《4.1第一节 平面向量的概念及其线性运算》 教案
③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( A．0 B．1 C．2 D．3
)
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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若
a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命 题．综上所述，假命题的个数是 3.
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证明：任取一点 O， KL ＝ OL － OK . ∵K、L 为 MN、PQ 的中点． 1 1 ∴ OK ＝2( OM ＋ ON )， OL ＝2( OP ＋ OQ )． 又∵M，N，P，Q 分别为 AB，CD，BC，DE 中点， 1 1 ∴ OM ＝2( OA ＋ OB )， ON ＝2( OC ＋ OD )， 1 1 OP ＝2( OB ＋ OC )， OQ ＝2( OD ＋ OE )． 1 ∴ KL ＝ OL － OK ＝2[－( OM ＋ ON )＋( OP ＋ OQ )] 1 ＝ [－( OA ＋ OB ＋ OC ＋ OD )＋( OB ＋ OC ＋ OD ＋ OE )] 4 1 1 ＝4(－ OA ＋ OE )＝4 AE .
复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________． 2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．
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【例题 2】 【题干】如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝ OB.设 OA ＝a，
1 3
OB ＝b，用 a，b 表示向量 OC ， DC .
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【解析】 OC ＝ OB ＋ BC ＝ OB ＋2 BA ＝ OB ＋2( OA － OB )
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解析：选 B ∵ CB ＝ AB － AC ＝a－b，又 BD ＝3 DC ， 1 1 1 1 3 ∴ CD ＝4 CB ＝4(a－b)，∴ AD ＝ AC ＋ CD ＝b＋4(a－b)＝4a＋4b.
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a b 2．已知向量 p＝|a|＋|b|，其中 a、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( A．[0， 2] C．(0,2] B．[0,1] D．[0,2]
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教学过程
课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.2008 年 7 月 4 日，两岸直航包机启航．若 台北到香港的位移用向量 a 表示，香港到上海的位移用向量 b 表示，台北到上海的位移用向量 c 表示． 想一想，向量 a、b、c 有何关系？
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【解析】由题设知， CD ＝d－c＝2b－3a， CE ＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E 三点在一条直线上的充
要条件是存在实数 k，使得 CE ＝k CD ，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
t－3＋3k＝0， 因为 a，b 不共线，所以有 t－2k＝0，
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解：(1)证明：∵ AB ＝e1－e2， BC ＝3e1＋2e2，
CD ＝－8e1－2e2，
1 1 ∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝4e1＋e2＝－2(－8e1－2e2)＝－2 CD ， ∴ AC 与 CD 共线． 又∵ AC 与 CD 有公共点 C，∴A、C、D 三点共线． (2) AC ＝ AB ＋ BC ＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2， 3＝2λ， ∵A、 C、 D 三点共线， ∴ AC 与 CD 共线， 从而存在实数 λ 使得 AC ＝λ CD ， 即 3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)， 得 －2＝－λk， 3 4向量 单位向量
平行向量
相等向量 相反向量
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考点 2
向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)|λa|＝|λ||a| 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运 算 (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝0 时，λa＝0 a－b＝a＋(－b)
平面向量的概念及其线性运算
适用学科 适用区域 数学 新课标 鱼向量有关的基本概念、向量记法与表示 知 识 点 向量的加法运算及其几何意义、向量加法交换律与结合律 向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义 向量的数乘运算律、两个向量共线的判定定理及其应用、用向量处理共线问题 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 教学目标 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 教学重点 教学难点 三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定 三角函数的定义及应用 适用年级 课时时长 高三 60 分钟
)
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a b 解析：选 D |a|与|b|均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值 2，当它们反向时，|p|取得最小值 0.故|p|∈[0,2]．
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3．(2013· 保定模拟)如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且 AM ＝x AB ， AN ＝y AC ，则 x· y 的值为( x＋y )
6 解之得 t＝5. 6 故存在实数 t＝5使 C，D，E 三点在一条直线上．
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课堂运用 【基础】 1.如图，已知 AB ＝a， AC ＝b， BD ＝3 DC ，用 a，b 表示 AD ，则 AD ＝( 3 A．a＋ b 4 1 1 C.4a＋4b 1 3 B. a＋ b 4 4 3 1 D.4a＋4b )
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课程小结
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0” ，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题， 可用向量共线来解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系， 当两向量共线且有公共点时， 才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所 在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
＝2 OA － OB ＝2a－b.
