2014一轮复习课件 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算
高考数学(人教A版)一轮复习课件：2.10变化率与导数、导数的计算
A. e2
B.3e 2
C.6e 2
D.9e 2
【解析】选A.因y′= 故,切线的斜率k= e 2 , 切线方程为y-e 2 = e2 (x-6),令x=0 得y=-e 2 ;令y=0 得 x=3, 故围成的三角形的面积为S= ×3×|-e 2 |= e2 .
4.(2017· 商丘模拟)已知f′(x是) f(x)=sinx+acosx 的导函数,且f′ 则实,数a的值为 ( )
2.f′(x的)符号及大小的意义 函数y=f(x) 的导数f′(x反) 映了函数f(x)的瞬时变化 趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x反)|映 了变化的快慢,|f′(x越)|大,曲线在这点处的切线越“ 陡”.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修1-1P86T1 改编)曲线y=x 3 +11 在点P(1,12)
【解析】设x>0, 则-x<0, 因为x≤0时,f(x)=e-x-1 -x, 所以f(-x)=e x-1 +x, 又因为f(x)为偶函数,所以f(x)= ex-1 +x,f′(x)=ex-1 +1,f′(1)=e1-1 +1=2, 所以切线方 程为y-2=2(x-1) 即:2x-y=0. 答案:2x-y=0
f′(x)且,满足f(x) =2xf′(1) +lnx则,
f′(
【解析】选B.因为f′(x) =2f′+ 那么, f′(1) =2f′(1) +所1,以f′(1) =-1.
7.(2016· 全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x≤0时 ,f(x)=e-x-1 -x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方 程是________.
【一题多解】解答本题,还有以下方法: y′=(2x2 -1)′(3x+1)+(2x 2 -1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x 2 -1)=12x 2 +4x+6x 2 -3 =18x 2 +4x-3.
高考数学一轮复习第二篇第10节导数的概念与计算课件理新人教A版
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解：(1)∵y＝x12＋x5x＋2 sin x＝x－32＋x3＋sixn2 x， ∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x； (2)因为 y＝sin 2x(－cos 2x)＝－12sin x， 所以 y′＝(－12sin x)′＝－12(sin x)′＝－12cos x.
第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修2-2)
第 10 节 导数的概念与计算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3， y＝ x的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数.
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【教材导读】 曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”有何不 同？ 提示：(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜 率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以 是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
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【即时训练】 求下列函数的导数： (1)y＝( x＋1) 1x－1； (2)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (3)y＝ee2xx＋＋ee－－x2x.
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解：(1)因为 y＝ x·1x－ x＋ 1x－1
＝－x12＋x－12，
所以 y′＝－(x12)′＋(x－12)′＝－12x－12－12x－32
高考高考数学总复习 第二章 第10节 变化率与导数、导数的计算课件
A
17
[解] (1)∵y＝eexx－ ＋11＝1＋ex－ 2 1，∴y′＝－（ex2－ex1）2. (2)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－1x＝3xexln 3＋3xex－1x ＝3xexln(3e)－1x. (3)y′＝1－ －22x＋2e2x＝2x2－1＋2e2x.
A
18
考向 2 导数的几何意义
A
29
[解析] (1)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减 小，x＝0 时最大，所以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小， 在 x＝0 时变化率最大．A 项，在 x＝0 时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的， 故错误．B 项正确．
(2)设切点坐标为 P(x0，y0)，由 y′＝ex，得 y′|x＝x0＝ex0，从而切线方程为 y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线 过定点(0，0)，从而－ex0＝ex0(－x0)，解得 x0＝1，则 m＝e.
A
22
【变式训练 2】 已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程 及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直，求切 点坐标与切线的方程．
【典例 2】 已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
A
19
[解] (1)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为 x20＝1，x0＝±1. 切点为(－1，1)或1，53，
∴切线方程为 y－1＝x＋1 或 y－35＝x－1， 即 x－y＋2＝0 或 3x－3y＋2＝0.
「精品」高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算课件文北师大版
x＋x·1x＝a(1＋ln
x)．
由于f ′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f ′(1)＝3，所以a＝3.]
导数的几何意义 ☞角度1 求切线方程
已知曲线f (x)＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． [解] (1)根据已知得点P(2,4)是切点且f ′(x)＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4，3分 ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 5分
12分
☞角度2 求切点坐标 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的
坐标是________． 【导学号：66482100】
(e，e) [由题意得y′＝ln x＋x·1x ＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设 P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]
易错警示：当曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点 处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
[思想与方法] 1．f ′(x0)是函数f (x)在x＝x0处的导数值；(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，而 函数值f (x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时， 必须注意变换的等价性．
导数的计算
求下列函数的导数： (1)y＝exln x； (2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x； (4)y＝coesx x.
