第2章 一元二次函数、方程与不等式(一)-2020-2021学年高一数学(人教A版(2019))(含答案)
第 2 章一元二次函数、方程与不等式（一）
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)
1．已知 a ， b ， c ， d 为实数， a b 且 c d ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
a2 b 2 ab
故选 C．
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的大小关系是( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
D．M≤－5
【答案】A
【解析】M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0，
1 y
1，
x
2y
的最小值为 a
，若
m2
7m
a
，
则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 8 m 1 C． m 8或m 1
【答案】A
B． m 1或m 8 D． 1 m 8
【解析】由基本不等式得
x
2y
2 x
1 y
(x
2y)
4y x
x y
4
2
4y x 4 8， xy
当且仅当 4 y x (x, y 0) ，即当 x 2 y 时，等号成立， xy
设汽油的价格是每升
2
元，而汽车每小时耗油
2
x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元．
（1）这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
（2）当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
2020-2021 学年高一数学必修第一册单元提优卷
第 2 章一元二次函数、方程与不等式（一）
A． 6
B． 2 3 3
【答案】B
【解析】 x2 y2 xy 1 x y 2 xy 1 ，
C． 4
2
D．
3
xy
x
2
y
2
，
x
y2
x
2
y
2
1 ，解得
3 4
x
y2
1，
2 3 x y 2 3 ， x y 的最大值是 2 3 ．
3
3
3
故选 B．
12．若
x
0,
y
0
，且
2 x
17．（10 分）解不等式： 0 x2 x 2 4 .
18.（12 分）（1）设 x y 0 ，试比较 (x2 y2 )(x y) 与 (x2 y2 )(x y) 的大小；
（2）已知 a，b，x，y (0， )
且
1 a
1 ，x b
y
，求证：
x
x a
y
y b
．
19．（12 分）已知关于 x 的不等式 ax2 3x 2 0 的解集为 A x 1 x b ．
ax2
bx
c
0
的两根为
x1
1, 3
x2
2
，且
a
0
，则
a 9 4a
b c 0 3 2b c 0
，
解得 ab5232cc
，则代入 cx2 bx a 0 得 cx2 5 cx 3 c 0 .因为 a 0 ，则 c 0 ， 22
所以
cx2
5 2
cx
3 2
c
0
可化为
2x2
5x
3
0
，解得
2 3
,1
【解析】由 3x2 x 2 0 得 3x2 x 2 x 1 3x 2 0 ，
所以不等式
3x2
x
2
0
的解集为
2 3
,1
．
故答案为：
a
，
则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 8 m 1
B． m 1或m 8
C． m 8或m 1
D． 1 m 8
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．不等式 3x2 x 2 0 的解集为____________．
14．已知 a b 0 ，且 c d 0 ，则 a 与 b 的大小关系是
x
0,
可化为
x
1 2
x
3 2
0,
1 2
x
3 2
，
所以不等式的解集为.{x | 1 x 3}
2
2
故选：C．
4．设 1 b 1 a ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． 1 1 ba
B． 1 1 ba
C． 2b a2
【答案】D
【解析】：因为 1 b 1 a ，所以 b2 1 a
【答案】C
【解析】：令 a 2 ， b 2 ， c 1， d 4
选项 A， ac 2 ， bd 8 ， ac bd ， A 错误；
选项 B， a-c 1， b-d 2 ， a-c b-d ，B 错误； 选项 C， a b ， c>d ， -d >-c ，根据不等式的加法性质 a-d >b-c ，C 正确.； 选项 D， 1 1 ， 1 1 ， 1 1 ，D 错误.
