指数对数比大小及各种题型总结
指数函数与对数函数题型总结
题型一：定义域的求解
【2019江苏理4】
函数y
=_____. 【答案】[－1,7]
【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7]. 【2018?江苏理5】函数f(x) =1log 2-x 的定义域为________. 【答案】
【解析】解：
,即
。
【2017年山东理1】设函数y=4-x 2的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.（1,2） B.(1,2] C.（-2,1） D.[-2,1)
【答案】D 【解析】由4-x 2≥0得-2≤x≤2，由1-x ＞0得x ＜1，故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|-2≤x ＜1}.故选D. 【2016江苏理5】函数y=
的定义域是 ．
【答案】 [﹣3，1]
【解析】解：由3﹣2x ﹣x 2≥0得：x 2
+2x ﹣3≤0，解得：x ∈[﹣3，1]， 【2014山东理3】函数1
)(log 1)(2
2-=
x x f 的定义域为（ ）
A.)2
10(，
B.)2(∞+，
C.),2()21
0(+∞ ， D.)2[]2
10(∞+，
， 【答案】 C 【解析】根据函数解析式有意义的条件建立不等式求解.
()2
2log 10x ->Q ，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-，2x ∴> 或102
x ∴<<
. 【2014江西理】函数f （x ）=ln （x 2
﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
【答案】 C 【解析】要使函数有意义，则x 2
﹣x ＞0，即x ＞1或x ＜0， 故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 【2013重庆文3】函数21
log 2y x =
(-)
的定义域是( )．
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C
【解析】由题知220,log 20,x x ->??
(-)≠?解得2,21,x x >??-≠?即2,
3.
x x >??≠?
所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ．
【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．
A ．(－1,1)
B ．11,2??-- ???
C ．(－1,0)
D ．1,12?? ???
【答案】B
【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜1
2
-.故选B. 【2013安徽文11】
函数1ln 1y x ??=+
+ ???
__________． 【答案】(0,1]
【解析】由21
10,
10
x
x ?+>???-≥??10,11x x x <->??-≤≤?或?0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]． 【2013山东文5】函数f (x )
( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
【答案】 A 【解析】由题可知12030x x ?-≥?+>??213x x ?≤?>-??0,
3,
x x ≤??
>-? ∴定义域为(－3,0]．
【2013江西理2】函数y
－x )的定义域为( )．
A ．(0,1)
B ． [0,1)
C ．(0,1]
D ．[0,1] 【答案】B
【解析】要使函数有意义，需0,
10,
x x ≥??
->?解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.
【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．
A ．(－1,1)
B ．11,2??--
??? C ．(－1,0) D ．1,12?? ???
【答案】 B 【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜1
2
-.故选B. 【2012山东文3】
函数1
()ln(1)
f x x =++ （ ）.
A.[2,0)
(0,2]- B.(1,0)(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-
【答案】B 【解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ?+>?
+≠?-<
…或02x <….
【2012江西理】下列函数中，与函数
y=
定义域相同的函数为（ ）
A ．
y= B ．
y= C ．y=xe x
D ．y=
【答案】 D 【解析】∵函数
y=的定义域为{x ∈R|x ≠0}，
∴对于A ，其定义域为{x|x ≠k π}（k ∈Z ），故A 不满足； 对于B ，其定义域为{x|x ＞0}，故B 不满足； 对于C ，其定义域为{x|x ∈R}，故C 不满足； 对于D ，其定义域为{x|x ≠0}，故D 满足； 综上所述，与函数
y=
定义域相同的函数为：
y=
．
【2012江苏省理】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 【答案】
(
0。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620
?????
?????
【2011江西文3】若12
1
()log (21)
f x x =
+，则()f x 的定义域为( )
A.1(,0)2-
B.1(,)2-+∞
C.1(,0)(0,)2-?+∞
D.1
(,2)2
- 【答案】C 【解析】
()()
+∞???
?
