建筑力学电子教案14静定结构的位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
《建筑力学》电子教案(1) 第十四章 静定结构的内力分析
部分，如图１４-８（ｂ）所示，梁AB、CD不依赖于其他部分的存 在，独立地与基础组成一个几何不变的部分，或者说本身就能独立地 承受荷载并维持平衡的部分。而梁BC则必须依靠基本部分才能保持 几何不变性，本身不能独立承受荷载，故称为附属部分。显然，若附 属部分被破坏或拆除，基本部分仍保持为几何不变；反之，若基本部 分被破坏或拆除，则附属部分将随之破坏。为了更清晰地表示各部分 之间的支承关系，把基本部分画在下层，而把附属部分依据支承关系 逐次画在上层，这种图形称为层次图，如图１４-８（ｃ）所示。图 １４-９中AB为基本部分，CE、EF为附属部分，其层次图如图１４９（ｃ）所示。
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第二节 静定梁
• 当控制截面间无荷载作用时，用直线连接两控制截面的弯矩值，即为 该段的弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，先用虚线连接两控制截 面的弯矩值，然后以此虚直线为基线，再叠加把此段梁看作简支梁在 控制截面间荷载作用下的弯矩图，从而作出最后的弯矩图。
• 应用叠加法作弯矩图一定要注意这里所述弯矩图的叠加是指竖坐标的 代数相加。
• 依据多跨静定梁的受力特点，内力计算的步骤如下：
• （１）先分析确定多跨静定梁的基本部分和附属部分，画出层次图。
• （２）依据层次图，从最上一层的附属部分开始，依次计算各单跨静 定梁的约束反力。
• （３）绘制内力图，先分别绘制每段单跨梁的内力图，然后将每段单 跨梁的内力图连在一起，从而得到总的内力图。
第十四章 静定结构的内力分析
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节 • 第六节
平面杆系结构 静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 静定组合结构的计算 静定结构的特性
返回
第一节 平面杆系结构
• 杆系结构是由若干杆件所组成的结构，在土木工程、机械、船舶、水 利等工程中应用很广。若组成结构的各杆的轴线和作用在结构上的荷 载都在同一平面上，则所对应的结构就是平面杆系结构。若组成结构 的各杆轴线和作用在结构上的荷载不在同一平面上，则对应的结构就 是空间杆系结构。
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第二节 静定梁
• 当控制截面间无荷载作用时，用直线连接两控制截面的弯矩值，即为 该段的弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，先用虚线连接两控制截 面的弯矩值，然后以此虚直线为基线，再叠加把此段梁看作简支梁在 控制截面间荷载作用下的弯矩图，从而作出最后的弯矩图。
• 应用叠加法作弯矩图一定要注意这里所述弯矩图的叠加是指竖坐标的 代数相加。
• 依据多跨静定梁的受力特点，内力计算的步骤如下：
• （１）先分析确定多跨静定梁的基本部分和附属部分，画出层次图。
• （２）依据层次图，从最上一层的附属部分开始，依次计算各单跨静 定梁的约束反力。
• （３）绘制内力图，先分别绘制每段单跨梁的内力图，然后将每段单 跨梁的内力图连在一起，从而得到总的内力图。
第十四章 静定结构的内力分析
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • 第五节 • 第六节
平面杆系结构 静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 静定组合结构的计算 静定结构的特性
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第一节 平面杆系结构
• 杆系结构是由若干杆件所组成的结构，在土木工程、机械、船舶、水 利等工程中应用很广。若组成结构的各杆的轴线和作用在结构上的荷 载都在同一平面上，则所对应的结构就是平面杆系结构。若组成结构 的各杆轴线和作用在结构上的荷载不在同一平面上，则对应的结构就 是空间杆系结构。
结构力学 静定结构的位移计算
在工程上，吊车梁允许的挠度 跨度； 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 高度。 高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移< 层高。 最大层间位移 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 铁路工程技术规范规定 桥梁在竖向活载下， 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 跨度
i i
FP
1
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 ） 去掉约束而代以相应的 反力， 反力，该反力便可看成外 则有： 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是： 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 对于任何可能的 可能 虚位移， 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。
3∆/2 P 2∆
XA = 0 ∆
YA = P / 2
YB = P / 2
P P 3∆ ⋅ ∆ + ⋅ 2∆ − P ⋅ =0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理 ）
原理的表述： 原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体， 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时， 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段内力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
A
