数学实验第6次作业_线性规划

线性规划
一实验目的
1 掌握用MATLAB优化工具箱和LINGO解线性规划的方法；
2 联系建立实际问题的线性规划模型。

二实验内容
1 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需要按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：
证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%
B代办机构215 5.4
C政府14 5.0
D政府13 4.4
(1)政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。

问：(1) 若该经理有1000万元资金，应该如何投资？
(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该经理应该如何操作？
(3) 在1000万元的资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应该如何改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该如何改变？
初步解决：
(1) 首先确定决策变量，设投资五种证券的资金分别为x1、x2、x3、x4、x5(单位:万元)。

由于我们的目的是要使该经理投资所得的利润最大，再考虑到部分收益的纳税，所以可以构建以下目标函数：
Max z=0.043x1+0.054x2×0.5+0.05x3×0.5+0.044x4×0.5+0.045x5
然后来分析题目所给的约束条件
由投资总金额为1000万元可得：
x1+x2+x3+x4+x5≤1000
由政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元可得：
x2+x3+x4≥400
由所购证券的平均信用等级不超过1.4可得：
2x1+2x2+x3+x4+5x5
x1+x2+x3+x4+x5
≤1.4化简可得：
6x1+6x2−4x3−4x4+36x5≤0
由所购证券的平均到期年限不超过5年可得：
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5
x1+x2+x3+x4+x5
≤5化简可得：
4x1+10x2−x3−2x4−3x5≤0
非负约束条件：
x1、x2、x3、x4、x5≥0
将所得模型化为标准形，得到：
c=−[0.043，0.027，0.025，0.022，0.045]
A=[111
0−1−1
11
−10 66−4
410−1
−436
−2−3
]
b=[1000，−400，0，0]
然后在MATLAB中解决问题。

由于问题规模不大，所以采用单纯形法求解。

在命令栏中输入以下内容：
输出结果如下所示：
输入以下命令：
从以上的结果可以看出，当投资A类证券218.1818万元，C类证券736.3636万元，E类证券45.4545万元时，所得收益最大，为29.8364万元。

计算时可知，虽然B类证券的收益大，但是由于到期年限太长，所以最终不选择投资，D类证券虽然到期年限短，但是收益太小，而且还需要交税，所以也不选择投资该证券。

(2) 当借到不超过100万元的资金时，为了求出最优解，在这里直接假设经理借到了100万元，且全部用来投资，再来计算。

此时对于目标函数以及约束条件，唯一需要改变的是：
x1+x2+x3+x4+x5≤1100
此时在命令栏中输入以下命令：
输入以下命令：
从以上可以看出，当借到的资金为100万元时，此时的投资方案应该为A类证券240万元，C 类证券810万元，E类证券50万元，此时最大收益为32.82万元，需要偿还的银行利息为2.75万元，但是到期以后所得的收益增加了2.9836万元，所以可以得到结论，该经理应该选择借这100万元。

(3) 若证券A的税前收益增加为4.5%：
此时需要改变的是目标函数的系数矩阵
c=−[0.045，0.027，0.025，0.022，0.045]
在命令栏中输入以下内容：
输入以下命令：
从以上结果可以看出，当A类证券的收益增加为4.5%时，投资方案不需要改变，但是收益增加为30.2727万元。

若证券C的税前收益减少为4.8%：
此时需要改变的是目标函数的系数矩阵
c=−[0.043，0.027，0.024，0.022，0.045]
在命令栏中输入以下内容：
输入以下命令：
从以上可以看出，当C 类证券的收益减少为4.8%时，投资方案需要改变，此时应该投资A 类证券336万元，D 类证券648万元，E 类证券16万元，此时的税后收益为30.096万元。

2 某牧场主知道，对于一匹平均年龄的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质，20磅碳水化合物，45磅粗饲料。

这些营养成分是从不同的饲料中得到的，饲料及其价格在下表中列出。

建立数学模型，确定如何以最低的成本满足最低的营养需求。

蛋白质/磅碳水化合物/磅粗饲料/磅价格/美元
燕麦片/袋 1.0 4.0 2.0 3.50
饲料块/块 2.00.5 1.00.40
高蛋白浓缩料/袋 6.0 1.0 2.5 1.00
初步解决：
设每天提供的干草、燕麦片、饲料块、高蛋白浓缩料分别为x1(捆)、x2(袋)、x3(块)、x4(袋)，一天的总的成本为z(美元)，那么根据题目中的条件以及表格中的数据可以得到以下约束条件：
0.5x1+x2+2x3+6x4≥40，
2x1+4x2+0.5x3+x4≥20，
5x1+2x2+x3+2.5x4≥45，
还有非负约束x1、x2、x3、x4≥0；
需要最小化地目标函数为
z=1.8x1+3.5x2+0.4x3+x4；
化成标准形式之后，可以得到(由于要将不等号全部化为小于等于号，所以系数矩阵要加负号)：
c=[1.8，3.5，0.4，1]，
A=−[0.51
24
26
0.51 521 2.5
]，
b=−[40，20，45]，
然后在MATLAB中解决问题。

由于问题规模不大，所以采用单纯形法求解。

在命令栏中输入以下内容：
输出结果如下所示：
从上面的结果可以得到结论，当每天供应5捆干草，20块饲料块的时候，可以以最低的成本满足最低的营养需求，最低的成本为每天17美元。

在命令栏中输入以下内容：
得到结果如下：
可以得出结论，第一个不等式约束的Lagrange乘子为0，说明在一定范围内，当蛋白质的需求增加一个单位时，不需要改变食谱，而碳水化合物和粗饲料的量的增加则会影响到成本，当碳水化合物或者粗饲料的需求增加一个单位时，成本需要增加0.4美元或者0.2美元。