??-∈∴≠+>+∴≠+,00,211
12,012,012log 2
1x x x x
【2010湖北文5】
函数y =
的定义域为
A.(
34
,1) B(
3
4,∞)
C （1，+∞）
D. (
3
4
,1)∪（1，+∞） 【答案】A 【解析】由0.5(43)0log x ->且4x-3>0可解得3
14
x <<，故A 正确. 【2009?江西理】函数
的定义域为（ ） A ．（﹣4，﹣1） B ．（﹣4，1）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣1，1]
【答案】C 【解析】解：由题意知，函数
的定义域为
，解得﹣1＜x ＜1，
【2008湖北文8】
函数1
()1f x n x
=
的定义域为 A.(,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0,1)-? C.[4,0)(0,1]- D.[4,0)(0,1]-?
【答案】D 【解析】函数的定义域必须满足条件：
2
2
0320
[4,0)(0,1)340
0x x x x x x ≠??-+≥??∈-?--+≥> 【2008安徽理13】
函数2()f x =
的定义域为 ．
【答案】[3,)+∞．【解析】由1, 3
|x 2|101log(x 1)02x or x x x ≤≥?--≥??
?>??-≠??≠?
，解得：3x ≥，值域为[3,)+∞.
【2008全国卷1文1】
函数y = ）
A ．{|1}x x ≤
B ．{|0}x x ≥
C ．{|10}x x x ≥或≤
D ．{|01}x x ≤≤
【答案】D 【解析】依题意，10
,0
x x -≥??
≥?解得， 0≤x ≤1
，所以函数y =的定义域为
{|01}x x ≤≤，选择D;
【2008全国卷1理1】
函数y =
）
A ．{}|0x x ≥
B ．{}|1x x ≥
C ．{}{}|1
0x x ≥
D ．{}
|01x x ≤≤
【答案】C 【解析】由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；
【2006广东1】函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
A.),3
1(+∞- B. )1,3
1(- C. )3
1,31(- D. )3
1,(--∞
【答案】B 【解析】由131
1301<<-????>+>-x x x ，故选B.
【2005湖北文13】函数x x x x f ---=4lg 3
2
)(的定义域是 . 【答案】{x|3 【解析】x 必须满足402030 x x x ->?? -≥??-≠?解之得,∴函数x x x x f ---=4lg 32 )(的定义域是{x|3 x<3} 题型二：比大小 方法一：图像法 方法二：借助“0”和“1”和“2 1”和“2” 【2019新课标Ⅰ文理3】已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 则 ．故选B ． 【2019天津理6】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b << 【答案】A 【解析】551log 2log 2 a =<< ， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 1 0.2 0.50.5 0.5<<，故 1 12 c <<， 所以a c b <<。 【2018?天津文5】已知 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：∵ 【2014?天津文4】设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2 ，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 【答案】C 【解析】log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2 ＜1， 即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1， ∴a ＞c ＞b ， 【2014辽宁理】已知a=，b=log 2，c=log ，则（ ） 【答案】 C 【解析】 ∵0＜a=＜20 =1， b=log 2＜log 21=0，c=log =log 23＞log 22=1， ∴c ＞a ＞b ． 【2012大纲文理】．已知ln x π=，5log 2y =，1 2 z e - =，则 A ．x y z << B ．z x y << C ．z y x << D ．y z x << 【答案】D 【解析】ln ln 1e π>=， 55 1 log 2log 2<=，1212 z e -== >=， 【2009天津文5】设3 .02 13 1) 2 1(,3log ,2log ===c b a ，则 ( ) A ．a B ．a C ． b D ．b 【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<< 【2007天津文4】设12 log 3a =，0.2 13b ?? = ???，1 32c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c << 【答案】A 【解析】∵由指、对函数的性质可知：1122 log 3log 10a =<=, 0.2 1013b ?? <=< ? ?? , 1 3 21c => ∴有a b c <<. 【2006天津文4】设2323log 3,log 2,log (log 2),P Q R ===则 A.R Q P << B.P R Q << C.Q R P << D.R P Q << 【答案】A 【解析】2323log 31,0log 21,log (log 2)0,P Q R =><=<=< 则R Q P <<，选A. 方法三：特殊值法 【2019新课标Ⅱ文6】.若a >b ，则（ ） A. ln(a ?b )>0 B. 3a <3b C. a 3?b 3 >0 D. │a │>│b │ 【答案】C 【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1 ,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ． 【2018?