线代A试题与答案
线性代数期末考试试题A及解答
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故 可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为 为正交矩阵且 ， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六 证明题
1、若 阶矩阵 满足 ，求证 可逆，并求 。
2、设五阶正交矩阵 满足 ，求证：矩阵 的秩 。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2； 与 。
3、 ； 。4、 。
5、 6、 。
7、0； 。8、 ；2； 。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故 时， ，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为： ，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为 （ ， 为任意常数）…（12分）
四、 ，
得到 的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组 ，当 为何值时 能与对角形矩阵相似，求参数 的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵 。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换 以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵 的行列式 则 ， ， 的列向量组线性关。
大学线性代数A卷答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：杭州电子科技大学信息工程学院考试试卷（A）卷考试课程线性代数考试日期20XX20XXXX年1月20XXXX 日成绩课程号教师号任课教师姓名考生姓名学号年级专业（注意：答案务必写在答题纸相应位置，否则按零分处理）一．单项选择题（）(1) 二阶行列式等于（ C ）（2）已知，则在中，一次项的系数是（B）（3）设矩阵是同阶方阵，下列各式中肯定正确的是（C）（4）设矩阵满足, 则必有（A）(5) 设阶矩阵A的秩为r，则（B）（A）A的所有r阶子式不为零（B）A的所有r+1阶子式全为零（C）A 可逆（D）方程组AX=b一定有解（６）在方程组中，若方程的个数小于未知量的个数，则（C）（Ａ）必有无穷多个解（Ｂ）必有无穷多个解（Ｃ）仅有零解（Ｄ）一定无解（７）设Ａ为ｎ阶方阵，且，是的两个不同的解向量，则的通解为（ D ）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）（８）设２是可逆矩阵Ａ的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（B）（９）特征多项式相同是两个矩阵相似的（B）（Ａ）充分条件（Ｂ）必要条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）以上三者都不是（20XXXX）二次型的标准型是（A）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）二．填空（）（１）是三阶方阵且，则。
（２）=（３）。
（４）设, 则。
（５）向量能由，线性表示，则。
（６）设A是三阶方阵且，而, 则。
（７）如果二阶矩阵与相似，则，。
（８）矩阵的非零特征值是。
（９）二次型的矩阵为。
（20XXXX）实对称矩阵Ａ的各阶顺序主子式全大于零是Ａ正定的(充要)条件。
三．判断是非（）（1）设矩阵是同阶方阵，则由, 可得或（ F ）。
（2）一组向量中含有零向量，则这组向量必定线性相关（T）。
（３）解线性方程组时，对增广矩阵既可以施行初等行变换，也可以施行初等列变换（F）。
（４）实对称矩阵Ａ满足，则Ａ为正定矩阵（F）。
（５）正交矩阵的行列式等于１或者－１（T）。
四．计算题（）１.利用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案
3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得 分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、 填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已 知 4 阶 行 列 式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元 的 代 数 余 子 式 记 作 Aij ， 则
2 4 1 3
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
集 美 大 学 试 卷 纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
适用 学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷 卷别
考试 方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；
线性代数(A)及答案详细解析
b a b
b b a
当 2 7 时， （-7I-A ）=0，解得
1 / 2 3 1 ， 3 即为对应于 2 7 的线性无关特征向量。 1
= [a (n 1)b] 三. 解：
= [a (n 1)b] (a b) n1
, 则矩阵 A 的秩 rA
x ty z 0 2 x y z 0 ty 3 z 0
其是否可对角化. ( 10' ) 六. 用合同变换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 4x1 x2 2x2 x3 为标准型,并求变换 矩阵. ( 10' )
1 2 / 3
0 1 0 0
3 1 1 4 0 11 0 0
故向量组α 1 ,α 2 ， α 3 ， α 4 线性相关， 其一个极大无关组为α 1 ，α 2 ，α 4 或α 1 , α
1
2 2 4 = ( 2) 2 ( 7) =0 2