DC ＝ OC － OD ＝ OC － OB
2 3
2 ＝(2a－b)－3b 5 ＝2a－3b.
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【例题 3】 【题干】已知 a，b 不共线，OA ＝a，OB ＝b，OC ＝c，OD ＝d，OE ＝e，设 t∈R，如果 3a＝c,2b＝d，
e＝t(a＋b)，是否存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请 说明理由．
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知识讲解 考点 1 向量的有关概念 名称 定义 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 (或称模) 长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线 向量．规定：0 与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量
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λ(μ a)＝(λ μ) a (λ＋μ)a＝λa＋μ a λ(a＋b)＝λa＋λb
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考点 3
共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
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例题精析 【例题 1】 【题干】设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；
A．3 C ．2
1 B.3 1 D.2
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解析：选 B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面 BC 的直线，易得
x· y x＋y
1 ＝3.
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【巩固】 4．在▱ABCD 中， AB ＝a， AD ＝b， AN ＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MN ＝________(用 a，b 表示)．
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7．设两个非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果 AB ＝e1－e2， BC ＝3e1＋2e2， CD ＝－8e1－2e2，求证：A、C、D 三点共线； (2)如果 AB ＝e1＋e2， BC ＝2e1－3e2， CD ＝2e1－ke2，且 A、C、D 三点共线，求 k 的值．
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2 解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D，则 AM ＝3 AD ，因为 AD 为中线，则 AB ＋ AC ＝2 AD ＝3 AM ，所以 m＝3. 答案：3
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【拔高】 6.如图所示，在五边形 ABCDE 中，点 M、N、P、Q 分别是 AB、CD、BC、DE 的中点，K 和 L 分别是 MN 和 PQ 的 1 中点，求证： KL ＝ AE . 4
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解析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3(a＋b)， 1 AM ＝a＋ b， 2 1 3 1 1 所以 MN ＝4(a＋b)－a＋2b＝－4a＋4b. 1 1 答案：－4a＋4b
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5．(2013· 淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA ＋ MB ＋ MC ＝0.若存在实数 m 使得 AB ＋ AC ＝m AM 成立，则 m ＝________.
平面向量的概念教案
平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。
2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。
难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。
三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。
例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。
2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。
3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。
并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。
4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。
5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。
6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。
四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。
2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。
七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。
- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。
(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。
四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。
《平面向量的概念》教学设计
《平面向量的概念》一、教学内容分析：1、课程要求要求了解向量的实际背景，通过位移等物理背景引入向量的概念；理解向量的概念，掌握向量的表示方法，掌握生活中的向量。
