2016届高考数学二轮复习能力测试训练：专题二 2.1 二次函数及其综合应用(新人教A版含解析)(浙江专用)
时,就有f(x+t)≥2x成立.
13.(本小题满分15分)已知二次函 数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).设集合A={x∈R|f(x)=x},B= {x∈R|f(f(x))=f(x)},C={x∈R|f(f(x))=0}. (1)当a=2,A={2}时,求集合B; (2)若f<0,试判断集合C中的元素个数,并说明理由.
∴f(x)min=f=-(x2-x1)2. 由x1<<x2,得x2-x1>-x1>0,又a>0, ∴f(x)min=-(x2-x1)2<=-+x1≤x1, ∴方程f(x)=x1也有两个不等的实根. 另一方面,f(x)min<0<<x2, ∴方程f(x)=x2也有两个不等的实根. 由x1,x2是方程f(x)=0的两个不等实根,知方程f(f(x))=0等价于 f(x)=x1或f(x)=x2. 另外,由于x1≠x2,可知方程f(x)=x1与f(x)=x2不会有相同的实根. 综上,集合C中的元素有4个. 14.解:(1)由f(0)=1,得c=1.故f(x)=ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x, ∴ 因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0.要使此不等式在 [-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1. 由-m-1>0得,m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
A.1或2 B.2 C.1或0 D.0或1或2 7.(2015浙江宁波镇海中学5月模拟,文8)已知f(x)是定义在 [-4,4]上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+4x,则不等式f(f(x)) <f(x)的解集为( ) A.(-3,0)∪(3,4] B.(-4,-3)∪(1,2)∪(2,3) C.(-1,0)∪(1,2)∪(2,3) D.(-4,-3)∪(-1,0)∪(1,3) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 8.(2015浙江宁波鄞州5月模拟,文13)设函数f(x)=是一个奇函 数,满足f(2t+3)<f(4-t),则a= ,t的取值范围 是 . 9.若函数f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R)具有奇偶性, 则a= ,函数f(x)的单调递减区间是 . 10.(2015浙江嵊州第二次教学质量调测,文15)设关于x的方 程x2-ax-1=0和x2-x-2a=0的实根分别为x1,x2和x3,x4.若 x1<x3<x2<x4,则实数a的取值范围为 . 11.(2015浙江温州三适,文15)若对任意x∈[1,2],不等式4xa·2x+1+a2-1>0恒成立,则实数a的取值范围是 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 12.(本小题满分14分)(2015浙江嘉兴下学期教学测试,文20)设 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)满足条件:①当x∈R时,f(x) 的最大值为0,且f(x-1)=f(3-x)成立;②二次函数f(x)的图象与 直线y=-2交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求f(x)的解析式; (2)求最小的实数n(n<-1),使得存在实数t,只要当x∈[n,-1]
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x2+3x+4)≥log0.4=-2,故选B. 5.D 解析:由题意,对任意的非零实数x1,都存在唯一的非零实 数x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)成立,也即函数图象除x=0外,其余均是 一个函数值对应两个自变量,结合图象可知:k(1-a2)=(3-a)2,即 (k+1)a2-6a+9-k=0,当a∈R时始终有解,因此Δ=36-4(k+1)(9-k)≥0,整 理得k2-8k≥0,解得k≤0或k≥8. 6.A 解析:当x<2a时,x2+x-2a=0,由Δ≥0,得1-4××(-2a)≥0,解得 a≥-.当x≥2a时,x2-x+2a=0,由Δ≥0,得1-4××(2a)≥0,a≤. 所以当-≤a≤时,函数f(x)有三个零点或四个零点.对 g(x)=ax2+4x+1,由Δ≥0,得16-4a≥0,解得a≤4(a≠0).当a=0 时,g(x)=4x+1有一个零点;由于-≤a≤<4,所以g(x)=ax2+4x+1有一个零 点或两个零点,故选A. 7.D 解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+4(-x)=-x2-4x,因为f(x) 是定义在[-4,4]上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-x2-4x, 即f(x)=x2+4x. 于是,当0<x<4时,f(x)=-x2+4x=x(4-x)>0, 所以f(f(x))=-(f(x))2+4f(x)=-(-x2+4x)2+4x(4-x), 因为f(f(x))<f(x),所以-(-x2+4x)2+4x(4-x)<x(4-x),即x2-4x+3<0, 解得1<x<3,所以1<x<3;当-4<x<0时,f(x)=x2+4x<0,所以f(f(x))= (f(x))2+4(f(x))=(x2+4x)2+4(x2+4x),因为f(f(x))<f(x),所以 (x2+4x)2+4(x2+4x)<x2+4x,即x2+4x+3>0,解得x>-1或x<-3,所以-1<x<0 或-4<x<-3.综上所述,不等式f(f(x))<f(x)的解集为 (-4,-3)∪(-1,0)∪(1,3),故选D. 8.1 解析:因为函数为奇函数,所以f(-1)=-f(1),即-(-1-2)=-[a(1+2)],所以a=1.由函数f(x)的图象可知,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上
是减函数,所以f(2t+3)<f(4-t)⇔2t+3>4-t⇔t>. 9.0 (-∞,0] 解析:函数f(x)(x∈R)具有奇偶性,已知f(1)=2+|1a|,f(-1)=2+|1+a|,若f(x)为奇函数必有f(0)=0,即|a|+1=0无解,所以 f(x)一定是偶函数,必有f(-1)=f(1),即2+|1-a|=2+|1+a|,解得a=0,此时 f(x)=x2+|x|+1经检验是偶函数,当x≥0时f(x)=x2+x+1,所以,其单调递 增区间为[0,+∞),根据偶函数的图象关于y轴对称,可知f(x)的单调递减 区间是(-∞,0]. 10. 解析:由x2-ax-1=0,得a=x-,由x2-x-2a=0,得a=(x2-x)=, 令f(x)=x-,g(x)=,在同一坐标系中作y=f(x),y=g(x)的图象,解方 程x-(x2-x)可得x=1-或x=1或x=1+, 由图可知A(1-,a),所以a=1-, 因为关于x的方程x2-ax-1=0和x2-x-2a=0的实根分别为x1,x2和 x3,x4,且x1<x3<x2<x4,则实数a的取值范围为.
