必修五高中数学人教A版模块综合测试

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【步步高】2021学年高中数学模块综合检测（A）新人教A版选修1-1(1)

模块综合检测(A)(时刻：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．命题“假设A ⊆B ，那么A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．已知命题p ：假设x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，那么x ，y 全为0；命题q ：假设a >b ，那么1a <1b.给出以下四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．以x 24－y 212＝－1的核心为极点，极点为核心的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 4．已知a >0，那么x 0知足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( ) A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左核心，那么线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在8．过抛物线y 2＝4x 的核心作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若是x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．49．中心在原点，核心在x 轴上的双曲线的一条渐近线通过点(4，－2)，那么它的离心率为( ) A.6 B.5 C.62 D.5210．假设当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－43，那么函数的解析式为( )A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4B ．f (x )＝13x 2＋4C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4D ．f (x )＝13x 3－4x ＋411．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的核心，假设在双曲线上存在点P ，知足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，那么该双曲线的渐近线方程为( ) A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝012．假设函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，那么以下结论正确的选项是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若是p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是 ________________________________________________________________． 14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个核心与抛物线y 2＝16x 的核心相同，那么双曲线的方程为________________________________________________________________________． 15．假设AB 是过椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 别离表示直线AM 、BM 的斜率，那么k AM ·k BM ＝________.16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其核心，假设∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，知足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)假设以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．模块综合检测(A) 答案1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．] 2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的核心为(0，±4)，极点为(0，±23)．因此对椭圆y 2a2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，现在函数对应的图象开口向上，当x ＝ba 时，取得最小值－b 22a ，而x 0知足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么关于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为核心的椭圆．] 6．D [∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e xe x ＋12.令e x ＋1＝t ，那么e x ＝t －1且t >1， ∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t.再令1t＝m ，那么0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.]7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，因此有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3x 2.因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的概念，得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k2k ＝52.]10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4，因此f ′(x )＝3ax 2－b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.]11．D [如下图，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →， ∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2. ① 又由双曲线概念得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，b a＝2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]12．C [f ′(x )＝2x －ax2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B 不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]13．[3,8)解析因为p (1)是假命题，因此1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，因此4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 212＝1解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得b a＝3，∴b ＝3a .∵抛物线y 2＝16x 的核心为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2，∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.15．－b 2a 2解析设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2.16．57解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2. 又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ，f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ，∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.17．解由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3知足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3知足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f 2≤0f 3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0.∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解如下图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的概念知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122. ② 由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝6433.19．解设 P ＝(x ，y )，那么 MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．∴ |MN →|＝4，|MP →|＝x ＋22＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)，代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4x ＋22＋y 2＋4(x －2)＝0，即x ＋22＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x . 20．解 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝2a －43a ＝1f 1＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，知足(1)所求的取值范围．故a ＝±1.22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，因此曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，因此f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x2，x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，因此当x ∈(0,1)时，g (x )>0，现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，现在f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，现在f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a－1>1， x ∈(0,1)时，g (x )>0，现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )<0，现在f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a－1<0. x ∈(0,1)时，g (x )>0，现在f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，现在f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．。

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模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】法一取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1【解析】由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。

【步步高】2021学年高中数学模块综合检测（C）新人教A版选修1-1(1)

模块综合检测(C)(时刻：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题12小题，每题5分，共60分) 1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部份B ．椭圆的一部份C ．圆的一部份D ．直线的一部份2．假设抛物线的准线方程为x ＝－7，那么抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．x 2＝28y C ．y 2＝－28x D ．y 2＝28x 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C.2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题：①若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，那么a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，那么a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 5．已知a 、b 为不等于0的实数，那么ab>1是a >b 的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又没必要要条件6．假设抛物线y 2＝4x 的核心是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，那么通过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7．假设双曲线x 2a2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右核心别离为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的核心分成5∶3两段，那么此双曲线的离心率为( )A.3 B.6 C.233D.2638．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共核心，它们的离心率之和为245，那么此双曲线方程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 9．以下四个结论中正确的个数为( )①命题“假设x 2<1，那么－1<x <1”的逆否命题是“假设x >1或x <－1，那么x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：假设a <b ，那么am 2<bm 2，那么p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，那么以下点中必然在x 轴上的是( ) A ．(a ，b ) B ．(a ，c ) C ．(b ，c ) D ．(a ＋b ，c ) 11．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．假设P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥213．假设函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，那么m 的取值范围是________．14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，那么动圆必过定点________． 15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个核心，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.假设△PF 1F 2的面积为9，那么b ＝________.16．设f (x )、g (x )别离是概念在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，那么不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．假设綈q 是綈p 的充分条件，求a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.(1)求c 的值； (2)求证：f (1)≥2.19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 别离与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，假设p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，假设f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（12分）如下图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0）交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．模块综合检测(C) 答案 1．B [x ＝1－4y 2，∴x 2＋4y 2＝1 (x ≥0)．即x 2＋y 214＝1 (x ≥0)．]2．D3．C [由已知，b 2a 2＝1，∴a ＝b ， ∴c 2＝2a 2，∴e ＝ca ＝2a a＝2.]4．C5．D [如取a ＝－3，b ＝－2，知足a b >1，但不知足a >b .反过来取a ＝1，b ＝－5，知足a >b ，但不知足ab>1，故答案为D.]6．D [因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，因此可求得m ＝±4.由于圆通过核心F 且和准线l 相切，由抛物线的概念知圆心在抛物线上．又因为圆通过抛物线上的点M ，因此圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知关于点M (4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个知足条件的圆．]7．C8．B [由已知得椭圆中a ＝5，b ＝3， ∴c ＝4，且它的核心在y 轴上，故双曲线的核心也应在y 轴上且为(0,4)和(0，－4)，又椭圆的离心率为e ＝c a ＝45，因此双曲线的离心率为2，即ca＝2，又c ＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，那么双曲线方程为y 24－x 212＝1.]9．B [只有③中结论正确．] 10．A11．A [令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在概念域内只有一个极值，因此y max ＝1e.] 12．C [先化简P 与Q ，建构关于a 的关系式；由函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R 知：内层函数u (x )＝x 2＋2x ＋a 恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即P ⇔a ≤1；一样由y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1，即Q ⇔a <2；由P 或Q 为真，P 且Q 为假知，P 与Q 中必有一真一假．故答案为C.]13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 解析f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，因此Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.14．(0,2)解析动圆必然过抛物线x 2＝8y 的核心． 15．3解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a|PF 1|·|PF 2|＝18，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋36＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2， ∴4a 2－4c 2＝36，∴b ＝3. 16．(－∞，－3)∪(0,3) 解析设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )， ∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0. ∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．17．解 p ：{x |2<x <10}，q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }．由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ，于是1＋a <2，∴0<a <1.18．(1)解 ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0. ∴c ＝0.(2)证明 ∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0，而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根别离为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1 ＝－7－3b ≥－7＋9＝2. 故f (1)≥2.19．证明设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，那么直线MF 的斜率为－k ，直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20y 2＝x得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 于是y 0·y E ＝y 01－ky 0k.因此y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k .∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y Fy 2E －y 2F＝1y E ＋y F＝－12y 0(定值)．20．解设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，因此函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，那么有3－2a >1，即a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2.②若p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}． 21．解由f (x )>1，得ax －ln x －1>0. 即a >1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，那么g ′(x )＝－ln x x2，∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.22．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为 OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.因此直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，y ′＝－x ，因此－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，因此P (－2，－2)．现在点P 到直线l 的距离d ＝|2×－2－－2－2|22＋－12＝45＝455，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4×－4＝410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552＝82.。

