5.4最小均方算法
最小均方差公式
最小均方差公式在统计学和机器学习中，我们经常需要根据一组数据来拟合出一个函数或模型，以便进行预测或推断。
而最小均方差公式提供了一种衡量拟合效果的指标，即均方差，通过最小化均方差来选择最佳的拟合曲线或估计参数。
我们来定义什么是均方差。
均方差是指实际观测值与预测值之差的平方的平均值。
对于给定的一组数据，我们可以用一个函数或模型来进行拟合，并根据拟合结果计算出每个观测值与预测值之差的平方，然后将这些平方求平均得到均方差。
假设我们有一组观测值y和对应的预测值y_hat，那么均方差可以表示为：MSE = (1/n) * Σ(y - y_hat)^2其中，n表示观测值的个数，Σ表示求和运算。
最小均方差的目标就是找到一个函数或模型，使得均方差达到最小值。
最小均方差公式的应用非常广泛。
例如在线性回归问题中，我们可以通过拟合一条直线来预测因变量和自变量之间的关系。
通过最小均方差公式，我们可以选择最佳的斜率和截距，使得拟合直线与观测值之间的均方差最小。
除了线性回归，最小均方差公式还可以应用于其他问题，如多项式拟合、逻辑回归、神经网络等。
在这些问题中，我们可以通过调整模型的参数，使得均方差最小化，从而得到最佳的拟合效果或参数估计。
接下来，我们来推导最小均方差公式的数学表达。
假设我们有一组数据(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们希望通过一个函数或模型y = f(x)来拟合这些数据。
我们可以用最小化均方差的方法来选择最佳的函数或模型。
我们假设函数或模型的形式为y = a + bx，其中a和b是待确定的参数。
我们的目标是找到最佳的a和b，使得均方差最小。
我们可以定义误差e为观测值与预测值之差，即e = y - (a + bx)。
然后，我们将均方差公式代入误差的定义中，得到：MSE = (1/n) * Σ(y - (a + bx))^2接下来，我们需要对这个均方差公式进行求导，并使得导数等于0，从而找到最小化均方差的参数值。
均方计算公式
均方计算公式
均方计算公式是用于计算一组数据值的离散程度或变异程度的数学工具，通常用于统计学和数据分析领域中。
均方计算公式可以用来计算数据的方差和标准差，是对数据分布范围和集中程度的一种度量。
具体来说，均方计算公式的步骤如下：
1.计算所有数据值与平均值之差的平方，即(xi - x_avg)^2。
2.将所有差值平方的和除以样本数或总体数N，即Σ(xi - x_avg)^2 / N。
3.得出的结果即为数据的方差，标准差则是方差的平方根。
其中，xi代表数据的每一个数值，x_avg代表所有数据的平均值，N代表数据的样本数或总体数。
均方计算公式的应用范围很广，可以用于衡量不同组数据的差异，或者比较同一组数据在不同时间或条件下的变化情况。
第三章最小均方(LMS)算法
E{| e(n) |2} E{e(n)e* (n)} E{| d (n) |2} w H rxd (w H rxd )* w H R xxw
E{| d (n) |2} 2 Re{w H rxd } w H R xxw
rxd (0)
rxd
E{x(n)d * (n)}
rxd (1)
x(n)
xT
(n)w*
i 1
e(n) d (n) y(n) d (n) w H x(n)
rxx (i) E{x(n)x* (n i)} rxx (i) rx*x (i) rxd (i) E{x(n)d * (n i)} rdx (i) rd*x (i)
f (w) E{| e(n) |2}
2 11
2 22
1
v'12
v'
2 2
1
(C1 / 1) (C2 / 2 )
1 均方误差椭圆
的长轴正比于
min
短轴正比于 1 max
§3.3 最陡下降法 3.3.1 最陡下降法的递推公式
＝E{| d (n) |2} 2 Re{w H rxd } w H R xxw
w 2R xxw 2rxd
v(n) (I 2QΛQ1)n v(0) [Q(I 2Λ)Q1]n v(0)
正交原理
w＝w E{| e2 (n) |} 0 e(n) d (n) w H x(n)
e er je j d dr jd j x xr jx j w w r jw j
| e |2 er2 e2j
[dr
(w
T r
x
r
wTj x
j
)]2
[d
j
(wTr x
j
机器学习：Python实现最小均方算法（lms）
机器学习：Python实现最⼩均⽅算法（lms）lms算法跟Rosenblatt感知器相⽐，主要区别就是权值修正⽅法不⼀样。
