第五章 判别分析
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应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第五章部分习题解答)
所以样品x=2.5判归 1. 判归G 因0.5218>0.3798>0.0984,所以样品 所以样品 判归
8
第五章 判别分析
5 − 3 设总体Gi 的均值为µ ( i ) (i = 1,2),同协差阵Σ. 1 ′µ (1) + a′µ ( 2 ) ), (其中a = Σ −1 ( µ (1) − µ ( 2) )), 记µ = (a 2 试证明(1)E(a′X | G1 ) > µ ; (2)E(a′X | G2 ) < µ . 1 (1) 1 (1) (2) ′X | G1) − µ = a′µ − (a′µ + a′µ ) = (a′µ(1) − a′µ(2) ) 解: E(a 2 2 1 (1) (2) −1 (1) (2) = (µ − µ )′Σ (µ − µ ) > 0, (因Σ > 0) 2 1 (1) (2) −1 (1) (2) 类似可证: E(a′X | G2 ) − µ = − (µ − µ )′Σ (µ − µ ) < 0,. 2 即 E(a′X | G1) > µ, E(a′X | G2 ) < µ .
第五章 判别分析
所以 q1 f1 ( x) = 0.1613, 类似可得 q2 f 2 ( x) = 0.0304, q3 f 3 ( x) = 0.1174,
所以样品x=2.5判归 1. 判归G 因0.1613>0.1174>0.0304,所以样品 所以样品 判归
7
第五章 判别分析
解三:后验概率判别法 解三 后验概率判别法, 后验概率判别法 计算样品x已知 已知,属 的后验概率: 计算样品 已知 属Gt的后验概率 qt f t ( x) P(t | x) = 3 (t = 1,2,3) ∑ qi fi ( x) 当样品x=2.5时,经计算可得 时 当样品
第5章 判别分析_1
'
def
2W ( X )
其中
W ( X ) ( X X * )' S 1 ( X (1) X ( 2) ) 1 (1) * X ( X X ( 2) ) 2
则判别准则还可以写为:
判 X G1 , 当W ( X ) 0时 判 X G2 , 当W ( X ) 0时
(2) < (1) ) , 令
(x )
(1) 2
2 1
(x )
( 2) 2
2 2
(1) 2 ( 2) 1 x 1 2
def
*
判 X G1 , x * 而按这种距离最近的判别准则为: 判 X G2 , x *
因只有一个指标,这时判别函数为:Y=Y(x)=x.此例中 * =79,因
表5.1 盐泉的特征数值 K· 3/Cl Br· 3/Cl K· 3/ 盐 10 10 10 (X1) (X2) (X3) 13.85 22.31 28.82 15.29 28.79 2.18 3.85 11.40 3.66 12.10 8.85 28.60 20.70 7.90 3.19 12.40 16.80 15.00 2.79 4.67 4.63 3.54 4.90 1.06 0.80 0.00 2.42 0.00 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10 3.40 2.70 7.80 12.31 16.18 7.50 16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43 2.31 5.02
判别分析是用于判别样品所属类型的一种统计分析方
法,是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类,求出判
第5章 判别分析
28.79 2.18 3.85 11.40 3.66 12.10 8.85 28.60 20.70 7.90 3.19 12.40
3.54
4.90 1.06 0.80 0.10 2.40 0.01 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10
7.50