新课标Ⅲ理12】设 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： 所以ab ＜0 又 则a+b ＜0 【2017新课标1理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【答案】 D 【解析】设2x ＝3y ＝5z ＝t (t ＞1)，解得x ＝log 2t ＝lg t lg2，y ＝log 3t ＝lg t lg3，z ＝log 5t ＝lg t lg5 . ∴2x －3y ＝2·lg t lg2－3·lg t lg3＝lg t ·2lg3－3lg2lg2·lg3＝lg t ·lg9－lg8 lg2·lg3＞0，即2x ＞3y ； 5z －2x ＝5·lg t lg5－2·lg t lg2＝lg t ·5lg2－2lg5lg5·lg2＝lg t ·lg32－lg25 lg5·lg2 ＞0，即5z ＞2x ； 综上3y ＜2x ＜5z ，故选D. 【2017山东理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 A.()21log 2a b a a b b + <<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2 a b a a b b + <+< D.()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】 B 【解析】221,01,1,log ()log 21,2 a b a b a b ab ><<∴ <+>= 1211 2log ()a b a a b a a b b b +>+ >+?+>+ ，所以选B. 【2016浙江（理）】已知a ＞b ＞1，若log a b+log b a=，a b =b a ，则a= ，b= ． 【答案】 4；2． 【解析】设t=log b a ，由a ＞b ＞1知t ＞1，代入log a b+log b a=得， 即2t 2 ﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），所以log b a=2，即a=b 2 ， 因为a b =b a ，所以b 2b =b a ，则a=2b=b 2 ，解得b=2，a=4， 【2016新课标Ⅲ理6】已知a=2 ，b=3 ，c=25 ，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 【答案】 A 【解析】解：∵a=2 = ， b=3 ， c=25 = ， 综上可得：b ＜a ＜c ， 【2016新课标Ⅰ理8】若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（ ） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．alog b c ＜blog a c D ．log a c ＜log b c 【答案】 C 【解析】∵a ＞b ＞1，0＜c ＜1， ∴函数f （x ）=x c 在（0，+∞）上为增函数，故a c ＞b c ，故A 错误； 函数f （x ）=x c ﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c ﹣1＜b c ﹣1，故ba c ＜ab c ，即ab c ＞ba c ；故B 错误； log a c ＜0，且log b c ＜0，log a b ＜1，即 = ＜1，即log a c ＞log b c ．故D 错 误； 0＜﹣log a c ＜﹣log b c ，故﹣blog a c ＜﹣alog b c ，即blog a c ＞alog b c ，即alog b c ＜blog a c ，故C 正确； 【2016北京（理）】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．﹣＞0 B ．sinx ﹣siny ＞0 C ．（）x ﹣（）y ＜0 D ．lnx+lny ＞0 【答案】 C 【解析】 ∵x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则，sinx 与siny 的大小关系不确定， ＜ ，即 ﹣ ＜0，lnx+lny 与0的大小关系不确定． 【2015陕西理】设f （x ）=lnx ，0＜a ＜b ，若p=f （），q=f （ ），r=（f （a ）+f （b ）），则 A ． q =r ＜p B ． p =r ＜q C ． q =r ＞p D ． p =r ＞q 【答案】 B 【解析】由题意可得若p=f （ ）=ln （ ）=lnab=（lna+lnb ）， q=f （）=ln （）≥ln （）=p ， r=（f （a ）+f （b ））=（lna+lnb ），∴p=r ＜q ， 【2013课标全国Ⅱ理8】设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】 D 【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3 a = =+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 2 1lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2 lg 7lg 5lg 3 <<，即c ＜b ＜a .故选D. 【2012山东理5】已知实数y x ,满足)10(<< x ，则下列关系式恒成立的是（ ） A. 1 1112 2+>+y x B.)1ln()1ln(2 2+>+y x C.y x sin sin > D.33y x > 【答案】 D 【解析】先依据指数函数的性质确定x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断. ,01x y a a a << 增函数，故选D. 【2011天津理7】已知 ，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 【答案】C 【解析】解：∵log 23.4＞1，log 43.6＜1， 又y=5x 是增函数， ∴a ＞b ， ＞ = =b 而log 23.4＞log 2＞log 3 ， ∴a ＞c 故a ＞c ＞b ． 【2011?重庆文6】设a= ，b= ，c=log 3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 【答案】B 【解析】解：由对数的运算法则，a=log 32＞c ；排除A 和C ． 