lms采⽤的是批量修正算法，Rosenblatt感知器使⽤的是单样本修正算法。
两种算法都是单层感知器，也只适⽤于线性可分的情况。
详细代码及说明如下：'''算法：最⼩均⽅算法(lms)均⽅误差：样本预测输出值与实际输出值之差平⽅的期望值，记为MES设:observed 为样本真值,predicted为样本预测值,则计算公式:(转换为容易书写的⽅式，⾮数学标准写法,因为数学符号在这⾥不好写)MES=[(observed[0]-pridicted[0])*(observed[0]-pridicted[0])+....(observed[n]-pridicted[n])*(observed[n]-pridicted[n])]/n''''''变量约定：⼤写表⽰矩阵或数组，⼩写表⽰数字X：表⽰数组或者矩阵x:表⽰对应数组或矩阵的某个值''''''关于学习效率（也叫步长：控制着第n次迭代中作⽤于权值向量的调节）。
(下⾯的参数a)：学习效率过⼤：收敛速度提⾼，稳定性降低，即出结果快，但是结果准确性较差学习效率过⼩：稳定性提⾼，收敛速度降低，即出结果慢，准确性⾼，耗费资源对于学习效率的确定，有专门的算法，这⾥不做研究。
仅仅按照⼤多数情况下的选择：折中值'''import numpy as npa=0.1 ##学习率 0<a<1X=np.array([[1,1],[1,0],[0,1],[0,0]]) ##输⼊矩阵D=np.array([1,1,1,0]) ##期望输出结果矩阵W=np.array([0,0]) ##权重向量expect_e=0.005 ##期望误差maxtrycount=20 ##最⼤尝试次数##硬限幅函数(即标准,这个⽐较简单：输⼊v⼤于0，返回1.⼩于等于0返回-1)'''最后的权重为W([0.1,0.1]),则:0.1x+0.1y=0 ==>y=-x即：分类线⽅程为:y=-x'''def sgn(v):if v>0:return 1else:return 0 ##跟上篇感知器单样本训练的-1⽐调整成了0，为了测试需要。
最小均方算法依据最小均方误差准则产生了最小均方
LMS自适应均衡器可以有两种模
式：训练模式和面向判决模式。
最 小 均 方 算 法
迫 零 算 法 的 仿 真 性 能
特点3的解释
多径信道冲激响应系数：h0 h1 h2 0.6 0.3 0.1
BPSK信号长度： 10
6
N 值 的 选 择
用 N 阶迫零均衡器去均衡 M 径信道 时，如果 N M，则均衡效果较差， 误码率较高，且不同 N 对应的均衡 效果相差较多；如果N M ，则均衡 效果较好，误码率较低，且不同 N 对应的均衡效果相当。 用 N 阶迫零均衡器去均衡 M 径信道 时，随着 N 的增加，均衡效果越来 越好，误码率越来越低。
均衡器要对整个通道响应进行均衡
准则一： 最小峰值误差准则
迫 零 算 法
依据最小峰值误差准则产生了 迫零算法均衡器 均衡器输入峰值误差 D 1 | x | x
0 0 k k 0 k
均衡器输出峰值误差
1 D y0
k k 0
|y
k
|
当输入峰值误差 D0 1 时，输出峰值误差的极小
如果 C( 2 i / Ts ) 对不同的 i有相同的函数形式， 即 C ( )是以 2 / Ts为周期的周期函数，则只要C ( ) 在( / Ts , / Ts )内满足下式即可消除码间干扰。
C ( ) Ts 2 i H T i s
| |
准则二： 最小均方误差准则
最 小 均 方 算 法
依据最小均方误差准则产生了最小均 方（LMS, Least Mean Square)算法均衡 器。 1 2 2 均方误差的定义为 y 2 yk
最小均方(LMS)算法
第3章最小均方(LMS)算法最小均方算法即LMS算法是B．widrow和Hoff于1960年提出的：由于实现简单且对信号统计特性变化具有稳健件，LMS算法获得了极广泛的应用。
LMS算法是基于最小均方误差准则(MMSE)的维纳滤波器和最陡下降法提出的。
本章将进—步时论最小均方误差滤波器和针对这种滤波器的最陡下降法，并在此基础上详细讨论LMS算法。
LMS算法的缺点在于当输人信号的自相关关矩阵的特征值分散时，其收敛件变差。
为了克服这问题并进一步简化LMs算法，学者们进行广长期研究并提出了不少改进算法，本章将对这些算法进行讨论。
最小均方误差滤波器最小均方误差滤波器的推导第2章2．2节已对均于图1．2的最小均力误差滤波器作了概述。
本分将针对时域滤波情况进一步讨论最小均方误差滤波器。