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)
1．已知 a ， b ， c ， d 为实数， a b 且 c d ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． ac bd
B． a c b d
C． a d b c
D． 1 1 ab
33
33 3
又 1 n 5 8 8 n 40 ，因此 1 z 9x y 8 n 5 m 20 ，故本题选 B．
33 3
33
10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x （件）与单价 P （元）之间的关系为 P 160 2x ，生产 x 件
所需成本为 C （元），其中 C 500 30x 元，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 x 的取值范围是
（1）求 a，b 的值；
（2）求函数
(2a
b)
x
(a
9 b)x
(x∈A)的最小值．
20．（已知关于 x 不等式 x2 2mx m 2 0(m R) 的解集为 M . (1)当 M 为空集时,求 m 的取值范围； (2)在(1)的条件下,求 m2 2m 5 的最小值；
m 1
21.(12 分）已知关于 x 的函数 y= 2x 2 ax 1．(x∈R)
．
dc
15．（天津卷）14.已知 a 0,
b
0
，且
ab
1
，则
1 2a
1 2b
a
8
b
的最小值为_________．
16．有下面四个不等式：①
a2
b2
c2
ab
bc
ca
；②
a 1
a
1 4
；
③ b a 2 ；④ a b ab ．其中恒成立的有______个．
ab
2
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
A．[7, 26]
B．[1, 20]
C． [4,15]
D． [1,15]
10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x （件）与单价 P （元）之间的关系为 P 160 2x ，生产 x 件 所需成本为 C （元），其中 C 500 30x 元，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 x 的取值范围是
（）
A． 20 x 30
C．15 x 30
B． 20 x 45 D．15 x 45
11．若实数 x, y 满足 x2 y2 xy 1，则 x y 的最大值是（ ）
A． 6
B． 2 3 3
C． 4
D． 2 3
12．若
x
0,
y
0
，且
2 x
1 y
1，
x
2y
的最小值为 a
，若
m2
7m
A．2
3
B．
2
C．1
6．若 y x2 ax 1 有负值，则 a 的取值范围是（ ）
1
D．
2
A． a 2 或 a 2
B． 2 a 2
C． a 2
D．1 a 3
7、已知不等式
ax2
bx
c
0
的解集为
x
|
1 3
x
2
，则不等式
cx2
bx
a
0
的解为（
）
A．
x
|
3
x
1
2
B． x
x
3 或
A．{x | x 1 或 x 3}
2
2
B．{x | x 1 或 x 3}
2
2
C．{x | 1 x 3}
2
2
D．{x | 1 x 3}
2
2
4．设 1 b 1 a ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． 1 1 ba
B． 1 1 ba
C． 2b a2
D． b2 a
5．若 x 0, 2 ，则 x 2 x 的最大值是（ ）
x
1
2
C．
x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|
2
x
1
3
D．x
x
2
或
x
1
3
8．已知关于 x 的不等式 x2 4x m ，对任意 x (0,1] 恒成立，则有（ ）
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)-2024-2025学年高一数学教材课件
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程 + 1 = 0的解为 = −1
=+
−
⇒
不等式 + 1 > 0的解为 > −1
不等式 + 1 > 1的解为 > 0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教学目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。
2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。
3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
01
温故知新
情景导入
= + +
+ + =
他们的联系又是怎样的呢？
+ + >
02
一元二次不等式
概念讲解
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24
ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念讲解
在上题中我们得到这样一个不等式：
时，对应的的取值范围的集合；
③ + + < 的解集⇔ = + + 的图像上的点 , 处于轴 下方
时，对应的的取值范围的集合；
概念讲解
例1.求不等式 − + > 的解集.
解：对于方程 − + = ，因为 > ，所以它有两个实数根.
2020-2021人教版高一数学《二次函数与一元二次不等式》知识梳理与例题详解
第二章 一元二次不等式、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识网络详解】知识点一：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02>++c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 21,x x 有两相等实根a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x << ∅ ∅ 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或 R R 的解集)0(02>≤++a c bx ax {}21x x x x ≤≤ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b 2 ∅【考向详析】题型一：解一元二次不等式例1.解下列不等式：(1) x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x (4)2x 2－4x ＋7<0.【练习】1.解下列不等式：（1）02132-2≤-+x x ； （2）()422≤-x题型二：含参的一元二次不等式的解法例1.解下列不等式：（1）02322<+-a ax x ； （2）0232≤+-a ax ax ； （3）01)1(2≥++-x a ax【练习】1.解下列不等式（1）()a x a x +--12>0； （2）()0222≤++-x a ax题型三：三个“二次”之间的关系例1.已知不等式02≤++b ax x 的解集为{}32≤≤x x ，则=+b a 。
2020-2021学年高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、