11.a>5或a<1 解析:设t=2x,因为x∈[1,2],所以t∈[2,4],不等式4xa·2x+1+a2-1>0可化为t2-2at+a2-1>0对t∈[2,4]恒成立,设f(t)=t2-
2at+a2-1(t∈[2,4]),当a≤2时,f(t)在[2,4]上是增函数,所以 f(x)min=f(2)=22-2×2a+a2-1>0,解得a>3或a<1,所以a<1;当2<a<4 时,f(t)在[2,a)上是减函数,在(a,4]上是增函数,则f(x)min=f(a)=a22×a2+a2-1>0,无解;当a≥4时,f(t)在[2,4]上是减函数, 则f(x)min=f(4)=42-2×4a+a2-1>0,解得a<3或a>5,所以a>5. 综上所述,a的取值范围为a>5或a<1. 12.解:(1)由f(x-1)=f(3-x)可知函数f(x)的对称轴为x=1, 由f(x)的最大值为0, 可假设f(x)=a(x-1)2(a<0). 令a(x-1)2=-2,解得x=1±,则易知2=4,解得a=-.所以f(x)=-(x-1)2. (2)由f(x+t)≥2x可得-(x-1+t)2≥2x, 即x2+2(t+1)x+(t-1)2≤0, 解得-t-1-2≤x≤-t-1+2. 又f(x+t)≥2x在x∈[n,-1]时恒成立,可得 由②得0≤t≤4. 令g(t)=-t-1-2,易知g(t)=-t-1-2单调递减,所以g(t)≥g(4)=-9, 故n≥-9,则n能取到的最小实数为-9. 此时,存在实数t=4,只要当x∈[n,-1]时,就有f(x+t)≥2x成立. 13.解:(1)由a=2,A={2},得方程f(x)=x有且只有一根2,∴-=2,即b=14a=-7. 由A={2}可得,方程f(f(x))=f(x)等价于方程f(x)=2①,而2是方程① 的根, 由韦达定理可得方程①的另一根为--2=,故集合B=. (2)由f<0及a>0,得方程f(x)=0有两个不等的实根,记为x1,x2,且 有x1<<x2. 从而可设f(x)=a(x-x1)(x-x2),
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)
第2讲函数的应用考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为________．思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，74]解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是________．(2)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)和0的大小关系是________．答案 (1)3 (2)f (x 0)<0解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个．(2)∵f (x )＝2x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0.热点二 函数的零点与参数的范围例2 (2014·常州高三模拟)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________． 思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围． 答案 [－2,1)解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1， 得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－12)解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根， ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎨⎧(－1)＋1＝－2b 3a，(－1)×1＝c3a，∴b ＝0，c ＝－3a ，∴f (x )＝ax 3－3ax ，∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>1，f (－1)<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1，－a ＋3a <－1，∴a <－12.热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x . ∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m (x ＋1)，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]．2．(2014·北京改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1e，0)解析 令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e －1－a <0，所以a >－1e ，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0，∴a ∈(－1e，0)．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________． 答案 3解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点； 又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．2．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________． 答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6.所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________． 答案 5解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－14，0)解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值范围为(－14，0)．5．(2013·江西改编)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是________．答案 ④解析 如图所示，连结OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ， 则AN ＝OM ＝cos x 2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x 2，则AE ＝233cos x 2，所以EB ＝233－233cos x2.所以y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．对照图象知④正确． 6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________．答案 －7解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．答案 (1，＋∞)解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m <1，故m >1.10．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点． 其中正确结论的个数是________．答案 1解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f (x )是“12－伴随函数”， 则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0， 则f (12)＋12f (0)＝0， 若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点； 若f (0)，f (12)均不为0， 则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理， 知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．二、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b 100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a 2. 又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a 2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值； (2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a 2，y 取到最大值． 故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，当140<a <210时，公司应裁员a 2人，经济效益取到最大． 13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0， 即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a <－15或a >1.。
