高中数学到底有多少道习题

高中数学到底有多少道习题━兼论数学解题长度众所周知，问题与解是数学的心脏。

解题是数学教学的显著特征。

无需讳言，在应试教育的大背景下，高中数学的解题教学尤其重要。

本文以苏教版高中数学教学体系为例，给出高效构建高中数学习题体系的策略，初步提出解题长度的概念，抛砖引玉，旨在优化高中数学的有效教学，让学生真正从浩如烟海的“题海”中解脱出来。

一、粗犷的高中数学习题体系的建构策略解决数学问题需要具备哪些条件? 通常认为,首先是必须具有一定的数学基础知识，其次是要具有一定的数学思想方法。

概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学知识是数学的内容，可以用文字和符号来记录和描述，但随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

在数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。

数学思想是一种意识形态，用以对数学问题的认识、处理和解决，只能够领会和运用，并且不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也对你还会起作用。

数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

由此可见，在高中数学中 “知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。

高中数学教学的根本目的是提高学生的数学素质，而数学素质的核心就是对数学思想方法的认识和运用，其综合体现就是所谓的“能力”。

按照高中数学课程标准和教学要求，同类的学生所要解决的问题都是相同的、有限的，但是随着教学日复一日地进行，学生往往或多或少地能够解答一些习题。

如果学生在解答一个习题时没有出现任何错误，从理论上说，这个习题就不需要重做了。

这样一来，一个学期要做的习题不是越来越多，而是越来越少。

因此,从理论上说，数学教学过程可以用如下集合的减法公式来表示： B(t)＝U-R(t)={})(,t R x U x x ∉∈。

这里U 是指确定的高中数学习题全集（最佳时，它是唯一的），其容量是一个相对稳定的“常数”；R(t)是指学生已经得到完全正确解答的习题集（即U 的子集），其容量是一个随时间(t)的推移而不断增加的“变数”；B(t)则是划去那些已经得到完全解答的习题所剩下的习题构成的习题集（即在U 中R(t)的补集），其容量是随时间(t)推移而不断减小的“变数”,也是后续教学的焦点。

高中数学习题全集是决定整个教学成绩的关键因素，它的质量直接决定高中数学教学的最后质量。

怎样科学地确定高中数学的习题全集？教科书是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性、规范性，也是解题能力的生长点，其中的例题和习题应当是高中数学习题全集的核心部分，学生必须要能够彻底地解答这些题目。

在教学实践中，不少教师感到仅有教科书里的习题是不够的，有必要对其加以扩展。

在当前各种教辅材料铺天盖地之际，那些来自于教科书之外的习题不能不经研究、选择、有计划就进入习题全集。

当前,学生数学课业负担过重和数学教师负担过重(包括批改作业的体力负担与实绩竞争的心理负担)日益剧烈,其成因:一是师生受“作业做得越多越好”经验的误导;二是教师自身缺乏自信心和判断力;三是教研管理不到位。

怎样选择教科书之外的习题进入高中数学习题全集呢？首先，要认真研究高中数学课程标准和教学要求，并将教科书中的习题按照基本题、中档题和难题区别开来，确认在教学中学生必须真正解决的那些习题；其次，选择与教科书相匹配的教辅资料、当地名校或联考的同步测验试卷，通过认真研究后将其中的一些真正有价值的题目（以变式题为主，扩展题为辅，份量和难度按学生的实际水平在整体上加以控制）选入习题全集。

当然，我们有必要选定一部分题目留作阶段性测验之用；最后，按学期将所有的习题进行全面的整理，并编成“学生用习题全集计划书”加以实施。

在数学教学中运用“减法智慧”能够体现有效教学的最基本特征：绩效特征（效率趋高、策略优良）和活动要素特征（学生愉快、教师导向、弹性、生成），加强教学的针对性，切实减轻师生的负担，有效提高学生（特别是学困生）的数学学业成绩。

二、精确的高中数学习题体系的建构策略问题树是麦肯锡分析问题最常使用的工具。

问题树就是将一个问题的所有子问题分层罗列，从最高层开始，并逐步向下扩展:把一个已知问题当成树干，然后开始考虑这个问题和哪些问题相关。

每想到一点，就给这个问题（也就是树干）加一个“树枝”，并标明这个“树枝”代表什么问题。

一个大的“树枝”上还可以有小的“树枝”，如此类推，找出问题的所有相关问题。

问题树主要是帮助你理清自己的思路，不进行重复和无关的思考。

高中数学是一棵分支众多的大树:根是高中数学所蕴涵的数学知识和数学思想方法,主干是与日益增长的数学知识有关的背景问题，分支是用已学的数学知识能够解决的一系列问题；再向下扩展，一部分是单纯地利用所学的数学知识就能够完全解决的问题，另一部分是不仅要利用所学的数学知识而且要利用数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想方法才能够完全解决的问题。

由此,我们产生一个贪婪的想法:高中数学教学的实质是“问题树”的教学。

高中数学中的“问题树”是一个有权重但无环路的无向连通图G, 它包含的顶点集是由一个个问题组成的集合V{v1, v 2,...,vs}，边集是由问题的解组成的集合E{E1,...,Et},对于任意一条边Ei，都有一个由问题的解所蕴涵的数学知识和数学思想方法组成的权重wi(我们暂且理解为问题的解所蕴涵知识点的个数与数学思想方法的个数之和)。