单位位移法的虚功方程 单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理” 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理” 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为， 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是 对 虚位移原理 一个力系平衡的充分必要条件是:对 一个力系平衡的充分必要条件是 任意协调位移,虚功方程成立 虚功方程成立. 任意协调位移 虚功方程成立 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是 一个位移是协调的充分必要条件是:对 虚力原理 一个位移是协调的充分必要条件是 对 任意平衡力系,虚功方程成立 虚功方程成立” 任意平衡力系 虚功方程成立”。
i i
FP
1
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 ） 去掉约束而代以相应的 反力， 反力，该反力便可看成外 则有： 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是： 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 对于任何可能的 可能 虚位移， 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。
3∆/2 P 2∆
XA = 0 ∆
YA = P / 2
YB = P / 2
P P 3∆ ⋅ ∆ + ⋅ 2∆ − P ⋅ =0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理 ）
原理的表述： 原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体， 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时， 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段内力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
A
单位位移法的虚功方程 单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理” 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理” 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为， 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是 对 虚位移原理 一个力系平衡的充分必要条件是:对 一个力系平衡的充分必要条件是 任意协调位移,虚功方程成立 虚功方程成立. 任意协调位移 虚功方程成立 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是 一个位移是协调的充分必要条件是:对 虚力原理 一个位移是协调的充分必要条件是 对 任意平衡力系,虚功方程成立 虚功方程成立” 任意平衡力系 虚功方程成立”。
建筑力学静定结构位移计算
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
结构位移和刚度—静定结构在荷载作用下位移计算(建筑力学)
0 2 8EI
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
建筑力学教案静定结构的位移计算
9
MP图
c
ya yb
b
d
M图
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 相同的。
QA
MA
MB
QB
MB
qL2 8
10
MA
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
M图
解：1. 作实际状态的M图。
2. 设置虚拟状态并作
。
3. 代入公式计算得 2 2 yC 1 2 qL qhL ∆CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） EI EI 12EI
13
【例4】求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C B EI
EI
PL 2
PL 2
L
P
PL 4
PL 2
A
P 1
D
L
顶点
3L/8
5L/8
1
3L/4 L
2
L/4
8
3 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
a
L
则
b
MP图
c a
ya
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d 此时 ya=2/3×c－1/3×d yb=2/3×d－1/3×c
△ K=
yC EI
6
1. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述图乘的三个条件； （2）纵距yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
MP图
c
ya yb
b
d
M图
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 相同的。
QA
MA
MB
QB
MB
qL2 8
10
MA
截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
M图
解：1. 作实际状态的M图。
2. 设置虚拟状态并作
。
3. 代入公式计算得 2 2 yC 1 2 qL qhL ∆CD=∑ = ( 3 8 L) h = （→←） EI EI 12EI
13
【例4】求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
C B EI
EI
PL 2
PL 2
L
P
PL 4
PL 2
A
P 1
D
L
顶点
3L/8
5L/8
1
3L/4 L
2
L/4
8
3 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
a
L
则
b
MP图
c a
ya
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d 此时 ya=2/3×c－1/3×d yb=2/3×d－1/3×c
△ K=
yC EI
6
1. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述图乘的三个条件； （2）纵距yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
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直梁和刚架的 位移公式则为
（3） MP图和 图中至少有一个直线图形
２．图乘法原理
图乘法求位移的一般表达式为
注意 ： [1].