16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43
（ 当、 (1)、 2） 已知时，令 （ a 1 ( (1) 2）) (a1 , a2 , , a p )
则W ( X )＝（X－ ） a a1 ( x1 1 ) a2 ( 2 ) a p ( x p p ) 显然，W ( X )是x1，x2， ，x p的线性函数。 称W ( X )为线性判别函数。a称为判别系数。
(i )
线性判别函数为： ˆ W ( X ) ( X X ) 1 ( X (1) X ( 2 ) )
我们注意到： 当p 1时，若两个正态总体的分布分别为N ( 1 , 2 )和 2 不妨设1 2，这时W ( X )的符号取决于X 或X 。
2
第五章
判别分析
党耀国
经济与管理学院
Iamdangyg@
判别分析
5．1 判别分析的概念 5．2 距离判别法 5．3 费歇尔判别法 5．4 贝叶斯判别法 5．5 逐步判别法 5．6 实例分析
5．1 判别分析的概念
• 在生产、科研和日常生活中，我们经常需要根据观 测到的数据资料，对所研究的对象进行判别分类，即 是根据历史上划分类别的有关资料和某种最优准则， 确定一种判别方法，判定一个新的样品归属于哪一类。 例如某医院有部分患有肺炎、肝炎、冠心病、高血压、 糖尿病等病人的资料，记录了每个患者若干症状的指 标数据，现在想利用现有的这些资料数据找出一种方 法，使对于一个新的病人，当测得这些症状指标数据 时，能够判断其患有哪一种疾病。在经济学中，根据 人均国民收入、人均工农业总产值、人均消费水平等 多项指标来判断一个国家所处的经济发展阶段。在气 象预报中，根据已有的气象资料（气温、气压、湿度 等）来判断明天、后天是阴天还是晴天，是有雨还是 无雨。在地质学中根据以往对矿物勘探资料（矿石的 化学和物理性质和所含化学成分）的分析，判断某一 矿石把他应归于哪一类矿石。总之，在实际问题中需 要判别的问题几乎无处不在。
3.54
4.90 1.06 0.80 0.10 2.40 0.01 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10
7.50
16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43
（ 当、 (1)、 2） 已知时，令 （ a 1 ( (1) 2）) (a1 , a2 , , a p )
则W ( X )＝（X－ ） a a1 ( x1 1 ) a2 ( 2 ) a p ( x p p ) 显然，W ( X )是x1，x2， ，x p的线性函数。 称W ( X )为线性判别函数。a称为判别系数。
(i )
线性判别函数为： ˆ W ( X ) ( X X ) 1 ( X (1) X ( 2 ) )
我们注意到： 当p 1时，若两个正态总体的分布分别为N ( 1 , 2 )和 2 不妨设1 2，这时W ( X )的符号取决于X 或X 。
2
第五章
判别分析
党耀国
经济与管理学院
Iamdangyg@
判别分析
5．1 判别分析的概念 5．2 距离判别法 5．3 费歇尔判别法 5．4 贝叶斯判别法 5．5 逐步判别法 5．6 实例分析
5．1 判别分析的概念
• 在生产、科研和日常生活中，我们经常需要根据观 测到的数据资料，对所研究的对象进行判别分类，即 是根据历史上划分类别的有关资料和某种最优准则， 确定一种判别方法，判定一个新的样品归属于哪一类。 例如某医院有部分患有肺炎、肝炎、冠心病、高血压、 糖尿病等病人的资料，记录了每个患者若干症状的指 标数据，现在想利用现有的这些资料数据找出一种方 法，使对于一个新的病人，当测得这些症状指标数据 时，能够判断其患有哪一种疾病。在经济学中，根据 人均国民收入、人均工农业总产值、人均消费水平等 多项指标来判断一个国家所处的经济发展阶段。在气 象预报中，根据已有的气象资料（气温、气压、湿度 等）来判断明天、后天是阴天还是晴天，是有雨还是 无雨。在地质学中根据以往对矿物勘探资料（矿石的 化学和物理性质和所含化学成分）的分析，判断某一 矿石把他应归于哪一类矿石。总之，在实际问题中需 要判别的问题几乎无处不在。
第11讲判别分析
