一元微积分大一知识点总结

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大学数学基础教程：一元函数微积分

大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。

这个说法很抽象。

说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。

这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。

这些是变化的，我们称之为变量。

中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。

因此从函数开始说起。

函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。

对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。

这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。

函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。

研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。

掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。

二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。

因此首先学习无穷小量。

定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。

这个需要好好理解。

掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。

无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。

这些概念要熟记。

三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。

好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。

对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。

通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。

数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。

这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。

一元微积分(第一章函数、极限、连续)

第一章函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1y y xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤，其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ； B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤，则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降．不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称；若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠．（主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =+的奇偶性．【奇函数】【例2】设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数．【解】因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、基本初等函数【掌握基本初等函数的性质及图形】（反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---x y a = （0,1a a >≠），x y e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠）， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、复合函数、反函数、初等函数【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f u u x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒=3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。

一元函数积分知识点完整版

（2）（）
（3）
（4）
其中可令，，则，再利用分部积分法得到递推公式求解。
问题15：
按照自己喜好填写的值，再按照上面方法求积分。
十五．考察三角有理式的积分
讲解：所谓三角有理式是指以与为变量的有理函数，即为。此时总可以采用万能代换使被积函数有理化，即
问题16：
求下列不定积分：
十六．利用定积分的几何意义求定积分的值
讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。
常见的情形有：
问题5：
求
三．考察基本积分表
讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。
四．考察分项积分方法
讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。
问题6：
2.若
则其可化成，令
显然此时（否则被积函数无意义），令，则可化成，此时令（）
问题10：
求下列不定积分：
十．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）
讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有，的根式。
对于第一个可令，则；
对于第二个可令，则，再转化为有理函数积分。
如果被积函数中同时含有，，… ，其中，，是分数，则令，其中是，，分母的最小公倍数。
（2）（）
（3）
二十四．考察常用的定积分计算方法（复习类）
讲解：你需要复习知识点六到知识点二十（除了知识点九）。
问题25：
（1）
（2）
二十五．考察分段函数的积分（复习类）
讲解：你需要复习知识点八，知识点十一。
问题26：
设函数在内满足，且，求

一元微积分大一知识点

一元微积分大一知识点微积分是数学中的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数和积分等内容。

在大一学习微积分时，需要掌握一些基本的知识点。

本文将介绍一元微积分中的一些重要概念和技巧。

一、函数与极限函数是微积分的基础，它描述了自变量和因变量之间的关系。

在研究函数时，我们常常需要考虑函数在某一变量趋于某个值时的极限。

极限可以理解为函数在某一点附近的表现，通过计算极限我们可以了解函数的性质。

极限的计算方法有很多种，比如代入法、夹逼法、洛必达法则等，具体的方法选择要根据题目的要求来决定。

在计算极限时，需要注意特殊点的处理，比如无穷大或无穷小的情况。

二、导数与微分导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的计算可以用极限的方法，也可以用几何方法，具体要根据题目要求来选择。

常见的导数计算公式有常数法则、幂函数法则、指数函数法则和三角函数法则等。

在应用中，导数有多种含义，比如表示曲线的切线斜率、函数的增减性、最值点等。

微分是导数的一个应用，它可以用于近似计算函数的变化量，比如用导数计算函数在某一点的增量。

三、积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数在一定区间上的累积变化量。

积分的计算方法有很多种，比如不定积分、定积分、换元法和分部积分等。

选择合适的计算方法需要根据题目的要求来决定。

定积分是积分的一种特殊形式，它表示函数在一定区间上的面积或曲线长度。

计算定积分时，要注意积分上下限的确定和被积函数的性质。

如果被积函数是不连续的，需要进行分段积分。

四、微分方程微分方程是描述变化率与未知函数的关系的方程。

它在物理、工程、经济等领域有广泛应用。

解微分方程的过程中常常需要使用到导数和积分的知识，可以通过定解条件求解常微分方程的特解。

常见的微分方程包括一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程和二阶线性齐次微分方程等。

解微分方程的方法有很多种，比如分离变量法、常数变易法、特征方程法和拉普拉斯变换法等。

五、泰勒级数与近似计算泰勒级数是一种用无穷项的多项式来表示函数的方法。

大学微积分总复习提纲

2
微积分（一） calculus
第二章极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章函数
初等函数分段函数
定义域、值域奇偶性周期性有界性反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章函数
经济学函数
需求与供给函数成本函数收益函数利润函数库存函数
边际与弹性最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章导数与微分
基本公式
求导数
四则运算链式法则反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限极限四则运算未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法

数学基本知识：一元微积分

数学基本知识：一元微积分在极限论中已经知道，初等函数在其自然定义域内是各点连续的，相关函数在定义域内的极限仅是计算其函数在极限点上的值即可，这是一件简单到几乎无意义的事情。