应取自直线图中
[2].若 与 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值
[3]. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
3.图乘法的步骤:
(1).设虚拟状态； (2).画 图； 图
、
(3).图乘求位移
下面介绍几个规则图形的面积和形心位置
4.图形的分解
当图形的面积和形心不便确定时，可以将其 分解成几个简单的图形， 分别与另一图形相 应的纵坐标相乘。
梯-梯同侧组合：
同侧组合：
异侧组合
由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可 以看成一个梯形和一个规则抛物线图形 的叠加 。
曲-折组合
四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为
（1）设虚拟状态； （2）计算 ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。
例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点
的竖向位移
vc
解: （1）设虚拟状态（如上图b所示）
（2）计算
N 和FNP（标于上图 b.a ）
（3）代公式求C点的竖向位移
例14-2 图示钢桁架，图中括号内数值为杆
cH、竖向位移 Cv。
解 在C 点处分别加一水平和竖向的单位力， 求出其支座反力如图 (b) (c) 所示。
由公式
K= －
-
Ci
得： cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cm
cv=-1.5×1=-1.5cm
14.6 互等定理 一、功的互等定理 图示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2， 称之为第一状态和第二状态。
将上述各部分分别图乘再叠加，即得
例14.6 试求图 (a)所示刚架结点B的水平
位移 BH。 设各杆为矩形截面，截面尺寸
为bxh，惯性矩l=
E为常, 数，只
考虑弯矩变形的影响。
解: 先作出MP图和
图, 分别如图 (b) (c)所示 。
应用图乘法求得结点B的水平位移为：
14.5 静定结构由于支座位移所引起的位移
由图乘法得
代入以上数据,于是
例14.5 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移 cv 。 设EI=
解: 荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。
在AB段, MP和 图均是三角形；在BC段，MP图 可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形 与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图 [即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成 。
-
6简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端
-
（在
处）
2．梁的刚度校核
梁的位移过大，则不能正常工作
对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长
之比
为标准
在工程上，吊车梁的
＝ 1/600
铁路钢桁梁的 ＝ 1/900
梁的刚度条件为:
例14-3 图示简支梁由工字钢制成， 跨度中 点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度
，列表如下:
杆件 编号 /mm A/mm2 上弦 6-7 6000 10000 下弦 1-3 12000 10000 斜杆 1-6 10000 12500 斜杆 3-6 10000 5000 竖杆 2-6 竖杆 3-7
/(1/mm)
0.6 1.2 0.8 2
FNP/N
N
-750000 -0.75
337500
14.2 虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度
，也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
14
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
14 由0增加至 14
力Fp1在位移
14
上作的实功
W14=
FP1 14
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功
建筑力学电子教案14静定结 构的位移计算
14．1 概 述
一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离
角位移：截面的转角
位移
位移
绝对位移
相对位移
广义位移
三、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
（1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内 只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的 第二项并简化为实用的形式
（3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
（4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
(3) 改善荷载的作用情况
在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形 ，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用 ，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁 的变形减小，刚度提高。
14.4 图乘法 一、图乘法原理 1、图乘法的适用条件：
（1）杆段的轴线为直线 （2）杆段的弯曲刚度EI为常数
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
=1表示 线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
阶梯形截面杆
二、 图乘法计算直梁和刚架的位移 下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移 例14.4 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移
CV。梁的EI=常数
解 MP、 图分别如图 (b).(c)所示。
BC 段的MP图是标准二 次抛物线；
AB段的MP图较复杂，
但可将其分解为一个 三角形和一个标准二 次抛物线图形 。
=4.75mm<[ ]= 梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施
梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施：
(1) 增大梁的抗弯刚度EI
增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理 ：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上 所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移 的相应变形上所作虚功的总和。
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
K+ RiCi= 式中， =1 则
d+ N + Q
K=
d+
N+
C Q
—
Ri i
经进一步推导，可得
式中：
E
弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
+600000 +0.375 270000
-1000000 -0.625 500000
250000 +0.625 312500
0
0
0
0Байду номын сангаас
1420000
根据上表，得
< 所以，桁架满足刚度条件
五、梁的位移及刚度校核
1、 梁的位移
挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移
用w 表示，规定w 向下为正。
转角：横截面的角位移 ，规定顺时针转为正
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
（2）减小梁的跨度L
梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小 梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提 高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用 两种办法减小L 值：
①增加中间支座
而
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变 成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减 小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部 分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度 （图c），从而使梁中段在荷载作用下产生 的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中 的最大挠度值。
P
由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组 成：
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注 意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结 果为
=
中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比
M : N : Q : r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式
在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果 （如表14.1所示），可供计算时查用。
表14.1 梁的挠度与转角公式
荷载类型
转角
最大挠度
1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端
2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
（3） MP图和 图中至少有一个直线图形
２．图乘法原理
图乘法求位移的一般表达式为
注意 ： [1].
