江苏省学物理竞赛讲义-11.2电势
11.2电势 一、电势叠加原理
某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势
1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）
r
kQ =
ϕ 2、半径为R 的均匀带电薄球壳
壳外：r kQ =
ϕ 壳内：R
kQ
=ϕ
例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
244kQ k R k R R R
σπϕπσ===
例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势
kQ R
ϕ=
例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球壳接地。
那么金属球的电势变为多少？ 例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求
内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布
规律.
（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.
（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.
b a
O
O 1
（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.
【解析】如错误!未找到引用源。
所示，根据叠加原理:
(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此： 内球1123q q Q q U k
k k R R R +=-+ 外球233
()()
q q k Q q k Q q U k k r
r
R R ++=-+
= 上式中23R r R << 电势差121212
q q U U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U k k
r
R R +=-+内 (R 1<r<R 2) 壳外33
()()
q
q k Q q k Q q U k k r r
R R ++=-+
=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此： 内球1123q q q
U k
k k R R R =-+ 外球233
q q q q U k k k k r
r
R R =-+= 上式中23R r R <<
电势差121212
q q U U U k k R R =-=- 腔内23
q q kq
U k k
r
R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q
q kq kq
U k k r r r r
=-+
=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112
q q
U k
k R R =- 电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内2
q
q
U k k
r
R =-内 (R 1<r<R 2)
壳外0q q U k k r r
=-=外 （r ＞R 3）
（4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:
123
''(')0q q k Q q k
k R R R --++= 解得:12
122313
QR R q R R R R R R '=
+-
内球:10U = 外球:2223
'''q q Q q U k
k k R R R -=-++ 21122313
()
kQ R R R R R R R R -=
+-
21U =
腔内:23
'inside q q Q q U k
k k r R R ''-=-++ 21122313(1)kQR R
R R R R R R r
=
-+- (R 1<r<R 2)
壳外:
3
'outside q q Q q U k k k r r R ''
-=-++ 321122313()
()kQR R R R R R R R R r
-=
+- （r ＞R 3）
例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知
2
321R OO OO OO =
==．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r
的P 1、P 2点处分别放置
带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．。
高中物理竞赛初级讲义 电学电势及电势能
半径为R、电荷为q的均匀带电球壳内外，距球心r处的电势：
【例1】试求电偶极子周围的电势分布．
【例2】试求均匀带电圆环轴线上电势和电场分布。设圆环半径为R，电荷线密度为η。
【例3】半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势．
【例7】如图所示，AB=2l，OCD是以B为中心，l为半径的半圆。A点有正点电荷q，B点有负点电荷-q。