2016届高考数学(文)二轮复习专题整合突破函数的图象与性质(选择、填空题型)(含答案)
一、选择题1.[2015·太原一模]已知集合A ＝{x|y ＝1－x}，B ＝{y|y ＝x 2}，则A∩B＝( ) A ．(－∞，1] B ．[0，＋∞) C ．(0,1) D ．[0,1]答案 D解析 由题意得A ＝(－∞，1]，B ＝[0，＋∞)，∴A∩B＝[0,1]．2．[2015·江西八校联考]已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m 为常数)，则f(－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案 B解析 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，得m ＝－1，∴f(log 35)＝3log 35－1＝4，∴f(－log 35)＝－f(log 35)＝－4.3．[2015·云南统测]下列函数，有最小正周期的是( )点击观看解答视频A.y ＝sin|x| B ．y ＝cos|x| C ．y ＝tan|x| D ．y ＝(x 2＋1)0答案 B解析 A ：y ＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x≥0－sinx ，x<0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x|＝cosx ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧tanx ，x≥0－tanx ，x<0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期．4．[2015·太原一模]已知函数f(x)＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f(x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f(x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5．[2015·石家庄一模]设函数f(x)为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log 2x ，则f(－2)＝( )A ．－12B.12 C ．2 D ．－2答案 B解析 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log 22＝12，故选B.6．[2015·长春质监(二)]已知函数f(x)＝|x ＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A.7．[2015·山西四校联考(三)]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3xlog 13＞，则函数y ＝f(1－x)的大致图象是( )答案 D解析 当x ＝0时，y ＝f(1)＝3，即y ＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f(3)＝－1，即y ＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝log 1343＜0，即y ＝f(1－x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，log 13 43，排除C ，故选D. 8．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为( )A ．－1<a<4B ．－2<a<1C ．－1<a<0D ．－1<a<2答案 A解析 ∵f(x)是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，a －4a ＋1<0，解得－1<a<4.9．设函数f(x)＝x|x －a|，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式1－2x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )点击观看解答视频A.(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．(－∞，3] D ．(0,3]答案 C解析 由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x －a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x≥a－x 2＋ax ，x<a ，∴f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0<a≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．10．[2015·长春质监(三)]对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M 函数：(1)对任意的x ∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立． 则下列3个函数中不是M 函数的个数是( ) ①f(x)＝x 2②f(x)＝x 2＋1 ③f(x)＝2x－1 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 (1)在[0,1]上，3个函数都满足．(2)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时， 对于①，f(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足；对于③，f(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选B.二、填空题11．[2015·唐山一模]函数f(x)＝2－x－2的定义域是__________．答案 (－∞，－1]解析 由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1， ∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．12．[2015·陕西质检(二)]若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>01－x ，x≤0，则f(f(－99))＝________.答案 2解析 f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg 100＝2.13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≥01，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的取值范围是________．答案 (－1，2－1)解析 由题意f(1－x 2)>f(2x)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>01－x 2>2x ，∴不等式的解集为(－1，2－1)．14．[2015·山东高考]已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 ①当0<a<1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－＝0＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a>1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－＝－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.。
2016年高考数学(文)二轮复习精品资料(浙江版)专题2.2 二次函数及其应用(测试卷) 含解析
【高效整合篇】专题二 函数第2讲 二次函数及其综合应用（一）选择题(12*5=60分）1。
【2016届甘肃省会宁县一中高三上第四次月考】已知()32f x x ＝-，()22g x x x ＝-，()()()()()()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩若若，则()F x 的最值是（ ）A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3,无最小值D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【解析】作出()F x 图象如图所示，由图可知函数有最大值而无最小值,且在A 点处最大值，由方程组2322y xy x x=+⎧⎨=-⎩，解得()27,727A --，所以函数()F x 的最大值为727-,故选B ．2。