人教版高中数学必修五综合测试题

人教版高中数学必修五综合测试题一、选择题1．不等式x 2≤3x 的解集是：2．不等式的解集是：3. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

4. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .5. 在约束条件0024x y y x sy x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]6.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。

7.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（） A.2228.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是（）A.80B. 85C. 90D.959．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( )A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N10．若关于x 的函数y ＝2x ＋m 2x在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )11．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ·y )＝f (x )+f (y )，且当x >1时，f (x )>0，那么当x <1时，一定有( )A ．f (x )<－1B ．0<f (x )<1C ．f (x )>-1D ．-1<f (x )<012．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．。

人教A版高中数学必修五必修五综合测试题 (第三套).docx

必修五综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个第2个第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为元。

2021人教版数学同步a版必修5模块练习题--2.3 等差数列的前n项和

2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式基础过关练题组一等差数列前n项和的有关计算1.在等差数列{a n}中,已知a1=10,d=2,S n=580,则n=( )A.10B.15C.20D.302.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项之和为286,则项数n为( )A.24B.26C.25D.283.设{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( )A.18B.20C.22D.244.(2019福建福州长乐高中、城关中学、文笔中学高二期末)等差数列{a n}的前n 项和为S n,且S5=6,a2=1,则公差d等于( )A.15B.35C.65D.25.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则{a n}的通项公式a n= . 题组二数列的前n项和S n与a n的关系6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n=( )A.nB.n2C.2n+1D.2n-17.在各项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=( )A.638B.639C.640D.6418.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为.9.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n2+n+3,求数列{a n}的通项公式;(2)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=14(a n+1)2,求a n.题组三裂项相消法求和10.已知数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1),则其前10项和为( )A.910B.911C.1112D.101111.已知数列{a n}的通项公式为a n=√n+1+√n,则其前n项和S n= .12.已知数列{a n}的通项公式为a n=lg n+1n,则其前n项和S n= .13.已知等差数列{a n}满足a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令b n=1a n2-1(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a5=3,S13=91,则a1+a11=( )A.7B.8C.9D.102.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★☆)已知数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1,S n是其前n项和,若a2,a2 019是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,则S2 020的值为( )A.6B.12C.2 020D.6 0603.(2018云南玉溪第一中学高三月考,★★☆)已知数列{a n}的首项a1=1,对于任意m,n∈N*,有a n+m=a n+3m,则数列{a n}前5项的和S5=( )A.121B.25C.31D.354.(2020山东日照高二月考,★★☆)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( )A.66B.65C.61D.565.(★★☆)设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=2(a2+a3),则S7S4=( )A.74B.145C.7D.146.(2019广东佛山一中期末,★★☆)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于( )A.4B.5C.6D.77.(★★☆)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60=( )A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660二、填空题8.(2019江苏南京高三上学情调研,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a m=10,S2m-1=110,则m的值为.9.(2020广东深圳宝安高二期末,★★☆)若等差数列{a n}满足a5=11,a12=-3,且{a n}的前n项和S n的最大值为M,则lg M= .10.(2020吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)已知单调递减数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,且4S n=2a n-a n2(n∈N*),则a5= .三、解答题11.(2020湖北荆门高二期末,★★☆)已知数列{a n}的前n项和为S n,且(a n+1-a n)2+2=3(a n+1-a n),a50=1,求S100的最小值.12.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=8,a3+a8=2a5+2.(1)求a n ;(2)设数列{1S n}的前n 项和为T n ,求证:T n <34.13.(★★☆)已知函数f(x)=14x +m(m>0),当x 1,x 2∈R 且x 1+x 2=1时,总有f(x 1)+f(x 2)=12.(1)求m 的值;(2)设数列{a n }满足a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n)+f(1),求数列{a n }的前n 项和S n .14.(2019山东济宁一中月考,★★☆)数列{a n }中,a 1=1,当n≥2时,其前n 项和S n满足S n 2=a n ·(S n -12).(1)求S n的表达式;(2)设b n=S n,求数列{b n}的前n项和T n.2n+115.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三下考前押题卷,★★★)数列{a n}中,S n为其前n项和,且2S n=na n+n(n∈N*).(1)求证:{a n}是等差数列;(2)若a2=2,b n=n+2,T n是{b n}的前n项和,求T n.a n a n+12n第2课时等差数列前n项和的性质及应用基础过关练题组一等差数列前n 项和的性质1.已知等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-11,S 1010-S 88=2,则S 11=( )A.-11 B .11 C.10 D.-102.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是( ) A.12,12B.12,1 C.1,12D.12,23.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 7a 5=913,则S 13S 9= .4.已知等差数列{a n }的前10项和为30,前30项的和为10,则前40项的和为 .题组二等差数列前n 项和的函数属性5.已知数列{a n }中,a 1=10,a n+1=a n -12,则它的前n 项和S n 的最大值为 . 6.在等差数列{a n }中,a 1>0,公差d<0,a 5=3a 7,且其前n 项和为S n ,则S n 取最大值时,n= .7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d. (1)若S 2 016>0,S 2 017<0,且S k 最大,则整数k= ; (2)若a 1=25,S 9=S 17<0,且S k 最大,则整数k= . 8.已知{a n }是等差数列,且a 2=1,a 5=-5. (1)求{a n }的通项公式a n ;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值.题组三等差数列的综合问题9.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=( )A.0B.3C.8D.1110.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为( )A.0B.1C.2D.1或211.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小一份的量为( )A.52B.54C.53D.5612.(2019湖南长沙一中高二期末)已知等差数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足a1+a5=27a32,S7=63.