线性代数教案_第二章_矩阵

授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算

目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算

重点矩阵的运算

难点矩阵的乘法

§2.1矩阵

前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：

1. 系数行列式

；

2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。

接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。

一、矩阵的概念

矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等

例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示

表 1 产地销地调配情况表

销地

产地

B1 B2 B3 B4

A1 1 6 3 5

A2 3 1 2 0

A3 4 0 1 2

那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：

在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。

定义2.1 由

个数

排成的

行

列数表

（2.1）

称为一个

行

列矩阵，简称

矩阵。这

个数称为矩阵的元素，其中

称为矩阵的第

行第

列元素.（2.1）式也简记为

或

. 有时

矩阵A也记作

.

注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.

2.当

时，称

矩阵为长方阵（长得像长方形）；

3.当

时，称矩阵为

阶方阵（长得像正方形），简称方阵；

4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.

如果

与

是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即

则称矩阵A与矩阵B相等，记作

A＝B

5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.

例2设

，

，已知A＝B，求

.

【解】因为

，

，

，所以

二、几种特殊矩阵

（1）

矩阵

，当

时，即

称为n阶方阵，记为

. 特别地，一阶方阵

.

方阵中从左上角元素

到右下角元素

的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素

到左下角元素

的这条对角线称为方阵的副对角线。

（2）形如

的

阶方阵称为上三角矩阵.

（3）形如

的

阶方阵称为下三角矩阵.

（4）形如

的

阶方阵称为n阶对角矩阵，记为

.

（5）形如

的

阶方阵称为n阶数量矩阵。

特别地，当

时，即矩阵

称为n阶单位矩阵，记为

.

应该注意到，单位矩阵是数量矩阵，数量矩阵是对角矩阵，而反之则未必成立. 当然零矩阵也是数量矩阵.

（6）只有一行的矩阵

称为行矩阵，又称行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作

（7）只有一列的矩阵

称为列矩阵，又称列向量.

就向量而言，称其元素为分量，分量的个数称为向量的维数. 例如，

是4维行向量，

是

维列向量.

矩阵

的每一行

都是

维行向量；A的每一列

都是

维列向量.

（8）分量都是0的向量称为零向量，记为

三、矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

定义2.2 设有两个

矩阵

和

，矩阵A与B的和记为A＋B，规定

两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 值得注意的是：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算.

矩阵加法满足下列运算规律（设

都是

矩阵）：

（1）

.

（2）

.

（3）

.

2.矩阵的数乘

定义2.3 设有

矩阵

，

为任意常数，数

与矩阵A的乘积称为矩阵的数乘，记作kA或Ak，规定为

即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的所有元素.

设

，记

称为矩阵A的负矩阵. 显然有

由此规定矩阵的减法为

即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减.

数与矩阵的乘法满足以下运算规律（设

是

矩阵，

,

为数）：

（1）

.

（2）

.

（3）

.

（4）

，

.

（5）若

，则

或

.

矩阵相加与矩阵数乘结合起来，统称为矩阵的线性运算.