2020-2021学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（2）学案（含解析）新人教A版必修第一册年级：姓名：2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(2)内容标准学科素养1.会解简单的分式不等式．数学运算数学建模2.通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题．3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以求解.授课提示：对应学生用书第27页[教材提炼]知识点一分式不等式的解法预习教材，思考问题不等式1x＞1与x＜1等价吗？1x＞1的解集应是什么？知识梳理一般的分式不等式的同解变形法则(1)f xg x＞0⇔f(x)·g(x)＞0；(2)f xg x≤0⇔⎩⎨⎧f x·g x≤0，g x≠0；(3)f xg x≥a⇔f x－ag xg x≥0.知识点二一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立问题预习教材，思考问题(1)∀x∈R，x2－c＞0，c取何值？(2)∀x∈R，ax2＋1＞0，a取何值？知识梳理一元二次不等式恒成立的情况：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a＞0Δ＜0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a ＜0Δ≤0.[自主检测]1．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞4答案：A2. 不等式1x＞1的解集为________．答案：{x |0＜x ＜1}3．对∀x ∈R ，x 2－a ＞0恒成立，则a 的取值范围为________． 答案：a ＜04．要使x 2－4x ＋9有意义，则x 的取值集合为________． 答案：R授课提示：对应学生用书第28页探究一 解简单的分式不等式 [例1] 解不等式． (1)x ＋21－x ＜0； (2)x ＋1x －2≤2. [解析] (1)由x ＋21－x ＜0，得x ＋2x －1＞0.此不等式等价于(x ＋2)(x －1)＞0. ∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． (2)法一：移项，得x ＋1x －2－2≤0， 左边通分并化简，得－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎨⎧x －2x －5≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 法二：原不等式可化为x －5x －2≥0. 此不等式等价于⎩⎨⎧x －5≥0，x －2＞0，①或⎩⎨⎧x －5≤0，x －2＜0.②解①，得x ≥5. 解②，得x ＜2.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}.1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.解不等式(1)x 2－x －6x －1＞0；(2)2x －13－4x＞1. 解析：(1)原不等式等价于⇔⎩⎨⎧x 2－x －6＞0x －1＞0，或⎩⎨⎧x 2－x －6＜0x －1＜0.解得x ＞3或－2＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＞3，或－2＜x ＜1}．(2)原不等式可化为2x －13－4x －1＞0，即3x －24x －3＜0，等价于(3x －2)(4x －3)＜0.∴23＜x ＜34. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |23＜x ＜34.探究二 不等式恒成立问题[例2] [教材P 52例3拓展探究] (1)不等式x 2－2x ＋3＞0的解集是什么？[解析] 由于x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立． ∴x ∈R .解集为R .(2)若不等式x 2＋ax ＋3＞0的解集为R ，求a 的范围． [解析] 设y ＝x 2＋ax ＋3， 要使x 2＋ax ＋3＞0的解集为R∴Δ＝a 2－4×3＜0，解得－23＜a ＜2 3.(3)若不等式ax 2＋2ax ＋3＞0的解集为R ，求a 的范围． [解析] 当a ＝0时，3＞0，x ∈R . 当a ＞0时，Δ＝4a 2－12a ＜0 ∴0＜a ＜3.当a ＜0时，不成立． 综上，0≤a ＜3.对于一元二次型不等式恒成立，注意参数的讨论ax 2＋bx ＋c ＞0，①a ＝0时，有c ＞0.②⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0，①a ＝0时，c ＜0.②⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式精品课件
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 8．给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是___③_____．
解析 ①当 c>0 时，由 ac>bc 可得 a>b，当 c<0 时，由 ac>bc 可得 a<b，故 ①错；
4．已知 a，b，c 为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，
那么 P 与 Q 的大小关系是( A )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析 ∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，且 a，b，c 不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
12．(10
分)已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小． a
)
－
(
a＋
b)＝(
a－ b
b)＋(
b－ a
a
)
＝
a－b b
＋
b－a a
＝
（a－b）（ a－ ab
b）＝（
a－
b）2（ ab
a＋
b） .
∵a，b 为正实数，
∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，
A类
1 2
7.5
B类
1 3
6
今制定计划欲使总产值最高，则 A 类产品应开发___2_0____件，最高产值为
2020-2021学年人教A版高中数学必修第一册课件：2.3二次函数与一元二次方程-、不等式(共19
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
例2：当a ห้องสมุดไป่ตู้时，解不等式 x2 (a 2)x 2a 0
变式：解不等式 x2 (a 2)x 2a 0
点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系 进行分类讨论！最后应加一段总结，按参数的大小顺序分 段将结论列举出来
含参数的一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次 方程 、不等式
问题导学 预习教材 P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应 关系？ 3．求解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
1．一元二次不等式
(1)一般地，我们把只含有一___个___未知数，并且未知数的最高次 数是__2____的不等式，称为一元二次不等式．
(2) 一 元 二 次 不 等 式 的 一 般 形 式 是 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_____ 或 __a_x_2_＋__b_x_＋__c<__0_____ (其中 a，b，c 均为常数，a≠0)
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．
(2)二次，即未知数的最高次数必须为 2，且其系数不能为 0. 2．二次函数的零点
3．求解一元二次不等式的过程
题型一 解不含参数的一元二次不等式
例 1 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－81≥0；
4 (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－1x2＋3x－5>0.