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b1=a1,且b n+1-b n=a n+1,求数列{1b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020浙江高三期末,★★☆)已知公差不为零的等差数列{a n}满足a32=a1a4,S n为数列{a n}的前n项和,则S3S1的值为( )A.94B.-94C.32D.-322.(2019山东招远一中高二月考,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )A.9B.12C.16D.173.(2020浙江丽水高一期末,★★★)设等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,已知a1≠0,S5=S17,则( )A.da11>0B.da12>0C.a1a12>0D.a1a11<04.(2020广东第二师范学院番禺附属中学高二期末,★★★)若等差数列{a n}的前n 项和S n有最大值,且a11a10<-1,则S n取正值时,项数n的最大值为( )A.15B.17C.19D.215.(2020江苏徐州高二期末,★★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,公差d≠0,则下列结论不正确的是( )A.若S5=S9,则S14=0B.若S5=S9,则S7最大C.若S6>S7,则S7>S8D.若S6>S7,则S5>S6二、填空题6.(2019河北衡水中学高考猜题卷,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S13>0,S14<0,若a k·a k+1<0,则k= .7.(2018湖北黄石二中高二期中,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m= -2,S m+1=0,S m+2=3,则m= .8.(2019河北沧州一中高二期中,★★★)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100的值为.9.(★★★)无穷等差数列{a n}的前n项和为S n,若首项a1=32,公差d=1,则满足S k2=(S k)2的正整数k的值为.三、解答题10.(2020湖南怀化高二期末,★★☆)已知数列{a n}满足1a1+1a2+1a3+…+1a n=n2(n∈N*),且b n=a n a n+1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)若S n为数列{b n}的前n项和,对任意的正整数n,不等式S n>λ-12恒成立,求实数λ的取值范围.11.(★★☆)已知数列{a n}为等差数列,a1=1,a n>0,其前n项和为S n,且数列{√S n}也为等差数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n =a n+1S n ·S n+1,求数列{b n }的前n 项和.答案全解全析第1课时等差数列的前n 项和公式基础过关练1.C 因为S n =na 1+12n(n-1)d=10n+12n·(n -1)×2=n 2+9n,所以n 2+9n=580,解得n=20或n=-29(舍).2.B 设该等差数列为{a n },由题意,得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67. 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3, ∴4(a 1+a n )=21+67=88,∴a 1+a n =22. ∴S n =n (a 1+a n )2=11n=286,∴n=26.3.B 由S 10=S 11,得a 11=S 11-S 10=0,所以a 1=a 11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.4.A ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=6,a 2=1, ∴{S 5=5a 1+5×42d =6,a 2=a 1+d =1,解得{a 1=45,d =15.故选A. 5.答案 2n解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得{a 1+5d =12,3a 1+3d =12,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. 6.D 当n=1时,a 1=S 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1. ∵当n=1时,此等式也成立,∴a n =2n-1(n∈N *),故选D.7.C 由已知S n √S n -1-S n-1√S n =2·√S n S n -1可得,√S n -√S n -1=2(n≥2),又a 1=1,∴√S 1=1,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,∴S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640. 8.答案 80解析由题意得,a 6+a 7+…+a 10=S 10-S 5=111-31=80.9.解析 (1)∵S n =2n 2+n+3,∴当n=1时,a 1=S 1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n =S n - S n-1=2n 2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.当n=1时,a 1不符合上式, ∴a n ={6(n =1),4n -1(n ≥2).(2)当n=1时,a 1=S 1=14(a 1+1)2,解得a 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=14(a n +1)2-14·(a n-1+1)2,即4a n =a n 2+2a n +1-(a n -12+2a n-1+1),∴a n 2-a n -12-2(a n +a n-1)=0,∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0.∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n-1>0,∴a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2, ∴数列{a n }是公差为2,首项为1的等差数列, ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.10.D 设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n =1n (n+1)=1n -1n+1得,S n =(1-12)+(12-13)+…+1n -1n+1=1-1n+1,所以S 10=1-111=1011.11.答案 √n +1-1 解析由已知得, a n =√n+1+√n=√n +1-√n ,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3-√2)+…+(√n +1-√n )=√n +1-1. 12.答案 lg(n+1)解析由已知得a n =lg(n+1)-lg n,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+…+[lg(n+1)-lg n]=lg(n+1). 13.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 因为a 3=7,a 5+a 7=26, 所以{a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得{a 1=3,d =2.所以a n =3+2(n-1)=2n+1,S n =3n+n (n -1)2×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n =2n+1, 所以b n =1a n 2-1=1(2n+1)2-1=14·1n (n+1)=14·(1n-1n+1),所以T n =14(1-12+12-13+ (1)-1n +1)=14(1-1n+1)=n4(n+1),即数列{b n }的前n 项和T n =n4(n+1). 能力提升练一、选择题1.D 由S 13=13a 7=91,可得a 7=7,所以a 5+a 7=10,从而a 1+a 11=a 5+a 7=10.2.D 由题意,得数列{a n }为等差数列.a 2,a 2 019是函数f(x)=x 2-6x+5的两个零点,等价于a 2,a 2 019是方程x 2-6x+5=0的两个根,∴a 2+a 2 019=6, ∴S 2 020=(a 1+a 2 020)·2 0202=(a 2+a 2 019)·2 0202=6 060,故选D.3.D 令m=1,有a n+1=a n +3,即a n+1-a n =3,又已知a 1=1,∴{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,∴a n =1+3(n-1)=3n-2, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5×(3×3-2)=35.4.A 当n≥2,n∈N *时,a n =S n -S n-1=n 2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2] =n 2-4n+2-(n 2-6n+7) =n 2-4n+2-n 2+6n-7=2n-5, 当n=1时,a 1=S 1=-1,不满足上式, ∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+1+3+5+…+15=2+(1+15)×82=2+64=66.5.C 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.根据等差数列的性质及a 4=2(a 2+a 3),得a 1+3d=2(a 1+d+a 1+2d),化简得a 1=-d,所以S 7S 4=7a 1+7×62d 4a 1+4×32d =14d 2d=7.解法二:由已知及等差数列的性质,得a 4=2(a 2+a 3)=2(a 1+a 4),又S 7S 4=7(a 1+a 7)24(a 1+a 4)2=7a 42(a 1+a 4),所以S7S 4=7.6.B 设该设备第n(n∈N *)年的运营费用为a n 万元,则数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,则a n =2n,则该设备到第n(n∈N *)年的运营费用总和为a 1+a 2+…+a n =2+4+…+2n=n (2+2n )2=(n 2+n)万元.设第n(n∈N *)年的盈利总额为S n 万元,则S n =11n-(n 2+n)-9=-n 2+10n-9=-(n-5)2+16,因此,当S n 取最大值时,n=5,故选B. 7.B 由题意得,当n 为奇数时,a n+1-a n =2n-1,n+1为偶数,所以a n+2+a n+1=2n+1,两式相减得a n+2+a n =2;当n 为偶数时,a n+1+a n =2n-1,n+1为奇数,所以a n+2-a n+1=2n+1,两式相加得a n+2+a n =4n. 故S 60=a 1+a 3+a 5+…+a 59+(a 2+a 4+a 6+…+a 60)=2×15+(4×2+4×6+…+4×58)=30+4×450=1 830.故选B. 二、填空题 8.