通过对平面向量的有关概念、表示的学习，培养数学抽象、直观想象，逻辑推理的核心素养。
2、教材的地位和作用向量是高中阶段学习的一个新的矢量，向量概念是《平面向量》的最基本内容，它的学习直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间关系、向量的加法、减法以及数乘等运算，还有向量的坐标运算等,因此为后面的学习奠定了基础.3、教学重点：向量的相关概念，向量的几何表示和符号表示二、教学目标设计1、知识与技能目标1)识记平面向量的定义，会用有向线段和字母表示向量，能辨别数量与向量；2)识记向量模的定义，会用字母和线段表示向量的模.2、过程与方法目标学生通过对向量的学习，能体会出向量来自于客观现实，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，感悟数形结合的思想.3、情感态度与价值观目标通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，使学生勇于提出问题，同时培养学生数学抽象，直观想象，逻辑推理的核素素养.教学难点：向量的几何表示的理解三、学情分析（1）能力分析：对于我校的学生，基础知识较薄弱，虽然他们的智力发展已到了形成运演阶段，但并不具备较强的抽象思维能力、概括能力及数形结合的思想.（2）认知分析：之前，学生有了物理中的矢量概念，这为学习向量作了最好的铺垫。
（3）情感分析：部分学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究.四、教学策略分析教法：启发教学法，引探教学法，问题驱动法，并借助多媒体来辅助教学学法：在学法上，采用的是发现，归纳，练习。
从问题出发，引导学生分析问题，让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程.五、教学过程课上教学过程：1、创设问题情境，引出向量的实际背景问题1：左图是我某天晨跑的路线图，一共4公里，从水晶城到达维也纳，用时25分钟；请问在这个事件中出现了哪些物理量？问题2：你还能举出哪些与位移，时间，路程类似的物理量？问题3：物理上有标量和矢量之分，请问速度，加速度，路程，位移，力，时间，功等这些“量”哪些是矢量，哪些是标量，他们有什么不同？【设计意图】数学的学习应该是与学生的生活融合起来，由生活的实例引入，在数学教育中渗透德育，在对比于物理学中的速度、位移等学生已有的知识给出本章研究的问题平面向量形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。
平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解向量的实际背景．●理解平面向量和向量相等的含义．●理解向量的几何表示．●掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义．●理解两个向量共线的含义．●了解向量的线性运算性质及其几何意义．重点难点：●重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．●难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．学习策略：●要学好本专题内容，可从原有的位移、力等物理概念来引入向量有关概念，通过复习物理学中矢量加法的三角形法则和平行四边形法则，类比向量的加法与减法．向量的线性运算法则在形式上很像实数的加法、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的．不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用．二、学习与应用（一）列举一些既有大小又有方向的量：（二）力的合成（填空画图）知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识点一：向量的概念（一）向量：既有又有的量叫做向量．（二）向量的表示方法：（1）字母表示法：如,,,a b c等．（2）几何表示法：用一条表示向量．如,AB CD等．（3）向量的有关概念向量的模：向量的叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的）．零向量：长度为的向量叫零向量．单位向量：长度等于个单位的向量．相等向量：长度且方向的向量．相反向量：长度且方向的向量．共线向量：方向或的向量，叫共线向量（共线向量又称为向量）．规定：0与共线．要点诠释：（1）数量与向量的区别：数量只有，是一个量，可以进行代数、比知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
第一节平面向量的概念及线性运算(讲)
第一节平面向量的概念及线性运算（讲）一.课标要求，准确定位1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素．掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．3．掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．4．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．二．考情汇总，名师解读本考点是历年高考考频不高的部分，主要以选择题或者填空题的形式呈现，命题的重点是平面向量的线性运算问题．考查方向主要是平面图形中向量的线性运算，同时向量的线性运算也可能出现在三角函数或解析几何等试题中．向量的大小称为向量的长度（或称模），记作||a是非零向量，则±是单位向量三角形法则平行四边形法则点的向量，即＋＋＋＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．（1）＋＋＝）＝（＋））＝（＋）＝（＋）．5. 在四边形ABCD 中，若核心考点 平面向量的基本概念A ．AD BC =核心考点3共线向量定理的应用（2020·新高考Ⅱ卷）7．若D为ABC10．（多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）①共线向量：；②方向相反的向量：③模相等的向量：【类题通法】1.有关平面向量概念辨析问题的解题需要明确性质、定理成立的前提，切不可想当然，）是与并不是没有，零向量与任意向量平行．A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．如图，点P 在由射线OD 、线段OA ，线段边界），且OD 与BA 平行.若OP xOB yOA =+【类题通法】考向三 已知平面向量的线性运算求参数A．1C．3【类题通法】与向量的线性运算有关的参数问题方法考向一利用向量共线求参数A．3C．5【类题通法】利用向量共线定理解题的策略⇔，）＝λ＋μ（．