因为b=log 23﹣1，c=log 34﹣1= ， 因为32＞23 ，即3＞ ，即有log 23＞log 2 =＞， 则（log 23）2 ＞2，所以log 23＞ ，所以b ＞c ，排除D 【2010天津文6】设a=log 54，b=（log 53）2 ，c=log 45则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 【答案】D 【解析】解：∵a=log 54＜log 55=1，b=（log 53）2＜（log 55）2 ，c=log 45＞log 44=1， ∴c 最大，排除A 、B ；又因为a 、b ∈（0，1），所以a ＞b ， 故选D ． 【2010全国卷1文10】设1 23log 2,ln 2,5a b c -===则 A.a b c << B.b c a << C. c a b << D. c b a << 【答案】C 【解析】 【法1】 a=3log 2= 21log 3, b=In2=21 log e ,而22log 3log 1e >>,所以a 5- 222log 4log 3>=>,所以c 321log ,b =ln2=21log e , 3 221log log 2e <<< ，322 11112log log e <<<； c =1 2 15 2 - = <=，∴c 555 322555 a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5 x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【2009全国卷2文7】 设2 lg ,(lg ),a e b e c === A.a b c >> B.a c b >> C.c a b >> D.c b a >> 【答案】B 【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=2 1 lge, 作商比较知c>b,选B 。 【2008北京理2】若a=20.5 ，b=log π3，c=log 2sin ，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】 ， 由指对函数的图象可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0， 【2008全国卷2文5】若13 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ） A ．a B ．c C ． b D ． b 【答案】C 【解析】c a b x x e <<∴<<-∴<<-0ln 111 【2008?辽宁文4】已知0＜a ＜1，x=log a +log a ，y=log a 5，z=log a ﹣log a ，则（ ） A ．x ＞y ＞z B ．z ＞y ＞x C ．y ＞x ＞z D ．z ＞x ＞y 【答案】C 【解析】解：x=log a +log a =log a ， y=log a 5=log a ，z=log a ﹣log a =log a ， ∵0＜a ＜1，又＜＜， ∴log a ＞log a ＞log a ，即y ＞x ＞z ． 题型二：基本运算 【2015上海理】方程log 2（9﹣5）=log 2（3﹣2）+2的解为 ． 【答案】 2【解析】∵log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1 ﹣2）+2， ∴log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2[4×（3x ﹣1﹣2）]，∴9x ﹣1﹣5=4（3x ﹣1﹣2）， 化为（3x ）2﹣12?3x +27=0，因式 分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0， ∴3x =3，3x =9， 解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2． 【2015江苏理】不等式2 ＜4的解集为 ． 【答案】 （﹣1，2）【解析】∵2＜4， ∴x 2﹣x ＜2， 即x 2 ﹣x ﹣2＜0， 解得：﹣1＜x ＜2 【2015?四川理】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时． 【答案】 24【解析】由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48． 代入函数y=e kx+b ， 可得e b =192，e 22k+b =48， 即有e 11k =，e b =192， 则当x=33时，y=e 33k+b =×192=24． 【2014?陕西理】已知4a =2，lgx=a ，则x= ． 【答案】 【解析】由4a =2，得 ， 再由lgx=a=，得x=． 【2014安徽文11】 ? ?? ??1681－3 4＋log 354＋log 345＝________. 【答案】.278 【解析】 原式＝??????? ????234－ 3 4 ＋log 3? ????54×45＝? ????23－3＝278. 【2013四川文11】__________． 【答案】1 【解析】1===. 【2013浙江理3】已知x ，y 为正实数，则( )． A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 【答案】D 【解析】根据指数与对数的运算法则可知，2lg x ＋ lg y ＝2lg x ·2lg y ，故A 错，B 错，C 错； D 中，2lg(xy )＝2lg x ＋ lg y ＝2lg x ·2lg y ，故选D ． 【2011?四川理】计算 ÷ = ． 【答案】-20【解析】解： =lg =﹣20 【2010?四川理】2log 510+log 50.25=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C 【解析】解：∵2log 510+log 50.25 =log 5100+log 50.25 =log 525 =2 【2009?湖南文1】log 2的值为（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣ D ． 【答案】D 【解析】解：log 2=log 22=． 【2009?北京文3】若 （a ，b 为理数），则a+b=（ ） A ．33 B ．29 C ．23 D ．19 【答案】B 【解析】解： ∵ = ， 由已知，得 ， ∴a+b=17+12=29． 【2008?重庆文】若x ＞0，则（+）（ ﹣）﹣4x （x ﹣x ）= 【答案】-23【解析】解：原式= 2 ﹣2 ﹣4x ﹣ +4x ﹣ =4﹣33 ﹣4+4 =4 ﹣27﹣4 +4x 0 =﹣27+4 =﹣23． 故答案为﹣23． 【2007湖南文13】若0a >，23 4 9a =，则14 log a = ． 