5 2 0 0 2 0 1 0
2 5 4 1 , B 2 1 ,则 A-2B 1 2
1
四. 判断向量组α 1 =(1,-1,2,4), α 2 =(0,3,1,2),α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(1,-2,-2,0)的线性相关性,并求出它的一个极大无关组. ( 10' )
2 1 3 3 3 6
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南 京 理 工 大 学 课 程 考 试 答 案 （ A）
课程名称：
试卷编号： 组卷日期： 2005 年 学生班级： 线性代数 考试方式： 闭卷 学分 2 教学大纲编号： 考试时间： 120 分钟 满分分值： 100 沐雨芳
线性代数试题A答案[大全5篇]
线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
线性代数试题A(附答案)
第二学期试卷（A ）一、填空题。
（4′×5）1、行列式_________a b bb a b b b a=a 立方-3ab^+2b 立方2、已知4阶行列式D 中第二列元素以次为－1，2，0，1，它们的余子式以次为5，3，－7，4，则D=____15_______3、设A 为三阶矩阵，且2A =，则1_______,A A -=4______T AA =4*3______,______A A == 8|A*|=|A|n-4、线性方程组12340x x x x +++=的基础解系含有________个解，并求出它的一个基础解系为____________5、如果0x 是非齐次方程组的一个解，1x 是其导出组的一个解，则_________是非齐次方程组的一个解。
二、单项选择题（2′×10）1、有矩阵3*2A ，2*3B ，3*3C ，下列（ ）运算可行A ．ACB ．BC C ．ACB Ｄ．AB －BC2、设n 阶行列式ij a 中等于0的元素个数大于2n n -，则此行列式ij a 的值为（ ）A ．－２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．１或－１ ３、若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则123123123a a a b b b c c c =（ ） A ．－3 B ．３ Ｃ．－６ Ｄ．６ ４、下列结论恒成立的是（ ）A ．若2A O =，则A ＝OB ．若2A A =，则A ＝O 或A=IC ．若AX ＝AY ，且A O ≠,则X ＝YD ．若AX ＝AY 且A O ≠，则X ＝Y5、设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（ ）A ．()22T T A A =B ．()11122A A --= Ｃ．()()()()1111T T A A ----=Ｄ．()()()()111T T T A A ---=６、若A 满足（ ），则矩阵A 的秩为rA ．存在r 阶子式不为0B ．任意r ＋1阶子式均为0C ．不为0的子式的阶数小于等于rD ．不为0的子式的最高阶数为r7、初等矩阵（ ）A ．都可以经过初等变换为单位阵B 所对应的行列式的值为1C ．相乘仍为初等矩阵D ．相加仍为初等矩阵8、下列向量组中，线性无关的向量是（ ）A ．（1，2）（3，4）（7，8）B ．（0，0，0）（1，2，4）C ．（1，2，3）（－1，－2，－3）D ．（1，2，3）（3，4，7）9、若12,,,m a a a …，（m ≥2）线性相关，那么向量组内（ ）可由向量组的其余向量线性表示A ．任何一个向量B ．没有一个向量C ．至少有一个向量D ．至多有一个向量10、若线性方程组1231231232000x x x kx x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则（ ） 只要是D=0就行了！A ．k ＝1B ．k ＝2C ．k ＝－1D ．k=－2三、设A ＝301110014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵A 满足关系式AX ＝2X ＋A ，求X （18′）(5 -2 -2) （4 -4 -6）（-2 2 5）第一个括号第一行，第二个第二行，第三第三行四、λ取何值时，线性方程组12312312311x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解，并求其解 （17′）利用矩阵的秩，只有当入—1≠0 就可以算出入=1然后代入其中的那个矩阵，就可以了五、设向量组123412131111,,,,13354526αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1．求向量组1234,,,αααα的秩2．求该向量组的一个极大无关组3．将其余向量用此极大无关组线性表示 （15′）六、设矩阵A 满足22A A I O --=，证明：A ，A ＋2I 都可逆，并求11,(2)A A I --+ （10′）。
线性代数A习题册答案
2.设 为 阶对称矩阵, 为 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是[]
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
解: ,故应选(A).
3.设 为 阶方阵, 为正整数,则下列结论中不正确的是[]
(A)若 可交换,则 ；(B)若 可交换,则 和 可交换；
(C)若 和 可交换,则 可交换；(D)若 和 可交换,则 可交换.
5.设 为 阶方阵,则下列结论正确的是[]
(A) 且 ；(B)若 ；
(C) 或 ；(D) .
解: 或 ,故(C)成立；若 ,则 ,但 ,故(A)不成立； ,但 ,故(B)不成立； ,但 ,故(D)不成立.故应选(C).
三、设 , 求
解：
, .
四、设 ,计算 .
解:
当 时, ,所以 ；
当 时, ,所以 .
.由于 线性无关， 所以 ，因 不全为零，所以方程组有非零解，因此 ，得 或 .故应填 或 .
3.设 维向量 满足条件 是任意的 维向量，若 线性相关，则 .
解： 线性相关,由定义，存在不全为零的数 ，使得 ,即 .由于 是任意的 维向量，故只需取 ，且令 ，由此可得 ，得 ，故应填 .