【2015-2016学年江西省高安中学期中】已知函数f （x ）＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，函数g （x)＝x 2－aln x 在（1,2）上为增函数,则a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．0D ．2【答案】B【解析】函数f （x)＝x 2－ax ＋3在（0，1)上为减函数，所以12≥a,即2≥a ，函数g （x ）＝x 2－aln x 在(1,2）上为增函数,即()02≥-='xa x x g ，当()2,1∈x ，即22x a ≤恒成立,即2≤a ，所以同时满足两个条件的2=a ，故选B ．3。
【2015—2016学年重庆市一中期中】对于任意x R ∈，函数2()2124f x x x x a x =------+的值非负，则实数a 的最小值为（)A 、118- B 、—5 C 、—3 D 、-2【答案】D 【解析】由四个选项可知212a a ≤-∴+≤，所以原函数式去掉绝对值转化为()()()()222112312472x a x a f x x x a a x x x a x ⎧+-<+⎪=-+++≤≤⎨⎪-++>⎩，结合二次函数单调性可知当1x a <+时函数递减，当11a x +≤≤时递减，当12x <≤时递增,当2x >时递增,所以函数的最小值为()1202f a a =+≥∴≥-，所以a 的最小值为2,故选D 4。
2016届高考数学(浙江版)二轮专题能力训练专题二函数2.1函数的图象与性质
专题能力训练3函数的图象与性质(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(2015北京,文3)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x2.(2015陕西,文4)设f(x)=则f(f(-2))=()A.-1B.C.D.3.(2015浙江重点中学协作体二适,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),则f(-1)=()A.3B.1C.-1D.-34.(2015天津,文7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a5.函数f(x)=的图象大致是()6.函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点共有()A.0对B.1对C.2对D.3对7.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六个不同的实根,则a的取值范围是()A.(2,8]B.(2,9]C.(8,9]D.(8,9)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2015浙江第一次五校联考,文14)已知偶函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x-1,则f=.9.(2015浙江宁波镇海中学5月模拟,文9)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是.10.(2015浙江温州三适,文14)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=-log2x,则f=;使f(x)<0的x的取值范围是.11.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)的值为.三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)求函数的值域.13.(本小题满分15分)定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).(1)判断k为何值时f(x)为奇函数,并证明;(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.14.(本小题满分16分)(2015浙江嘉兴教学测试(二),文20)已知函数f(x)=x2-|ax+1|,a∈R.(1)若a=-2,且存在互不相同的实数x1,x2,x3,x4满足f(x i)=m(i=1,2,3,4),求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.参考答案专题能力训练3函数的图象与性质1.B解析:根据偶函数的定义f(-x)=f(x),A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D选项既不是奇函数也不是偶函数.故选B.2.C解析:f(f(-2))=f=1-.3.D解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),所以f(0)=0,则f(0)=20+2×0+m=0,解得m=-1,f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3.4.B解析:∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0.∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25,∴f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b.5.A解析:因为f(-x)==f(x),所以函数f(x)=是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D.令x=,f(x)=>0,排除B.故选A.6.D解析:因为y=cos πx是偶函数,图象关于y轴对称,所以,本题可转化成求函数y=log3x与y=cos πx图象的交点个数的问题.作函数图象如图,可知它们有三个交点,即函数f(x)图象上关于y轴对称的点有3对.7.C解析:令t=x2+2x,则t≥-1,函数f(t)=由题意可得,函数f(t)的图象与直线y=a有3个不同的交点,且每个t值有2个x值与之对应,如图所示.由于当t=-1时,f(t)=8,此时,t=-1对应的x值只有一个x=-1,不满足条件,故a的取值范围是(8,9],故选C.8.-解析:∵函数f(x)为偶函数且图象关于直线x=1对称,∴f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),∴f=f=f-1=-.9.(-∞,0]∪[2,+∞)0≤a≤1解析:当a=1时,f(x)=≥1,即-1≥1,所以x2-2x+1≥1,即x≥2或x≤0,所以解集为(-∞,0]∪[2,+∞);因为函数f(x)的定义域为R,所以-1≥0在R上恒成立,即x2-2ax+a≥0在R上恒成立,即Δ=(-2a)2-4a≤0,解得0≤a≤1.10.-2-1<x<0或x>1解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f=-f=-=-2.当x<0时,-x>0,所以-f(x)=f(-x)=-log2(-x),所以f(x)=log2(-x),由f(x)<0得解得-1<x<0或x>1.11.4解析:∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=4,∴f(2 012)+f(2 014)=f(2 012)+f(2 012+2)=f(2 012)-f(2 012)=0,∴f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=4.12.解:(1)∵f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,解得a=1.(2)由(1)知,f(x)==1-,∴f(x)为增函数.证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2.f(x1)-f(x2)=1--1+,∵x1<x2,∴<0,且+1>0,+1>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)为R上的增函数.(3)令y=,则2x=,∵2x>0,∴>0.∴-1<y<1.∴函数f(x)的值域为(-1,1).13.解:(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,∴k=0.证明:令a=b=0,由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x)是奇函数.(2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴f(mx2-2mx+3)>3=f(2)对任意x∈R恒成立.又f(x)是R上的增函数,∴mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,即mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,当m=0时,显然成立;当m≠0时,由得0<m<1.∴实数m的取值范围是[0,1).14.解:(1)若a=-2,则f(x)=x2-|-2x+1|=当x≤时,f(x)min=f(-1)=-2;当x>时,f(x)min=f(1)=0.f,此时,f(x)的图象如图所示.要使得有四个不相等的实数根满足f(x)=m,即函数y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,因此m的取值范围为.(2)①若a=0,则f(x)=x2-1,在[1,2]上单调递增,满足条件;②若a>0,则f(x)=只需考虑x≥-的时候,此时f(x)的对称轴为x=,因此,只需≤1,即0<a≤2.③若a<0,则f(x)=结合函数图象,有以下情况:(ⅰ)-≤-,即-≤a<0时,此时f(x)在内单调递增,因此在[1,2]内也单调递增,满足条件; (ⅱ)->-,即a<-时,f(x)在内均单调递增,只需-≥2或-≤1,解得-2≤a<-;由(ⅰ)(ⅱ)可得,a的取值范围为-2≤a<0.由①②③得,实数a的取值范围为-2≤a≤2.。
