北京市西城区2018届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
北京市西城区2018届高三上学期期末考试试题理科数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16)（D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 81240 32 8元件B7 18 40296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S nn ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =． ………………3分 因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B = ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=． ………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ………………7分所以 sin sin BC BAC A⋅== ………………8分因为 512C A Bπ=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()1246C πππ==+=， ………………11分 所以 △ABC 的面积1sin 2S AC BC C =⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =， ………………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅== ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得1AB = ………………11分 所以 △ABC 的面积13sin 22S AB BC B =⋅=． ………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||⋅==〈〉n v n v n v ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分 （Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15-P35 320 15 120………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=．………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x ，2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则 221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1-1- 1- 1- 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ② ①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l An =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ．……………13分。
北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)数学(理)试题word含答案
的直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C , D （不与点 A, B 重合） .
（Ⅰ）当 n 0 ，且直线 CD x 轴时， 求四边形 ACBD 的面积； （Ⅱ）设 n 1 ，直线 CB 与直线 x 4 相交于点 M ，求证： A, D, M 三点共线 .
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
6．如图，阴影表示的平面区域 W 是由曲线 x y 0 ， x 2 y2 2 所围成的 . 若 点 P( x, y) 在 W 内（含边界），则 z 4 x 3y 的最大值和最小值分别为
（A） 5 2 ， 7 （B） 5 2 ， 5 2 （C） 7 ， 5 2 （D） 7 ， 7
平面 CDQ 平面 BEF ？若存在，求 出 BQ 的值，若不存在，说明理由．
BE
17．（本小题满分 13 分） 为培养学生的阅读习惯， 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化， 阅读经典名
著”活动 . 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读 量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无 法确认，在图中以 a 表示 .
16．（本小题满分 14 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂
直， AF // DE ， DE
AD ， AD
BE ， AF
AD
1 DE
1 ， AB
2.
2
（Ⅰ）求证： BF // 平面 CDE ；
（Ⅱ）求二面角 B EF D 的余弦值；
（Ⅲ）判断线段 BE 上是否存在点 Q ，使得
那么实数 a 的取值范围是 ____．
12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为 ____．
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则AB =（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数i1+i对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log,0,()2,0,xx xf xx>⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a>，则实数a的取值范围是（A）(1,0)(3,)-+∞（B）(1-（C）3(1,0)(,)3-+∞（D）(1,)3-（7）在空间直角坐标系O xyz-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆22:2C x y+=，直线:240l x y+-=，点00(,)P x y在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得45OPQ∠=（O为坐标原点），则x的取值范围是（A）[0,1]（B）8[0,]5（C）1[,1]2-（D）18[,]25-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用、（昌平区届高三上学期期末）设函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.() 求的值；()求实数的取值范围，使得对恒成立.、（朝阳区届高三上学期期末）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．、（朝阳区届高三上学期期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．、（东城区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）若为的极小值，求的值；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．、（丰台区届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.、（海淀区届高三上学期期末）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．、（海淀区届高三上学期期中）已知函数，函数.（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.、（石景山区届高三上学期期末）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．、（通州区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）当＝时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，证明：当∈时，＞.、（西城区届高三上学期期末）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