二、选择题：
解：由 得 ，即 ，因 ， 可逆，上式两边左乘 ，得 ，故应填 .
4.设 均为三阶方阵，将 的第一行的 倍加到第三行得 ,将 的第一,二列互换得 .已知 ,则 .
解：由题设 ，所以 ，因而 ，故应填 .
二、选择题：
1．设 是同阶方阵,且 可逆, 不可逆,则下列矩阵中一定可逆的矩阵是[]
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
1．向量组 线性无关的充分必要条件是[]
(A)有一组全不为零的数 ，使得 ；
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《线性代数》试题一、填空题1.四阶行列式ij a 的展开式中，项21133442a a a a 所带的符号是 号.2.设矩阵1012A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则2A = ；nA = . 3.设A 是2阶方阵，B 是3阶方阵，2A =，3B =-，则TA B -= .4.线性方程1230x x x ++=的一个基础解系是 .5.若矩阵A 满足2A A =，且1A =，则A 的特征值为 .6.若矩阵0011100a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭有三个线性无关的特征向量，则a b += .7.四阶行列式ij a 的展开式中，项13342142a a a a 所带的符号是 号.8.设矩阵1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2A = ；nA = .9.设A 是n 阶方阵，2A =-，则13()TA A -= .10.已知向量组123,,ααα线性无关，向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = .11.若矩阵A 有个特征值为1，则3223B A A =-有个特征值为 . 12.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)T T a --，则a = .13.多项式21()3201xf x xx x-=-中2x 项的系数是 . 14. 设101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵nA 中位于第三行第三列的那个元素是 .15.设A 为三阶方阵，4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16. 若向量(1,1,1)与(1,2,)a -正交，则a = .17.若0λ=是方阵A 的一个特征值，则A -= . 18.二次型121323f x x x x x x =++的秩等于 .19．若方阵A 满足2A E =，则A 的特征值必定为 .二、选择题1.若四阶行列式中，第三行元素依次为1,2,0,1-，对应的余子式依次为5,3,7,4-，则该行列式的值为 ( )（A ）3- （B ）5- （C ）15- （D ）52.若A 为n 阶可逆矩阵，*A 为伴随矩阵，则行列式*A = ( )（A ）1n A - （B ）nA （C ）1A - （D ）A3.若矩阵A 中所有的r 阶子式都为零，则必有（ ）（A ）()1r A r =- （B ）()1r A r ≤- （C ）()1r A r <- （D ）()r A r =4.已知向量组123,,ααα线性无关，若向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2- （D ）1-5.若矩阵20022311x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10002000y -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）0,2x y ==- （B ）1,2x y == （C ）2,1x y == （D ）1,1x y =-=- 6.若三阶行列式的值为零，则该行列式中 ( )（A ）一行元素全为零 （B ）两行元素相等（C ）两行元素对应成比例 （D ）有一行可以用另外两行线性表出 7.若A 为3阶方阵，*A 为伴随矩阵，则*(2)A = ( )（A ）*2A （B ）*4A （C ）*8A （D ）*16A 8.若矩阵A 中有两个r 阶子式不为零，则必有（ ）（A ）()r A r = （B ）()r A r ≥ （C ）()r A r < （D ）()r A r > 9.设同阶非零矩阵,A B 满足AB O =，则A 的行向量组与B 的行向量组 ( ) （A ）分别都线性无关 （B ）只有一个线性无关 （C ）分别都线性相关 （D ）以上答案均错10.若矩阵10000201a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10000002b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）1,1a b ==- （B ）1,1a b == （C ）1,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 11.若同阶方阵,A B 满足AB O =,则( )（A ）必有A O = （B ）当B O ≠时，A O = （C ）,A B 都可能不是零阵 （D ）,A B 至少有一个为零阵12.若m 个n 维向量线性无关,则( )（A ）再增加一个向量后也线性无关 （B ）再去掉一个向量后仍线性无关 （C ）其中只有一个向量不能被其余的线性表出 （D ）以上都不对13.若三阶矩阵123a b A c d e f -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有两个特征值为1-和1,则另一个特征值为( ) （A ）0 （B ）2 （C ）3 （D ）414.若三阶方阵A 与对角阵111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似,则2006A =( ) （A ）E （B ）A （C ）E - （D ）2006A15.若n 阶方阵A 与B 合同,则必有( )（A ）A 与B 等价（B ）A 与B 相似（C ）A B =（D ）AX O =与BX O =同解 16.设n 阶方阵A 满足22A A E O --=，则必有( ) （A ）2A E = （B ）A E =- （C ）A E -可逆 （D ）A 不可逆17.设A 是13⨯矩阵，而123246369T A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则TAA =( )（A ）14 （B ）9 （C ）6 （D ）1518.设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵，若2A =，则*A =( )（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）819. 向量组1,,m αα线性无关的充分必要条件是( ) （A ）若11m m k k O αα++=，则常数1,m k k 全为零（B ）存在不全为零的常数1,m k k ，使11m m k k O αα++≠ （C ）存在全不为零的常数1,m k k ，使11m m k k O αα++≠（D ）该向量组的秩小于m20.设A 是m n ⨯阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为AX =O ，若m n <，则( ) （A ）AX b =必有无穷多解 （B ）AX b =必有唯一解 （C ）AX =O 必有唯一解 （D ）AX =O 必有非零解三、计算题1．