设两个非零向量与不共线，=+，=2+8，=3(-)，求证：k+或+k共线【类题通法】三点共线问题可用向量共线来解决，与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．注意结论：“＝λ＋μ“，不共【微点解读】||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由【微点解读】有关“等和线”的常用结论对于平面内一组基底，及任意向量，＝λ＋μ（AB的直线上，则λ＋＝k（定值），反之也成立．我们称（1）当等和线A′B′（2）当等和线A′B′（3）当直线AB在点＝＝.30．圆O是边长为23的等边三角形上任意一点，BM xBA=+A．22B．31．给定两个长度为1的平面向量O为圆心的圆弧上变动A ．34-B ．参考答案：考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题10．ACD法二：AD AB BD AB =+= 法三：由13BD BC =，得所以(13AD AB AC AB =+- 【详解】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，GH，13OG OH ∴= ，32OH = (1133AO OG AO OH AO AH +=+=+ (1133OG BO OH BO BH +=+=+由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA与OB的反向延长线为两邻边，∴当12x=-时，要使P点落在指定区域内，即13,22CE OA CF OA==，∴y的取值范围为13 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：D.故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17．1 3【分析】根据题意画出图象，根据条件求出AD 为BC 边上的高∴AD BC ⊥，(11法四：如图，建立平面直角坐标系其中m＞0，h＞0.由AE r AB s AD=+故选：C.【点睛】本题一题多解，分别考查了平面向量的基本定理、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示与运算，是基础题）∵=+=2+8+3(-)=5(+)∴=5，∴、共线∵、有一个公共点∵+与+k共线，k+=λ(+k)，(k-λ)=(λk-1).∵、不共线，∴，解得或，设AP AE AF λμ=+，则λμ+等边三角形边长为2，则外接圆半径为∵//BC EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则AE k AB = ，AF k AC =，AP ∴x k λ=，y k μ=，∴22x y +=因为圆O 是边长为23的等边三角形34．D【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解【详解】对A ，BD BC =+。
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
平面向量的基本概念及线性运算 教案
一.易忽视零向量这一特殊向量
二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.
三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
四.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.
对于B，由题意得 ，又 ，所以 共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．
对于C，由题意得 ，又 ，所以 不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确．
对于D，由题意得 不共线，所以B、C、D三点不共线．
故选B．
3.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
巧用系数判共线
＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．
【题干】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量 与 相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
A.1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵E＋ ＝λ ＋μ ，
∴λ＋μ＝ ＋ ＝ .
【题干】设平面向量 不共线，若 ＝ ＋5 ， ＝－2 ＋8 ， ＝3( )，则
平面向量的基本概念及线性运算
适用学科
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案本教案将介绍平面向量的线性运算，内容包括平面向量的加法、减法、数量乘法等运算规则和性质。
通过本教案的学习，学生将能够正确运用线性运算来解决与平面向量相关的问题。
一、引入平面向量是向量的一种特殊形式，具有大小和方向。
平面向量可以用一个有序数对表示，也可以用箭头表示。
我们用向量的加法、减法和数量乘法来进行平面向量的线性运算。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规则：1. 两个向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。
2. 三个向量的加法满足结合律，即(A + A) + A = A + (A + A)。
3. 对于任意向量A，存在一个零向量A，使得A + A = A。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
如果要计算A - A，可以先将A取负，即-A，然后进行加法运算。
即A - A = A + (-A)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量。
数量乘法满足以下运算规则：1. 数量乘法满足分配律，即A(A + A) = AA + AA，(A + A)A = AA+ AA，其中A、A为实数。
2. 数量乘法满足结合律，即(AA)A = A(AA)，其中A、A为实数。
3. 数量乘法与向量加法满足交换律，即A(A + A) = AA + AA，(A +A)A = AA + AA。
五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
例如，在几何中，可以通过平面向量的减法来计算两点之间的距离和方向；在物理中，可以利用平面向量的数量乘法来计算力的合成和分解等。
六、实例演练为了帮助学生更好地理解平面向量的线性运算，以下是一些实例演练：1. 已知向量A = (2, 3)、A = (-1, 4)，求向量A = 2A - 3A。
2. 已知向量A = (6, -2)、A = (1, -3)，求向量A，使得3A + A = 2A。