[解] (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x.
高考数学大一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件
2．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的 关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导 数的乘积．
判断正误
(1)sin
π3′＝cos
π 3
(2)若(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
( ×) ( ×) ( √)
基础盘查三 导数四则运算法则 (一)循纲忆知 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能运用复合函数的求导法则进行简单复合函数的求导． (二)小题查验 1．判断正误
[类题通法] 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利 用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可 以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中 间变量，确定复合过程，然后求导．
D．3x－y＋1＝0
解析：∵y＝sin x＋ex， ∴y′＝cos x＋ex， ∴y′x＝0＝cos 0＋e0＝2， ∴曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即 2x－y＋1＝0.故选 C.
基础盘查二 基本初等函数的导数公式 (一)循纲忆知
能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． (二)小题查验
高考数学一轮复习讲义2.10讲 变化率与导数、导数的计算
第10讲变化率与导数、导数的计算[最新考纲]1．了解导数概念的实际背景；2．通过函数图象直观理解导数的几何意义；3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数.知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)称函数f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e x3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )．辨 析 感 悟1．对导数概念的理解(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．(√) 2．导数的几何意义与物理意义(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(5)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0.(×) (6)(2012·广东卷改编)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为2x －y ＋1＝0.(√)3．导数的计算(7)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×)(8)(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导函数是y ′＝－x sin x ．(√) (9)[f (ax ＋b )]′＝f ′(ax ＋b )．(×) [感悟·提升]1．“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点． 2．导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).学生用书第37页考点一导数的计算【例1】分别求下列函数的导数：(1)y＝e x·cos x；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝ln(2x＋1)x.解(1)y′＝(e x)′cos x＋e x(cos x)′＝e x cos x－e x sin x.(2)∵y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，∴y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x－12sin x′＝1－12cos x.(3)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln(2x＋1)x′＝[ln(2x＋1)]′x－x′ln(2x＋1)x2＝(2x＋1)′2x＋1·x－ln(2x＋1)x2＝2x2x＋1－ln(2x＋1)x2＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)(2x＋1)x2.规律方法(1)本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x＋1进行求导．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．【训练1】(1)(2013·江西卷改编)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.(2)若f(x)＝3－x ＋e2x，则f′(x)＝________.解析(1)令e x＝t，则x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x.因此f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，于是f′(1)＝1＋1＝2.考点二导数的几何意义【例2】(1)(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.(2)设f(x)＝x ln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为____________________．解析(1)函数y＝kx＋ln x的导函数y′＝k＋1 x ，由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.(2)因为f(x)＝x ln x＋1，所以f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.因为f′(x0)＝2，所以ln x0＋1＝2，解得x0＝e，所以y0＝e＋1.由点斜式得，f (x )在点(e ，e ＋1)处的切线方程为y －(e ＋1)＝2(x －e)，即2x －y －e ＋1＝0.答案 (1)－1 (2)2x －y －e ＋1＝0规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平行于x 轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________．(2)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )． A ．0 B ．锐角 C ．直角 D ．钝角解析 (1)∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )， ∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)．∵π2>1>π4.而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1. ∴f ′(1)<0，即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0， ∴切线的倾斜角是钝角． 答案 (1)4x －y －3＝0 (2)D考点三 导数运算与导数几何意义的应用【例3】 (2013·北京卷)设l 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．审题路线 (1)求f ′(1)――→导数几何意义点斜式求直线l 的方程(2)构建g (x )＝x －1－f (x )――→转化g (x )>0对x >0且x ≠1恒成立――→运用导数研究函数y ＝g (x )的性质―→获得结论解 (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. ∴f ′(1)＝1－ln 11＝1，即切线l 的斜率k ＝1.由l 过点(1,0)，得l 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， ∴g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．规律方法 (1)准确求切线l 的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l 的位置关系转化为函数g (x )＝x －1－f (x )在区间(0，＋∞)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．(2)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.学生用书第38页【训练3】 (2014·济南质检)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (0<a <1)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a 和b 的值． 解 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x ＝(a e x －1)(a e x ＋1)a e x.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 1a >0. 当0≤x <ln 1a 时，f ′(x )<0； 当x >ln 1a ，f ′(x )>0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln 1a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞上递增．从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝2＋b .(2)∵y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝32x ， ∴f (2)＝3，且f ′(2)＝32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e 2＋1a e 2＋b ＝3a e 2－1a e 2＝32①②解之得b ＝12且a ＝2e 2.1．理解导数的概念时，要注意f ′(x 0)，(f (x 0))′与f ′(x )的区别：f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ′(x 0)是f (x )在x ＝x 0处的导数值，是常量但不一定为0，(f (x 0))′是常数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别．