第六章+样本及抽样分布

根据简单随机样本定义得:
若 x1, x2, , xn 为具有分布函数F(x)总体X 的一个样本,
则 x1, x2, , xn 的联合分布函数为
n
F (x1, x2 , , xn ) F (xi )
又若X 具有概率密度f ,
i 1
样本分布是指
则 x1, x2 , , xn 的联合概率密度为 样本的联合分布 n f (x1, x2 , , xn ) f (xi ).
i 1
又若X为离散型随机变量，
则 x1, x2 , , xn 的联合概率函数为 n p(x1, x2, , xn ) P(X x1, X x2, , X xn ) P(X xi ) i1
例6-6 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( x1 , x2 , , xn ) 是来自总体的样本, 求样本
2. 简单随机抽样的定义
最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求：
（1）样本具有随机性
即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，
这便意味着每一个样品 x1与总体 X有相同的分布 .
（2）样本要有独立性
即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，
这意味着
x1, x2 , 相, x互n 独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本， 简称样本
( x1 , x2 , , xn ) 的概率密度.
ex ,
解 总体 X 的概率密度为 f ( x) 0,
x 0, x 0,
因为 x1, x2 , , xn 相互独立, 且与 X 有相同的分布,
所以 ( x1 , x2 , , xn )的概率密度如下
fn( x1, x2, , xn )
当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
4. 总体分布
实例3 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年 龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”， “19”，“20” 的依次有9，21，132，1207， 588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为
9 , 21 , 132 , 1207 , 588 , 43 , 2000 2000 2000 2000 2000 2000
第六章 样本及抽样分布
第一节 引言
在概率论中，概率分布通常被假定为已知的，而一 切问题的解决均基于已知的分布进行的。 但在实际问题中，情况往往并非如此。 例 6-1
第二节 总体与样本
一、总体与个体 二、样本 三、小结
一、总体与个体
1. 总体
研究对象的全体称为总体.
2. 个体 构成总体的每个成员称为个体.
解 总体 X 的分布律为
P{ X x} px (1 p)1x ( x 0, 1) 因为 X1, X2 ,, Xn相互独立, 且与 X 有相同的分布, 所以 ( X1, X2 ,, Xn )的分布律为
P{ X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
P{ X1 x1}P{ X2 x2 } P{ Xn xn }
即学生年龄的取值有一定的分布.
一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量 指标 X , 其取值在客观上有一定的分布, 是一个随机 变量. 总体分布的定义
我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布.
如实例3中, 总体就是数集 {15, 16, 17, 18, 19, 20}. 总体分布为
年龄 15 16 17 18 19 20 比率 9 21 132 1207 588 43
x!
因此简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布为
p( x1, x2 ,
n
, xn ) P( X xi )
n
i 1
n xi e i1 xi !
xi
i1
n
e n
xi !
i 1
练习 设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1, ( X1, X 2 ,, X n )是来自总体的样本, 求样本 ( X1, X 2 , , X n )的分布律.
n
f
பைடு நூலகம்
(
xi
)

ne
n

i 1
xi
,
i 1
0,
xi 0, 其他.
例6-7 考虑电话交换台1小时内的呼唤次数X，求来自 这一总体的简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布。
解 由概率论知识，X服从泊松分布P()，其概率函数为
p( x) P{ X x} x e
第三节 统计量及其分布
一、基本概念 二、常见分布 三、小结
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 x1, x2 , , xn 是来自总体 X 的一个样本,
若样本函数T=T (x1, x2 , , xn ) 不含未知参数, 则
称T 是一个统计量.统计量的分布称为抽样分布.
n
n
设 x1, x2 , , xn 是样本,则 xi, xi2都是统计量.
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
其中 x1, x2, , xn 在集合{0,1}中取值.
三、小结
基本概念: 个体 总体无有限限总总体体 样本 说明1 一个总体对应一个随机变量X, 我们将不 区分总体和相应的随机变量, 统称为总体X.
说明2 在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它 对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体 的个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总 体.
2000 2000 2000 2000 2000 2000
二、样本
1. 样本的定义
从总体 中随机抽取n个个体，记其指标值为x1,x2 , xn, 称为总体的一个样本，n称为样本容量或样本量， 样本中的个体称为样品.
注；样本具有二重性：无论是样本还是观察值，本书中 样本 一般均用x1, x2, , xn 来表示.
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命.