15《利用函数的性质判定方程解的存在》
北师大版高中数学必修1第五章1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件PPT
x ③
代数法求函数零点
要求下列函数的零点 （1）f (x) 2 x 1 （2）f (x) x2 2x 3
（3）f (x) x2 2x 3
进一步探究
函数零点的个数 函数零点的存在性
函数零点的个数
1. 确定二次函数 y x2 2x 2的零点个数
数的角度： 方程x2 2x 2 0
2.判定方程x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 ，且一个根大于 2，另一个根小于 0
巩固练习 1 求下列函数的零点个数.
① f (x) lg x x ② f (x) x 1
x
③ f (x) log2 x x 2
思考题 请判定方程 2x x 0是否存在实数解， 若存在，请给出一个实数解的存在区间.
但是，由f
(
x)
x, 1,
1
x2 x2
的图象可知，f (x)在区间1,2上没有零点
定理理解：判断正误
1 若f (a) f (b) 0,则函数y f (x)在区间 a,b内有零点.
2函数y f (x)在区间 a,b内有零点，则 f (a) f (b) 0.
3函数f (x)在区间a,b 上连续，且f (a) f (b) 0,
f (a) 0, f (b) 0
函数不间断
函数不间断（连续）， f (a) f (b) 0
函数f (x)在区间（a,b） 上存在零点
零点存在定理
若函数y f (x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线，且f (a) f (b) 0
则函数y f (x)在区间（a,b）上至少有一个零点 .
的根的个数
形的角度： 函数y x2 2x 2
的图象与x轴交点的个数 y
0
x1 0
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计一、教材依据使用教材为北京师范大学出版社的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修一第四章函数应用的第一节函数与方程的第一课时《利用函数性质判定方程解的存在》。
二、设计思想1、教材分析函数是高中数学的一条主线，是高考的难点与热点，因此，作为高中学生应该精通函数（概念、性质、图象），另一方面还应善于运用函数的观点解决方程问题。
函数思想就是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的图像和性质去分析问题、转问题，从而使问题获得解决。
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
函数思想与方程思想密切相关，对问题的分析过程常需有意识地培养学生的函数与方程转化意识，对于高中学生数学学习来说显得尤其重要，为此设计这一教学内容。
2、学情分析在初中时已经学过一元一次方程、一元二次方程等的求解，而对于一些复杂的方程无法求解，那就要判断所给方程到底有没有实数解，本节课在之前函数学习的基础上，通过函数和方程的联系，让学生会判断所给方程在给定区间是否有实数解。
三、教学目标1、知识与技能理解方程的解与相应函数图像交点之间的内在联系，学会用函数观点处理某些方程的解的问题。
2、过程与方法由函数图像发现函数和方程的联系，并总结出零点的定义以及如何判定方程解的存在。
在发现、研究和解决问题的过程中，体会“函数与方程”、“化归与转化”和“数形结合”等数学思想方法。
3、情感态度与价值观培养学生系统化及联系的观点。
四、教学重点学会用函数方法研究某些方程解的存在性等相关问题；体会函数与方程的思想。
五、教学难点理解方程的解与函数图像交点的横坐标的关系；学会问题转化、优化，能够将某些方程解的问题转化为函数图像的交点问题来解决。
六、教法选择利用多媒体直观地展示函数图像的变化，激发学生自觉地探究数学问题，体验发现的乐趣，充分体现以学生发展为本的理念。
精 品 教 学 设 计4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件1.1利用函数性质判定方程解的存在性
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
利用函数性质判定方程解的存在PPT演示文稿
-x 2 =log
数形 结合
练习
2
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C） （D）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x bx c, x 0, x 0 f ( x) f 4 f 0， f 2 2 2、设函数 若 ， 2, x 0 则关于x的方程 f ( x) x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y log x与y kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A） 4 （B） 2 （C） 4 （D） 2
坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f(x)=x -5x+m=0的
例3
讨论
x 2 解的个数和分 布情况。
1 2014-9-24
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
方程与函数都是代数的
重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
实例分析
判断方程
F(x)=
2 x -x-6=0
解的存在。
2 x -x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横
1 4
总结 方程与函数的关系 根的存在性的判断 的方法
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿介绍本文是对北师大版高中数学必修第一册中《利用函数性质判定方程解的存在性》这一章节的评课稿。
本章主要讲解了如何通过利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过学习本章，学生将能够掌握判断一元二次方程、绝对值方程和分式方程解的存在性的方法和技巧。
本评课稿将从教材内容的组织、教学目标的达成度、教学方法的灵活性以及学生对知识的掌握程度等方面进行评价和总结。
教材内容的组织本章的教材内容组织合理，层次清晰，基本符合学生的认知规律。
从解一元二次方程开始，逐渐引入绝对值方程和分式方程的求解，形成了一个由易到难、由简单到复杂的教学过程。
在每一小节中，教材都以实际问题为例子，具体说明了如何利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过实际问题的引入，不仅提高了学生的学习兴趣，还帮助学生更好地理解和应用知识。
教学目标的达成度学生在学习本章后应能够： - 理解并应用一元二次方程的解的性质，判断方程解的存在性。
- 掌握绝对值方程的解的性质，准确判定方程解的存在性。
- 理解并运用分式方程解的性质，判定方程解的存在性。
通过对学生的学习情况的观察和测试，大部分学生能够达到上述学习目标。
他们能够准确地判断方程解的存在性，并能够应用所学知识解决实际问题。
然而，在对一些复杂问题的应用上，仍有部分学生存在困难，部分学生对分式方程解的判断仍存在不确定性。
因此，在教学过程中，可以适当增加一些练习和巩固的环节，帮助所有学生更好地掌握这些知识和技巧。
教学方法的灵活性教学过程中教师采用了多种灵活的教学方法，如讲解、示范、讨论和练习等。
教师在引入新知识时，注重通过简单明了的语言和具体的例子来解释概念和原理，使学生易于理解。
在讲解过程中，教师积极与学生互动，鼓励学生提问、思考和讨论，促进学生的主动学习。
同时，教师还设计了一些小组活动和练习，让学生在合作中巩固所学内容，提高解题能力。
教学方法的灵活性使学生能够更好地参与课堂，增加了学习的乐趣和积极性。