应取自直线图中
[2].若 与 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值
[3]. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
3.图乘法的步骤:
(1).设虚拟状态； (2).画 图； 图
、
(3).图乘求位移
下面介绍几个规则图形的面积和形心位置
4.图形的分解
当图形的面积和形心不便确定时，可以将其 分解成几个简单的图形， 分别与另一图形相 应的纵坐标相乘。
梯-梯同侧组合：
同侧组合：
异侧组合
由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可 以看成一个梯形和一个规则抛物线图形 的叠加 。
曲-折组合
四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为
（1）设虚拟状态； （2）计算 ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。
例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点
的竖向位移
vc
解: （1）设虚拟状态（如上图b所示）
（2）计算
N 和FNP（标于上图 b.a ）
（3）代公式求C点的竖向位移
例14-2 图示钢桁架，图中括号内数值为杆
cH、竖向位移 Cv。
解 在C 点处分别加一水平和竖向的单位力， 求出其支座反力如图 (b) (c) 所示。
由公式
K= －
-
Ci
得： cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cm
cv=-1.5×1=-1.5cm
14.6 互等定理 一、功的互等定理 图示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2， 称之为第一状态和第二状态。
将上述各部分分别图乘再叠加，即得
例14.6 试求图 (a)所示刚架结点B的水平
位移 BH。 设各杆为矩形截面，截面尺寸
为bxh，惯性矩l=
E为常, 数，只
考虑弯矩变形的影响。
解: 先作出MP图和
图, 分别如图 (b) (c)所示 。
应用图乘法求得结点B的水平位移为：
14.5 静定结构由于支座位移所引起的位移
由图乘法得
代入以上数据,于是
例14.5 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移 cv 。 设EI=
解: 荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。
在AB段, MP和 图均是三角形；在BC段，MP图 可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形 与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图 [即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成 。
-
6简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端
-
（在
处）
2．梁的刚度校核
梁的位移过大，则不能正常工作
对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长
之比
为标准
在工程上，吊车梁的
＝ 1/600
铁路钢桁梁的 ＝ 1/900
梁的刚度条件为:
例14-3 图示简支梁由工字钢制成， 跨度中 点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度
，列表如下:
杆件 编号 /mm A/mm2 上弦 6-7 6000 10000 下弦 1-3 12000 10000 斜杆 1-6 10000 12500 斜杆 3-6 10000 5000 竖杆 2-6 竖杆 3-7
/(1/mm)
0.6 1.2 0.8 2
FNP/N
N
-750000 -0.75
337500
14.2 虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度
，也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
14
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
14 由0增加至 14
力Fp1在位移
14
上作的实功
W14=
FP1 14
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功
建筑力学电子教案14静定结 构的位移计算
14．1 概 述
一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离
角位移：截面的转角
位移
位移
绝对位移
相对位移
广义位移
三、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
（1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内 只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的 第二项并简化为实用的形式
（3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
（4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
(3) 改善荷载的作用情况
在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形 ，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用 ，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁 的变形减小，刚度提高。
14.4 图乘法 一、图乘法原理 1、图乘法的适用条件：
（1）杆段的轴线为直线 （2）杆段的弯曲刚度EI为常数
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
=1表示 线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
阶梯形截面杆
二、 图乘法计算直梁和刚架的位移 下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移 例14.4 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移
CV。梁的EI=常数
解 MP、 图分别如图 (b).(c)所示。
BC 段的MP图是标准二 次抛物线；
AB段的MP图较复杂，
但可将其分解为一个 三角形和一个标准二 次抛物线图形 。
=4.75mm<[ ]= 梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施
梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施：
(1) 增大梁的抗弯刚度EI
增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理 ：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上 所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移 的相应变形上所作虚功的总和。
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
K+ RiCi= 式中， =1 则
d+ N + Q
K=
d+
N+
C Q
—
Ri i
经进一步推导，可得
式中：
E
弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
+600000 +0.375 270000
-1000000 -0.625 500000
250000 +0.625 312500
0
0
0
0Байду номын сангаас
1420000
根据上表，得
< 所以，桁架满足刚度条件
五、梁的位移及刚度校核
1、 梁的位移
挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移
用w 表示，规定w 向下为正。
转角：横截面的角位移 ，规定顺时针转为正
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
（2）减小梁的跨度L
梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小 梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提 高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用 两种办法减小L 值：
①增加中间支座
而
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变 成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减 小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部 分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度 （图c），从而使梁中段在荷载作用下产生 的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中 的最大挠度值。
P
由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组 成：
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注 意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结 果为
=
中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比
M : N : Q : r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式
在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果 （如表14.1所示），可供计算时查用。
表14.1 梁的挠度与转角公式
荷载类型
转角
最大挠度
1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端
2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上