公式吗？
【提示】 由等比数列的定义可知： a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3， a5＝a4q＝a1q4… 由此归纳等比数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1.
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探究 2 由等比数列的定义式aan＋n1＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项 a1，公 比 q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项 am 及公比 q 表示 an 吗？
【提示】 由aan＋n 1＝q，知aa21＝q，aa32＝q， aa43＝q，…，aan－n 1＝q，将以上各式两边分别相乘可得aan1＝qn－1，则 an＝a1qn－1； 由aanm＝＝aa11qqnm－－11， 两式相比得aamn＝qn－m， 则 an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
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[再练一题] 3．在等比数列{an}中， (1)若它的前三项分别为 5，－15,45，求 a5； (2)若 a4＝2，a7＝8，求 an. 【导学号：05920035】
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【解】 (1)∵a5＝a1q4，而 a1＝5，
q＝aa21＝－3，∴a5＝405.
(2)因为aa74＝＝aa11qq63，， 所以aa11qq36＝ ＝28， ，
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[再练一题]
2．设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d，若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，
则 k 等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
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【解析】 ∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得 k＝－2(舍去)， k＝4. 【答案】 B
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1．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个 就能求出另外一个，在这四个量中，a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两 个基本量，问题便迎刃而解．
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第4节 等比数列通项公式
高中数学 必修五
第二章
数列
第四节 等比数列通项公式
必备新知：
1.等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常
用字母 q 表示(q≠0)．
典例分析：
例 1：已知数列{an}是首项为 2，公差为﹣1 的等差数列．令 bn=（ ）
∴
，解得
或
，
∴a4= =16．
故选：B． 解法二：∵等比数列{an}满足 a2=4，a6=64， ∴a42=a2a6=4×64=256， ∵偶数项的符号相同，∴a4=16． 故选：B．
练习：等比数列{an}的各项均为正数，且 a1+2a2=4，a42=4a3a7，则 a5=（ ） A． B． C．20 D．40
则 a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48， 故选：A．
例 6：设数列{an}是单调递增的等差数列，a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
则 a2017=（
）
A．1008 B．1010 C．2016 D．2017
解：∵数列{an}是单调递增的等差数列，
a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
∴
，
（2+2d）2=（2﹣1）（2+4d+5）， 解得 d=﹣ （舍）或 d= ，
∴a2017=2+2016×（ ）=1010． 故选：B．
练习：已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
A．
B．
C．
D．a3，
成等差数列，
∴
，则
，
化简得，q2﹣q﹣1=0，解得 q=
第二章
数列
第四节 等比数列通项公式
必备新知：
1.等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常
用字母 q 表示(q≠0)．
典例分析：
例 1：已知数列{an}是首项为 2，公差为﹣1 的等差数列．令 bn=（ ）
∴
，解得
或
，
∴a4= =16．
故选：B． 解法二：∵等比数列{an}满足 a2=4，a6=64， ∴a42=a2a6=4×64=256， ∵偶数项的符号相同，∴a4=16． 故选：B．
练习：等比数列{an}的各项均为正数，且 a1+2a2=4，a42=4a3a7，则 a5=（ ） A． B． C．20 D．40
则 a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48， 故选：A．
例 6：设数列{an}是单调递增的等差数列，a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
则 a2017=（
）
A．1008 B．1010 C．2016 D．2017
解：∵数列{an}是单调递增的等差数列，
a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
∴
，
（2+2d）2=（2﹣1）（2+4d+5）， 解得 d=﹣ （舍）或 d= ，
∴a2017=2+2016×（ ）=1010． 故选：B．
练习：已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
A．
B．
C．
D．a3，
成等差数列，
∴
，则
，
化简得，q2﹣q﹣1=0，解得 q=
高中数学必修五--等比数列
2 4 8 16
这些数列 有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ． （正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想 类比思想
两个方法 不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成
这些数列 有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ． （正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想 类比思想
两个方法 不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成
2.4等比数列的概念及通项公式(高中数学人教A版必修五)
an a1 (n 1)d
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
通项 公式
an a1q
n 1
(1)an amqnm
则 am· n=as· r . a a
(3) an2=an-1· n+1 . a （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
(1)等比数列的通项公式
通项公式一:
an a1 q
n1
(a1 , q 0)
an a1q n 1、不要错误地写成
2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列 由首项和公比确定
1 变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
an am qn m
(1)等比数列的通项公式 如果数列 an }是等比数列，首项为 1 , 公比为q， { a
①.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn1
②.叠乘法（累乘法） a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
通项 公式
an a1q
n 1
(1)an amqnm
则 am· n=as· r . a a
(3) an2=an-1· n+1 . a （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
(1)等比数列的通项公式
通项公式一:
an a1 q
n1
(a1 , q 0)
an a1q n 1、不要错误地写成
2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列 由首项和公比确定
1 变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
an am qn m
(1)等比数列的通项公式 如果数列 an }是等比数列，首项为 1 , 公比为q， { a
①.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn1
②.叠乘法（累乘法） a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
高中数学必修五第二章数列2.4.1
(2)设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,
所以q= b3
b2
=2,b1=4,bn=2n+1,
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后 再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最 后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
则
a
2 3
=-1×(-9)=9,解得a3=±3,
设数列的公比为q,
因为a3=-1×q2<0,故a3=-3. 答案:-3
=
1 3
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得
an a n1
1，又a1=-
2
1 2
,
所以{an}是首项为- 1 ,公比为- 1 的等比数列.
2
2
【延伸探究】
1.将本例的条件改为“a1=
7 8
,且an+1=
1 2
a
n＋
1 3
”,求证
数列
{a n
2} 3
是等比数列.
【证明】因为an+1=
(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n.
(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a3=2,a2+a4=
20 3
,求通项公式an.
【解析】(1)因为an=a1qn-1, 所以4·2n-1=128,
所以2n-1=32,所以n-1=5,n=6.
(2)a1=
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
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6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
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三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
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导学
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高中数学必修5《等比数列》PPT
在等差数列中有
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
人教版高中数学必修5(A版) 2.5等比数列的前n项和 PPT课件
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第2年产量为 第3年产量为
分析：第1年产量为
……
第n年产量为
n1
5000 1.12台
50001.1 台
则 n 年内的总产量为：
5 5 1.1 5 1.12 5 1.1n1 30000
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q
( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
Sn
{
na 1,
a1 an q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
, q 1 10% 1.1, Sn 30000 , 其中 a1 5000
n 5000 1 1 . 1 ∴ 30000 . 1 1.1
解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 an ,
即
1.1 1.6.
n
两边取常用 n lg1.1 lg1.6 对数，得 lg1.6 0.20 5 ( 年) ∴ n lg1.1 0.041