答案 6解析 ∵{a n }是等差数列,且a m =10, ∴S 2m-1=a 2m -1+a 12×(2m -1)=(2m-1)a m =10(2m-1)=110,解得m=6.9.答案 2解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.∵a 5=11,a 12=-3,∴{a 1+4d =11,a 1+11d =-3,解得{d =-2,a 1=19.∴a n =19-2(n-1)=21-2n.令a n ≥0,解得n≤212.因此当n=10时,{a n }的前n 项和S n 取得最大值,且最大值M=10×19+10×92×(-2)=190-90=100,∴lg M=2. 10.答案 -10解析当n=1时,4S 1=2a 1-a 12,∴a 1=-2. 当n≥2时,4S n =2a n -a n 2,① 4S n-1=2a n-1-a n -12,②①-②,得4a n =2a n -2a n-1-(a n 2-a n -12),化简,得a n -a n-1=-2或a n +a n-1=0,∵数列{a n }是递减数列,且a 1=-2,∴a n +a n-1=0舍去. ∴数列{a n }是首项为-2,公差为-2的等差数列,故a 5=-2+(5-1)×(-2)=-10. 三、解答题11.解析由题意,得a n+1-a n =2或a n+1-a n =1.由a 50=1知,当n≤49时,a n ≤0;当n≥51时,a n >0.故当数列{a n }的前50项的公差为2,后50项的公差为1时,数列的前100项和最小. 所以(S 100)min =50×1+50×492×(-2)+50×2+50×492=-1 075.12.解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由题意得{2a 1+d =8,2a 1+9d =2a 1+8d +2,解得{a 1=3,d =2.所以a n =2n+1. (2)证明:由(1)知a n =2n+1,所以S n =n2(3+2n+1)=n 2+2n.所以1S n=1n (n+2)=12(1n -1n+2).所以T n =12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+… +(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2)<34. 13.解析 (1)令x 1=x 2=12,得f (12)=14=12+m,解得m=2.(2)由a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n )+f(1),得a n =f(1)+f (n -1n )+…+f (1n )+f(0),两式相加,得2a n =[f(0)+f(1)]+[f (1n )+f (n -1n )]+…+[f(1)+f(0)]=12(n+1),即a n =14(n+1),显然数列{a n }是等差数列, 当n=1时,a 1=12,所以S n =n [12+14(n+1)]2=18n 2+38n.14.解析 (1)由a n =S n -S n-1(n≥2)得,S n 2=(S n -S n-1)(S n -12)=S n 2-12S n -S n-1S n +12S n-1,即S n-1-S n =2S n S n-1(n≥2), ∴1S n -1S n -1=2(n≥2),又1S 1=1a 1=1,∴{1S n}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴1S n=2n-1,即S n =12n -1(n∈N *).(2)由(1)得b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=12(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n -1-12n+1) =12(1-12n+1) =n 2n+1.15.解析 (1)证明:由2S n =na n +n(n∈N *)①,得2S n-1=(n-1)a n-1+(n-1)(n≥2)②, ①-②得,2a n =na n +n-(n-1)a n-1-(n-1), ∴(n -2)a n =(n-1)a n-1-1(n≥2)③, ∴(n -1)a n+1=na n -1(n∈N *)④,④-③得,(n-1)a n+1-(n-2)a n =na n -(n-1)a n-1,∴2(n -1)a n =(n-1)a n-1+(n-1)a n+1(n≥2),∴2a n =a n-1+a n+1, ∴{a n }是等差数列.(2)设等差数列{a n }的公差为d. 由题意得2S 1=a 1+1,∴a 1=1,又∵a 2=2,且由(1)知{a n }是等差数列, ∴d=a 2-a 1=1,∴a n =n, ∴b n =n+2n (n+1)·2n=12n -1·n -12n (n+1),∴T n =(1-14)+(14-112)+…+[12n -1·n -12n (n+1)]=1-12n (n+1).第2课时等差数列前n 项和的性质及应用基础过关练1.A 因为{a n }为等差数列,所以{Sn n }也为等差数列,且首项S11=a 1=-11.设{Sn n }的公差为d,则S1010-S88=2d=2,所以d=1,所以S 1111=-11+10d=-1,所以S 11=-11.2.A 设等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,由S 偶-S 奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.再由S 10=10a 1+10×92×12=15+12.5,得a 1=0.5.3.答案 1解析由等差数列前n 项和的性质得S13S 9=13a 79a 5=139×913=1.4.答案 -40解析设等差数列{a n }的前n 项和为S n .解法一:由题易知数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等差数列.设其公差为d, 则前3项和为3S 10+3×22d=S 30=10,即S 10+d=103,又S 10=30,所以d=-803,所以S 40-S 30=S 10+3d=30+3×(-803)=-50,所以S 40=-50+S 30=-40.解法二:因为数列{a n }是等差数列,所以数列{S n n }也是等差数列,所以点(n ,S nn )在一条直线上,即(10,S 1010),(30,S 3030),(40,S4040)三点共线,于是S 3030-S 101030-10=S 4040-S 101040-10,将S 10=30,S 30=10代入,解得S 40=-40.5.答案 105解析由题意得a n+1-a n =-12,∴数列{a n }是公差为-12的等差数列,又a 1=10,∴a n =-n 2+212(n∈N *).∵a 1=10>0,-12<0,∴设从第n 项起为负数,则-n 2+212<0(n∈N *), ∴n>21,∴前21项的和最大,最大值为S 21=105. 6.答案 7或8解析由a 5=3a 7,得a 1+4d=3(a 1+6d),即a 1=-7d,所以a n =a 1+(n-1)d=-7d+(n-1)d=(n-8)d. 又因为a 1>0,d<0,所以当{a n ≥0,a n+1≤0时,S n 取得最大值,即{(n -8)d ≥0,(n -7)d ≤0,解得7≤n≤8.所以当S n 取最大值时,n=7或8. 7.答案 (1)1 008 (2)13解析 (1)由等差数列的性质可知,S 2 017=2 017a 1 009<0,所以a 1 009<0, 又S 2 016=2 016(a 1 008+a 1 009)2>0,即a 1 008+a 1 009>0,所以结合a 1 009<0可得a 1 008>0,因此S 1 008最大,故k=1 008. (2)解法一:由{a 1=25,S 9=S 17,可得{a 1=25,9a 1+9×4d =17a 1+17×8d ,解得d=-2,则S n =25n+n (n -1)2×(-2)=-(n-13)2+169,显然S 13最大,故k=13.解法二:同解法一得d=-2, 故a n =25+(-2)×(n -1)=27-2n,显然对于n∈N *,当n≤13时,a n >0;当n≥14时,a n <0.故S 13最大,k=13. 8.解析 (1)设{a n }的公差为d,则由a 2=1, a 5=-5,得d=a 5-a 25-2=-5-13=-2,∴a 1=a 2-d=3,∴a n =-2n+5. (2)由(1)得,S n =3n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+4n=-(n-2)2+4,∴当n=2时,S n 取得最大值4.9.B 设数列{b n }的首项为b 1,公差为d,则由b 3=-2,b 10=12,得{b 1+2d =-2,b 1+9d =12,解得{b 1=-6,d =2,∴b n =-6+(n-1)×2=2n -8,∴a n+1-a n =2n-8,又a 1=3, ∴a 2-a 1=2×1-8, a 3-a 2=2×2-8,a 4-a 3=2×3-8, …… a 8-a 7=2×7-8,以上各式相加得,a 8-a 1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,∴a 8=a 1=3.10.D 由a,b,c 成等差数列得2b=a+c,Δ=(-2b)2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2, 当a=c 时,Δ=0,有一个交点; 当a≠c 时,Δ>0,有两个交点.11.C 由题意可得中间的那份为20个面包.设最小的一份为a 1,公差为d,由题意可得[20+(a 1+3d)+(a 1+4d)]×17=a 1+(a 1+d),解得a 1=53,故选C.12.解析 (1)解法一:设等差数列{a n }的公差为d,由题意,得a n >0,且{a 1+a 1+4d =27(a 1+2d )2,7a 1+21d =63,∴{a 1=3,d =2.∴a n =2n+1.解法二:∵{a n }是等差数列,且a 1+a 5=27a 32,∴2a 3=27a 32.又a n >0,∴a 3=7. ∵S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=63,∴a 4=9,∴d=a 4-a 1=2, ∴a n =a 3+(n-3)d=2n+1. (2)∵b n+1-b n =a n+1,且a n =2n+1, ∴b n+1-b n =2n+3. ∴当n≥2时,b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3 =n(n+2),当n=1时,b 1=3满足上式, ∴b n =n(n+2). ∴1b n =1n (n+2)=12(1n -1n+2), ∴T n =1b 1+1b 2+…+1b n -1+1b n=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+ …+(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2).能力提升练一、选择题1.A 设数列{a n }的公差为d(d≠0),由a 32=a 1a 4得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d),整理,得a 1d+4d 2=0,因为d≠0,所以a 1=-4d,所以S 3=3a 1+3d=-9d,所以S 3S 1=-9d -4d =94,故选A.2.A 由等差数列前n 项和的性质得, S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,…成等差数列. 