备考2024年中考数学二轮复习-二次函数y=a(x-h)^2+k的性质-综合题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-二次函数y=a（x-h）^2+k的性质-综合题专训及答案二次函数y=a（x-h）^2+k的性质综合题专训1、(2018阜新.中考真卷) 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．2、(2011连云港.中考真卷) 如图，抛物线y= x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．3、(2016镇江.中考真卷) 如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；（3）点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；（4）如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．4、(2017东城.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m的取值范围．5、(2018奉贤.中考模拟) 已知抛物线y=﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．6、(2018.中考模拟) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7、(2017.中考模拟) 已知：抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（7，﹣3），与x轴正半轴交于点B（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．（1）求m的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．8、(2019温州.中考模拟) 如图，直角坐标系中，抛物线y＝a(x－4)2－16（a>0）交x轴于点E，F（E在F的左边），交y轴于点C，对称轴MN交x轴于点H；直线y＝x＋b分别交x，y轴于点A，B．备用图（1）写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标（用含a的代数式表示）.（2）若AF=AH=OH，求证：∠CEO=∠ABO.（3）当b＞－4时，以AB为边作正方形，使正方形的另外两个顶点一个落在抛物线上，一个落在抛物线的对称轴上，求所有满足条件的a及相应b的值．（直接写出答案即可）9、(2017安徽.中考模拟) 已知抛物线y=﹣x2+2x+2（1）求该抛物线的对称轴、顶点坐标以及y随x变化情况；（2）在如图的直角坐标系内画出该抛物线的图象．10、(2018福建.中考真卷) 空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．11、(2018滨州.中考模拟) 已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．12、(2019宜昌.中考真卷) 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（-2,4），B（-2，-2），C（4，-2），D（4,4）.（1）填空：正方形的面积为；当双曲线与正方形ABCD有四个交点时，的取值范围是：；（2）已知抛物线L：顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线与边DC交于点N.①点是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求的值；③求证：抛物线L与直线的交点M始终位于轴下方.13、(2018柳北.中考模拟) 如图，抛物线过点，交x轴于A，B两点点A在点B的左侧．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）连接OC，CM，求的值；（3）若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当时，求点P的坐标．14、(2020建水.中考模拟) 如图所示，已知抛物线y= x2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0).（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积.15、(2020牡丹江.中考真卷) 已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0, )，与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长．二次函数y=a（x-h）^2+k的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
2016届高考数学(理)二轮复习专项强化练专题能力提升练(2)
专题能力提升练(二)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.cos=cos=cos=cos=-cos=-,故选C.2.已知sin2α=，则cos2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin2α=，所以cos2====.3.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【解题提示】根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为180°-(A+B)，用两角和的正弦公式展开、移项、合并后求解.【解析】选B.由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin(A+B)，所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.所以cosAsinB-sinAcosB=0.所以sin(B-A)=0，因为角A和B是三角形的内角，所以B=A.【方法技巧】判断三角形形状的方法(1)角化边，边化角利用正弦定理、余弦定理可以把角化为边、把边化为角.(2)注意三角形内角和定理的应用.4.(2015·济宁一模)已知函数f(x)=sin，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选C.因为f(x)=sin f=sin=sin2x=g(x)，所以为了得到g(x)=sin2x的图象，只要将f(x)的图象向右平移个单位长度.5.(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.y=cos=-sin2x，是奇函数，函数的最小正周期为π，满足题意，所以A正确；y=sin=cos2x，函数是偶函数，最小正周期为π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin，函数是非奇非偶函数，最小正周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin，函数是非奇非偶函数，最小正周期为2π，所以D不正确.【加固训练】(2015·上饶三模)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x,则下列说法正确的为( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为C.f(x)的图象关于直线x=-对称D.将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【解析】选D.f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin2x+=sin+,故该函数的最小正周期为T==π,最大值为,对称轴为2x+=k π+,k∈Z,故选项A,B,C错误,对于选项D:将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到f(x)=sin+=sin2x+,然后,将此图象向下平移个单位长度,得到函数f(x)=sin2x的图象,它是一个奇函数,故选项D正确.6.