为便于讨论，I.5国内外MIMO技术研究现状虽然MIMO无线通信技术源于天线分集技术与智能天线技术，但是MIMO系统在无需增加频谱与发射功率下就可以获得令人振奋的容量与可靠性提升，它引发了大量的理论研究与外场实验。
自从1995年Telatar推导出多天线高斯信道容量['6}, 1996年Foschini提出BLAST算法[72]与1998年Tarokh等提出空时编码[(4]以来，MIMO无线通信技术的研究如雨后春笋般涌现[(73-300]。
至2004年底，IEEE数据库收录该领域的研究论文己达数千篇(http://ieeexplore. ieee. org/}，它们包含了MIMO无线通信技术的理论研究到实验验证以及商用化的各个方面。
目前，国际上很多科研院校与商业机构都争相对MIMO通信技术进行深入研究，MIMO技术正以前所未有的速度向前发展[85]。
这里列举一些国内外在研究MIMO 通信技术方面最具有代表性的机构与个人，以洞察MIMO技术的研究现状与发展动态。
A T&T Bell Lab是多天线技术研究的倡导者，其研究员I. E. Telatar ,G.J.Foschini、M.J.Gans,GD.Golden, R.A.V alenzuela, P.W.Wolniansky、D-S.Shiu,J.M.Kahn, J.Ling, J.C.Liberti,Jr.等长期从事MIMO技术研究[68,84]，其第一个空时方案就是著名的BLAST结构[[74一，S,lzz]，其开创性的研究包括【5,72-76,88】等]lproject/blastl] o J.H.Winters等还公布了一些研究与测试结果[ 19,64,96,180,279,282,283,285,286,306]。
最小均方估计的推导
最小均方估计⏹最小均方估计的推导⏹最小均方估计的性质⏹计算实例1. 最小均方估计的推导在贝叶斯估计的一般概念中，我们给出了标量形式的最小均方估计:22ˆˆ()()ˆ()(,)minMse E p d d ∞∞-∞-∞⎡⎤θ=θ-θ⎣⎦=θ-θθθ→⎰⎰z z ˆ(|)msE θ=θz下面考虑矢量参数的最小均方估计：...Tp ⎡⎤=θθθ⎣⎦θ12假定ˆ(|)(|)E p d ==⎰θθz θθz θ那么，矢量参数的最小均方估计为：22ˆˆˆ()[()]()(,)minz z i i i i i i i Mse E p d d θ=θ-θ=θ-θθθ→⎰它可以使每个参量的均方误差达到最小，即ˆˆ[()()]min T iiE ⎡⎤--→⎣⎦θθθθ或当估计时，可以把其它分量看成多余参量1θ12(|)(|)pp p d d θ=θθ⎰⎰z θz (|)()(|)()(|)()(|)()p p p p p p p p d ==⎰z θθz θθθz z z θθθ11111ˆ(|)(|)E p d θ=θ=θθθ⎰z z 221111111ˆˆˆ()()()(,)min Mse E p d d ⎡⎤θ=θ-θ=θ-θθθ→⎣⎦⎰z z一般情况下，ˆ(|)(|)i i i i iE p d θ=θ=θθθ⎰z z 22ˆˆ()()ˆ()(,)mini i i i i i iMse E p d d ⎡⎤θ=θ-θ⎣⎦=θ-θθθ→⎰z z也可以把最小均方估计表示为1θ11111211ˆ(|)(|)...(|)p p d p d d d p d θ=θθθ⎡⎤=θθθθ⎣⎦=θ⎰⎰⎰⎰z θz θz θ一般地，ˆ(|)i i p d θ=θ⎰θz θ12(|)(|)ˆ(|)(|)(|)p p d p d p d E p d ⎡⎤θ⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥==⎢⎥⎢⎥θ⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰θz θθz θθθθz θθz θz θ将用矢量表示，它可以使每一项的均方误差2ˆˆ()()min i i i Mse E ⎡⎤θ=θ-θ→⎣⎦ˆ(|)i i p d θ=θ⎰θz θ2111,112111121111ˆˆˆˆ()[()]{()()}[(|)](,)[(|)](|)()θθθθz z z z z z z T z Mse E E E p d d E p d p d θ⎡⎤θ=θ-θ=--⎣⎦=θ-θθθ⎡⎤=θ-θθθ⎣⎦⎰⎰⎰2(|)...p p d d θθ⎰θz {}211[(|)](|)()E p d p d =θ-θ⎰⎰z θz θz z |11[]z θC {}||[(|)][(|)][(|)][(|)](|)T z z T E E E E E p d θθ=--=--⎰Cθθz θθz θθz θθz θz θ21|1111ˆ()([])[(|)](,)C z θz θz z z Mse E E p d d θθ==θ-θ⎰⎰|[]z ii θC {}{},2ˆˆˆ()()()[(|)](|)()θθθθz θz θz zT i z iii i Mse E E p d p d θ⎡⎤θ=--⎣⎦=θ-θ⎰⎰|ˆ()([])C i z z ii Mse E θθ=。