自然，《高等数学》不可能如此的简单，总得找一些不那么平凡的事情才可能有非凡的拓展。

对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限：g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x上式中的x0暂视为一个常数。

显然，函数g(x)在其x=0的点上无定义（即此点不属于g(x)的自然定义域）。

此外还可看出，若要使g(x)在x=0点上为第一类间断点（以后可以看到这是个要求满足的基本条件），就必须要求lim[x→0]F(x0+x) = F(x0)，即F(x)在x=x0点连续。

现在就讨论函数g(x)在x=0点上的极限。

由于g(x)在x=0点上非连续，故不可能通过此点上的函数值（g(0)无定义）得其极限。

如下分几种情况讨论：1）F(x)在x0点上不连续。

显然，lim[x→0] g(x)发散。

2）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限发散。

3）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在但不相等。

4）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在且相等。

上述情况1和2中，g(x)在x=0点上都无极限存在。

而在情况3和4中，可以通过g(x)在x=0点上所存在的左右极限来定义函数F(x)的某些特性，即以后要看到的微分（导数）。

微分其实就是极限论中的待定型，而由于待定型自身就是个随各种问题变化无穷的东西，所以说微分是个适应性很强的分析工具。

如果lim[x→0] g(x)存在，则得到一个与x0有关的数，令其为f(x0)（或F'(x0)）。

再将前面暂视为常数的x0视为自变量，用x代替，则得到一个与F(x)关联的新函数f(x)（以后会知道这就是F(x)的导函数）。

一元微积分 (第四章不定积分)