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )【解析】选D.对于振幅大于1时，三角函数的周期为T=，因为>1，所以T<2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于2π.7.已知f(x)=sin(ω>0)，f=f，且f(x)在区间有最小值，无最大值，则ω的值为( )A. B. C. D.【解题提示】根据f=f求出函数的对称轴，再利用对称轴处取最小值构造方程求解.【解析】选B.由f=f，知f(x)的图象关于x=对称，且在x=处有最小值，所以ω+=2kπ-(k∈Z)，有ω=8k-(k∈Z).又因为T=>-=，所以ω<6，故k=1，ω=.8.(2015·菏泽二模)已知函数f(x)=sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=cos，则ϕ的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选C.因为函数f(x)=sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π)的图象向左平移个单位长度后可得sin=sin=cos=cos=g(x)，所以-+ϕ=2kπ±，k∈Z，因为|ϕ|<π，所以可解得ϕ=.9.(2015·青岛模拟)如图所示，函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0，|ϕ|<)的部分图象，已知x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=( )A.-1B.-C.D.【解题提示】根据函数图象求出函数的解析式，结合三角函数的对称性求出函数的对称轴即可得到结论.【解析】选D.由图象知函数的周期T=2=2×=π，即=π，解得ω=2，则f(x)=sin(2x+ϕ)，由五点法知2×+ϕ=π，解得ϕ=，即f(x)=sin，由2×x+=，解得x=，即x=是函数的一条对称轴，因为x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，所以x1，x2关于x=对称，则x1+x2=2×=，则f(x1+x2)=f=sin=sin=sin=.10.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED=( )A. B. C. D.【解题提示】∠AED与∠BEC可放在直角三角形中，再利用∠CED=∠AED-∠BEC求解.【解析】选B.因为四边形ABCD是正方形，且AE=AD=1，所以∠AED=.在Rt△EBC中，EB=2，BC=1，所以sin∠BEC=，cos∠BEC=.sin∠CED=sin=cos∠BEC-sin∠BEC==.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则tan=________.【解析】因为点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,所以sinα=-2cosα,tanα=-2.所以tan==-.答案:-12.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=________.【解析】由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则f(x)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sin=,且0<<,所以=,解得ω=.答案:13.(2015·广东高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a =,sin B=,C=,则b =________.【解题提示】可先求出角B的大小,再利用正弦定理求解.【解析】因为sin B=且B∈,所以B=或B=,又C=,所以B=,A=π-B-C=,又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.答案:114.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=4a+2b-5,且a2=b2+c2-bc,则=________.【解题提示】由a2=b2+c2-bc利用余弦定理求出角A.再由a2+b2=4a+2b-5配方可得a,b的值.最后利用余弦定理求出c.【解析】由a2=b2+c2-bc,利用余弦定理可得:cosA==,因为θ∈(0,π),所以A=.因为a2+b2=4a+2b-5,所以(a-2)2+(b-1)2=0,解得a=2,b=1.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,所以4=1+c2-c,所以c2-c-3=0,解得c=,所以=bcsin A=×1××=.答案:15.(2015·聊城一模)设函数f(x)=cos，有下列结论：①点是函数f(x)图象的一个对称中心；②直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴；③函数f(x)的最小正周期是π；④函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，其中所有正确结论的序号是.【解题提示】首先利用整体思想求出函数的对称轴方程，对称中心，和单调区间，及最小正周期，然后确定结果.【解析】函数f(x)=cos，最小正周期T==π，故：③正确；令：2x+=kπ+(k∈Z)，解得：x=+(k∈Z)，当k=-1时，点是函数f(x)图象的一个对称中心，故①正确；令：2x+=kπ(k∈Z)，解得：x=-(k∈Z)，当k=1时，x=，直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴，故②正确；令：2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z)，解得：kπ-≤x≤kπ-(k∈Z)，故④错误.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2015·天津高考)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题提示】(1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin,由周期公式可得最小正周期.(2)由x∈结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值. 【解析】(1)化简可得f(x)=sin2x-sin2=(1-cos2x)-===sin所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为x∈,所以2x-∈,所以sin∈,所以sin∈,所以f(x)在区间内的最大值和最小值分别为,-.【加固训练】(2015·朝阳一模)已知函数f(x)=cosx(2sinx+cosx)-sin2x.(1)求函数f(x)在区间上的最大值及相应的x的值.(2)若f(x0)=2，且x0∈(0，2π)，求x0的值.【解析】(1)f(x)=cosx(2sinx+cosx)-sin2x=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin，因为x∈，所以2x+∈，所以sin∈，所以当且仅当2x+=，即x=π时，f(x)max=1.(2)由题意得，2sin=2，所以sin=1，又x0∈(0，2π)，所以2x0+∈，所以2x0+=或2x0+=，所以x0=或x0=.17.(12分)(2015·临沂二模)已知向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A), m·n=sin2C,且A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角.(1)求角C的大小.(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且△ABC的面积为9,求c边的长.【解题提示】(1)根据向量数量积的定义,以及三角函数的关系式即可求角C的大小.(2)根据等差数列的性质,建立方程关系结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可.【解析】(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,因为m·n=sin2C, 所以m·n=sin2C=sin C,即2sin Ccos C=sin C,解得cos C=,C=.(2)因为sin A,sin C,sin B成等差数列,所以2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b,又△ABC的面积为9,即absin C=9,即×ab=9,解得ab=36,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,得c2=4c2-3×36,解得c2=36,c=6.18.