显然, 这样的“问题树”不是唯一的,但存在各边的权重之和最小的“最小问题树”。

这样，高中数学优质教学就是在确认了“最小问题树”之后，使学生最大程度地真正解决“最小问题树”中的问题。

怎样确认高中数学的“最小问题树”？一种可行的想法是：利用前述的“高中数学习题全集”来构造“最小问题树”，即构造出最佳的“高中数学习题全集”。

前述的“高中数学习题全集”，是凭借少数的精英教育的教学经验积累下来的，其显著特点是由于地域和技术的局限性，选题比较粗糙，与教学要求不相符合，特别是容易出现教学功能性重复或者缺失，因而难以公认。

这一点，从当前铺天盖地的各种教辅材料（特别是习题集）良莠不齐可见一斑。

为精确起见，我们不妨借助于现代信息技术（计算机题库管理系统+网络平台）来实现。

高中数学的计算机题库管理系统可以由“题型”（单选项）、“知识点”（多选项）、“数学思想方法”（多选项）、“难度”（单选项）、“用途”（多选项）、“来源”（多选项）、“录入时间”（单选项）等项目组成。

“题型”分“选择题”、“填空题”、“解答题”等。

“知识点”分“册号”、“章名”、“节名”、“知识点名”。

以苏教版高中数学必修课为例，课本有5+2=7册，13+6=19章，73+24=97节，约120个知识点。

“数学思想方法”分“数学方法”、“数学思想”，其中高中数学方法常用的有五种：观察与实验法（包括图像法）、分析(包括逆证法)与综合法(包括定义法、公式法)、特殊与一般法(包括参数法、待定系数法)、归纳与类比法(包括换元法、解析法)、补差法（包括消去法、放缩法、反证法）等；高中数学思想常用的有三种：符号与变元表示的思想（包括函数与方程思想）、数形结合思想、对立统一的思想（包括整体思想、分类讨论思想、化归思想）等。

高中数学方法与数学思想是相辅相成的。

数学思想是数学方法的精神实质和理论基础，数学方法则是体现数学思想的技术手段。

“难度”通常分“容易”、“偏易”、“中等”、“偏难”、“难”五档。

“用途”分“课型”、“用处”，其中“课型”分新授课、复习课；“用处”分例题、同步训练、测试等。

“来源”分“课本”、“参考书”、“地区联考卷”、“高考真卷”、“高考模拟卷”等。

由此可见，如果一个数学题以涉及到的知识点为1-3个、涉及到的“数学思想方法”中“数学方法”、“数学思想”各1-2个，则大约有(120+120╳119/2+120╳119╳118/6) ╳(5+10) ╳(3+3)= 25 929 000道不同的题目，高达2 500万之多；如果一个数学题以涉及到的知识点为1-2个、涉及到的“数学思想方法”中“数学方法”、“数学思想”各1-2个，则大约有(120+120╳119/2) ╳(5+10) ╳(3+3)= 653 400道不同的题目，也高达50万之多。

因此，无论从理论上还是从实践上看，“题海”战术是低效的甚至是得不偿失的。

在过去，题目“难度”的划定是没有确切标准的。

为了解决这个问题，我们又产生一个贪婪的想法:我们将题目的一个解所蕴涵的知识点个数A加上数学方法个数B与数学思想个数C之积的和，称为这个解的长度（D）。

即D=A+B╳C。

考虑到高中数学的“一题多解”现象（“一题多解”产生的根源在于对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想。

“一题多解”之所以深受数学教师的重视，就是因为在解题过程中能够多层次、多角度的思考问题，全面地应用知识来分析问题与解决问题。

但是，“一题多解”教学必须注意两点：一是并不是所有的一题多解都能起到培养学生的发散性思维的目的。

学生不同于科学家，学生真正能掌握的仅仅是一两种。

二是一题多解不一定是有益的，要把握时机，根据教学目的进行取舍。

不要胡乱堆砌，让学生惊叹于教师的高明之余却茫然于各种解法；要突出解题分析和解题回顾，引导学生提炼数学思想方法。

因此，必须优化解题方法。

），我们将某题目的所有解（或优化了的一题多解）的长度的最小值, 称为这个题目的解题长度。

例如, 某题目共有两种解法:解法一所蕴涵的知识点为2个,数学方法为2个 ,数学思想为1个,则解法一的解题长度为2+2╳1=4; 解法二所蕴涵的知识点为1个,数学方法为2个 ,数学思想为2个,则解法二的解题长度为1+2╳2=5; 因为解法一的解题长度与解法二的解题长度的最小值为4,所以这个题目的解题长度为4。

显而易见，一个题目的“难度”与“解题长度”成正相关。

这样，我们便可以用题目的解题长后，我们就能进一步地研究题目的难度分布与相应的题量分布问题，以便有效地精确控制教学。

以江苏省教学要求为例, 在必修课的120个知识点中，了解/识别的约35个, 理解/独立操作的约77个,掌握/应用/迁移的仅有8个。

显而易见，无论在基础年级的新授课阶段还是在高三年级的总复习阶段，对教学要求不同的知识点，都应当配上份量和难度各不相同的习题。

这样，“高中数学习题全集”到底应当有多少道题合适？怎样分配？我们又产生一个贪婪的想法:以苏教版高中数学必修课为例，假设每学期20周，每周5节数学课，每节数学课15道习题（其中例题3-4道，课堂训练2-3道，课后作业8-10道），高中三年应有数学习题近1万道。

如果再按了解、理解、掌握的份量之比为2：3：5计算，每一个了解级的知识点应有习题17道（分新授课、总复习两次完成；下同），理解级的知识点应有习题25道，掌握级的知识点应有习题42道。