由S 4=1,S 8=4可得,其公差为2, 所以S 36=S 4+(S 8-S 4)+…+(S 36-S 32)=9×1+9×82×2=81.又因为S 36=36×(a 1+a 36)2,所以a 1+a 36=8118=92,所以a 17+a 18+a 19+a 20=2(a 17+a 20)=2(a 1+a 36)=9. 3.B 由a 1≠0,S 5=S 17,得5a 1+5×42d=17a 1+17×162d,化简,得2a 1+21d=0,即a 11+a 12=0.因为a 1≠0,所以d≠0,所以a 11,a 12符号相反.若d>0,则a 11<0,a 12>0,a 1<0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0;若d<0,则a 11>0,a 12<0,a 1>0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0.综上,选B. 4.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.由S n 有最大值,得d<0.由a11a 10<-1,得a 11<0<a 10,且a 11+a 10<0.由a 10>0,得2a 10=a 1+a 19>0,所以S 19>0.由a 10+a 11<0,得a 1+a 20=a 10+a 11<0,所以S 20<0.所以S n 取正值时,n 的最大值为19. 5.D 由S 5=S 9得a 6+a 7+a 8+a 9=0,即a 1+a 14=0,所以S 14=14×(a 1+a 14)2=0,故A 中结论正确.由S 5=S 9得5a 1+10d=9a 1+36d,即d=-213a 1.因为a 1>0,所以d<0. 再由S n 对应的二次函数的图象知,对称轴为n=5+92=7,所以S 7最大,故B 中结论正确. 由S 6>S 7得a 7<0.又a 1>0,所以d<0,所以a 8<0,所以S 7>S 8.但a 6的符号不确定,所以S 5与S 6的大小无法比较,故C 中结论正确,D 中结论错误.故选D. 二、填空题 6.答案 7解析因为S 13>0,S 14<0,所以{13(a 1+a 13)2>0,14(a 1+a 14)2<0,即{a 1+a 13>0,a 1+a 14<0, ∴{a 1+a 13=2a 7>0,a 1+a 14=a 7+a 8<0,∴{a 7>0,a 8<0, 又a k ·a k+1<0,∴k=7. 7.答案 4解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n}是等差数列,所以S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.8.答案 101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63,∴奇数项之和为S 奇=135-63=72.设等差数列{a n }的公差为d,则S 奇-S 偶=2a 1+(m -1)d2=72-63=9.∵a m =a 1+d(m-1),∴a 1+a m2=9.由题意得m (a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14, ∴a 1=2,d=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101.9.答案 4解析解法一:由题意,得S n =32n+n (n -1)2×1=12n 2+n,则S k 2=12k 4+k 2,(S k )2=(12k 2+k)2,∴12k 4+k 2=(12k 2+k)2,即14k 4-k 3=0,解得k=0或k=4.∵k∈N *,∴k=4.解法二:∵数列{a n }为等差数列,∴不妨设S n =An 2+Bn,其中A=d2,B=a 1-d2,则S k 2=A(k 2)2+Bk 2,S k =Ak 2+Bk.由S k 2=(S k )2,得k 2(Ak 2+B)=k 2(Ak+B)2.∵k∈N *,∴Ak 2+B=(Ak+B)2,即(A 2-A)·k 2+2ABk+B 2-B=0,又A=d 2=12,B=a 1-d2=1,∴14k 2-k=0,解得k=0(舍去)或k=4.三、解答题10.解析 (1)∵1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n=n 2(n∈N *)①,∴当n≥2时,1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n -1=(n-1)2②.①-②,得1a n=2n-1(n≥2),经检验,1a 1=1满足上式,∴1a n=2n-1(n∈N *),∴a n =12n -1.∴b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1).(2)由(1)及已知得S n =12·(1-13+13-15+…+12n -1-12n+1)=n2n+1. 又S n =n 2n+1=12-14n+2,n∈N *,∴S n ∈[13,12),∴不等式S n >λ-12恒成立等价于13>λ-12,∴λ<56.故实数λ的取值范围为(-∞,56).11.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≥0),则S 1=a 1=1,S 2=2+d,S 3=3+3d. ∵数列{√S n }为等差数列, ∴2√2+d =1+√3+3d ,解得d=2. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得a n+1=2n+1, S n =n+n (n -1)2×2=n 2, ∴b n =a n+1S n ·S n+1=2n+1n 2·(n+1)2=1n2-1(n+1)2.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n =(112-122)+(122-132)+…+[1n 2-1(n+1)2]=1-1(n+1)2=n 2+2n(n+1)2.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：综合质量测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式错误!〈错误!的解集是( )A．（－∞，2）B．（2，＋∞）C．（0，2）D．（－∞，0）∪(2，＋∞）答案D解析错误!<错误!⇔错误!－错误!<0⇔错误!<0⇔错误!〉0⇔x〈0或x〉2．2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )A．钝角B．直角C．锐角D．60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2〉0，cos C>0．故角C为锐角．3．在△ABC中，a＝20,b＝10,B＝29°,则此三角形解的情况是（）A．无解B．有一解C．有两解D．有无数个解答案C解析a sin B＝a sin29°〈a sin30°＝20×错误!＝10＝b<a，所以有两解．故选C．4．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析由题意知，约束条件错误!所表示的三角形区域的顶点分别为A(0，2），B(3，0），C （1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6，17，故z 的最小值为6．5．已知△ABC 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的周长为( )A ．15B ．18C ．21D ．24答案 A解析根据题意，设△ABC 的三边长为a,a ＋2，a ＋4，且a ＋4所对的角为最大角α，∵sin α＝错误!，∴cos α＝错误!或－错误!，当cos α＝错误!时,α＝60°，不符合题意，舍去；当cos α＝－12时,α＝120°，由余弦定理得:cos α＝cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a ＝3或a ＝－2(不符合题意，舍去），则这个三角形周长为a ＋a ＋2＋a ＋4＝3a ＋6＝9＋6＝15．故选A ．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若内角A ，B,C 依次成等差数列,且不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜a ＜x ＜c}，则S △ABC ＝（ )A ． 3B ．2错误!C ．3错误!D ．4错误!答案 B解析不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝，由此可知a ＝2,c ＝4．又由A ，B ，C 依次成等差数列，知2B ＝A ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝错误!．于是S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．故选B ．7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，则4a 5－2a 3的值为( )A ．80B ．60C ．40D ．20答案 A解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，∴5a7＝200，a7＝40．又4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选A．8．已知S n和T n分别为数列｛a n｝与数列{b n｝的前n项和，且a1＝e4，S n＝e S n＋1－e5，a n＝e b n，则当T n取得最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6答案C解析由S n＝e S n＋1－e5，得S n－1＝e S n－e5(n≥2），两式相减，得a n＝e a n＋1（n≥2），易知a2＝e3，错误!＝错误!＝错误!，所以｛a n｝是首项为e4，公比为错误!的等比数列，所以a n＝e5－n．因为a n＝e b n,所以b n＝5－n．由错误!即错误!解得4≤n≤5,所以当n＝4或n＝5时，T n取得最大值．故选C．9．已知△ABC的周长为2，角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足错误!＝3c,则c等于（)A．错误!B．1 C．1或错误!D．错误!答案D解析由正弦定理得:错误!＝错误!＝3c，即3c2＝b＋a，又∵a＋b＋c＝2，∴3c2＋c＝2．解得c＝错误!．故选D．10．某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费用为9千元,这种生产设备的维护费用：第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用________年报废最划算( )A．3 B．5 C．7 D．10答案D解析设使用x年，年平均费用为y万元，则y＝错误!＝错误!＝1＋x10＋错误!≥3，当且仅当x＝10时等号成立．故选D．11．设{a n｝是正数等差数列，｛b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则（）A．