第四章不定积分一、概念【理解原函数与不定积分的概念】若()()F x f x ¢=，则称()F x 是()f x 的一个原函数．()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记为()()f x dx F x C =+ò，其中()()F x f x ¢=．二、基本积分公式【掌握不定积分的基本公式】kdx kx C =+⎰ 11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）ln xxa a dx C a=+⎰ x x e dx e C =+⎰ 1ln dx x C x =+⎰ sin cos xdx x C =-+⎰ cos sin xdx x C =+⎰2sectan xdx x C =+⎰ 2csc cot xdx x C =-+⎰21arctan 1dx x C x =++⎰ arcsin x C =+sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰ln(x C =+ln(x C =++2211arctan x dx C a x a a =++⎰ arcsin x C a=+ 三、求积分的四种方法【掌握不定积分的凑微分法、第二换元法与分部积分法,会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分】1.公式法【例1】求22221111()arctan (1)1dx dx x C x x x x x=-=--+++⎰⎰. 【例2】求 22tan (sec 1)tan xdx x dx x x C =-=-+⎰⎰.2.凑微分（第一换元法）： ()()f x dx df x ¢=．常见凑法：11,11x dx dx μμμμ+=≠-+， 1()(0)dx d ax b a a =+≠ ，1ln dx d x x=，x xe dx de = ， sin cos xdx d x =- ， cos sin xdx d x =21arctan 1dx d x x=+， 2sec tan xdx d x =， 2csc cot xdx d x =- 【例1】求 222221111()2222x x t t x t x xedx e d x e dt e C e C ---=-=---=-+=-+⎰⎰⎰.【例2】求11(2ln )ln 2ln (2ln )2ln dx d x x C x x x =+=++++⎰⎰【例3】求 2arctan 1x xxe dx e C e=++⎰. 【补例】求 111ln(1)111x x x xx x x e e e dx dx dx x e C e e e ⎛⎫+-==+=+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰【补例】求 2221111ln(1)(1)(1)1(1)1x x x x x x x x x e e e dx dx dx x e C e e e e e ⎛⎫+-==-=++++ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰【例4】求22arcsin x C =-=+.【例5】求22211sin 11cos tan sec 1sin cos cos cos x dx dx dx d x x x C x x x x -==+=-++⎰⎰⎰⎰.【例6】求C ==-=.【例7】求211114()ln 3454151dx x dx C x x x x x -=-=+---++⎰⎰. （分母判别式大于零，拆分） ()22113arctan 6132243dx x dx C x x x -==+-++-⎰⎰【补例】（分母判别式小于零，配方）222222221(613)31(613)361326136132613613133ln 613arctan 222xdx x x d x x dx dx dxx x x x x x x x x x x x x C '-+-+=+=+-+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰【例8】【例9】求32222322111(1)(1)2221(1)3x x x C ==+-+=+原式 (或令tan x t =)【例10】求2arcsin 2x C -==+.3.分部积分公式：()()()()()()()f x dx u x dv x u x v x v x du x ==-⎰⎰⎰．被积函数为“反对幂三指”的某两个相乘时，考虑用分部积分公式.选()u x 的原则：“反对幂三指”读在前面的作()u x ；或不易凑进去的作()u x ；若被积函数只有一项，该项即作为()u x ，总之要使右侧积分()()v x du x ⎰易求.【例1】求x x x x x xxe dx xde xe e dx xe e C ==-=-+⎰⎰⎰.【例2】求21ln(21)ln(21)ln(21)ln(21)212x x dx x x dx x x x x C x +=+-=+-++++⎰⎰ 【例3】求22222111arctan arctan arctan arctan arctan 2212x x xdx xdx x x dx x x x x x ==--++⎰⎰⎰（）=（）+C 【例4】求 ln ax xdx ⎰ 分11a a =-⎧⎨≠-⎩两种情况讨论.【例5】求 cos xe xdx ⎰cos cos cos cos cos sin cos sin cos (sin cos )x x x x x x x x x x xe xdx xde e x e d x e x e xdxe x xde e x e x e xdx ==-=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：则 1cos (cos sin )2xxx e xdx e x e x C =++⎰.解：原式11(1)[]ln(1)111111x x xx x x x x x x x e e x xd dx dx x e C e e e e e e+-=-=--=-+=-+-++++++++⎰⎰⎰ 【例7】求 2tan x xdx ⎰2tan x sin (sec 1)tan tan x cos ln cos x x x x x dx xd x xdx x x dx x x C=⋅=-=-=⋅-++⎰⎰⎰⎰221-21-2【例8】已知()f x 的一个原函数为2ln x ，求()xf x dx '⎰．解：由已知得： ()f x =212ln (ln )2ln x x x x x'=⋅= 2()ln f x dx x C =+⎰ 则222ln ()()()()ln 2ln ln xxf x dx xdf x xf x f x dx x x C x x C x'==-=⋅-+=-+⎰⎰⎰4.第二换元法：()x=()f x dx f j j j j ⅱ蝌令（t ）,dx=（t ）dt（t ）（t ）dt ．被积函数中含根号，若能用凑微分方法积分就用凑微分，若不能就用第二换元法把根号换掉．直接代换：f dx òt ，倒代换：令1x t=三角代换：f dx òf dx òf dx ò 令sin x a t =令tan x a t = 令sec x a t =（利用辅助三角形）【例1】求222arctan 1dt t C C t -=-+=-+.【例2】求t t t e dt te e C C ==-+=-+⎰⎰t.【例3】求t = 则434x tdx t dt ==原式23333333444(ln(1))ln(1333411t t C t t t dt dt C t t -+++=⋅===++⎰⎰.t =，则222ln(1)1tx t dx dt t=+=+原式222arctan 11t dt t C tC t ++==⋅=⎰. 【例5】求解：令2sin x t = 则2cos dx tdt =2sin 24cos 2(1cos 2)2()2arcsin 222t x tdt t dt t C x C ==+=++=+⋅+⎰⎰【例6】求1x=t 1arcsin arcsin t C C x -=-+=-+令. 注：本题还可令sec x t =t =【例7】求解：令：tan x t = 2sec dx tdt = 则原式2sec tan arctan ln tan sec tan sec sec sec sec sec sec ln t t C x x Ct ttdt t t tdt td t t t tdt t t t ++=+⋅=⋅=⋅⋅==⋅-=⋅-⎰⎰⎰⎰ 【例8】()22arctan 1x dx x x +⎰解:令tan x t =，2sec dx tdt =，()2222222222arctan sec cot (csc 1)cot tan sec 21cot cot cot ln sin 22x t t dx tdt t tdt t t dt td t t t x x t tt t tdt t t t C ===-=--⋅+⎡⎤=---=-+-+=⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 则【例9】（2009数2、3）计算不定积分ln(1dx ⎰211t x t =⇒=-2221ln(1)11ln(1ln(1)1111t dx t d dt t t t t +=+=-⋅---+⎰⎰⎰则22111112111ln 11411(1)412(1)t dt dt C t t t t t t t ⎡⎤-⋅=--=++⎢⎥-+-++++⎣⎦⎰⎰而2ln(1)111ln(1ln 1412(1)t t dx C t t t ++=+-+=--+⎰则【例10】求211t x t =⇒=-则222112212ln 111t t dt dt t C t t t -⎡⎤=-=-+=--+=⎢⎥--+⎣⎦⎰⎰【例11】2222sin cos dxa xb x +⎰解：00a b ≠⎧⎨≠⎩时，原式=22222tan 1tan 1arctan(tan )tan tan 1()d x d x a x C a x a x b b ab b b==+++⎰⎰ 00a b =⎧⎨≠⎩时，原式=2222sec 11tan tan x dx d x x C b b b ==+⎰⎰ 00a b ≠⎧⎨=⎩时，原式=2222csc 11cot cot x dx d x x C a a a =-=-+⎰⎰【例12】 21002100(1)1(1)x x dxx t t t dt --=--⋅=⎰⎰ . 【例13】求()()()222(11)11111111xxx x x x xxe x e e e e e dx dx dx dx dx e d C x x x x x x x +-==-=+=++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰【例14】求()2ln 1ln 11ln 1111xx dx xd dx x x x xx ==-⋅=----⎰⎰⎰其他代换（换元）：如万能公式222222212sin cos tan 21111x du u u uu tg dx x x x u u u u-=====+++-，，　，【例】求22211222221sin 1(1)111tan 12dt dt dx C C t xx t t t t =⋅==-+=-++++++++⎰⎰⎰。