（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？
（2） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远，电场力对它作了多少功？
（3）电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示．P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为φP，试求Q点的电势φQ．
【例6】有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示．这种分布的静电场是否可能存在？试述理由．
电势差：电场中两点电势的差值叫电势差。
匀强电场中，沿场强方向两点间的电势差：
2.等势面
等势面：静电场中电势相同的点组成的面叫等势面。
判断电势高低的方法：
等量异种点电荷和等量同种点电荷连线上与中垂线上场强及电势的变化规律
3.电势的计算
（1）由定义 ，B点为电势零点，一般为无穷远处
（2）点电荷的电势： ，其中r是场点到电荷q的距离。
电磁学第3讲电势及电势能
一、电势能
1.静电场的环路定理
静电场力是保守力，静电场是保守场。
静电场的环路定理：静电场中场强沿场力对电荷所做功等于电荷电势能的改变量：
《电势》 讲义
《电势》讲义一、什么是电势在物理学中，电势是一个非常重要的概念。
简单来说，电势就像是一个“势能的高度”，用来描述电场中某一点所具有的能量性质。
想象一下，在一个山坡上，位置越高的地方，物体所具有的重力势能就越大。
类似地，在电场中，某一点的电势越高，电荷在这一点所具有的电势能就越大。
为了更形象地理解电势，我们可以把电场比作是一个高低不平的“势能场地”。
电荷在这个场地中移动时，其电势能会发生变化，而电势就是用来衡量这个场地中不同位置的势能高低的。
二、电势的定义电势的定义是：把单位正电荷从电场中的某一点移动到参考点（通常取为无穷远处或者大地）时，电场力所做的功。
这个定义可能听起来有点抽象，我们来举个例子。
假设有一个电场，我们要计算其中某一点 A 的电势。
我们把一个单位正电荷从 A 点移动到无穷远处，如果电场力对这个电荷做了 10 焦耳的功，那么 A 点的电势就是 10 伏特。
需要注意的是，电势是一个相对的概念，就像高度一样。
我们说一个地方的高度是多少，总是相对于某个基准面而言的。
在电势中，参考点就是这个基准。
三、电势的单位电势的国际单位是伏特（V），它是以意大利物理学家亚历山德罗·伏特的名字命名的。
1 伏特等于 1 焦耳/库仑。
这意味着，如果在电场中移动 1 库仑的电荷，电场力做了 1 焦耳的功，那么这个位置的电势就是 1 伏特。
除了伏特，在一些特定的情况下，还可能会用到毫伏（mV）、千伏（kV）等单位。
四、电势差电势差是指电场中两点之间电势的差值。
它也被称为电压。
比如说，A 点的电势是 10 伏特，B 点的电势是 5 伏特，那么 A、B 两点之间的电势差就是 5 伏特。
电势差是非常重要的概念，在电路中，电流的产生就是由于存在电势差，电荷在电势差的作用下定向移动，从而形成电流。
五、等势面在电场中，电势相等的点所组成的面叫做等势面。
等势面有一些重要的性质。
首先，等势面与电场线垂直。
这是因为如果不垂直，电场力就会在等势面上做功，这与等势面的定义矛盾。
《电势 电势差》 讲义
《电势电势差》讲义一、什么是电势在电学中，电势是一个非常重要的概念。
想象一下，电势就像是一座山上不同位置的高度。
在电场中，不同的点具有不同的电势。
为了更好地理解电势，我们可以先从重力势能来类比。
当我们把一个物体举到高处时，它具有了重力势能。
物体所处的高度越高，重力势能就越大。
在电场中也是类似的，电荷在电场中的位置决定了它所具有的电势能。
而电势就是用来描述电场中某一点电势能的高低。
比如说，我们把正电荷从电场中的一点移动到另一点，如果电场力对电荷做正功，那么电荷在起始点的电势就高于终点的电势；反之，如果电场力做负功，起始点的电势就低于终点的电势。
电势的定义是：把单位正电荷从电场中的某一点移动到参考点（通常是无穷远处）时电场力所做的功。
电势的单位是伏特（V）。
二、电势的性质1、相对性电势具有相对性，就像我们说山上某一点的高度，是相对于海平面来说的。
在电场中，电势的大小也是相对于选定的参考点而言的。
如果参考点改变了，那么同一位置的电势数值也会改变。
但两点之间的电势差是不变的，这就像两座山之间的高度差不会因为测量起点的改变而改变。
2、标量性电势是一个标量，只有大小，没有方向。
但这并不意味着电势不重要，它在描述电场的性质和计算电场中的能量等方面发挥着关键作用。
3、沿电场线方向电势降低电场线总是从高电势指向低电势。
这就好比水总是从高处往低处流一样。
如果我们沿着电场线的方向移动正电荷，电场力会做正功，电荷的电势能会减少，也就是电势会降低。
三、什么是电势差既然有了电势，那么电势差就很好理解了。
电势差就是电场中两点之间电势的差值。
比如说，A 点的电势是 5V，B 点的电势是 2V，那么 A、B 两点之间的电势差就是 3V。
电势差也称为电压，它反映了电场中两点之间能量的差异。
在电路中，电势差是驱使电荷移动形成电流的原因。
四、电势差的计算计算电势差可以用公式：UAB ＝φA φB ，其中 UAB 表示 A、B两点之间的电势差，φA 表示 A 点的电势，φB 表示 B 点的电势。
电磁学1(江苏物理竞赛夏令营内部课件)讲解学习
l r
1
l r
k