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
1 x
0
1 x 在 [ 1， 上 不 连 续 , 1]
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
f (x)
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
尽 管 有 f ( 1) f 1) 0
．
③
x
可方程 在（-1，2）上无解
．
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
• 零点是点吗？ • 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1 1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方的点（1，1）， 图像是一条连续的直线，故函数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函 数 f ( x ) 2 x 1在 闭 区 间 [ 0 , 1 ] 上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (0 ) 1 0, f (1) 1 0， 则 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 内 有 零 点 .
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
1.1利用函数性质判定方程解的存在
y f(a)>0
x1 x2 x3
O
xf(b)<0
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在 (a,b)上有零点，但不一定满足f(a) ·f(b)<0
y f(a)>0 f(b)>0
x1
O
x
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且 f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。
所以方程 3x x2 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个
大于5,一个小于2.
y
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一 交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
y
f(a)>0 f(b)>0
x1 x2
O
x
典例分析:
北师大版数学教材 必修1
例 2.已知函数 f (x) 3x x2 .问:方程 f (x) 0 在[1,0] 内
有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f (x) 3x x2 的图像是连续的,
又因为 f (1) 2 0 , f (1) 2 0 , 3
作业布置:
• 1.教材P119,习题4—1之A组第 2题.
• 2.教材P119,习题4—1之B组第 1题.
பைடு நூலகம் 课后思考：
请求出方程 x log2 x 0 的一个有解区间 (a,b) , 使得 b a 0.1.
利用函数性质判定方程解的存在性 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
新课标人教A版数学必修1全部课件：4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
，则关于x的方程
f 2 2
（A）1 （B）2 （C）3（D）4 f 已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
(x) x
（D）
3、已知函数
（A）
（A）
（B）
（C）
的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
4
=
（B） y log 1 x 与 y kx （C） （D）
k
1 4
1 2
1 4
1 2
Page 7
总结 方程与函数的关系
根的存在性的判断 的方法
Page 8
作业
P136:A B P125:A 2 1 6
Page 9
数形 结合
Page 6
例3 -
怎样求这个根的近似值？
练习
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 2、设函数 解的个数为
x 2 若x c , x 0, x ， b 0 f (x) x0 2,
f 4 f 0
利用函数性质判 定方程解的存在
\
4.1.1
方程与函数都是代数的 重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
问题提出
Page 2
实例分析 判断方程 x -x-6=0 解的存在。
2
x2-x-6
F(x)=
-3
0
4
-6
Page 3
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐 标叫做该函数的零点。即f(x)=0的 解。
若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲 线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至 少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内 至少有一个实数解。
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3
教学背景
2 学情分析
知识层面
基本初等函 数模型 看图识图
品质来自专业 信赖源于诚信
能力层面
数形结合与 抽象思维能 力不足，认 识不到函数 的核心地位
4
教材处理
1 教学目标
知识技能
过程方法
了解零点概 念，会用存 在性定理判 断零点
提高学生观察 归纳、猜想能 力，发现问题 探求问题的能 力，培养逻辑 推理、数型结 合等核心素养
11
教学过程
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分学析习
学以致用 概括整合
思考：观察下面两幅图片，早上放牛娃去河边放牛，起的太 早了，他放牛的时候睡着了，醒来后发现牛不在原来的位置 了，请问哪只牛肯定过河了？
12
教学过程
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创设情境 引发思考
设计目的:通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误 会正面给出，第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的 准确理解。
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教学过程
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
学以致用 概括整合
例题1：已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x)
对应值表：
设计意图：由简单方程入手复习求方程根的方法，同时一些 复杂方程无法用公式求解，引起认知冲突，激起学生兴趣，
引出课题。
8
教学过程
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
学以致用 概括整合
问题2：观察下面一元二次方程的根与二次函 数图像与x轴交点有什么联系？一般的一元二 次方程的根与二次函数是否也有同样的结论？
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情感态度
体会函数与方 程思想在解决 函数问题中的 作用,增强数 学应用能力.
