数学建模任意两点间最短距离
最短路径问题数学模型
最短路径问题数学模型
最短路径问题是指在一个给定的图中，求出两个顶点之间的最短路径的问题。
在实际生活中，这类问题很常见，比如我们要从一个城市到另一个城市，就需要找到最短的路线。
这个问题可以用数学模型来描述。
首先，我们可以把这个问题抽象成一个图论问题，其中图的顶点表示城市，边表示两个城市之间的道路。
每条边都有一个权值表示道路的长度。
假设我们要求从顶点s到顶点t的最短路径，我们可以用一个数组d来记录s到各个顶点的最短距离，初始化为无穷大。
然后，我们可以使用一种叫做Dijkstra算法的算法来求解这个问题。
具体的过程是：
1. 初始化d[s]=0，d[v]=无穷大（v≠s）。
2. 从未标记的节点中选择标号最小的节点v，对v进行标记。
3. 更新所有v的出边相邻节点的距离，具体为：若d[v]+v到该节点的距离< d[该节点]，则更新d[该节点]为d[v]+v到该节点的距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被标记。
5. d[t]即为s到t的最短距离。
这个算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是节点数。
当然，还有更快的算法，比如Floyd算法，但是它的时间复杂度更高，达到了O(n^3)。
总之，最短路径问题是一个经典的数学问题，可以用图论和算法
来描述和求解。
熟练掌握这个问题对于计算机科学专业的学生来说非常重要。
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
2011全国数学建模B题论文
城市交通巡警平台的设置与调度摘要由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
本文要解决的就是某市设置交巡警服务平台设置方案，以及如何处理在确保突发事件问题。
对于第一问，根据附件中的各点的坐标和图中所给的各标志点之间的相邻关系，我们求得任意两个相邻标志点的直线距离，根据附件中的全市交通路口的路线做出了邻接矩阵，再用Floyd算法求得任意两点间的最短距离。
在此基础上，为了确定需要增加平台的具体个数和位置，采用主成分分析法。
应用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法进行搜索得到了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
对于第二问，给出了设置交巡警服务平台的可量化的原则和任务，对现有方案进行评价然后进行优化；案发地点在A区，题目没有给出逃犯的车速，这里要处理好，怎样叫实现了围堵也是需要考虑的问题。
关键字：邻接矩阵、距离矩阵、整数线性规划、主成分分析、surfer作图一．问题的重述警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。
就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
数学建模最短路径问题
数学建模最短路径问题
在数学建模中，最短路径问题是一个经典的问题，它在很多领域都有应用，如交通规划、网络路由等。
最短路径问题是寻找从一个起点到一个目标点的路径，使得路径上的总权重（或代价）最小。
最短路径问题有多种算法可以解决，以下是其中两个常见的算法：
1. Dijkstra算法：
Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即从一个起点到其他所有点的最短路径。
该算法的基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点，不断更新节点的最短路径和最短距离，直到到达目标节点或者所有节点都被遍历。
2. Floyd-Warshall算法：
Floyd-Warshall算法用于解决全源最短路径问题，即任意两个节点之间的最短路径。
该算法采用动态规划的思想，通过逐步迭代更新节点之间的最短路径，最终得到所有节点之间的最短路径。
无论是Dijkstra算法还是Floyd-Warshall算法，都需要给定一个图的表示方式和节点之间的权重信息。
图可以使用邻接矩阵或邻接表表示，节点之间的权重可以是距离、时间、代价等。
在实际应用中，最短路径问题可以根据具体情况进行调整和扩展，例如考虑节点的容量限制、路径的约束条件等。
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题(题目改变)参考答案
交巡警服务平台的设置与调度优化分析摘要本文综合应用了Floyd算法，匈牙利算法，用matlab计算出封锁全市的时间为1.2012小时。
并在下面给出了封锁计划。
为了得出封锁计划，首先根据附件2的数据将全市的道路图转为邻接矩阵，然后根据邻接矩阵采用Floyd算法计算出该城市任意两点间的最短距离。
然后从上述矩阵中找到各个交巡警平台到城市各个出口的最短距离，这个最短距离矩阵即可作为效益矩阵，然后运用匈牙利算法，得出分派矩阵。
根据分派矩阵即可制定出封锁计划：96-151,99-153,177-177,175-202,178-203,323-264,181-317, 325-325,328-328，386-332,322-362,100-387,379-418,483-483, 484-541,485-572。
除此以外，本人建议在编号为175的路口应该设置一个交巡警平台，这样可以大大减少封锁全市的时间，大约可减少50%。
关键词: Floyd算法匈牙利算法 matlab一、问题重述“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：警车的时速为60km/h, 现有突发事件，需要全市紧急封锁出入口，试求出全市所有的交巡警平台最快的封锁计划，一个出口仅需一个平台的警力即可封锁。
二、模型假设1、假设警察出警时的速度相同且不变均为60/km h 。