最小均方算法(lms)的原理
最小均方算法(lms)的原理
最小均方算法(LMS)是一种用于信号处理和自适应滤波的算法，它是一种迭代算法，
用于最小化预测误差的均方值。
在该算法中，滤波器的系数会根据输入信号实时地调整，
以使得滤波器的输出能够尽可能地接近期望输出。
LMS算法的核心理念是通过不断迭代，不断的调整滤波器的系数，使其能够最大限度
地降低误差。
该算法首先需要确定一组初始系数，并计算出当前的滤波器输出以及误差。
然后，根据误差的大小和方向来调整滤波器的系数，并重复这个过程，直到误差的均方值
达到最小。
这个过程的数学原理可以用一个简单的公式来表示：
w(n+1) = w(n) + µe(n)X(n)
其中， w(n)是当前滤波器的系数，µ是一个可调节的步长参数，e(n)是当前的误差，
X(n)是输入数据的向量。
在该算法中，步长参数µ的大小对LMS算法的性能有重要的影响。
如果其选择过大，
会导致算法不稳定，收敛到一个错误的值；而如果µ的值过小，则算法收敛速度慢。
此外，在使用LMS算法时，还需要进行一些预处理。
比如，在对输入信号进行滤波时，通常需要进行预加重处理，以便在高频段上增强信号的弱化部分。
同时，在为滤波器确定
初始系数时，还需要利用一些特定的算法来进行优化，以使得滤波器的性能能够得到进一
步的提升。
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页页
i
1
2 i
M
uv N
tr R i
i 1
N
i 1
1
2 i
1 N 1
2 i1 i
N 1
2 ave
N 4
1
mse
ave
若R的N个特征值相等，则 M N 1 4 mse
X
第第
结论：
1133 页页
（1）若选择足够长的时间常数（足够多的迭代次 数），失调量M可以控制到任意小。
i 1
X
第第
ARMA模型
2222 页页
q
1 bi zi
传输函数： H (z) G
i 1 p
1 ai zi
i 1
p
q
差分方程： x(n) ai x(n i) Gbi(n i)
i 1
i0
功率谱：
q
2
1 bie ji
Sx
(e
j
)
G 2
解：设ARMA(2,1)的系统函数为
H1(z)
B(z) A(z)
1
1 b1z1 a1z1 a2z2
AR模型的系统函数为
H(z) 1 C(z)
X
第第
令H1(z) H (z)得，B(z)C(z) A(z)
1155 页页
1
a(n) n 0,1, 2
即 k0 b(k)c(n k) 0
X
第第 1166
页页
a(2) c(2) c(3) c(1) 4.58 3.5 2.6 2.59
c(2)
4.58
所以，ARMA(2,1)模型的系统函数为
1 0.57z1 H1(z) 1 2.93z1 2.59z2
X
第第
2. 已知平稳随机信号x(n)的自相关函数值：
一. 权系数的迭代解 Q (n) E[e2 (n)]
w
(n)
ur w
E[e2
(n)]
2E[e(n)
ur w
e(n)]
其中
e(n)
d (n)
wT
(n)xN
(n)
，所以
ur e(n) w
r xN
(n)
X
uv
uv
第第
w(n 1) w(n) w (n)
uv
2 E d(n)x N (n)
EEwuvwuv((nn))22EEuxvNuxv(NnR()nuxv)TNuxv(TnN)(nE)wuv(wuvn()n) 22EEdd((nn)u)pvuxvuxvNN((nn))
a1 (1)
k1
RX RX
(1) (0)
1 2
由 m m1(1 km2 ) 知
1 0 (1 k12 ) 11 4 3 4
X
第第 1188
页页
2 1(1 k22 ) 3 4 (1 k22 )
k2
[RX
(2)
1 i 1
a1 (i ) RX
2d
uv (n) x N
(n)
E
uv xN
uvT (n) x N
(n)
uv R
uv
uv
最E速d梯(n度)法x N权(n) p
系数迭代公式
则上式变为：
uv
uv uv
uv
w(n 1) I 2 R w(n) 2 p
LMS算法是将期望值近似为瞬时值的最速梯度法。