5
教材处理
2 教学重点、难点
教学重点
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教学难点
零点存在性定 理
零点存在性定 理的探究 求零点个数
6
教材处理
3 教法、学法
教法
问题引导、 启发探索等
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练习
1.函数f(x)=x(x－4)的零点为( ) A．(0，0)，(2，0) C．(4，0)，(0，0)
问题引导 深度分析
B．0 D．4，0
学以致用 概括整合
2.求下列函数的零点
1 f x x2 3x 2
2 f x lg x2 4x 4
设计目的：此环节学生全程参与新知的探究深化，对知识 的来龙去脉有了更深的了解，知识必然会牢固掌握。
合作探究 得出结论
问题引导 深度分学析习
学以致用 概括整合
问题4:将河流抽象成x 轴，将前后两个位置视为A、B 两点，请问当A、 B与x 轴处于怎样的位置关系时，AB 间的一段连续不断的函数图像与 x 轴一定会有交点？
问题5:A、B 与x 轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
零点存在性定理：
18
教学过程
创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
小结：（围绕以下几点展开） 1.知识上：认识了零点问题 2.方法上：掌握了函数方程思想，
数形结合思想
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学以致用 概括整合
设计目的：先由学生独立完成，老师整理补充，这样加深理 解记忆。
19
教学过程
创设情境 引发思考
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1
说课 内容
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一、教学背景 二、教材处理 三、教 学 过 程
四、教学反思
2
教学背景
1 教材分析
课标要求
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地位作用
结合二次函 数了解函数 的零点与方 程根的联系
为下节二分 北法师打大基版础必，修 一而第且四为方章程第1 节与第函一数课提时供 了零点这个 连接点
设计目的：此环节反馈联系，运用定理解决问题，由简到难， 有梯度有深度，同时注重函数与方程间的转换，理解函数与 方程的思想。
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教学过程
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
学以致用 概括整合
问题6：如果 3x x2 =0 有实数根，有几个呢？
设计目的：此环节运用图像法，分析法，解题过程充分体现了 数形结合的思想，为下一步的教学打下坚实基础.
合作探究 得出结论
分层作业： 1.习题4-1 A组1、2 必做
2.习题4-1 A组3 选做
问题引导 深度分析
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学以致用 概括整合
设计目的：分层作业，体现了本课的重难点，也为下节‘二分 法’做准备。学生在完成作业的同时，也预习了新课，将预习 前置，提高学习效率。
20
创设情境 引发思考
23
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续曲线， 且满足f(a)·f(b) <0， 那么函数y=f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点。
13
教学过程
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分学析习
学以致用 概括整合
思考1:定理的条件，结论，作用分别是什么？ 思考2:为什么条件中强调[a,b]，而结论中说的是(a,b)? 思考3:去掉“图像是连续曲线”这个条件可以吗？ 思考4:把条件里f(a)·f(b) <0，改成f(a)·f(b) ＞0, 那么函数y=f(x)在区间(a,b)上就没有零点了？ 思考5:把结论里“至少有一个零点”改成“只有一个零点”可以 吗？
教学过程
合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
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学以致用 概括整合
设计目的：黑板中间为媒体屏幕，用来展示授课过程，左侧 板书主要知识点。两板结合使用，既流畅自然又突出重点。
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教学反思
深度学习: 1、情境引入 2、问题串 3、小组合作、自主探究
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个区间是( )
A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）
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教学过程
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
学以致用 概括整合
例题3：
已知函数 f x 3x x2
问：方程 f x 0在区间[-1，0]内有没有实数解？
函数零点的概念：
函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图象与横轴交点的横坐标．
9
教学过程
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合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
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问题3：函数的零点与方程的根有什么区别和联系？
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创设情境 引发思考
合作探究 得出结论
x12345
6
7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5
B.4
C.3
D.2
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合作探究 得出结论
问题引导 深度分析
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例题2：（高考链接）函数 f (x) ex x 2的零点所在的一
学法
自主探究、 小组合作等
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问题引导 深度分析
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问题1：下列方程有实数根吗？
1.2x 1 0 2.3x2 5x 2 0 3.4x3 x 15 0
4.3x x2 0 5.ln x 2x 6 0