2、假设警察出警的地点都是平台处。
3、假设警察接到通知后同时出警，且不考虑路面交通状况。
三、符号说明及一些符号的详细解释A 存储全市图信息的邻接矩阵 D 任意两路口节点间的最短距离矩阵X 01-规划矩阵ij a ,i j 两路口节点标号之间直达的距离 ij d 从i 路口到j 路口的最短距离 ij b 从i 号平台到j 号出口的最短距离ij x 取0或1，1ij x =表示第i 号平台去封锁j 号出口在本文中经常用到,i j ，通常表示路口的编号，但是在ij d ，ij b ，ij x 不再表示这个意思，i 表示第i 个交巡警平台，交巡警平台的标号与附件中给的略有不同，如第21个交巡警平台为附件中的标号为93的交巡警平台，本文的标号是按照程序的数据读取顺序来标注的，在此声明；j 表示第j 个出口，如：第5个出口对应于附件中的路口编号为203的出口。
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
立体几何中最短距离的求解策略
立体几何中最短距离的求解策略
在立体几何中，最短距离指的是从一点到另一点之间最短可到达的距离，也叫最短链接距离。
面对复杂的立体几何问题，如何求解最短距离，给出解决策略是非常有必要的。
解决立体几何中最短距离的求解策略主要分为三个步骤：
首先，我们需要分析最短距离的特点，也就是所谓的“直线最短”原则，也就是几何图形中的任意两点之间的最短距离必须是直线距离。
其次，根据几何图形的形状和特性，求解具体问题中的最短距离。
例如，分析棱柱之间的最短距离是什么，棱柱之间最短距离为棱柱的直径；分析球面上任意两点之间的最短距离是什么，球面任意两点之间的最短距离是一个弧线的弦长。
最后，运用数学原理求解最短距离的问题，按照古典几何计算思路，计算出最短距离的标准式；其次，运用现代几何理论，使用科学计算方法给出解决最短距离问题的数值解。
以上是解决立体几何中最短距离的求解策略，主要有分析最短距离特点、根据形状和特性求解具体最短距离、运用数学原理求解最短距离三个步骤。
做好最短距离求解既是立体几何研究的重点，也是解决实际工程问题的重要基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任意两点间最短距离-floyd算法matlab程序
%Floyd's Algorithm 通过一个图的权值矩阵求出它的任意两点间的最短路径矩阵。
%Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，
%稠密图效果最佳，边权可正可负。
%此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
%a为图的带权邻接矩阵
%从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，
%即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；
%又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；
%最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
%矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，
%同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
%采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。
所以时间复杂度为O(n^3); matlab函数文件为：
function [D,path]=floyd1(a)
a(find(a==0))=inf;
n=size(a,1); %计算出a的规模的大小.
D=a;path=zeros(n,n);%设置D和path的初值.
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end
end
end
%做n次迭代，每次迭代均更新D(i,j)和path(i,j)
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end
end
end
end
for i=1:n
D(i,i)=0;
path(i,i)=i;
end
关于path的说明：path（i，j）表示从i到j的最短路径中紧接着i后面的一个结点举例如下：无向图
由该图的带权邻接矩阵（边权矩阵）a为：
>> a=[0 3 5 inf 8 inf
3 0 2 5 inf 7
5 2 0 4 inf 3
inf 5 4 0 6 1
8 inf inf 6 0 2
inf 7 3 1 2 0]
a =
0 3 5 Inf 8 Inf
3 0 2 5 Inf 7
5 2 0 4 Inf 3
Inf 5 4 0 6 1
8 Inf Inf 6 0 2
Inf 7 3 1 2 0
然后将上述代码写入一个floyd1.m文件，在命令窗口中输入：>> [D,path]=floyd1(a);
>> D
D =
0 3 5 8 8 8
3 0 2 5 7 5
5 2 0 4 5 3
8 5 4 0 3 1
8 7 5 3 0 2
8 5 3 1 2 0
>> path
path =
1 2 3 2 5 3
1 2 3 4 3 3
1 2 3 4 6 6
2 2
3
4 6 6
1 6 6 6 5 6
3 3 3
4
5 6
解释：比如我们看到D(1,5)=8表示v1到到v5的距离是8，再查看具体路径，path(1,5)=5，表示v1到v5最短路径中紧接着v1的下一个顶点就是v5，说明边（v1,v5)就是最短路；
再如，D(1,6)=8，path(1,6)=3，path(3,6)=6，说明v1到v6的最短距离是8，最短路为v1->v3->v6。
从D(1,6)=8=5+3=D(1,3)+D(3,6)可以得到验证。