数学归纳法(二)课件 推荐

例6、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。 2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时:xk+2+yk+2 =xk•x2 +yk•y2 = xk•x2+yk•x2-yk•x2 +yk•y2 =(xk+yk)•x2 - yk(x2-y2) =(xk+yk)•x2 - yk(x-y)(x+y),
f (k 1) 1 1 1 1 1 1
k 2 k 3
3k 1 3k 2 3k 3 3k 4
( 1 1 1 ) 1 1 1 1
k 1 k 2
3k 1 3k 2 3k 3 3k 4 k 1
1 1 1 2 1
2
1
3k 2 3k 4 3k 3 (3k 2)(3k 3)(3k 4)
∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。
练习：
1、求证：n3+5n能被6整除。
2、证明凸n边形对角线条数为f(n)= 1 n（n 3)
2
(n4)。
3、数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1 成等比数列。已知a1=1,b1=2,a2=3,求a4,b4,并猜想an,bn, 用数学归纳法证明。
。
证明：1）n=1时由前可知，公式成立。 2）假设当n=k(k∈N)时有：Sk=
k 1 k2
,
当n=k+1时：
1
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ Sk 1
+2
k 1 k2
1 Sk 1
2
1
k 3
Sk 1
k2
Sk 1
(k (k
1) 1 1) 2
∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N公式均成立。
例9、求证：f (n) 1 1 1 1 n 1 n 2 3n 1
证明： 1）、n 1时：f (1) 1 1 1 13 1,不等式成立。 11 1 2 1 3 12
2）假设n k（k N )时, 有：f (k) 1 1 1 1,
k 1 k 1) 2
, bn
(n 1)2 2
）
小结数学归纳法的应用（之二）：
1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或拆项的 方法；
2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；
3、“归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题 解
决问题的方法。
4、证明不等式时常用放缩法。
数学归纳法
（二）
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题 及不等式问题中的应用。
例4、用数学归纳法证明：42n+1+3n+2(n∈N)能被13整除。
证明：1）n=1时：4 2×1+1+31+2=91，能被13整除。 2）假设当n=k(k∈N)时, 42k+1+3k+2能被13整除， 当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1 = 42k+1•16+3k+2•3 = 42k+1•16+3k+2•16-3k+2•16+3k+2•3 =16(42k+1+3k+2)-13•3k+2 …………() ∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。 ∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。
∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除， 即当n=k+2时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何 三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 1 n(n-1).
2
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
2
2）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= 1 k(k-1),
2
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，
∴k=+11k条(直k-线1+交2)点= 1个k数(k=+f1()k=)+1k(=k+121k)([k(-k1+)1+)k-1]=f(k+1),
2
2
2
即当n=k+1时命题仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。
例8、已知数列{an}中，a1=
2 3
,其前n项和Sn满足：
an
Sn
1 Sn
2
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。
略解：S1=a1=
2 3
,S2=
3 4
,S3=
4 5
,S4=
5 6
.
猜想：Sn=
n1 n2
作业：
课本P66，P67。
例5、用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。
证明：1）n=1时：x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。 2）假设当n=k(k∈N)时有x2k - y2k能被x+y整除, 当n=k+1时：x2(k+1) - y2(k+1) = x2k+2 - y2k+2 = x2k • x2 - y2k • y2 = x2k•x2 - y2k •x2 + y2k •x2 - y2k •y2 =(x2k - y2k)•x2 +y2k(x2 - y2) …………（） ∵ (x2k - y2k)和(x2 - y2)都能被x+y整除， ∴（）式也能被x+y整除。 由以上可知，对一切n∈N， x2n-y2n都能被x+y整除。