2ql r3
（3）
E
k
ql r3
k
ql sin
r3
E//
k
2ql// r3
k
2ql cos
r3
ET
E2
E/2/
k
ql r3
3cos2 1,
tan E sin 1 tan E// 2 cos 2
E
k
(
ql r3
3ql
cos r4
r)
【例3】 （1）求均匀带电半圆环在圆心处的电场强度 ；
F
真空介电常数 叠加原理
F2
r10 q
F1
q1
q2 r20
例1：一均匀带电半球壳，面电荷密度为，半径为R。在其球心处有一带电 量为q的点电荷。求该点电荷受到的库仑力。
(f )y
k
q
q R2
cos
k
q
S R2
cos
S cos S
q
f k R2
S
cos
k
q
R2
S f0 R2
kq
（1）
E
E
k
r2
q
l2
4
E
2E
cos
2k
r2
q
l2
4
l 2 r2 l2
4
k
(r 2
ql
l
2
)
3 2
k
ql r3
4
（2）
E
k
r
q l
2
, E
k
r
q l
2
,
2
2
电势ppt课件
(L1)
P1
L2
( L2)((P P21))E dl
(L2)
Edl 0 — 静电场的环路定理
L
6
11.2 电势差 电势
一. 电势差（electric potential difference）
由((PP12))Edl与路径无 可引关 入电，势差的概念。
定义P1对P2的电势差：
12((P P 12))E dl
2
Hale Waihona Puke 2S1 E 2q4r2
dV
1 2
0E2
dV
令
we dV
电场能量密度 we ddW V 120E2
以上we的表示式也适用于静电场的一般情2况9 。
在电场存在的空间V中，静电场能（静电能）：
WV wedVV 1 20E2dV
在静电学中，上式和 W
1 2
q
dq
是等价的。
例如，对均匀带电球壳的电场能W：
§11.7 电荷系的静电能
§11.8 静电场的能量
附：真空中静电场小结提纲
2
§11.1 静电场的保守性
（The conservatism of electrostatic field）
一. 静电力作功的特点
移动 实验点电荷qo ，电场力作功：
P2
( P2 )
( P2 )
A12 q0 E d l q0 E d l
推广至一般点电荷系：W互
1 2
qii
i
i — 除 qi 外，其余点电荷在 qi 所在处的电2势5
二. 连续带电体的静电能（自能）
静电能W：把电荷无限分割，并分散到相距无 穷远时，电场力作的功。
• 只有一个带电体：
物理竞赛电学讲义
静电场一、电场强度 1、实验定律a 、库仑定律：[内容]条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。
事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k 进行修正(如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr )。
只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的)。
b 、电荷守恒定律c 、叠加原理 2、电场强度a 、电场强度的定义(使用高斯定理)电场的概念；试探电荷(检验电荷)；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性)。
b 、不同电场中场强的计算：决定电场强弱的因素有两个，场源(带电量和带电体的形状)和空间位置。
这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E = k2r Q结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P ：E = 2322)R r (kQr +，其中r 和R 的意义见图。
⑶均匀带电球壳 内部：E 内 = 0 外部：E 外 = k2r Q，其中r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的(内径R 1 、外径R 2)，在壳体中(R 1＜r ＜R 2)：E = 2313rR r k 34-πρ ，其中ρ为电荷体密度。
这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解〔)R r (3433-πρ即为图中虚线以内部分的总电量〕。
⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ)：E =rk 2λ⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ)：E = 2πk σ 二、电势1、电势：把一电荷从P 点移到参考点P 0时电场力所做的功W 与该电荷电量q 的比值，即U =qW参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。
和场强一样，电势是属于场本身的物理量。
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
高中物理竞赛电势课件
x2 r2
P
能否选
？
例3 “无限长”带电直导线的电势
整个带电体在P处产生的电势为：
例1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上.