a n＋1〉b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1答案B解析a n＋1＝错误!≥错误!＝错误!＝b n＋1．12．如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C（)A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°;10错误!D．北偏东20°;10错误!答案B解析由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°,AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－错误!＝300，所以AC＝10 3．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝3，b＝4,c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝________．答案61 2解析由余弦定理得bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!．14．已知数列｛a n}是各项为正数，首项为1的等差数列，S n为其前n项和,若数列｛错误!｝也为等差数列，则错误!的最小值是________．答案错误!解析设数列{a n}的公差为d（d＞0），即有a n＝1＋（n－1)d，S n＝n＋错误!n(n－1)d，错误!＝错误!，由于数列{错误!｝也为等差数列,可得d＝2，即有a n＝2n－1，S n＝n2，则错误!＝错误!＝错误!错误!≥错误!·2错误!＝2错误!，当且仅当n＝2错误!取得等号，由于n为正整数,即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得错误!,故最小值为错误!．15．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下,最少要花费________元．答案500解析设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋,则35x＋24y≥106，x∈N＊，y∈N*，共花费z＝140x＋120y．作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N＊对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点（1，3）处z最小,为500元．16．如果a〉b，给出下列不等式：①1a〈错误!；②a3>b3；③错误!〉错误!;④2ac2〉2bc2；⑤错误!>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．其中一定成立的不等式的序号是________．答案②⑥解析①若a>0，b〈0，则错误!>错误!，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a〉b．∴a3〉b3，故②成立；③取a＝0，b＝－1,知③不成立；④当c＝0时,ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；⑤取a＝1，b＝－1,知⑤不成立;⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b）＝错误!［（a－b)2＋（a－1）2＋(b－1）2］〉0，∴a2＋b2＋1〉ab＋a＋b，故⑥成立．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知b cos2错误!＋a cos2错误!＝错误!c．(1）求证：a，c，b成等差数列；(2)若C＝π3，△ABC的面积为2错误!,求c．解(1)证明:由正弦定理得：sin B cos2A2＋sin A cos2错误!＝错误!sin C，即sin B·错误!＋sin A·错误!＝错误!sin C,∴sin B＋sin A＋sin B cos A＋cos B sin A＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin(A＋B)＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin C＝3sin C，∴sin B＋sin A＝2sin C，∴a＋b＝2c，∴a，c，b成等差数列．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!ab＝2错误!，∴ab＝8，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝4c2－24．∴c2＝8，得c＝2错误!．18．（本小题满分12分)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，｛b n}是各项都是正数的等比数列．(1）若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(2)若b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，求数列{b n｝的通项公式．解（1)由题意可设公差为d,则d≠0．由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列,得错误!＝错误!，解得d＝1或d＝0（舍去)．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝1＋(n－1）×1＝n．(2）由题意可设公比为q，则q＞0．由b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去）．故数列｛b n｝的通项公式为b n＝1×2n－1＝2n－1．19．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．(1)是否存在实数a,b使不等式f(x)〉0的解集是｛x|3<x<4},若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数,b＝a＋2，且函数f（x)在(－2,－1)上恰有一个零点,求a的值．解（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是｛x｜3<x〈4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴错误!解得a＝错误!，b＝错误!．而当a＝错误!>0时,不等式ax2－bx＋1〉0的解集不可能是{x｜3<x〈4｝，故不存在实数a，b使不等式f（x)〉0的解集是｛x|3<x<4}．（2）∵b＝a＋2，∴f(x）＝ax2－(a＋2）x＋1．∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x）＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个零点．又函数f(x）在(－2,－1）上恰有一个零点，∴f（－2)·f(－1）〈0，∴（6a＋5）(2a＋3）<0，解得－错误!<a〈－错误!．∵a∈Z，∴a＝－1．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知2c－a ＝2b cos A．（1)求角B的大小；（2)若b＝2错误!，求a＋c的最大值．解（1)∵2c－a＝2b cos A,∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＝π－C,可得sin C＝sin（A＋B）＝sin B cos A＋cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，化简得(2cos B－1)sin A＝0，∵A是三角形的内角，可得sin A＞0,∴2cos B－1＝0，解得cos B＝错误!，∵B∈(0，π)，∴B＝错误!．(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得12＝a2＋c2－ac．∴(a＋c)2－3ac＝12，∴12≥（a＋c）2－3错误!2,即（a＋c）2≤48(当且仅当a＝c＝2错误!时等号成立），∵a＋c>0，∴a＋c≤43，∴a＋c的最大值为43．21．（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x）,其中f(x)＝错误!若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升）时,它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0．1，参考数据：错误!取1．4)解（1）因为a＝4，所以y＝错误!①当0≤x≤4时，由648－x－4≥4,解得x≥0，所以此时0≤x≤4．②当4＜x≤10时，由20－2x≥4,解得x≤8，所以此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天．（2）当6≤x≤10时，y＝2·错误!＋a错误!－1＝10－x＋错误!－a＝（14－x）＋错误!－a－4，由题意知,y≥4对于x∈[6，10］恒成立．因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4错误!∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4错误!时，y有最小值为8错误!－a－4，令8错误!－a－4≥4，解得24－162≤a≤4,所以a的最小值为24－16错误!．又24－16错误!≈1．6，所以a的最小值约为1．6．22．（本小题满分12分）已知f（x)＝错误!sin x·cos x＋cos2x，锐角△ABC的三个角A，B,C所对的边分别为a，b，c．(1）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间；(2）若f（C)＝1，求m＝a2＋b2＋c2ab的取值范围．解（1)f(x）＝错误!sin x·cos x＋cos2x＝错误!sin2x＋错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!．∴函数f（x）的最小正周期T＝错误!＝π．由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!．∴函数f(x）的单调递增区间错误!,k∈Z，最小正周期为π．(2)由(1)可得,f(C)＝sin错误!＋错误!＝1，∴sin错误!＝错误!，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评（一） Word版含解析∵△ABC是锐角三角形，∴错误!〈2C＋错误!<错误!,∴2C＋错误!＝错误!，即C＝错误!．由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c2＝a2＋b2－ab,∴m＝错误!＝错误!－1＝2错误!－1．①∵△ABC为锐角三角形，∴错误!∴错误!＜A＜错误!．由正弦正理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!∈错误!．②由②式设t＝错误!,则t∈错误!,那么①式化简为m＝2错误!－1．由y＝t＋错误!≥2,t＝1时取等号．∴m≥3．根据对勾函数的性质可得错误!是单调递减，（1，2)是单调递增,∴m＜4，故得m＝错误!∈［3，4）．。

