(浙江专用)高考数学一轮复习 专题8 立体几何与空间向量 第58练 立体几何中的轨迹问题练习(含解析

第58练 立体几何中的轨迹问题[基础保分练]1.在等腰直角△ABC 中，AB ⊥AC ，BC ＝2，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，D 为BC 边上一个动点，△ABD 沿AD 翻折使BD ⊥DC ，点A 在平面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是( )A.线段NO 为定长B.CO ∈[1，2)C.∠AMO ＋∠ADB ＞180°D.点O 的轨迹是圆弧2.已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1与平面A 1B 1C 1D 1垂直，且AD ＝AB ，E 为CC 1的中点，P 在对角面BB 1D 1D 所在平面内运动，若EP 与AC 成30°角，则点P 的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆3.(2019·某某二中模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝2π3，点E是线段AD 上的一个动点.将△EDC 沿EC 翻折得到△ED ′C (仍在平面ABCD 内)，连接D ′A ，则D ′A 的最小值为( )A.27－2B.27－1C.7D.7＋14.(2019·嵊州模拟)如图，已知矩形ABCD ，E 是边AB 上的点(不包括端点)，且AE ＝AD ，将△ADE 沿DE 翻折至△A ′DE ，记二面角A ′—BC —D 为α，二面角A ′—CD —E 为β，二面角A ′—DE —B 为γ，则( )A.α>βB.α<βC.β≥γD.β≤γ5.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E—AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2 2.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.46.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABCF.设直线FD与平面ABCF所成的角为θ，则sinθ的最大值为( )A.12B.24C.23D.137.在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变；④若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1.其中真命题的序号是( )A.①②③B .①②④C .①③④D .②③④8.如图，平面α⊥β，α∩β＝l ，A ，B 是l 上的两个点，C ，D 在α内，DA ⊥l ，CB ⊥l ，AB ＝BC ＝2AD ＝6，在平面β上有一动点P 使得PC ，PD 与β所成的角相等(P ∉l )，设二面角P —CD —B 的平面角为θ，则tan θ( )A.仅有最大值B.仅有最小值C.既有最大值又有最小值D.无最值9.如图，在四面体D —ABC 中，AD ＝BD ＝AC ＝BC ＝5，AB ＝DC ＝6.若M 为线段AB 上的动点(不包含端点)，则二面角D —MC —B 的余弦值的取值X 围是__________.10.(2019·某某模拟)如图，在棱长为2的正四面体S —ABC 中，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若PS ＝324PQ ，则PC 长度的最小值为________.[能力提升练]1.(2019·某某某某十校联考)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是直线CD ，AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分2.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1.在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长.则当点P运动时，|HP|2的最小值是( )A.21B.22C.23D.253.如图在正四面体(所有棱长都相等)D－ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD＝30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为( )A.6＋24B.6－24C.32 D.124.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，若直线AB与a所成角为60°，则AB与b所成角为( )A.60°B.30°C.90°D.45°5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，平面区域W由所有满足A1P≤5的点P组成，则W的面积是____________，四面体P—A1BC的体积的最大值是________.6.(2019·浙大附中模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎢⎡⎦⎥⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________.答案精析基础保分练1．C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7．C 8.D9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－916，916解析 取AB 的中点M 0，则CM 0＝DM 0＝4，AM 0＝BM 0＝3， ∵DM 0⊥AB ，CM 0⊥AB ，DM 0∩CM 0＝M 0， ∴AB ⊥平面DM 0C ，又AB ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面DM 0C ，交线为M 0C . 过点D 作DO ⊥M 0C ，则DO ⊥平面ABC .先设点M 在线段M 0B 上运动，作OG ⊥MC ，连接DG ，则∠DGO 为二面角D —MC —B 的平面角的补角． 在△DM 0C 中，cos∠DM 0C ＝42＋42－622×4×4＝－18，sin∠DM 0C ＝378，∴DO ＝4×378＝372，OM 0＝12.设MM 0＝t ，则CM ＝42＋t 2，OC ＝4＋12＝92，又△OGC ∽△MM 0C ⇒MM 0OG ＝CM OC ⇒OG ＝9t 2t 2＋16， 在△DOG 中，DG ＝OG 2＋DO 2＝6t 2＋7t 2＋16， ∴cos∠DGO ＝OG DG ＝3t4t 2＋7，又t ∈[0,3)，∴cos∠DGO ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，916，由对称性知，二面角D —MC —B 的余弦值的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－916，916. 