例3 “无限长”带电直导线的电势
（2）球壳内两点间的电势差；
1 2πrdr 整个带电体在P处产生的电势为：
R
结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和，
下页
轴线上距环心为 处点 P的电势.
y
dl + + +
+
+
+Ro+
+
+
dqdl qdl
r
2π R
P
x
x
+
+
z +++
1 qdl
duP 4π0r 2πR
VP4π10r
2qπdlR4πq0r 4π0
q x2 R2
上页
下页
UP
4π0
q x2 R2
q
U
讨论
4 0 R
x0，U0
q
4π0R
xR，UP
q
4π0x
电场中某一点A的电势等于单位正电荷从
该点移到零电势处静电力所做的功。
上页
下页
电势的计算
1.点电荷电势的计算
E
4π
q
0r3
r
U
q
r 4π0r3
令U
rdl
0
qrdr
r 4π 0r3
q
q U
4 π 0r
q 0, U 0 q 0, U 0
dl
高二物理竞赛E与U的微分关系----电势梯度PPT(课件)
小圆台在 O点的电势为:
例如图，N点有正电荷Q，M点有－Q，今将试验电荷q。 连线上各点的 E 与 P 点的相同，
E E 性质：电势梯度是矢量，其方向沿该点电势升 x
X
(
4 0
Q )
x2 R2
QX
3
4 0 (R2 x2 ) 2
13
点电荷之间相互作用能
１. 两点电荷（q1 q2）相互作用能
E d
8
dl
n
若积分沿 PF 联线方向，且认为
连线上各点的 E 与 P 点的相同， B
Q
E
d E dr Edr cos
E cos
Er
d
dr
A
dl F
P dr
+d
上式表明：场强沿r方向的分量等于电势沿此
方向的空间变化率的负值。
El cos Er
d cos d
dl
dr
d
( dl )m
例如图，N点有正电荷Q，M点有－Q，今将试验电荷q。
B
小圆台在 O点的电势为:
A, B是两个靠得很近的等势面 求场强：由对称性分析知场强方向沿轴线
A
梯度——物理量(标量)的空间变化率。
解 一个球壳内外的电势分布为：
若积分沿 PF 联线方向，且认为
Q
小圆台在 O点的电势为:
连线上各点的 E 与 P 点的相同，
E dl p 解: x 处取一小圆台，其到 O 点的母线长为 r，
Q
求场强：由对称性分析知场强方向沿轴线
定义：电势变化率的最大值d /dl为电势梯度。
P
n
Q
E
dl
P
p
Q
若积分沿 PQ 联线方向，即n方向，且
物理竞赛培优--电势
竞赛专题---电势【知识要点】－电势反映电场能的性质．电场力做功电势能减小，克服电场力做功电势能增加，电势：电场中某点处电荷的电势能‘与它的电量q 之比值叫做场中该点的电势U . 即电势叠加原理：任意带电体电场中某点的电势，等于带电体上各部分电荷单独存在时，在该点产生电势的代数和．电势差：电场中两点电势的差值．若场中 A , B 两点的电势分为ＵＡ，ＵＢ，则两点的电势差记作ＵＡＢ，ＵＡＢ＝ＵＡ－ＵＢ．几种典型电场的电势( l ）点电荷电势如图所示，空间有一点电荷，电量为Q ，先计算AB两点的电势差．设A ,B 到Q 的距离分别为rA , rB ，把检验电荷q 从 A 移到 B 电场力做功为w ，由于是变力做功，不能直接求w ，现把 A 刀分成n段，当n 足够大时，W 可表示为由电势差定义得若以无穷远处为零电势，即把rＢ→∞，ＵＢ＝０．则由于 A 是任意的，所以点电荷的电势为( 2 ）均匀带电球壳电场的电势与场强公式相类似，根据点电荷的电势，可得半径为Ｒ的均匀带电球壳电场的内、外电势分别为【例题分析】例 1 半径分别为Rl 和R２的两个同心球面均匀带电．电荷面密度分别为δ 1 和δ 2 ．试求：( l ）大球面任一直径AB 上的电势分布？( 2 ）如果过AB 将两球各切掉一半，如图9 一 3 一 2 所示，剩下两半球仍均匀带电，电荷面密度不变．直径AB 上的电势分布又如何？分析与解（ 1 ）由均匀带电球壳的电势分布可知：大球面均匀带电，因此它在球内产生的电势处处相等，有小球面均匀带电，它在其球内和球外的电势由电势叠加原理可得：直径AB 上电势分布为( 2 ）当通过直径AB 将两个球面都切去一半时，因为剩下的半球面和切去的半球面相对AB 是对称的，所以剩下的大（小）半球面对直径 A 刀上的电势的贡献仅为完整球面的一半．