2008届北京市西城区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
西城区抽样测试高三数学（理科） 2008.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合2{|40}A x x x =->，{||1|2}B x x =-≤，那么集合A B 等于（ ） A. {|10}x x -≤< B. {|34}x x ≤< C. {|03}x x <≤D. {|10,34}x x x -≤<≤<或2. 已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么2sin2cos αα的值等于（ ）A. 34-B. 32-C. 34D.323. 平面α⊥平面β的一个充分条件是（ ）A. 存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B. 存在一个平面////γγαγβ，，C. 存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D. 存在一条直线//l l l αβ⊥，，4. 设函数2 2()2 2.3x x f x x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩，，， 若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）A.(0,2)(3,)+∞B. (3,)+∞C.(0,1)(2,)+∞D. (0,2)5. 设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A.1 B. 2 C. 3D. 46. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（ ）A. 40种B. 30种C. 20种D. 10种7. 经过椭圆2212x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐标原点，则OA OB等于（ ） A. 3- B. 13- C. 13-或3- D. 13±8. 某水库建有10个泄洪闸. 现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加.为了防洪，需调节泄洪速度 .假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线 .根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）.10. 已知双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，那么双曲线的离心率为_____ .11. 在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，5cos 13A =-，则sinB =_________ .12. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______，最小值等于__________ .13. 已知点(0,0)A，B ，(0,1)C .设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=，其中λ=________ .14. 对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,},.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ 设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos 2cos 1f x a x x x =-+的图象经过点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若[0,)x π∈，且()1f x =，求x 的值.16. （本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35. 假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率. 17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11//AC CDB 平面； （Ⅱ）求点B 到1CDB 平面的距离； （Ⅲ）求二面角1B B C D --的大小.18.（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）写出()f x 的单调区间； （Ⅱ）解不等式()3f x <；（Ⅲ）设0a >，求()f x 在[0]a ，上的最大值.19.（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形ACBD 面积的最小值 .20.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1a a =，156n n na a a +-=，1,2,3,.n = （Ⅰ）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +=成立，求a 的值； （Ⅱ）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +>成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）请你构造一个无穷数列{}n b ，使其满足下列两个条件，并加以证明： ① 1, 1,2,3,n n b b n +<= ；② 当a 为{}n b 中的任意一项时，{}n a 中必有某一项的值为1.ABCDA 1B 1C 1西城区抽样测试高三数学（理科）参考答案 2008.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7. B8. C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 416；10. 5311. 813 12.213.14 14. 1注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：2()sin cos 2cos 1sin 2cos 22af x a x x x x x =-+=-. ………….. 3分 依题意得08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin cos 0244a ππ-=， 解得2a =. ………….. 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin 2cos 22.4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭依题意得sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. …………..9分 因为0,x π≤< 所以72444x πππ-≤-<， 所以32.444x πππ-=或 解得.42x ππ=或 ………….. 12分16. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ………….. 6分 （Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， ………….. 9分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-= ………….. 12分17.（本小题满分14分） 解法一： （Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE .D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 1 //.DE AC ∴ ………….. 