协方差矩阵
9.0570 S1= 14.0055
14.0055 86.0570
21.7030 S2= 29.4205
29.4205 47.1680
15.3800 Sw= 21.7130
21.7130 66.6125
各样品到第一类和第二类的距离
d i( 1 ) x 1 7 .8 5 ,x 8 2 9 .1 4 2 0 0 . .0 13 2 9 0 0 0 . .0 0 2 4 2 3 6 4 x x 7 9 1 2 1 7 7 9 8 2 . .8 1 5 4 1 6 8 2 d i( 2 ) x 1 7 .4 0 ,x 4 2 9 .7 1 4 0 0 . .0 13 2 9 0 0 0 . .0 02 4 2 3 6 4 x x 7 9 1 2 1 7 7 9 8 2 . .4 7 0 1 1 6 4 4
N 1 10
N 2 10 N2错=3
13
APE R 1.67%
10 10
N1错=1 N2正=10
第一节 距离判别
在实际应用中，当假定正态总体且协差阵相等时，均值与协方差阵 要用估计值，即
d2x,G 1x1T ˆ1 1x1
d2x,G 2x2T ˆ2 1x2
解 W x ： x T ˆ 1 1 2
ˆ1 2 6 2 2 4 4 3 , ˆ1 ˆ2 6 2 2 4 4 2
W (x ) (x 1 3 ,x 2 4 )1 3 4 1 1 1 4 2 4 x 1 2 x 2 4
判别 W x 函 x 数 1 2 2 ： 1 21 2
第五章 判别分析
n a
H
n b
yi(a )y(a )2
yk(b )y(b )2组点内的判离别散函度数
i 1
k 1
1na
m
y(a) na
yi(a) cjxj(a)
i1
j1
y(b)n1bkn b1yi(b)jm 1cjxj(b)7
费歇尔准则: 使Q 达到最大、H 达到最小。
它的含义是： Q达到最大，表明 两组判别函数点的中 心距最大；H达到最 小，判别函数点的分 布最集中。满足以上 条件的判别函数可最 大限度地把A和B区 分开(如图所示)。
i, j = 1 ,2 ,…,m ; N = n1 + n2 +…+nG
由此，式(5-5)可以近似写为: 17
fg(X ) (2 S 1 )1 m /2 /2ex 1 2 p (X X g)TS 1 (X X g) (5-6)
把上式和Pg (Pg≈qg = n g /N)代入式(5-4)得: E g ( X ) q g f g ( X )( , g 1 ,2 , ,G )
章判别分析
§1两总体判别分析 §2多总体判别分析 §3逐步判别分析 §4应用算例简介
1
❖引言
地学领域内有很多属于归类判别的问题，如:储 层是否含油、岩样属于什么沉积相 、生油岩处于 什么演化阶段等，从定量角度看，它们都是对个体 进行归类判别的问题。
为叙述方便，将个体称为样品，个体所属的类称 为总体。在此基础上给出判别分析的一般概念:
判别分析:根据已知的G个总体中取出的G组样品 的观测值，建立总体与样品变量之间定量关系(判 别函数)，并据此判别未知类属样品类别的一种多 元统计分析方法。
2
设ag(g=1,2,…,G)表示 G 个总体，每个总体中分 别有ng个样品，每个样品有m个变量。
第五章 判别分析(第1、2节 绪论、距离判别法)
第二节 距离判别法
□ 马氏距离
设 p 维 欧 氏 空 间 R p 中 的 两 点 X ( X 1 , X 2 ,, X p ) 和
Y (Y1 , Y2 ,, Yp
氏距离，即
d ( X, Y) 2 ( X 1 Y1 ) 2 ( X p Yp ) 2 .
它是 X 的二次函数，相应的判别规则为
X G1 , X G2 ,
如果 如果
W *(X ) 0 W *(X ) 0
第二节 距离判别法
我们用p=1时的特殊情形，说明两总体协方差不等时的归类过程。假定两总体为正态总体: 并假定 ，这时 ，当观测值x满足条件： 时，
2 1 2 x 1 x 2 x 1 1 2 d 2 ( x) d1 ( x) ( x * ), 2 1 1 2
第二节 距离判别法
（2） 当 1 2 ， 1 2 时，我们采用（*）式作为判别规 则的形式。选择判别函数为
W * ( X ) D 2 ( X , G1 ) D 2 ( X , G2 )