2
【解】 (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0， 所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 xx＜－3或x>－12. (2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94.
2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等
解析
∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0， ∴ x2＋x－2＜0 ，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选B.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
刷能力
8．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( A ) A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a} C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
刷能力
5．[陕西延安2020高二期中]关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x>－1}， 则关于x的不等式(bx＋a)(x－3)>0的解集是( C )
A．{x|x<－1或x>3} B．{x|－1<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}
解析
由关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x>－1}，可得a＞0且
价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400 元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( B )
A．{x|10＜x＜20}
B．{x|15≤x＜20}
C．{x|15＜x＜20}
D．{x|10≤x＜20}
解析
由题意可知x[30－2(x－15)]＞400，则－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0，∴(x－10)(x－20)＜
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
刷基础
题型4 已知不等式的解集求参数值
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式3二次函数与一元二次方程不等式第1课时课件新人教必修一
程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( × )
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－3<0，可得函数y＝x2－x＋1 的图象与x轴没有交点．
(2)因为(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个 不相等的实数根．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
[课程目标] 1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存 在性，即实根个数，了解函数的零点与方程的根的 关系；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的 过程，了解一元二次不等式的实际意义，借助二次 函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程 的联系；
所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二 二次函数和一元二次方程、不等式的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次 方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点 的____横__坐__标____；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或 ax2＋bx＋c<0，下表给出了当a>0时，二次函数与一元二次 方程、不等式的解集的对应关系：
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0 恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0， 得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求 根公式得另一个根为－2.
例1 教材拓展求下列不等式的解集：
R __∅__
[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联 系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二 次方程．
高中数学必修第一册人教A版第2章一元二次函数、方程和不等式课件
（2）9 2 − 6 + 1 > 0
（3）− 2 + 2 − 3 > 0
答案：（1） | < , 或 >
（2） | ≠
（3）∅
【变式训练3】
2.已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.
解:(1)若a=0,则原不等式为-2x<0,故解集为{x|x>0}.
水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间
有如下的关系：
= −2 2 + 220.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在
一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解 ：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托
车，根据题意，得
−2 2 + 220 > 6000.
数a的取值范围.
解法一∵1<x<4,
2-2
.
2
∴不等式 ax2-2x+2>0 可转化为 a>
2-2
1 1 2 1
1
+
.
−
≤
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
<1,
,
x=2
,
,
a>
,即实数
∵4 < ∴当 = 2 即
时 函数取得最大值 ∴
2
2
1
的取值范围为 ,+∞ .
2
令 y=
=-2
a
1
解法二依据 a 的取值进行分类讨论:
第二章一元二次函数方程和不等式课件高一上学期数学人教A版
要点⑧ 三个二次运用——求最值
例8 已知正实数 a，b 满足 a＋2b＋ab＝30，试求实数 a，b 为何值时， ab 取得最大值．
【解析】 构造关于 a 的二次方程，应用“判别式法”． 设 ab＝y， ① 由已知得 a＋2b＋y＝30. ② 由①②消去 b，整理得 a2＋(y－30)a＋2y＝0， ③ 对于③，由 Δ＝(y－30)2－4×2y≥0，即 y2－68y＋900≥0，解得 y≤18
训练
【解】 设 mA＝x，mB＝y. (1)证明：甲买进产品 A 的满意度：h1 甲＝x＋1212；
甲卖出产品 B 的满意度：h2 甲＝y＋y 5；
甲买进产品 A 和卖出产品 B 的综合满意度：h 甲＝
x＋1212·y＋y 5；
同理，乙卖出产品 A 和买进产品 B 的综合满意度：h 乙＝
x 20 ·.
要点③ 基本不等式求最值
例3 已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 则 x＋2y 的最小值是( B )
9 11 A．3 B．4 C.2 D. 2
【解析】由 x＋2y＋2xy＝8 得(x＋1)(2y＋1)＝9， 又 x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2 x＋12y＋1－2＝4，当且仅当
x＋1＝2y＋1 时“＝”成立， 又 x＋2y＋2xy＝8，∴x＝2，y＝1 时，取“＝”．
训练
6．已知 a，b，c 为互不相等的正数，且 abc＝1，
111 求证： a＋ b＋ c<a＋b＋c.
【证明】证法一
∵ a，b，c 为互不相等的正数，且 abc＝1，
∴ a＋ b＋ c＝
b1c＋
c1a＋
1 ab
<
1b＋2 1c＋1c＋2 1a＋1a＋2 1b
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.