数字信号处理(第四版)(高西全)章 (2)
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
数字信号处理教程第四版答案
z2 x (n ) [z ]z 0 8 1 (z )z 4
当n 0时，围线内部没有极点 ，故x(n) 0
1 x(n) 7 u(n 1) 8(n) 4
n
z2 部分分式法： X(z) 1 z 4 X(z) z2 A1 A2 故 1 1 z z (z )z z 4 4
数 字 信 号 处 理
第二章 z变换与离散时间傅里叶 变换(DTFT)
2.2 z变换的定义与收敛域
序列x(ห้องสมุดไป่ตู้)的z变换定义为：
n x ( n ) z
X ( z)
n
对任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的所有z值的集合 称为X(z)的收敛域，上式收敛的充分必要条件是满足绝 对可和
1 z2 A1 [(z ) ] 1 7 1 4 (z )z z 4 4 z2 A 2 [z ] 8 1 z 0 (z )z 4
n
7 1 X( z ) 8，| z | 1 1 4 1 z 4
1 x(n) 7 u(n 1) 8(n) 4
1 | z | 4
n 1
jIm[z]
1/4 o
Re[z]
当n 1时，分母中z的阶次比分子中 z的阶次高两阶 或两阶以上，可用围线 外部极点求解
1 (z 2)z n 1 1 n x (n ) [(z ) ] 1 7( ) z 1 4 4 4 z 4
z2 当n 0时，F(z) ，此时围线内部有一阶 极点z 0 1 (z )z 4
1 n x (n ) ( ) u (n ) 2
部分分式法： Z[a n u (n )]
1 ， | z || a | 1 1 az
(NEW)程佩青《数字信号处理教程》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 离散时间信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散傅里叶变换（DFT）3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 快速傅里叶变换（FFT）4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 数字滤波器的基本结构5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 无限长单位冲激响应（IIR）7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法8.1复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第9章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 名校考研真题详解第10章 数字信号处理中的有限字长效应10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 名校考研真题详解第1章 离散时间信号与系统1.1 复习笔记一、离散时间信号——序列1．序列序列可以有三种表示法。
（1）函数表示法。
例如x（n）＝a n u（n）。
（2）数列的表示法。
例如x（n）＝{...，－5，－3，－l，0，2，7，9，…）本书中，凡用数列表示序列时，都将n=0时x（o）的值用下划线（_）标注，这个例子中有z（－1）＝－3，x（0）＝－l，x（1）＝0，…（3）用图形表示，如图l-1所示。
图1-1 离散时间信号的图形表示2．序列的运算（1）基于对序列幅度x（n）的运算序列的简单运算有①加法；②乘法；③累加；④序列绝对和；⑤序列的能量；⑥平均功率。
（2）基于对n的运算①移位，某序列为x（n）则x（n－m）就是x（n）的移位序列，当m＝正数时，表示序列x（n）逐项依次右移（延时）m位；当m＝负数时，表示序列 x（n）逐项依次左移（超前）m位；②翻褶，若序列为x（n），则x（－n）是以n＝0为对称轴将x（n）序列加以翻褶；③时间尺度变换。
数字信号处理高西全课后答案ppt
详细描述
线性时不变系统是指系统的输入和输出之间存在线性关系，并且系统的特性不随时间变化而变化。这种系统的行为可以用线性常系数微分方程来描述，同时它的输出不依赖于输入的时间函数，只依赖于输入的初始状态。
线性时不变系统
VS
频域分析可以揭示信号的频率成分和频率域中的每个成分与原始信号之间的关系。通过在频域中对信号进行分析和处理，可以实现信号的滤波、去噪、压缩和恢复等功能。
频域分析在信号处理、图像处理、通信系统等领域得到广泛应用。例如，在图像处理中，频域分析可以用于图像滤波、边缘检测等任务；在通信系统中，频域分析可用于调制解调、频谱分析等。
详细描述
04
第四章 傅里叶变换与频域分析
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换到频域的方法，通过将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要性质，包括线性、对称性、可逆性、Parseval等式等。这变换的定义与性质
离散时间信号
定义
如果信号仅在离散时间点上有定义，则该信号称为离散时间信号。
例子
数字音频、图像数据等。
数学表示方法
通常使用序列形式来表示，例如y[n] = sin(n)。
01
03
02
连续时间信号的数学表示方法
离散时间信号的数学表示方法
其他表示方法
信号的数学表示方法
03
第三章 系统分析基础
总结词
快速傅里叶变换（FFT）算法的基本思想
根据算法实现方式的不同，可以分为按时间抽取（DIT）和按频率抽取（DFT）两种FFT算法。
数字信号处理课件-高西全
3 3 答案： x(n) * h(n) {0, ,4,7,4， } 2 2
1.3 时域离散系统
y(n) T x(n)
一、线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系
统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的 输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即
y1 (n) T x1 (n)
RN (n) (n) (n 1) (n 2) [n ( N 1)] (n k )
k 0 N 1
4． 实指数序列
x(n) a u(n)， a为实数
5． 正弦序列
x(n) A sin(n )
6． 复指数序列
1.4 时域离散系统的输入输出描述 法——线性常系数差分方程
N阶线性常系数差分方程表示：
a y ( n i ) b x( n j )
i 0 i j 0 j
N
M
a0 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序 列和输出序列，ai和bj均为常数.