人教A版高中数学高二版必修5 模块综合测度

答案：(－∞，2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断该三角形的形状．
解析：利用和差角公式，将条件式展开，得(a2＋b2)·(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosA·sinB)，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.①
令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
因此，an＝2n－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，
答案：D
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()
A. B.
C. D.
解析：由a5＝5，S5＝15可得
⇒ ⇒an＝n，
∴ ＝＝－，
S100＝＋＋…＋
＝1－＝ .
答案：A
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为()
解析：设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋，则35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N*，共花费z＝140x＋120y.作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N*对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在各点(1,3)处z最小，为500元．

人教A版高中数学必修五-高二年级统练试卷.docx

& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷绝密 ★ 启用前2009-2010学年度高二年级统练试卷试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（每题5分共60分）1．下列有关命题的说法正确的是（） A ．“21x =”是“1=x ”的充分不必要条件。

B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件。

C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”。

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题。

2.在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒︒===,则b =( ) A、、 C、、3233．椭圆2212516x y +=上一点P 到它一个焦点的距离是7,则P 到另一个焦点的距离是 A ．17 B ．15 C ．3 D ．1 （） 4.在等差数列{}n a 中，有35710133()2()48a a a a a ++++=，则此数列的前13项和为 A.24 B.39 C.52 D.104 5.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( ) A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解 6.在ABC ∆中,若()()3a b c b c a bc +++-=,则A =( )A 、30︒B 、45︒C 、60︒D 、120︒7.已知等比数列{}n a 的公比13q =-,则13572468a a a a a a a a ++++++等于( )A 、13-B 、3-C 、13D 、38.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( )A 、11{|}32x x -<<B 、11{|}32x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 9．已知椭圆2219x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则Δ12PF F 的面积是（）（A ）12（B（C（D ）110．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．2C1 D11．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于（） A ．n B ．n +1 C ．n -1 D ．2n12.对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 的范围为（）A (]2.∞-B )2.(-∞C )2.2(-D (]2.2-二、填空题（每题5分共20分）13．过椭圆x y F 22136251+=的焦点作直线交椭圆于A 、B 二点，F 2是此椭圆的另一焦点，则∆ABF 2的周长为；14. x 、y 满足约束条件：225040y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则y x z +=21的最小值是 .15.已知12=+y x ，则y x 42+的最小值是______________16．已知椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程 .。

高中数学模块综合测试(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·某某模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·某某省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值X 围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值X 围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2.答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4， ∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·某某五校联考]设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π1－e2012π1－e 2πB. －e 2π1－e1006π1－eπC. －e 2π1－e1006π1－e2πD. －e 2π1－e2010π1－e2π解析：f ′(x )＝(e x)′(sin x －cos x )＋e x(sin x －cos x )′＝2e xsin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e2k π＋2π×(0－1)＝－e2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e2010π＝e2π1－e2010π1－e2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·某某高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·某某质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋222.设g (x )＝x＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝2x ＋3x －1x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥2＋222＝8.答案：816．[2013·某某省某某一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值X 围．解：由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)，若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解，所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题，即求|PA |－|PF 2|的最大值问题，如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时，此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值，易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2，故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)．故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0，可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m216－2m24≤142×2m 2＋16－2m22＝ 2.因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·某某质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．当k >1时，g (0)＝1>0，g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0，又函数g (x )的图象在定义域R 上连续，由零点存在定理，可知g (x )＝0至少有一实数解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.当k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.。