计算行列式1111111111111111x x x x ---+---+--.2．设矩阵111231104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且3AX A X -=,求矩阵X . 3．求向量组(1,3,4,2)a =-，(2,1,3,1)b =-，(3,1,2,0)c =-，(4,3,1,1)d =-的秩和一个极大无关组，并问向量组的所有极大无关组有几组？.4．求行列式10121103111010203040---的第四行元素的代数余子式之和.5．设矩阵011221103A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AX A X -=,求矩阵X . 6．求向量组(1,0,1,0)a =，(1,1,0,1)b =-，(1,2,1,2)c =--，(1,1,0,1)d =--的秩和一个极大无关组7.设矩阵201020103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121212B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且X AX B =+,求矩阵X四、计算、讨论题1．设矩阵12010215A t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量314b t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪+⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组有无穷多解，求t 的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵74147144A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的全部特征值为1233,11λλλ===,求：(1)a 的值；(2) 311λ=对应的一个特征向量；（3）判别矩阵A 可否相似对角化？3．写出三元二次型22212312132344224f x x x ax x x x x x =+++-+的矩阵．求a 的取值范围，使得f 是正定二次型.4．设矩阵121201101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，向量12b k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且AX b =有解，求,a k 的值和非齐次线性方程组的全部解.5．已知矩阵00111100A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求A 的全部特征值；（2）若A 相似于某个对角矩阵，求a 的值；（3）在（2）的情况下，求出A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量．6．用矩阵形式表示三元二次型222123233222f x x x x x =+++，并判别f 是否为正定二次型？7.讨论k 为何值时，线性方程组12312312312202x x x x kx x kx x x k+-=-⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ （1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求通解.五、证明题1.设12,αα是矩阵A 的对应于两个不同特征值12,λλ的特征向量，求证: 12,αα线性无关.2.设*X 是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,X X 是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证:向量组*X ，1X ，2X 线性无关.答案：一、填空题 1.负. 2.1034⎛⎫⎪⎝⎭；10212n n⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 3.24. 4.(1,1,0),(1,0,1)T T--. 5.1. 6.0. 7.负. 8.1304⎛⎫ ⎪⎝⎭；12102n n⎛⎫- ⎪⎝⎭. 9.3n. 10.1-. 11.1-. 12.1 13.2； 14.n ； 15.14； 16.1； 17.0； 18.3； 19．1或1-. 二、选择题1.C .2.A .3.B .4.D .5.A .6.D .7.B .8.B .9.C . 10.A11.C 12.B 13.D 14.A 15.A 16.C ；17.A ；18.B ；19.A ； 20.D 三、计算题1．4x . 2．133320037⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭.3．2r =；,a b 为一个极大无关组；极大无关组有6组．4．1-． 5．122210025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. 6．3r =；,,a b c71()X E A B -=-201121201012121011200---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、计算、讨论题1．3t =；全部解为123122x C x C x C =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩或122101X C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．（1）3a =；（2）110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（3）不可相似对角化．3．1142124a A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；21a -<<．4．1a =，1k =-；11212314232x C x C C x C x C =-+⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩或12310211010001X C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5．（1）121λλ==-，31λ=；（2）故1a =；（3）101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．6．记300021012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，T f X AX =；f 是正定二次型．7（1）当2k =时，因为()2()r A r A =≠，所以方程组无解； （2）当2k ≠且1k ≠-时，因为()()3r A r A ==，所以方程组有唯一解； （3）当1k =-时，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，且此时11111011/303020102/300000000A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即方程组的同解于 1321323x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所求通解1/312/3001X C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (12)五、证明题提示：设有常数12,x x 使得1122x x O αα+=，然后推出10x =，20x =.。