10.112解析 作PH ⊥AB 于点H ，连接QH ，则∠PHQ 为二面角S —AB —C 的平面角，设AB 的中点为G ，S 在平面ABC 内的射影为O ′(O ′为△ABC 的中心)，连接SG ，GO ′，SO ′，则∠SGO ′也是二面角S —AB —C 的平面角，则sin∠PHQ ＝PQ PH ＝sin∠SGO ′＝SO ′SG ＝223，所以PH ＝324PQ ，所以PH ＝PS ，所以点P 的轨迹是侧面SAB 内以AB 为准线，以S 为焦点的抛物线，SG 的中点O 是抛物线的顶点，O 到C 的距离就是PC 的最小值，此时由余弦定理可知，PC 2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋(3)2－2×32×3×13＝114，所以PC min ＝112. 能力提升练1．B [把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值，是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在以D 1为顶点的圆锥的侧面上，又∵点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， ∴点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.]2．B [点P 到平面CDD 1C 1距离就是点P 到直线CC 1的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线CC 1的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以CC 1为准线的抛物线，在面A 1ABB 1中作HK ⊥BB 1于K ，连接KP ，在Rt△HKP 中，|HK |2＋|PK |2＝|HP |2，而|HK |＝4，要想|HP |2最小，只要|PK |最小即可，由题意易求得|PK |2min ＝6，所以|HP |2最小值为22，故选B.]3．A [以AD 为轴，∠DAP ＝30°，AP 为母线，围绕AD 旋转一周，在平面BCD 内形成的轨迹为椭圆，当且仅当点P 位于椭圆的短轴端点(图中点M 的位置)时，∠P ′AB 最大，此时AD ⊥DM ，且DM ∥BC .设正四面体D －ABC 的各棱长为2，在Rt△ADM 中，AD ＝2，∠MAD ＝30°，则MD ＝23，AM ＝43.过点D 作正四面体D －ABC 的高DO ，O 为底面正三角形ABC 的中心，连接AO ，作MP ′⊥平面ABC 于点P ′，连接P ′O ，并延长交AB 于点N ，因为DM ∥BC ，MP ′⊥平面ABC ，DO ⊥平面ABC ，所以MP ′∥DO 且MP ′＝DO ，四边形MP ′OD 为矩形， 所以P ′O ＝DM ＝23，ON ＝23，所以P ′N ＝23＋23. 又在正四面体D －ABC 中，AO ＝32×2×23＝233， 所以DO ＝AD 2－AO 2＝263，所以MP ′＝263.在Rt△AMP ′中，AP ′＝AM 2－MP ′2＝263，于是在△AP ′N 中，由正弦定理可得23＋23sin∠P ′AB＝26332，解得sin∠P ′AB ＝6＋24，故选A.]4．A [由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体棱长为1，故|AC |＝1，|AB |＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 为坐标原点，以CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (1,0,0)，A (0,0,1)，直线a 的方向单位向量a ＝(0,1,0)，|a |＝1，直线b 的方向单位向量b ＝(1,0,0)，|b |＝1， 设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)， 其中θ为B ′C 与CD 的夹角，θ∈[0,2π)， ∴AB ′在运动过程中的向量 AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2，AB →与b 所成夹角为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4， AB →与a 所成夹角为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4， |cos β|＝|AB →·b ||AB →||b |＝|cos θ|2，|cos α|＝|AB →·a ||AB →||a |＝|sin θ|2，当AB →与a 夹角为60°时，即α＝π3，|sin θ|＝2|cos α|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3＝22， 当AB →与a 的夹角为120°时，α＝2π3，|sin θ|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3＝22， ∵cos 2θ＋sin 2θ＝1， ∴|cos β|＝22|cos θ|＝12， ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴β＝π3或2π3，此时AB 与b 所成角为60°.] 5.π443解析 由题意可知，满足A 1P ≤5的点P 是以A 1为球心，5为半径的球及其内部的点，又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动，所以平面区域W 是以A 为圆心，1为半径的圆的14，所以可知W 的面积是π4；点A 1到平面PBC 的距离为h ＝2，所以四面体P —A 1BC 的体积为13·h ·S △PBC ＝23·S △PBC ，所以当点P 是AD 的中点时，S △PBC 取得最大值为2，四面体P —A 1BC 的体积取得最大值43.6.312π 解析 如图1，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图2中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，以AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面．又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以运动轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.。