3分 111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面， 平面， 11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中， 11 B BCD B B CD V V --= ， 且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅. ………….. 6分易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅， ，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面………….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影， 根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角. ………….. 12分易求得112DF AC ==，122GF BE ==ABCDA 1B 1C 1EFG在Rt DFG ∆中， tan DFDGF GF=，∴ 二面角1B B C D --的大小是 ………….. 14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，， (1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，， 1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴ ，，， ，，， ， ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面， 平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中， 11 B BCD B B CD V V --= ， 且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅. ………….. 6分易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅， ，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面………….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角. ………….. 12分易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 110，，-，1，，-，cos GF GD GF GD GF GD∴〈〉==， ∴ 二面角1B B C D --的大小是 ………….. 14分18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，， ∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和 ，； 单调递减区间是[1 2]，. ………….. 3分 （Ⅱ）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩，，或或，，， ∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < ………….. 8分（Ⅲ）解：（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-； ………….. 9分（2）当21≤<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值 是(1)1f =； ………….. 10分 （3）当2a >时，令2()(1)(2)1210f a f a a a a -=--=-->，解得1a > ………….. 11分 ①当21a <≤时，此时()(1)f a f ≤，()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =；②当1a >()(1)f a f >，()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-. …..….. 13分综上，当01a <<时，()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -；当11a ≤≤+()f x 在[0]a ，上的最大值是1；当1a >()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -. ………….. 14分 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， ………….. 4分 即曲线W 的方程是26.x y = ………….. 5分 （Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+， 由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =， 化简得2690x kx --=. ………….. 8分设1122() () A x y B x y ，，，， 则12126 9.x x k x x +==-，2 ||6(1)AB k ∴==+，………….. 10分 同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………….. 11分∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当 221k k=， 即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. ………….. 14分20.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，1n n a a a +==，1,2,3,.n = 所以56a a a-=，解得2a =，或3a =，符合题意. ………….. 3分 （Ⅱ）解：解不等式1n n a a +>，即56n n na a a ->， 得02 3.n n a a <<<，或所以，要使21a a >成立，则1102 3.a a <<<，或 ………….. 4分 （1）当10a <时，12111566()55a a f a a a -===->， 而222322222256(2)(3)()0a a a a a f a a a a a ----=-=-=-<， 即32a a <，不满足题意. ………….. 6分 （2）当123a <<时，12111566()5(2 3)a a f a a a -===-∈，，3265(2 3)a a =-∈，， ，满足题意. 综上，(2 3)a ∈，. ………….. 8分 （Ⅲ）解：构造数列{}n b ：132b =，165n n b b +=- *()n ∈N . ………….. 10分那么 165n n b b +=-. 不妨设a 取n b ， 那么2116655n n a b a b -=-=-=，32216655n n a b a b --=-=-=， ，112663552n n a b a b -=-=-==， 1166551n n a a b +=-=-=. ………….. 12分 由1322b =<，可得1625n n b b -=<-， （1n >，*n ∈N ）. 因为16(2)(3)055n n n n n n nb b b b b b b +---=-=>--，所以1, 1,2,3,n n b b n +<= . 又25n b <≠，所以数列{}n b 是无穷数列，因此构造的数列{}n b 符合题意. ………….. 14分。
北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
1.若会合，，则（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】由于会合，,因此,应选 C.2. 以下函数中，既是偶函数又在区间上单一递加的是（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】对于A, , 是偶函数，且在区间上单调递加，切合题意；对于B, 对于对于 C,是奇函数，不合题意；对于不合题意，只有合题意，应选3. 已知向量，，则既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；D,在区间上单一递减，A.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】向量错误；错误；错误；，4. 已知数列知足正确，应选，则D.（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】依据条件获得：可设，，故两式做差获得：，故数列的每一项都为0，故 D 是正确的。