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必修五高中数学人教A 版模块综合测试(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( )A.21)1(+-n B.cos 2πnC.cos2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( ) A.41 B.43 C.42 D.32 3.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a≠0),a 19+a 20=b,则a 99+a 100等于( )A.89a b B.(a b )9 C.910ab D.(a b )104.首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n,N 的值分别是( )A.n=2,N=6B.n=2,N=8C.n=3,N=6D.n=3,N ＞65.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k 为( ) A.2 B.4 C.±4 D.±26.等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +r ，则r 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.37.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞)8.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是( )A.0B.37C.100D.-379.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0),若x 1＜x 2，x 1+x 2=0，则( ) A.f(x 1)＜f(x 2) B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定 10.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n +2a n+3(n ∈N *)，则公比q 的取值范围是( ) A.0＜q ＜221+ B.0＜q ＜251+ C.0＜q ＜221+- D.0＜q ＜251+- 11.在△ABC 中，tanAsin 2B=tanBsin 2A,那么△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( )A.a(1+r)5B.r a［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.ra［(1+r)6-(1+r)］二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.14.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________. 15.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是_______________.16.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)在△ABC 中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA ＞tanB,tanB=31，求角C 的大小及△ABC 最短边的长.18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2 563是否为数列中的一项.19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC 中,∠B=45°,AC=10,cosC=552， (1)求BC 边的长;(2)记AB 的中点为D,求中线CD 的长. .20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n+1=nn 2S n (n=1,2,3，…)，证明 (1)数列{nS n}是等比数列； (2)S n+1=4a n .21.(12分)一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项. (1)求{a n }各项的和S ； (2)记{b n }的末项不大于2S，求{b n }项数的最值N ；(3)记{a n}前n项和为S n，{b n}前N项和为T n，问是否存在自然数m，使S m=T n.22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t 需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t；每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过3 00 t,B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t .甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1 t)必修五高中数学人教A 版模块综合测试答案1.解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得. 答案：D2.解析:∵a 、b 、c 成等比数列, ∴b 2=ac. 又∵c=2a, ∴b 2=2a 2.∴cosB=ac b c a 2222-+=2222424a a a a -+=43.答案：B3.解析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10) (q 为公比)， ∴q 10=1092019a a a a ++=ab.又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(a b )8·b=89ab .答案：A4.解析：∵S N -S n-1=720，∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720.将选项代入知N=6,n=3适合上述方程. 答案：C5.解析：α+β=2，αβ=k 2, 又(α+β)2=αβ，∴4=k 2. ∴k=±2. 答案：D6.解析：当n=1时，a 1=3+r ；当n≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1,要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1. 答案：A7.解析:设A ＞B ＞C,则B=3π,A+C=32π,0＜C ＜6π,于是m=c a =CAsin sin =C CC C C sin sin 21cos 23sin )32sin(+=-π=23cotC+21,∵3＜cotC, ∴m ＞2.答案：B8.解析：设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1,b n =b 1+(n-1)d 2. ∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2). ∴{a n +b n }也是等差数列. 又a 1+b 1=100,a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列.故a 37+b 37=100. 答案：C9.解析：函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a ＞0, ∴x 1+x 2=0,x 1与x 2的中点为0，x 1＜x 2. ∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离. ∴f(x 1)＜f(x 2). 答案：A10.解析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3＞a 3a 4， ∴a 1a 2+a 1a 2q ＞a 1a 2q 2. ∵a 1a 2＞0,∴1+q ＞q 2. 解得0＜q ＜251+. 答案：B11.解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B 或A+B=2π. 答案：D12.解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)； 2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)； 2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a ［(1+r)2+(1+r)］+a ｝(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即 a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］， ∴2006年1月1日可取回的钱数为a×)1(1])1(1)[1(4r r r +-+-+=r a ［(1+r)5-(1+r)］.答案：B13.解析：由5x 2-7x-6=0,得x 1=-53, x 2=2(舍去),∴cosθ=-53,sinθ=54. ∴S=21×3×5×54=6 (cm 2).答案：6 cm 2 14.解析：∵a n =2n-49, ∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2.由⎩⎨⎧≤=>=0,49-1)-2(n a 0,49-2n a 1-n n解得n=25. ∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小. 答案：2415.解析：由题意知，首项为41，则第四项为43，则另两根应为41+61=125,41+61×2=127. ∴a=41×43=163,b=125×127=14435.∴a+b=163+14435=7231.答案：723116.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km ，则⎩⎨⎧+<>+19),8(x 12)-9(x 200,219)8(x 解之,得 256＜x ＜260. 答案：256＜x ＜260 17.解：由已知得A+B=4π,C=43π.又tanA ＞tanB,∴B 是△ABC 的最小内角.又tanB=31,∴sinB=1010.∵B b sin =C c sin ,∴b=C c sin ·sinB=55. ∴C=43π,其最短边长为55. 18.解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1). 令13+n(n+1)=2 563，则n 2+n-2 550=0，解得n=50或n=-51(舍). ∴2 563是该数列的第50项. 19.解：(1)由cosC=552得sinC=55,sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC-sinC)=1010. 由正弦定理知BC=B AC sin ·sinA=2210·1010=2. (2)AB=B AC sin ·sinC=2210·55=2.BD=21AB=1. 由余弦定理知CD=B BC BD BC BD cos 222∙∙-+=13222312181=⨯⨯⨯-+ 20.证明：(1)a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ). 整理得nS n+1=2(n+1)S n ,∴11++n S n =2n Sn .故{nS n}是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =411--n Sn (n≥2). 于是S n+1=4(n+1)11--n S n =4a n (n≥2). 又S 1=a 1=1,a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4=4a 1.因此对于任意整数n≥1，都有S n+1=4a n . 21.解：设{a n }公差为d ，a 1=5,a 4=5+3d,a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项, ∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍). (1)S=100×5+299100⨯×5=25 250. (2)∵b 1=a 1=5,b 3=a 4=20，∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍),b n =5·2n-1. 令5·2n-1≤225250， ∴2n ≤5 050.又212＜5 050＜213，即n ＜13,且212=4 096＜5 050, ∴n 的最大值N=12. (3)设有S m =T n ,即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)，整理得m 2+m-8 190=0， ∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S 90=T 12.22.解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,y 0,x 360,9y 4x 200,4y 5x 300,4y 10xz=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域.作直线l ：600x+1 000y=0, 即作直线l ：3x+5y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过平行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+360,9y 4x 200,4y 5x 得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.5. 答：应生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨，能使利润总额达到最大。