x(n -1) M
wN 1(n 1) wN 1(n)
x(n
-
N
1)
对其中任一权系数有
wi (n 1) wi (n) 2e(n)x(n i)
当到达稳态时，应有
i 0,1, 2L N 1
LMwSi算(n法稳1)态解w存i (n在) 随 w机i*波(n动) 。
n3
当n=3时，b(0)c(3) b(1)c(2) 0
b(1) c(3) 2.6 0.57 c(2) 4.58
当n=1时，b(0)c(1) b(1)c(0) a(1)
a(1) c(1) c(3) 3.5 2.6 2.93
c(2)
4.58
当n=2时，b(0)c(2) b(1)c(1) a(2)
mintr R
X
第第 1111 页页
uv
M tr R
uv tr R是矩阵R的迹，是R的N个特征值之和，也等于 矩阵R的主对角线元素之和。即NRx (0)。 步长因子和信号功率都对失调有影响。
控制失调量和加快收敛速度矛盾，故采用变步长因 子的方法。
X
第第
1122
失调量与收敛时间常数的关系
44 页页
w (n)
ur w
E[e2 (n)]
uv 2E e(n)xN (n)
若用平方误差e 2 (n)代替均方误差E[e 2 (n)], 则可得梯度
向量的近似表达式为
ˆ w (n)
e2u(vn) w
2e(n)
e(uvn) w
uv 2e(n)x N
(n)
ˆ w (n)是w(n)的无偏估计，其均值等于真值w(n)。
X
第第 77
页页
uv w(n)
2d
uv (n) x N
(n)
2
uvT xN
uv uv (n)w(n) x N
(n)
uv w(n)
uv
2d (n) x N
(n)
uv
2 xN
uvT (n) x N
uv (n)w(n)
I
2
uv xN
uvT (n) x N
(n)
uv w(n)
1177 页页
R(0) 1, R(1) 0.5, R(2) 0.5, R(3) 0.25,
现用AR(3)模型估计它的功率谱，设模型参
数b(0) 1，试用Levinson - Durbin算法求模
型参数a3 (1), a3(2), a3(3)及b(0)。
解： 0 RX (0) 1
均方误差在附近随机起伏，产生额外的均方误差：
LMS的稳态均方误差
excess MSE E (n) min
excess MSE
失调量M=
min
N
Q excess MSE E (n) min min i
uv
M tr R
i 1uv
p
2
功率谱：
Sx (e
j
)
G
2
2
1
aie ji
i 1
X
第第
AR模型
2211 页页
传输函数：H (z)
G
p
1 ai zi
i 1
p
差分方程：x(n) ai x(n i) G(n)
i 1
2
功率谱：
Sx
(e
j
)
2
G
p
1 aie ji
b0 21 32 42 8 X
第第 2200
页页
3. 离散随机信号的有理传输函数模型怎样表示？试 针对 MA、AR、ARMA三种不同情况，写出模 型的传输函 数、差分方程及功率谱关系式。
解：MA模型
q
传输函数： H (z) G(1 bi zi ) i 1
q
差分方程： x(n) G(n) Gbi(n i) i 1
（2）当时间常数一定时，失调量随着权系数的数目 N正比的增长。
（3）N越大，失调量M越大，但因权系数较多，故可 以更好地逼近所希望的脉冲响应和频响特性。
X
第第
3、4章作业部分参考答案
1144 页页
1. 某随机过程用AR模型拟和的结果是
1 H (z) 1 3.5z-1 4.58z2 2.6z3 0.58z4 试由它导出一个ARMA(2,1)模型。
v uv uv
uv
I 2 R E w(n) 2 p
X
uv
v uv uv
uv
E w(n 1) (I 2 R)E w(n) 2 p
uv
v uv uv
uv
w(n 1) (I 2 R)w(n) 2 p
第第 99 页页
比较
§5.4 最小均方(LMS)算法
1
第第
最速梯度法权系数迭代公式为
22 页页
uv
uv
w(n 1) w(n) w (n)
其中，梯度向量
uv uvuv
w (n) 2 p 2Rw(n)
代入迭代公式得：
uv
uv
uv uvuv
w(n 1) w(n) 2 wp(n)Rw(n)
即e(n)x(n i) 0 i 0,1, 2L N 1 X
第第
二. LMS权系数的收敛性分析
66 页页
LMS算法迭代公式
uv
uv
uv
w(n 1) w(n) 2e(n)x N (n)
问题：
能否由任意起始位置w(0)经迭代最终收敛到最优解w*
跟最速梯度法权向量的收敛性有何区别？