A ， B， C，都是不正确的。
故答案为 D 。
5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数分析式为（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】将函数的图象向左平移个单位，获得函数的图象 ,所求函数的分析式为，应选 B.6. 设，则“ 是第一象限角”是“”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】充足性：若是第一象限角，则, ,可得，必需性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“ 是第一象限角”是“”的充足必需条件，应选 C.【方法点睛】此题经过随意角的三角函数主要考察充足条件与必需条件，属于中档题.判断充要条件应注意：第一弄清条件和结论分别是什么，而后直接依照定义、定理、性质试试.对于带有否认性的命题或比较难判断的命题，除借助会合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、抗命题和否命题的等价性，转变为判断它的等价命题；对于范围问题也能够转变为包括关系来办理.7. 设（），则以下说法不正确的选项是（）A.为上偶函数B.为的一个周期C.为的一个极小值点D.在区间上单一递减【答案】 D【分析】对于 A ，，为上偶函数，A正确；对于B, , 为的一个周期 ,B 正确；对于 C，), ，, 为的一个极小值点 ,C 正确，综上，切合题意的选项为D, 应选 D.8. 已知非空会合知足以下两个条件：（ⅰ ），；（ⅱ ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序会合对的个数为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，有，若会合中只有个元素，则会合中只有个元素，则，不知足条件，因此知足条件的有序会合对的个数为，应选 A.【方法点睛】此题主要考察会合的交集、并集及会合与元素的关系、分类议论思想的应用 . 属于难题 .分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度.运用这类方法的重点是将题设条件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
2018届高三上学期一轮模拟数学(理)试题+Word版含答案
2018届高三模拟 数学试题（理）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合1{,},(),3x M y y x x x R N y y x R ⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．R M C N =D ．R C N M 2. 复数(12)(2)z i i =++的共轭复数为（ ）A ．－5iB ．5iC ．15i +D ．15i - 3. 将函数()3sin(2)3f x x π=-的图像向右平移(0)m m >个单位后得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4. 已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(3,1)(1,1)---D ．(1,1)(1,3)-5. 已知命题:,p a b R ∃∈， a b >且11a b >，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2x x +<.下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）⊂≠7. 下列说法错误的是（ ）A ．“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.B ．已知A BC 、、不共线，若0PA PB PC ++=则P 是△ABC 的重心.C ．命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”.D ．命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知103010,130S S ==，则40S =（ ）A ．－510B ．400C ． 400或－510D ．30或40 9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知20172016()2018201721f x x x x =++++ ，下列程序框图设计的是求0()f x 的值，在“中应填的执行语句是（ ）A ．n i =B ．1n i =+C ．n =2018i -D ．n =2017i - 10. 已知34πθπ≤≤2=，则θ=（ ） A ． 101133ππ或 B ．37471212ππ或 C ．131544ππ或 D ． 192366ππ或 11.已知△ABC中，,,a b c为角,,A B C的对边，0aBC bCA cAB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D . 无法确定12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形； 5:P 奇函数都是太极函数； 6:P 偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C.4D.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x == 且(2)()a b a b +⊥-，则x = .14.曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 .15.已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围为 .16.()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=，不等式()ln(0ln(x f x e <≤的解集为M ，则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[精品]2016-2017年北京市昌平区高三上学期期末数学试卷及解析答案word版(理科)
2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x33．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=；若E为线段AC上的动点，则的取值范围是．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A=[﹣1，1]，故选：A2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x3【解答】解：A．y=e x是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．C.是非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，定义域上单调递增，满足条件．故选：D3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：若输入x=1．则第一次，x=1+5=6，不满足条件，x＞23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x＞23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x＞23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x＞23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x＞23，程序终止，输出k=4，故选：B4．