( X 1 )1 1 ( X 1 ) ( X 2 )21 ( X 2 )
这里
1 n1 (1) X (1) X i n1 i 1
( 2)
S ( X i( ) X ( ) )( X i( ) X ( ) ),
i 1
n
1, 2
第二节 距离判别法
此时，两总体距离判别的判别函数为 其中 X
*
ˆ ˆ W ( X ) ( X X * )
G2 : N (75,4)
P(1 | 2)
第二节 距离判别法
P(2 | 1) P(1 | 2) P(Y ) (Y ~ N ( 2 , 2 )) Y 2 2 2 2 ) P( Z ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 1 ( ) 2 从错判概率公式 可看出，当两个总体的均值相差甚微，即 越小， 1 2 P(2 |1) P(1| 2) 1 ( ) 错判概率变得越大，这时作判别分析没有意义。因此只有当两个总体的均值有显著性差异时，做判别 2 分析才有意义。 | 1 2 | P(
第五章 判别分析
欧氏距离在处理统计问题时的缺点：要求坐标各分量的度量 一致、波动幅度一致。
1936年，印度统计学家Mahalanobios引入统计距离概念， 也称为“马氏距离”
设Q点坐标固定，P点坐标相互独立变化。用s12,s22,…,sm2 表示P的m个坐标的n次观测的样本方差，则P到Q的统计距 离 2 2 2
t 1 j 1 t 1 j 1 def k nt k nt
a TBa 若k 个总体均值有显著差异，则比值 (a) T 应充分大. a Aa
def
a T Aa
问题转化为求a使得Δ(a)达到最大。为使解唯一，变为条件 极值问题：求a使得Δ(a)在条件 aTAa = 1 达到最大。
2
线性判别函数的求法
2 dm (X,G) (X μ)T Σ 1(X μ)
设两总体G1、G2，它们的均值向量为μ1和μ2，协方差阵都为 Σ，则总体G1和G2之间的马氏距离定义为
2 dm (G1, G2 ) (μ1 μ2 ) T Σ 1(μ1 μ2 )
马氏距离满足距离的三条公理
(1) 非负性
(2) 对称性
已知a在条件 aTAa = 1下使Δ(a) 达到最大的方向，称u(X) = aTX为线性判别函数。利用拉格朗日乘数法求条件极值。 令L(a) = aTBa－λ(aTAa－1) = 1，又令 dL/da = 2(B－ λA)a = 0，可得 Ba=λAa，即 A-1Ba =λa。这说明λ是A-1B 的特征值，a是相应的特征向量。进一步， Δ(a) = aTBa =λaTAa =λ
2 误判率的交叉确认估计法
每次剔除一个样品，利用其余n1+n2－1个样本建立判别 准则，再用所建立的判别准则对删除的样品做判别，对样 本中每个样品都做上述分析，以其误判的比例来作为误判 概率的估计。具体步骤： (1) 从总体G1开始，剔除其中的一个样品，用剩余的n1－1 个样品为G1的样本， G2的样本不变，建立判别函数； (2) 用建立的判别函数对剔除的样品作判别； (3) 重复(1)(2)，对G2也作如此处理，其误判样品个数分别 记为n12*、n21*。 n12 n 21 ˆ (4) 交叉误判率的估计 a* n1 n 2
多元统计第五章判别分析
第五章 判别分析
第一节 引言
在我们的日常生活和工作实践中，常常会遇到判别分析问题。
案例一：为了研究中小企业的破产模型，选定4个经济指标：总负债率、
收益性指标、短期支付能力、生产效率性指标。对17个破产企业（1类）和21
个正常运行企业（2类）进行了调查，得关于上述四个指标的资料。现有8个 未知类型的企业的四个经济指标的数据，判断其属于破产企业一类还是正 常运行企业一类？ 案例二：根据经验，今天与昨天的湿度差x1及今天的压温差x2 （气压与温度
ˆ Σ
1 A ， n 1
1,2,, k
三、判别分析的实质
设R1，R2，…，Rk是p维空间R p的k个子集，如果它们互
不 相交，且它们的和集为R p，则称R1，R2， …，Rk为R p的一 个划分。
在 两 个 总 体 的 距 离 判 别 问 题 中 ， 利 用
W (X) (X μ)' α 可以得到空间 R p 的一个划分 R1 {X : W ( X) 0} R2 {X : W ( X) 0}
x2