【答案】3 题型三：换底公式 【2014重庆理】函数f （x ）=log 2?log （2x ）的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵f （x ）=log 2 ?log （2x ） ∴f （x ）=log ?log （2x ） =log x ?log （2x ） =log x （log x+log 2） =log x （log x+2） =， ∴当log x+1=0 即x= 时，函数f （x ）的最小值是． d 【答案】B 【解析】由5d =10，可得， ∴cd=lgb =log 5b=a ． 【2013陕西文3】设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )． A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 【答案】B 【解析】由换底公式得log a b ·log c a ＝lg lg lg lg b a a c ?＝log c b ， ． 【答案】D 【解析】（log 29）?（log 34）== =4． 【2010?辽宁文10】设2a =5b =m ，且，则m=（ ） A ． B ．10 C ．20 D ．100 【答案】A 【解析】解：，∴m 2 =10，又∵m ＞0，∴ ． 故选A 题型四：指数、对数与方程 【2007上海理4】方程96370x x -?-=的解是_____ 【答案】3log 7x = 【解析】 2 (3)63703731x x x x -?-=?==-或（舍去），3log 7x ∴=。 【2006辽宁理13文14】设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1 (())2g g =__________ 【答案】 2 1 【解析】1ln 2111 (())(ln )222 g g g e ===. 【2006辽宁文13】方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为． 【答案】 【解析】：22log (1)2log (1)x x -=-+?224 log (1)log 1 x x -=+ 即4 11 x x -= +解得x =（负值舍去） 【2006上海文8】方程2 33log (10)1log x x -=+的解是_______. 【答案】 5 【解析】方程2 33log (10)1log x x -=+的解满足22100 103x x x ?->?-=?，解得x=5. 【2010湖北文3】已知函数3log ,0()2,0 x x x f x x >?=?≤?，则1 (())9f f = A.4 B. 1 4 C.-4 D- 14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211 (())(2)294 f f f -=-==，所以B 正确. 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 一般地，函数 2. 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针 方向看图象，逐渐减小. 指数函数题型训练 题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 （1）21 51- ? ?? ?? 3 251?? ? ?? （2） 2.51.7 3 1.7 （3）0.8 14?? ? ?? 1.8 12?? ??? （4） 0.5 a ()0.6 0,1a a a >≠ 归纳： 2、“同指不同底”型 （1）5 6 311?? ? ?? 5 6 833?? ? ?? （2）9 2 4 归纳： 3、“不同底不同指”型 （1）0.3 1.7 3.1 0.9 （2） 2.5 1.7 30.7 （3）0.1 0.8 - 0.2 9 - （4）b a (01)a b a b <<< （5） 1 23-?? ? ?? 13 3 归纳： 综合类：（1）已知232()3 a =，132()3 b =，232 ()5c =则a 、b 、c 的大小关系为 （2）如果0m <，则2m a =，1 ()2 m b =，0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为 题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点 2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点，这个定点是 3、已知对不同的a 值，函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ，则P 点的坐标 是 归纳： 题型三 解指数函数不等式 1、2212 2≤?? ? ??-x 2、 8 21()33 x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++ 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 本节知识点 1、 （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.） 0的任何次方根都是0 2 3、 分数指数幂 4、 有理指数幂运算性质 ① (0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈ ② ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 5、 指数函数的概念 一般的，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 6、指数函数x y a =在底数 及这两种情况下的图象和性质： 指数与指数函数试题归纳精编 （一）指数 1、化简［32)5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．312- C ．212 -- D ．6 52- 3、化简 4 216132332)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ．a b B ．ab C ．b a D ．a 2b 4、化简1111132168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、11321122--??- ??? B 、1 13212--??- ??? C 、13212-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)71(027 .0143231+-+-----=__________． 