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵e﹣2∈（0，），＞1，ln2∈（，1），∴＞ln2＞e﹣2．∴a＜c＜b．故选：C．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选B．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）由题设图象知，周期T=2×（）=π，即．∵点（0，）在函数图象上，可得：2sin（2×0+φ）=，得：sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选B．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆与半径R=c的圆满足条件．R≥b，即b≤c，则b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的充分不必要条件，故选：A8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：①∵log21，log22，log24构成等差数列，∴y=log2x是等差源函数；②y=2x不是等差源函数，因为若是，则2×2p=2m+2n，则2p+1=2m+2n，∴2p+1﹣n=2m﹣n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；③取成等差数列，因此y=是等差源函数．综上可得：只有①③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=﹣2．【解答】解：∵i（1+ai）=2+i，∴i﹣a=i+2，∴﹣a=2，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5= 32．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＞0，由a1=2，a2+a3=12得2q+2q2=12，即q2+q﹣6=0得q=2或q=﹣3，（舍），则S5===62，故答案为：62．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，而A（3，0），代入目标函数z=2x+y得z=3×2+0=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．【解答】解：由题意，∵角α的终边过点P（3，4），∴cosα=，sinα=∴cos2α=cos2α﹣sin2α==故答案为：13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=4；若E为线段AC 上的动点，则的取值范围是[﹣4，1] ．【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=，那么=AC•AB•cos∠CAB=•2•=4；若E为线段AC上的动点，则=•（﹣）=•﹣=﹣4；当点E和点A重合时，取得最小值为0，当点E和点C重合时，取得最大值为=5，故的取值范围是[﹣4，1]，故答案为：4；[﹣4，1]．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为2；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【解答】解：把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．如图所示：直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数，①若a=1，则f（x）的零点个数为：2②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是：a＜﹣3．故答案为：2，（﹣∞，﹣3）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．…（6分）（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．所以．在△ACD中，因为，所以．…（13分）16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为（人）．…（3分）（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，，，，则ξ的概率分布列为：．…（11分）（Ⅲ）μ1＞μ0．…（13分）17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面A1BCD1⊥平面BCE，且平面A1BCD1∩平面BCE=BC，四边形ABCD为正方形，E在DC的延长线上，所以CE⊥BC．因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥平面A1BCD1．…（4分）解：（Ⅱ）法一：连接A1C．因为A1BCD1是正方形，所以A1C⊥BD1．因为CE⊥平面A1BCD1，所以CE⊥BD1．因为A1C∩CE=C，所以BD1⊥平面A1CE．所以BD1⊥A1E．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．设CD=1，则CE=2．则C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）．所以．因为，所以．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）（Ⅲ）因为CD 1⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量．设平面A 1D1E的法向量．因为，所以，即．设y=1，则z=2．所以．因为所以平面BCE与平面A1ED1所成的锐二面角的余弦值为．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），则．当f'（x）＞0时，﹣1＜x＜0；当f'（x）＜0时，x＞0；所以f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）．…（4分）（Ⅱ）（i）因为g（x）=f（x）﹣bx2=ln（1+ax）+b（x﹣x2），所以．依题设有即解得．…（8分）（ii））所以．g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立，即g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）﹣k（x2﹣x）．则有．①当1≤k≤3时，当x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增．所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）；②当k＜1时，当时，F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减，故当时，F（x）＜F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）不恒成立．综上，k∈[1，3]．…（13分）19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（I）法一设椭圆C的标准方程为．由已知得，解得．所以椭圆C的方程为+=1．法二设椭圆c的标准方程为．由已知得，．所以a=2，b2=a2﹣c2=2．所以椭圆c的方程为为+=1．（II）法一当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则特殊地，当A为（2，0）时，k=﹣，所以2x2=﹣，x2=﹣，y2=，即B（﹣，）所以点B关于y轴的对称点D（，），则直线AD的方程为y=﹣x+2．又因为当直线l斜率不存时，直线AD的方程为x=0，如果存在定点Q满足条件，则Q（0，2）．所以K QA===k﹣，K QB==﹣k+，又因为，所以K QA=K QB，即A，D，Q三点共线．即直线AD恒过定点，定点坐标为Q（0，2）．