线性常系数差分方程的求解
1.1 引
言
信号的定义： 载有信息的，随时间变化的物理量或 物理现象。 信号的分类：
时域连续信号 模拟信号 时域离散信号 数字信号
系统定义： 系统分类： 时域连续系统 模拟系统 时域离散系统 数字系统
一．单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为
u (t )
1
0
二、时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［· ］在整个运 算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号 的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称 为时不变系统，用公式表示如下：
数字信号处理西安电子高西全课后习题答案
(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
=y′(n)
故该系统是非时变系统。 因为
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
数字信号处理第四版高西全课后答案
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) n0 （4）y(n)=x(－n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
, 这是2π有理1数4， 因此是周期序
3
（2） 因为ω=
,
所以
1
8
=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
2π
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
4． 对题1图给出的x(n)要求：
(1) 画出x(－n)的波形；
(2) 计算xe(n)= (3) 计算xo(n)=
1 2 ［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； 1 ［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形; 2
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，
要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
(优选)数字信号处理第四版高西全.
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
k 0, 1, , N 1
(3.1.1)
X(k) Transform, IDFT) 为
(Inverse Discrete Fourier
x(n)
IDFT[ X (k)]
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
n 0, 1, , N 1
所以(3.1.1)式中，X（k)满足：
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k )
n0
n0
实际上，任何周期为N的周期序列 ~x(n) 都可以看做 长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是
的一个周期，即
x(n) x(n mN ) m
3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M
Z 变换和N(N≥M)
点DFT分别为
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n0
M 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNkn n0
比较上面二式可得关系式
k 0,1, , N 1
X (k) X (z) j2πk ze N
例如， N 8, x(n) x((n))8 , 则有
x(8) x((8))8 x(0)
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
x(n) x(n) RN (n)
(3.1.5) (3.1.6)
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期 序列 ~x(n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~x(n) 的主 值区间，而主值区间上的序列称为 ~x(n) 的主值序列。 因此x(n)与 ~x(n) 的上述关系可叙述为： ~x(n) 是x(n)
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 时域离散信号的傅里叶变换 时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换 2.2.1 序列x(n)的傅里叶变换定义为
X (e j ) FT[x(n)] x(n)e jn n
（2.2.1）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充 分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析 方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量 时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用 信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。 而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列） 表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里 叶变换或Z 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分 析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理
点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈
高，但又是以2π为周期，那么最高的频率应是ω=π。另外 要说明的是，所谓x(n)的直流分量，是指如图2.2.2（a）所 示的波形。例如，x(n)=cosωm，当ω=2πM, M取整数时， x(n)的序列值如图2.2.2（a）所示，它代表一个不随n变化的 信号（直流信号）；当ω=(2M+1)π时，x(n)波形如图2.2.2 （b）所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的正弦信 号。由于FT的周期是2π，一般只分析－π~＋π之间或0~2π 范围的FT
e j(N 1)2 sin(N / 2) sin( / 2)
（2.2.4）
当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图 2.2.1所示。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 1． FT 在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：
对比上面两公式，因左边相等，因此得到：
xer (n) xer (n)
（2.2.10）
xei (n) xei (n)
（2.2.11）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部 是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：
xo (n) xo* (n)
设序列xe(n)满足下式：
xe (n) xe*(n)
（2.2.9）
则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么 性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：
xe (n) xer (n) jxei (n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：
xe* (n) xer (n) jxei (n)
X (e j ) x(n)e jn x(n)e j(2πM )n X (e j(2πM ) )
n
n
Ｍ为整数
(2.2.5)
观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期 是2π
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
由FT的周期性进一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的 频谱分布应是相同的（M取整数），在ω=0，±2π, ±4π,
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
【例2.2.1】 设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。
解
N 1
x(e j )
RN (n)e jn e j
n
n0
1 e jN e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) 1 e j e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
【例2.2.2】 试分析x(n)=ejωm 解 因为
x*(－n)=ejωm=x(n) 满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部 与虚部，则得到：
| x(n) | 傅里叶反变换为
x(n) IFT[X (ej )] 1 π X (ej )d （2.2.3） 2π π
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
（2.2.1）和（2.2.3）式组成一对傅里叶变换公式。 （2.2.2）式是傅里叶变换存在的充分必要条件，有些函 数（例如周期序列）并不满足（2.2.2）式，说明它的傅 里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里叶变换也 可以用冲激函数的形式表示出来，这部分内容将在2.3节
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号
傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题
式中, a，b是常数。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3．时移与频移 设X(ejω)=FT［x(n)］, 那么
FT[x(n n0 )] e jm0 X (e j ) FT[ej0n x(n)] X (ej(0 ) )
(2.2.7) (2.2.8)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4． FT 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共
（2.2.12）
将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：
xo (n) xor (n) jxoi (n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 可以得到：
xor (n) xor (n)
xoi (n) xoi (n)
（2.2.13） （2.2.14）
即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图2.2.2 cosωm 的波形
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2． 线性 设X1(ejω)=FT［x1(n)］, X2(ejω)=FT［x2(n)］, 那 么
FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j ) bX 2 (e j ) (2.2.6)