(12分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值.(2)若m与n的夹角为,求x的值.【解题提示】(1)利用向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.【解析】(1)因为m=,n=且m⊥n,所以m·n=·=sin x-cos x=sin=0,又x∈,所以x-∈,所以x-=0即x=,所以tan x=tan=1.(2)由(1)及题意知=sin,所以sin=,又x-∈,所以x-=,所以x=.19.(12分)已知p=(sinA，cosA)，q=(cosA，-cosA)(其中q≠0).(1)若0<A<，方程p·q=t-(t∈R)有且仅有一解，求t的取值范围.(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a=，若p∥q，求b+c的取值范围.【解题提示】(1)问题可转化为y=t与y=p·q+只有一个交点，数形结合求解.(2)由p∥q(其中q≠0)求出角A，再将b+c表示为只含有一个角的三角函数后再求取值范围.【解析】(1)依题意可得t=p·q+=sinAcosA-cos2A+=sin 2A-cos2A=sin(2A-)，因为A∈，所以-<2A-<.再根据t=p·q+有唯一解，可得-<t≤或t=1.(2)由p∥q(其中q≠0)得=-1，即tanA=-，所以A=.再根据正弦定理可得2R==1，所以b+c=sinB+sinC=sin(0<B<)，由<B+<，可得<b+c≤1.【加固训练】已知函数f=sinwxcoswx+cos2wx-(w>0)，直线x=x1，x=x2是y=f图象的任意两条对称轴，且的最小值为.(1)求w的值.(2)将函数f的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g的图象，求g在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin2ωx+×-=sin2ωx+cos2ωx=sin.由题意知，最小正周期T=2×=，又T===，所以ω=2.(2)由(1)可得f(x)=sin.将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y=sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin的图象.所以g(x)=sin.因为0≤x≤，所以-≤2x-≤π，所以-≤sin≤1.故g(x)在区间上的最大值为g=1，最小值为g(0)=-.20.(13分)(2015·潍坊一模)已知函数f(x)=sin-4sin2ωx+2(ω>0)，其图象与x轴两个相邻交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若将f(x)的图象向左平移m(m为可取到的最小正数)个单位长度得到函数g(x)的图象，并且其图象恰好经过点，求函数g(x)在x∈上的单调增区间.【解析】(1)f(x)=sin-4sin2ωx+2=sin2ωx-cos2ωx-4·+2=sin2ωx+cos2ωx=sin，根据图象与x轴两个相邻交点的距离为，可得函数的最小正周期为2×=，求得ω=1，故函数f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=sin=sin的图象，再根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin=0，故m=，g(x)=sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤x≤kπ-，故函数g(x)的单调增区间为，k∈Z.再结合x∈，可得单调增区间为，.21.(14分)如图所示的四边形ABCD中,已知AB⊥AD,∠ABC=120°,∠ACD=60°,AD=27,设∠ACB=θ,C点到AD的距离为h.(1)求h(用θ表示).(2)求AB+BC的最大值.【解题提示】(1)由已知可求∠ADC=90°-θ,在△ACD中,由正弦定理可求AC的值,又∠CAD=30°+θ,且0<θ<60°,由h=AC·sin∠CAD即可得解.(2)在△ABC中,由正弦定理分别求出AB,BC,将AB+BC表示θ的函数,由正弦函数的图象和性质即可得解.【解析】(1)由已知得:∠ADC=360°-(90°+120°+60°+θ)=90°-θ.在△ACD中,=,所以AC==18cosθ,又∠CAD=30°+θ,且0<θ<60°,所以h=AC·sin∠CAD=18cosθsin(30°+θ)=+9sin(2θ+)(0<θ<60°).(2)在△ABC中,AB==18sin2θ,BC==36cosθsin(60°-θ)=9+9cos2θ-9sin2θ,所以AB+BC=9+9cos2θ+9sin2θ=9+18sin(2θ+60°)因为0<θ<60°,所以当θ=15°时,AB+BC取到最大值9+18.。
[推荐学习]河南省罗山高中2016届高考数学二轮复习 函数模型及其应用精选练习(2)理
河南省罗山高中2016届高三数学复习精选练习（理数，含解析）：函数模型及其应用（2）1、设)]([)(,11)()(11x f f x f x x x f x f n n =+-==+,记M 为22)(22012+-=x x x f 的实数解集,则M 为( )A.空集B. RC.单元素集合D.二元素集合 【答案】C 2、函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是（ ）A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）【答案】C【解析】因为01)1(,01)21(>=<-=f f ，所以0)1()21(<f f ，零点在区间)1,21(上，答案选C.3、国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为 ( )．A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元 【答案】C【解析】设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.4、对于函数)(x f 与)(x g 和区间E,如果存在E x ∈0,使1|)()(|00<-x g x f ,则我们称函数)(x f 与)(x g 在区间E 上“互相接近”.那么下列所给的两个函数在区间),0(+∞上“互相接近”的是 ( )A.2)(x x f =,32)(-=x x gB.x x f =)(,2)(+=x x gC. x x f ln )(=,x x g =)(D.x e x f -=)(,xx g 1)(-= 【答案】D5、研究函数()()1||xf x x R x =∈+的性质，分别给出下面结论： ①若12x x =-，则一定有12()()f x f x =-； ②函数()f x 在定义域上是减函数； ③函数()f x 的值域为(1,1)-；④若规定11()(),()[()]n n f x f x f x f f x +==，则()1||n xf x n x =+对任意*n N ∈恒成立，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C6、已知函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为（ ）A ．[)3,0-B ．（－3，0）C ．（－3，1）D ．（－3【答案】B【解析】由函数图象可知，不等式的解为23220x x x -><⎧⎨⎩，，即(30)x ∈-，，故选B.7、设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A. (10)(1)-+∞，， B. (1)(01)-∞-，， C. (1)(1)-∞-+∞，， D. (10)(01)-，，【答案】D8、已知函数()22,21f x x x x =+-≤≤且x Z ∈，则()f x 的值域是( )A ．[]0,3B ．[]1,3-C ．{}0,1,3D ．{}1,0,3-【答案】C9、以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由x ＝at －4.9t 2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上(含245米)高度共有( ) A ．4秒 B ．5秒 C ．6秒 D ．7秒 【答案】B【解析】已知x ＝at －4.9t 2，由条件t ＝5秒时，x ＝245米，得a ＝73.5，所以x ＝73.5t －4.9t 2.子弹保持在245米以上(含245米)，即x≥245，所以73.5t －4.9t 2≥245.解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．10、已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．34,45⎛⎤⎥⎝⎦D ．34,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C11、2002年初,甲？乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现,这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是( )A.甲多B.乙多C.甲乙一样多D.不能确定 【答案】B【解析】设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n },由于企业甲年增长数相同,所以数列{a n }是等差数列,则a n 是关于n 的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列{b n },由于企业乙年增长率相同,所以数列{b n }是等比数列,则b n 是关于n 的指数形函数.根据题意,a 1=b 1,a 8=b 8,如图知a 9<b 9,故2010年企业乙缴纳的地税多.12、设f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(-∞, 0)时，f (x )= x (x -1)，则f (2) = A 、-6 B 、1 C 、-2 D 、2 【答案】A13、若函数()f x 满足：对于任意120,0x x >>．都有12()0,()0f x f x >>,且1212()()()f x f x f x x +<+成立，则称函数()f x 为“守法函数”。
高考数学二轮复习函数模型及其应用精选练习(1)理
河南省罗山高中2016届高三数学复习精选练习（理数，含解析）：函数模型及其应用（1）1、某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元【答案】D【解析】九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．2、如果幂函数x y 的图象经过点)22,2(，则)4(f 的值等于()．A ．12B ．2 C．116D． 16【答案】A 【解析】∵幂函数x y 的图象经过点)22,2(，222，解得21a，21xy ，故214)4(21f ．3、如图所示，当0ab时，函数2()yax f x ax b 与的图象是 ( )【答案】D4、银行计划将某客户的资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户．为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为()A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【答案】C5、下列各组函数中，表示同一函数的是（） A 、y=1, y=xx B 、y=1x ×1x , y=12xC 、y=x, y=55xD 、y=|x|, y=(x )2【答案】C6、某校甲、乙两食堂2013年元月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知2013年9月份两食堂的营业额又相等，则2013年5月份营业额较高的是（）A ．甲B ．乙C ．甲、乙营业额相等D ．不能确定【答案】A7、已知)(x f 是奇函数，且在),0(是增函数，又0)3(f ，则)(x f < 0的解集是（）A ．),3()0,3(B ．)3,0()3,(C ．),3()3,(D．)3,0()0,3(【答案】B8、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A .一次函数B .二次函数C .指数型函数D .对数型函数【答案】D9、已知函数y ＝f (x )的图象如图甲所示，则函数y ＝f (2－x )的图象是下图中的（）【答案】A10、如图，正方形ABCD 的顶点A (0，22)，B （22，0），顶点C ，D 位于第一象限，直线:(02)l x t t将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()S f t 的图象大致是（）【答案】C11、)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x 时，0)()()()(x g x f x g x f 且(2)0,()()0f f x g x 则不等式的解集为（）。
专题02 函数(第02期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(新课标II特刊)(解析版)
1第二章 函数一．基础题组1. (安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学、文、1）函数22()x x f x x-++=的定义域为（ ）A-(-1,0) (0,2) B ．（-1,0)(0,+∞) C ．（一∞，-1)(2,+∞) D ．（-1,2)【答案】A 【解析】试题分析：()()2201,00,20x x x x ⎧-++>⇒∈-⎨≠⎩.故A 正确.考点：函数的定义域.2.(云南师大附中2016届高考适应性考试、文、5）已知函数1,0()2,0x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，若()f a ＝－1，则实数a 的值为（ ）A 、2B 、±1 C. 1 D 、一1 【答案】C考点：函数值.3.(云南省玉溪市第一中学2016届高三次月考、文、4）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a 等于( )A. 2B.45 C ．12 D ．9【答案】A 【解析】试题分析：因为()00212f =+=,所以()()()202224ff f a a ==+=,解得2a =.故A 正确.考点：分段函数.24.（重庆巴蜀中学高2016级高三第二次月考、文、4）已知函数f(x)= 6x−log 2x ，在下列区间中，函数f(x)的零点所在区间为（ ）A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(2,4)D 、(4,+∞) 【答案】C 【解析】试题分析：因为26()log f x x x =-在定义域内是减函数，且26(2)log 2202f =-=>，261(4)log 4042f =-=-<，根据零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间(2,4)上，故选C. 考点：1.函数与方程；2.零点存在定理；3.函数单调性.5.（吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、文、3）下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是（ ）（A ）2y x = （B ）2xy = （C ）21log y x= （D ）sin y x = 【答案】C考点：函数奇偶性、函数的单调性.6. (安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学、文、4）下列函数中，随x(x>0)的增大，增长速度最快的是（ ）A. y =1，x ∈ZB. y=xC. y= 2xD. y=xe 【答案】D 【解析】试题分析：指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y ＝e x增长速度最快. 考点：函数图像.37.（广东省廉江一中2016届高三月考、文、6）函数)32(log 3++=x y a 的图象必经过定点P 的坐标为( ) A ．)3,1(- B ．)4,1(- C ．)1,0( D ．)2,2( 【答案】A 【解析】试题分析：令231x +=，则1x =-，3y =，因此定点为(1,3)P -，故选A. 考点：对数函数的性质.8.（广东省廉江一中2016届高三月考、文、7）已知函数，⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=3)1(3)21()(x x f x x f x 则(l)f 的值是( ) A ．121B ．81 C ．24 D ．12【答案】B考点：分段函数.9.（黑龙江省大庆铁人中学2016届高三第一阶段考试、文、5）定义在R 上的偶函数f(x)，对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，有2121()()0f x f x x x -<-，则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A 【解析】试题分析：∵对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠)，有2121()()0f x f x x x -<-，∴函数在[0,)+∞上单调递减，∴(3)(2)(1)f f f <<，∵函数是偶函数，∴(2)(2)f f -=，∴(3)(2)(1)f f f <-<. 考点：函数的奇偶性与单调性.10.(辽宁省五校协作体2016届高三上学期期初考试数学、文、7)设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】4试题分析：0x >时，()23,xf x x =+-由数形结合知，此时有一个零点。