即直径AB 上的电势分布为例 2 如图9 一 3 一 3 所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形，尸点为三角形的内心，Q 点与三角形共面且与尸关于AC 棒对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时，测得Ｐ，Q 两点的电势各为ＵＰ，UＱ，现将BＣ棒取走，而AB , AC 棒的电荷分布不变，求这时Ｐ，Q 两点的电势．分析与解由于三棒带有均匀分布的电荷，所以三根棒对Ｐ点电势的贡献应相同，设为Ｕl ．由对称性可知，AＣ对Q 点电势的贡献与它对Ｐ点电势的贡献应相等；BC 和ＢA 对Q点电势的贡献也应相等，设为U２．则电势叠加原理可得由以上两式解得取走BC 棒后，Ｐ，Q 的电势为【巩固习题】1 ．有两个质量分别为ml 和m２的带电相同小球，每个球的电量为Q ，开始时两个小球相距甚远，一个以初速v 向另一个运动，而另一个初速为O ，假定作用在小球上的惟一的力是小球间的静电斥力，求两个小球能接近的最小距离．2 . N 个相同的球形水银液滴，都带有相同的电量，具有相同的电势U ，如果这些水银聚集在一起成一个大的水银滴，这个大水银滴的电势多大？3 ．如图9 一 3 一4 所示，半径为R２的导电球壳包围半径为Rl 的金属球，金属球原来具有电势Ul ．如果让球壳接地，那么金属球的电势变为多少？4 ．正点电荷Ql 和Q２分别置于 A , B 两点，相距为L ，现以L 为直径作半圆，如图9 一 3 一5 所示，试求在此半圆上电势最低点Ｐ的位置，5 一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环，其中心处电势为U０．将此环靠近半径为 b 的接地的球，只有环中心点位于球面上，如图9 一 3 一6 ．试求球上感应电荷的电量．6 ．如图9 一 3 一7 所示，点电荷十Q 位于金属球壳的中心，金属球壳的内、外半径分别为Ｒ1 , R２，球壳所带的净电荷为零．若在无限处电势为零，求 A , B 两点的电场强度和电势的大小．7 ．如图9 一 3 一8 所示，半径分别为Rl 与R２的两个同心半球面相对放置，两个半球均匀带电，电荷面密度分别为δ 1 和δ２，试求大的半球面所对应底面直径AOB 上电势分布．8 ．电荷q 均匀分布在半球面ACB 上，球面的半径为R , CD为通过半球顶点 C 与球心O 的轴线，如图9 一 3 一9 所示．Ｐ、Q 为CD 轴线上在O 点两侧．已知Ｐ点的电势为UＰ，离O 点距离相等的两点．试求Q 点的电势U Q ．9 ．如图9 一 3 一10 所示，在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r ( r 》ａ）的正方形的四个顶点上．首先，让球 1 带电荷Q ( Q > 0 ) ，然后取一细金属丝，其一端固定于球 1 上，另一端分别依次与球 2 、 3 、 4 、大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡．设分布在细金属丝上的电荷可忽略不计．试求流人大地的电量的表达式．10 ．两个互相绝缘的同心导体薄球壳，内球壳半径为r１，外球壳半径为r2 ．开始时内球壳带电量为Q ，外球壳不带电．( l ）试求外球壳内、外两个侧面的电荷及外球壳的电势；( 2 ）将外球壳接地后再与地绝缘，计算此时外球壳内、外两侧面的电荷；( 3 ）再将内球壳接地，求此时内球壳的总电量．11 ．点电荷＋Q 附近有一半径为R 的导体球，球心到点电荷Q 的距离为 d ，如图9 –３－１１所示．求：( 1 ）当导体球接地时，感应电荷Q ' ; ( 2 ）当导体球不接地时它的电势U .12 ．真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，他们的半径分别为R , R / 2 , R / 4 , R / 8 , R / l6 ，彼此内切于Ｐ点，如图9 一 3 一12 所示．球心分别为Ｏ1 , Ｏ2 , Ｏ3 , Ｏ4 ,Ｏ5 ，求Ｏ1 与Ｏ5 间的电势差．。