-0.41 -0.31 0.02 -0.09 -0.09 -0.07 0.01 -0.06 -0.01 -0.14 -0.3 0.02 0 -0.23 0.05 0.11 -0.08 0.03 0 0.11 -0.27
x3
1.09 1.51 1.01 1.45 1.56 0.71 1.5 1.37 1.37 1.42 0.33 1.31 2.15 1.19 1.88 1.99 1.51 1.68 1.26 1.14 1.27
Σ 的一个联合无偏估计为
n
n2 1 和 X(2) Xi(2) n2 i 1 1 ˆ Σ ( A1 A2 ) n1 n2 2
第一节 引言
在我们的日常生活和工作实践中，常常会遇到判别分析问题。
案例一：为了研究中小企业的破产模型，选定4个经济指标：总负债率、
收益性指标、短期支付能力、生产效率性指标。对17个破产企业（1类）和21
个正常运行企业（2类）进行了调查，得关于上述四个指标的资料。现有8个 未知类型的企业的四个经济指标的数据，判断其属于破产企业一类还是正 常运行企业一类？ 案例二：根据经验，今天与昨天的湿度差x1及今天的压温差x2 （气压与温度
ˆ Σ
1 A ， n 1
1,2,, k
三、判别分析的实质
设R1，R2，…，Rk是p维空间R p的k个子集，如果它们互
不 相交，且它们的和集为R p，则称R1，R2， …，Rk为R p的一 个划分。
在 两 个 总 体 的 距 离 判 别 问 题 中 ， 利 用
W (X) (X μ)' α 可以得到空间 R p 的一个划分 R1 {X : W ( X) 0} R2 {X : W ( X) 0}
x2
-0.41 -0.31 0.02 -0.09 -0.09 -0.07 0.01 -0.06 -0.01 -0.14 -0.3 0.02 0 -0.23 0.05 0.11 -0.08 0.03 0 0.11 -0.27
x3
1.09 1.51 1.01 1.45 1.56 0.71 1.5 1.37 1.37 1.42 0.33 1.31 2.15 1.19 1.88 1.99 1.51 1.68 1.26 1.14 1.27
Σ 的一个联合无偏估计为
n
n2 1 和 X(2) Xi(2) n2 i 1 1 ˆ Σ ( A1 A2 ) n1 n2 2
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于B。但若把坐标系旋转α角, a
变为新坐标系 y、z，变量y 则
可把A、B分开，变量y称为判
yc1x1c2x2
别函数，其形式为：
yc1x1c2图
一般，设样品有m个变量，那么判别函数的一般 形式为：
yc1x1c2x2 cm xm(5-1)
称上式为线性判别函数，它是空间中的平面。称 c1,c2,…,cm为判别系数。
❖引言
地学领域内有很多属于归类判别的问题，如:储 层是否含油、岩样属于什么沉积相 、生油岩处于 什么演化阶段等，从定量角度看，它们都是对个体 进行归类判别的问题。
为叙述方便，将个体称为样品，个体所属的类称 为总体。在此基础上给出判别分析的一般概念:
判别分析:根据已知的G个总体中取出的G组样品 的观测值，建立总体与样品变量之间定量关系(判 别函数)，并据此判别未知类属样品类别的一种多 元统计分析方法。
P(ag/X)G P(ag)P(X/ag) G Pgfg(X)
P(aj)P(X/aj) Pjfj(X)
j1
j1
(5-3)
总体ag 的先验概率
总体ag 的概率密度
如果P(ak/X)是条件概率中的最大者，即：
P(ak/X)1 m gGP a(axg/X)
那么就判定样品X∈ak，且判错的概率最小。按 照条件概率的大小判定样品归属的原则称为Bayes 准则。在计算条件概率时，式(5-3)的分母是一个常 数，故只取分子，其相对大小不变。记为：
二、判别系数的确定 1．原始数据 若总体A、B各有na、nb个样品观测值,分别为:
x ij (a) ( i = 1, 2, …, na; j = 1 , 2 ,…, m) xkj (b) (k = 1, 2, …, nb; j = 1 , 2 ,…, m)
这是建立判别函数所需要的数据。
2. 费歇尔(Fisher)准则下的判别函数
A
B
x1 yc
