复变函数(课件)

2)当m>n时，z=a是φ(z)/ψ(z)的m-n级零点；
当m<n时，z=a是φ(z)/ψ(z)的n-m级极点； 当m=n时，z=a是φ(z)/ψ(z)的可去奇点； 3)当m≠n时，z=a是φ(z)+ψ(z)的L级零点， L=min{m,n}; 当m=n时，z=a是φ(z)+ψ(z)的L级零点，L ≥m
§5. 留数
Res[ f ( z ), z
k 1 n k
] Res[ f ( z ), ] 0
R z 内解析，则称∞为f(z)的
若f(z)在
孤立奇点。
1 Re s[f ( z ), ] 2i
无穷远点的去心邻域
C

f ( z )dz
c1
无穷远点留数的计算规则：
c
1、 f(z)为连续函数,且C是光滑(或按段光滑)曲 线时，积分是一定存在的。 2、 化为参变量的定积分来计算。

c
f z dz


f z t z t dt
§3. 复变函数的积分
若f(z)解析

c
c
f
z dz 0
n ci
复合闭路定理 f ( z )dz f ( z )dz
cn ( z z0 ) n cn z n
当z 0 0时，
n c z n c0 c1z n 0

幂级数的收敛域为圆域 cn 1 lim 若 n c 收敛半径的求法： , n 或 lim n c n n 1 则R .
§2. 解析函数
1.复变函数的导数
lim f ( z0 z ) f ( z0 ) z
z 0
z z z0 0
其中，△z →0的方式是任意的。
2.解析函数的概念
如果函数f(z)在z0以及z0的邻域内处处可导，那么称
f(z)在z0解析。如果f(z)在区域D内每一点解析，那么 称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数。
§2. 解析函数
1、可导<=>可微 2 、可导 → 连续，反之不
有极限 连续
可导（可微）
成立
3、连续→有极限，反之不 成立
解析
§2. 定理：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)
在D内一点z=x+iy可导(在D内解析)的充要条件是：
§1. 复数与复变函数
几种表示方法
1.点 表示法
2.向量表示法 3.三角表示法
4.指数表示法
5.复球面
§1. 复数与复变函数
复数的乘幂与方根
1. 乘积（三角表示式） 2.商（三角表示式） 3.幂 4.方根
§1. 复数与复变函数
函数的极限与连续性 定理一
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0 , z0=x0+iy0, 那么
有限点处留数的计算规则
1)可去奇点 c1 0 2)本性奇点:展开
§5. 留数
3)极点
一级极点 m级极点
1 d m1 m Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z ) f ( z) 0 m 1 z z 0 (m 1)! dz
Re s[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
定 理 ： 如 果 函 数 ω=f(z) 在 z0 解 析 ， 且 f’(z) ≠ 0, 那 么 映 射 ω=f(z)在z0是共形的，而且Arg f’(z0)表示这个映射在z0的转动
角，︱f’(z)︱表示伸缩率。如果解析函数 ω=f(z) 在D内处处有
f’(z) ≠ 0，那么映射ω=f(z)是D内的共形映射。 保角性、伸缩率不变性
u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微（在D内可微），且在该点 （在D内）满足柯西－黎曼方程（C-R方程）
u v u v , x y y x
函数的导数公式：
u v 1 u v f '( z ) i x x i y y
§2. 解析函数
初等函数 1、指数函数
3、乘幂与幂函数
a e
b
bLn a
z e
b
bLn z
4、三角函数和双曲函数
eiz eiz eiz e iz 三角函数： cos z , sin z 2 2i
§3. 复变函数的积分
积分存在的条件及其计算方法

c
f
z dz


c
udx vdy i vdx udy
i 1
1 若f(z)不解析 f ( z0 ) 2πi
f
n
C

f ( z) dz z z0
dz n 1, 2,
n! z0 2 i
z z
c 0
f z
n 1

解析函数高阶导数
§3. 复变函数的积分
原函数

调和函数
z1
z0
f ( z)dz G( z1 ) G( z0 )
φ(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数
2 2 且满足 0 2 2 x y
§4. 级数
复数列 αn =an+ibn
定理一：设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn =an+ibn，
设α =a+ib为一确定复数则
lim n lim an a且 lim bn b
1
1
2.形如



R (x)dx

的积分

3.形如

R(x)dx 2 i
Im( zk ) 0

Res[ R( z ), zk ]


R( x)eaix dx (a 0) 的积分
R( x)e aix dx 2i
aiz Res [ R ( z ) e , zk ],
| z | 1.
z 2n (1) (2n)!
n
z2 z3 ln(1 z ) z 2 3
n 1 z (1) n n 1
§5. 留数
留数定义：设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻 域内的洛朗级数中负一次幂项 (z- z0)–1 的系数 c–1 Res [f (z), z0]= c–1 1 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 2 i 留数定理
常 用 1 级 1 z z2 数 1 z 3 5 展 sin z z z z 3! 5! 开 式 z2 z4
cos z 1 2! 4!
(1) n z n
z 2 n1 (1) (2n 1)!
n
, | z | 1.
z
z
n n n
复数项级数

n 1

n
1 2 ... n ...

定理二、 n (an ibn )收敛 an和 bn都收敛。
n 1 n 1 n 1 n 1

§4. 级数
幂级数
定义：
n c ( z z ) c0 c1 ( z z0 ) n 0 n 0
§6. 共形映射
分式线性映射：
az b cz d
ad-bc≠0 保圆性
a,b,c,d均为常数 保对称性
保角性
定理：在z平面z1，z2，z3，在ω平面ω1, ω2, ω3， 那么就存在唯一的分式线性映射，将zk(k=1,2,3) 依次映射成ωk(k=1,2,3),即
1 3 2 z z1 z3 z2 . . 2 3 1 z z2 z3 z1
lim f (z) 存在且有限 z0为f (z)的可去奇点<=> z z
0
lim f (z) = z0为f (z)的极点<=> z z
0
lim f (z) 不存在且不为∞ z0为f (z)的本性奇点<=> z z
0
3、极点的情况：
极点与零点的关系
§5. 留数
若z=a分别是φ(z)、ψ(z)的m级与n级零点，则 1) z=a是φ(z) · ψ(z)的m+n级零点；
复
习
杜 鸣 duming@
西安电子科技大学
§1. 复数与复变函数
z = x + yi
一、复数的代数运算
加减法、乘法、除法； 运算律； 共轭复数
1) z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2) z z 3) z z [Re( z )]2 [Im( z )]2 4) z z 2 Re( z ), z - z 2i Im( z ) ( z1 z ) 1 z2 z2
z
令t
1 z
1 f ( z ) f ( ) (t ) t
规定：如果t=0是φ(t)的可去奇点、m级极点或本性奇点，
那么称z=∞是f(z)的可去奇点、m级极点或本性奇点。
§5. 留数
1.

2
0
R(cos ,sin )d

2
0
z z z z dz R(cos ,sin )d R( , ) z 1 2 2i iz


Im( z k ) 0
§6. 共形映射
解析函数导数的几何意义(辐角和模)
1.辐角Argf ’(z) 导数的辐角Argf ’(z)是曲线C经过ω=f(z)映射后在z0处 的转动角 α仅与映射ω=f(z)及点z0有关——保角性
2.导数的模︱f’(z)︱ ︱f’(z)︱为曲线C在z0的伸缩率。具有伸缩率的不变性