高等数学大一下知识点

高等数学大一下知识点
高等数学是大一下学期的一门重要课程，主要涵盖了以下几个知识点：
1. 一元函数微积分
1.1 函数的极限与连续性
1.2 导数与微分
1.3 函数的应用
2. 一元函数积分学
2.1 不定积分
2.2 定积分
2.3 微积分基本定理
3. 多元函数微积分
3.1 多元函数的极限与连续性
3.2 偏导数与全微分
3.3 隐函数与参数方程 3.4 多元复合函数求导
4. 多元函数积分学
4.1 二重积分
4.2 三重积分
4.3 曲线与曲面积分
5. 常微分方程
5.1 一阶常微分方程 5.2 高阶常微分方程 5.3 线性常微分方程
6. 线性代数
6.1 线性方程组与矩阵 6.2 矩阵的运算与性质 6.3 行列式与矩阵的逆
6.4 特征值与特征向量
7. 概率与统计
7.1 随机事件与概率
7.2 随机变量与概率分布
7.3 大数定律与中心极限定理
以上是高等数学大一下学期的主要知识点概述。

学习这些知识将为大家打下扎实的数学基础，为以后的学习和应用提供坚实的支持。

希望大家在学习过程中能够切实掌握这些知识，灵活运用于实际问题中，提高数学思维和解决问题的能力。

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一元微积分大一知识点总结
微积分是数学的一个重要分支，包括微分学和积分学两个部分。

在大一学习微积分的过程中，我们需要掌握一些基本的概念、理
论和技巧。

本文将对一元微积分大一知识点进行总结，希望能够
帮助大家复习和巩固所学内容。

一、函数与极限
函数是微积分的基础，我们需要了解函数的定义、性质以及常
见函数的图像和性质。

另外，理解极限的概念也是非常重要的。

1. 函数：
函数的定义：函数是一种映射关系，将自变量的值映射为因
变量的值。

常见函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角
函数等。

函数的图像：函数图像可以通过画出关键点、研究增减性和
凹凸性等方法得到。

极限的定义：函数在某一点无论从左侧还是右侧逼近时的极
限都相等，则称该函数在该点有极限。

极限的性质：极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存
在且相等。

二、导数与微分
导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

微分是导数的一个应用，主要用于求解函数的近似值和极值问题。

1. 导数：
导数的定义：函数在一点的导数表示了函数在该点的切线斜率。

导数的计算方法：可以利用极限的性质来求解导数，也可以
利用求导法则进行计算。

导数的性质：导数运算是线性的，满足求和、差、常数倍、
乘积、商等法则。

微分的定义：微分表示了函数的变化量与自变量的变化量之间的关系。

微分的应用：微分可以用来求函数的近似值，也可以用来研究函数的极值问题。

三、积分与定积分
积分是导数的逆运算，它可以用来求反函数、定积分以及解决曲线下面积的问题。

1. 不定积分：
不定积分的定义：不定积分可以看作是导数的逆运算，表示了函数的原函数。

不定积分的计算方法：可以利用基本积分公式和换元积分法进行计算。

2. 定积分：
定积分的定义：定积分表示了函数在一个区间上的累积效应，可以用来求解曲线下面积等问题。

定积分的计算方法：可以利用定积分的性质和积分区间的划
分来计算定积分。

四、微分方程
微分方程是一种包含导数的方程，它在各个学科中都有广泛的
应用，尤其在物理和工程领域中扮演着重要角色。

1. 一阶微分方程：
一阶微分方程的定义：一阶微分方程是含有一阶导数的方程。

一阶线性微分方程：形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程。

可分离变量的微分方程：形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程。

2. 高阶微分方程：
高阶微分方程的定义：高阶微分方程是含有高阶导数的方程。

齐次线性微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的微分方程。

非齐次线性微分方程：形如y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的微分方程。

总结：
通过对一元微积分大一知识点的总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程等内容。

这些知识是我
们学习微积分的基础，掌握好这些概念和方法，将为我们后续学
习和应用微积分打下坚实的基础。

希望本文对大家的学习有所帮助，同时也鼓励大家在学习中勤于思考，多多练习，不断提升自
己的数学素养。