6、32 11321 3 2 )(----÷a b b a b a b a =__________． 7、21203271037(2)0.1(2)392748 π-++-+—=__________。 8、)31()3)((65 6131212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、41 60.2503 21648200549-+---）（）（） =__________。 10、若32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值。 11、已知1 1 22a a -+=3，求（1）1a a -+； （2）22a a -+； （二）指数函数 题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域 1、 含指数函数的复合函数的定义域 （1） 由于指数函数()1,0≠>=a a a y x 且的定义域是R ，所以函数()x f a y =的定义域与()x f 的定义域相同. （2） 对于函数()()1,0≠>=a a a f y x 且的定义域，关键是找出x a t =的值域哪些部分()t f y =的定义域中. 2、 含指数函数的复合函数的值域 （1） 在求形如()x f a y =()1,0≠>a a 且的函数值域时，先求得()x f 的值域（即()x f t =中t 的范围），再根据t a y =的单调性列出指数不等式，得出t a 的范围，即()x f a y =的值域. （2） 在求形如()x a f y =()1,0≠>a a 且的函数值域时，易知0>x a （或根据()x a f y =对x 限定的更加具 体的范围列指数不等式，得出x a 的具体范围），然后再()+∞∈,0t 上，求()t f y =的值域即可. 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25) x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2 (25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14 x > ．∴x 的取值范围是1 4 ?? + ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?， 1 2x y =，31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x ==???时，在实数范围 内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 本节知识点 1、 (一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.) ◆ 55n n n ?=??=-??正数的次方根是正数当是奇数时，负数的次方根是负数 ◆ 20,n a n n ?>????正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根 ◆ 0的任何次方根都是0 2 ◆ n a =当 ◆ ,0,0a a n a a a ≥?==?-≤?当 3、 分数指数幂 ◆ **0,,,1)1(0,,,1)m n m n m n a a m n N n a a a m n N n a -?=>∈>???=>∈>??? 正分数指数幂的意义且当为正数时，负分数指数幂的意义且 ◆ 0 0???0的正分数指数幂等于当a 为时，0的负分数指数幂无意义 4、 有理指数幂运算性质 ① (0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 5、 指数函数的概念 一般的，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 6、指数函数x y a =在底数及这两种情况下的图象和性质: 1a > 01a << 图 象 性 质 (１）定义域: R （2)值域： (0)+∞， （３）过点 ,即0x =时1y = (4）单调递增 (4) 指数与指数函数试题归纳精编 (一）指数 1、化简[32)5(-]4 3的结果为 ( ) Ａ.5 B ．5 Ｃ．-5? D.－5 ２、将322-化为分数指数幂的形式为( ) A.212- B ．312- Ｃ.212 -- D ．6 52- 3、化简 4 216132332)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是( ) A ．a b ??? Ｂ.ａb ? Ｃ．b a D ．a 2b 4、化简1111132168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????,结果是（ ） Ａ、11321122--??- ??? Ｂ、1 13212--??- ??? Ｃ、13212-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1(027.0143 231 +-+-----=__＿_______. 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212 3 13 5 25 8 38 9 49 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． - --- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞， ＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 1 11 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () ∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n a a a n n n n n n n n n n n n 1111 1111 1 1() () ()--+--+-1a 1n 101 【例5】作出下列函数的图像： 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．.排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C.函数3=y x 在R 上是
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