图5-1 示例
一、线性判别函数的一般形式
若样品X 有x1、x2两个变量，总体A、B的样品分别落在 两个椭圆内，如图所示。
若直接用 x1、x2的观测值确 x2 新变量是原变
定X所属的总体，则当观测值
量的线性组合
x1、x2分别落在区间(c,d)和(a,b) 内时,不能确定样品属于A或属 b
把xij(a)、xkj(b)分别代入(5-1)得判别函数值：
m
yi(a) cjxij(a) (i1,2, ,na) j1 m
yi(b) cjxk(jb) (k1,2, ,nb) j1
记： Q y(a)y(b)2 两组判别函数点的中心距
na
H
nb
yi(a)y(a)2
yk(b)y(b)2
设ag(g=1,2,…,G)表示 G 个总体，每个总体中分 别有ng个样品，每个样品有m个变量。
当G = 2时，叫做两总体判别，又称为线性判别; 当G > 2时，叫做多总体判别；筛选变量建立判别 函数的方法叫做逐步判别分析。
判别分析的基本步骤：
(1)搜集来自G个总体的G组已知观测值(m个变量);
(2)根据已知数据建立判别函数;
(3)利用判别函数判别未知总体的样品类属。
§1 两总体判别分析
简单说，两总体判别就是确定样品X是属于总体 A还是属于B 的统计分析方法。
判定样品X是属于A 还是属于B 的判别函数一般
是线性判别函数。 x2 右图是一个简单的判别过
判别指数
程。判别样品归属依赖于变
量x1，变量x2对判别不起作 用。y=x1即线性判别函数。
§2 多总体判别分析
一、原始数据
若从G个总体中分别取出ng( g = 1 , 2 ,… , G )个 样品，每个样品有m个变量，样品观测值记为：
Xgk
xxg(g(12kk))
xg(mk)
(g1,2,,G;k1,2,,ng)
xgk(i)为总体ag( g=1,2,…,G )中第k ( k=1,2,…, ng)
yc
nay(a)nby(b) na nb
为判别未知样品所属总体的判别指数。
3.样品总体的判别方法 设 y(a)ycy(b)，把样品观测值xj (j=1,2,…,m) 代入判别函数，得：
m
y c j x j j 1
当y < yc 时，X∈A 当y ≥yc 时，X∈B
A
B
y(a)
y (b )
yc
图5-4 判别指数
nb
[xij(b)xj (b)][xik(b)xk(b)] i1
(j,k1,2, ,m )
d j [ x j( a ) x j( b )](j 1 ,2 , ,m )
由上述线性方程组解出cj，从而确定判别函数:
y c 1 x 1 c 2 x 2 c m x m (5-2)
三、显著性检验及样品判别
组内判别函数 点的离散度
i 1
k 1
1na
m
y(a) na
yi(a) cjxj(a)
i1
j1
1nb
m
y(b) nb
yi(b) cjxj(b)
k1
j1
费歇尔准则: 使Q 达到最大、H 达到最小。
它的含义是： Q达到最大，表明 两组判别函数点的中 心距最大；H达到最 小，判别函数点的分 布最集中。满足以上 条件的判别函数可最 大限度地把A和B区 分开(如图所示)。
y
x2 x1
图5-3 两总体样品点在平面y上的投影
要求Q达到最大，H 达到最小，则等价于要求
V=Q/H
达到最大。
V是cj (j = 1 , 2 ,…, m)的二次函数,且V>0，令：
V0 (j1,2,,m) cj
m
整理后可得： sjkCk dj (j1,2, ,m) k1
na
sjk [xij(a)xj (a)][xik(a)xk(a)] i1
个样品的第i个变量的观测值。Xgk是求判别函数的
原始数据。
二、多总体判别分析的基本原理
把G 个总体记作ag (g=1,2,…,G), 那么对于未知类 别的一个样品X来说，它可能属于任何一个总体，
但它归属每个总体ag的概率不同。 由Bayes 公式可以求得X∈ag( g=1,2,…,G )的条件
概率：
1.显著性检验
若A、B差异不明显，那么由观测值建立的判别 函数就无实际意义。为此，需要对A、B的差异性 进行检验。
检验方法：利用建立的判别函数对N(na+nb)个样 品的总体重新判定，若判对了n (n ≤ N )个，定义 R=n/N为判对率。R值越大，A、B差异就越明显。
2.判别指数
在检验显著的条件下，定义：