法二（II）①当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由，可得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（﹣x2，y2）．所以因为，所以直线AD的方程为：．所以，=，=，=，=，=，=．因为当x=0，y=2，所以直线MD恒过（0，2）点．②当k不存在时，直线AD的方程为x=0，过定点（0，2）．综上所述，直线AD恒过定点，定点坐标为（0，2）．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．【解答】解：（Ⅰ）对于任意的b=（x2，y2）∈D，a1+b=（0，0）+（x2，y2）=（x2，y2）若（x2，y2）∈Ω，则（x2，y2）=（6，0），或（x2，y2）=（0，4），故a2=（6，0）或（0，4），（Ⅱ）证明：假设命题不成立，即∃k∈N*，使a k=（5，0）即∃b i∈D，i=1，2，…，k﹣1（k≥2），使a1+=a k，化简得=（5，0），所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k﹣1，使6m+4n+2p=5．又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾，故假设不成立，即：∀k∈N*，a k≠（5，0），（Ⅲ）k min=5，a1=（0，0），a2=（0，4），a3=（4，0），a4=（4，4），a5=（6，2）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
湖南省(XXX)、江西省(XXX)等十四校2018届高三第二次联考数学(理)试题+Word版含答案
湖南省(XXX)、江西省(XXX)等十四校2018届高三第二次联考数学(理)试题+Word版含答案2018届高三·十四校联考第二次数学（理科）考试第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设集合A={x|x≥2}，B={x|1<−x≤2}，则A∩B=（）A。
(-4,+∞) B。
[-4,+∞) C。
[-2,-1] D。
[-4,-2]2.复数z=xxxxxxxxxxxxxxxxi的共轭复数为（）A。
3+i B。
-i C。
+i D。
-i3.下列有关命题的说法中错误的是（）A。
设a,b∈R，则“a>b”是“aa>bb”的充要条件B。
若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题C。
命题：“若y=f(x)是幂函数，则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D。
命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)≤n”的否定形式是“∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n”4.已知不等式ax+1/x+2<0的解集为(-2,-1)，则二项式(x+2)(ax-2)展开式的常数项是（）A。
-15 B。
15 C。
-5 D。
55.若函数f(x)=3sin(π-ωx)+sin(5π+ωx/2)，且f(α)=2，f(β)=3，α-β的最小值是π，则f(x)的单调递增区间是（）A。
(2kπ-5π/3,2kπ-π/3) (k∈Z)B。
(2kπ-,2kπ+) (k∈Z)C。
(kπ-,5π/3+kπ) (k∈Z)D。
(kπ-π/3,5π/3+kπ) (k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）是（）A。
40+125 B。
40+245 C。
36+125 D。
36+2457.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A。
高三上学期11月联考试题数学(理)Word版含答案
-周宁一中与政和一中第三次月考试卷理科数学考试总分：150分；考试时间：120分钟；命题人：王仁娇，审核：黄金凤一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置上．）1.已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |4x ≥2}，则A ∪B =（ ） A.B.C. （-∞，3]D. [-1，+∞）2.已知i 是虚数单位，复数z 满足z （3+4i ）=1+i ，则复平面内表示z 的共轭复数的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2151b -⎪⎭⎫ ⎝⎛=，1031log c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A. a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. c ＞b ＞a D. b ＞a ＞c 4.用数学归纳法证明1++31+…+1n 21-＜n （n ∈N *，n ＞1），第一步应验证不等式（ ） A.2211<+ B. 331211<++ C.34131211<+++ D. 231211<++ 5．两曲线x y =，2x y =在x ∈[0，1]内围成的图形面积是（ ）A. 31B. 32C. 1D. 26若cos （-α）=61，则cos （43π+2α）的值为（ ） A. 1817 B. 1817-C.1918 D.1918-7．已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，且a 1+a 5=-14，S 9=-27，则使得S n 取最小值时的n 为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或78.已知函数f （x ）=ln x +2x -6的零点位于区间（m -1，m ）（m ∈Z ）内， 则m 3m1log 27+ =（ ）218πA. 1B. 2C. 3D. 49.已知命题P ：若△ABC 为钝角三角形，则sin A ＜cos B ；命题q ：∀x ，y ∈R ，若x +y ≠2，则x ≠-1或y ≠3，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∨（¬q ）B. （¬p ）∧qC. p ∧qD. （¬p ）∧（¬q ）10.已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，|AB |=2，OC =OB OA 3235-，若若M 是线段AB 的中点，则 OM OC •的值为（ ）A. 3B. 23C. 2D. -311.下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ）A. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B. 观察（x 2）′=2x ，（x 4）′=4x 3，（cos x ）′=-sin x ，可得偶函数的导函数为奇函数C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应12.定义在（0，+∞）的函数f （x ）的导函数)(/x f 满足08)(/3>+x f x ，且f （2）=2，则不等式的解集为（ ）A. （-∞，2）B. （-∞，ln2）C. （0，2）D. （0，ln2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）13．在等比数列{}n a 中，22=a ，且451131=+a a ，则31a a +的值为______． 14.曲线f （x ）=x ln x 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ______ ．15.已知O 为坐标原点，点A （5，-4），点M （x ，y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥+2y 12x y x 内的一个动点，则OM OA •的取值范围是 ______ ．16设向量OA =（1，-2），OB =（a ，-1），OC =（-b ，0），其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为 ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。