易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014·杭州质检)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )．A ．1 B.164 C ．1或164D ．1或－164[错解] ∵点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， ∴直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点O . 则k ＝f ′(0)＝2，直线l 的方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2＋a －2x ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，选A. [答案] A[错因] (1)片面理解“过点O (0,0)的直线与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切”．这里有两种可能：一是点O 是切点；二是点O 不是切点，但曲线经过点O ，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O (0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻． [正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14， ∴所求切线l 的方程为y ＝－14x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164. [答案] C[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．【自主体验】函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝12x＋a相切，则a等于()．A．2ln 2 B．ln 2＋1 C．ln 2 D．ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，且y′＝1x，∴＝1x0＝12，则x0＝2，y0＝ln 2.又点(2，ln 2)在直线y＝12x＋a上，∴ln 2＝12×2＋a，∴a＝ln 2－1.答案 D对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()．A．－1 B．－2 C．2 D．0解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2. 答案 B2.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )． A ．2 B ．6 C ．－2 D ．4解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 答案 A3．(2014·济南质检)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12 解析 ∵y ′＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－2(3－1)2＝－12，∴－a ＝2，即a ＝－2. 答案 B4．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为( )． A ．－2 B ．3 C ．2或－3 D ．2解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝12x －3x ，∴＝12x 0－3x 0＝－12，即x 20＋x 0－6＝0，解得x 0＝2或－3(舍)． 答案 D5．(2014·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )．A.13B.12C.23 D ．1解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13. 答案 A 二、填空题6．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 17．(2013·南通一调)曲线f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析 f ′(x )＝f ′(1)e e x －f (0)＋x ⇒f ′(1)＝f ′(1)e e 1－f (0)＋1⇒f (0)＝1.在函数f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2中，令x ＝0，则得f ′(1)＝e.所以f (1)＝e －12，所以f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋f (1)＝e x －12，即y ＝e x －12. 答案 y ＝e x －128．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围是________．解析 y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立，∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案 [－2,2]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14， 曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0. (2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3， ∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，∴g (x )在[1,2]上是减函数． g (x )min ＝g (2)＝92，∴a >92， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·北京西城质检)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()．A．1 B．3 C．－4 D．－8解析依题意，得P(4,8)，Q(－2,2)．由y＝x22，得y′＝x.∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.①在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.②联立①，②得点A(1，－4)．答案 C2．已知f(x)＝log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C ＝f′(a＋1)，则()．A．A>B>C B．A>C>BC．B>A>C D．C>B>A解析记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝f(a＋1)－f(a) (a＋1)－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝log a x在点M处的切线斜率；C ＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝log a x在点N处的切线斜率．由图象得，A>B>C.答案 A二、填空题3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝x n＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值为________．解析f′(x)＝(n＋1)x n，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即x n＝nn＋1，∴x1·x2·…·x2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013(x1x2…x2 012)＝－1.答案－1三、解答题4．(2013·福建卷改编)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)当实数a>0时，求函数f(x)的极值．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0.令f′(x)＝0，得x＝a>0.当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值.学生用书第39页必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 变化率与导数、导数的计算
方法点睛
①熟记基本初等函数的导数公式及四则运算
法则是正确求导的基础；②必要时对于某些求导问题可先化 简函数解析式再求导．
变式训练1
n x
求下列函数的导数：
cosx (1)y＝x e ；(2)y＝ ；(3)y＝exlnx；(4)y＝(x＋1)2(x－ sinx 1)．
§3.1
变化率与导数、导数的计算
[高考调研
明确考向]
考纲解读 •了解导数概念的实际背景． •理解导数的几何意义． 1 •能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x ，y＝ 的导数． x
2
•能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单的函数的导数． •能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1， 因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0 或y＋2＝0.
方法点睛
首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还
是求过某点曲线的切线．①求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方 程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；②求过某 点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写 切线方程．
1 x 解析：(1)y′＝ · 2x＝ 2 . 2 x2＋1 x ＋1 (2)y′＝(2sin2x)(cos2x)×2＝2sin4x. (3)y′＝(－e－x)sin2x＋e－x(cos2x)×2＝e－x(2cos2x－ sin2x)． 1 1 x (4)y′＝ 2x＝ 2. 2· 2· 1＋x 1＋x 2 1＋x
fx2－fx1 1 答案：□ x2－x1 Δy 4 lim □ → Δx Δx 0
高考数学第一轮总复习 2.10 变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版
(2)［f(x)·g(x)］′＝_f_′__(_x_)_g_(_x_)_＋__f_(_x_)_g_′__(_x_)_.
f xgx f xgx
(3)[
f g
x x
]＝_______［_g__x__］_2 _______(g(x)≠0).
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①y′=f′(x)在点x=x0处的函数值就是函数y=f(x)在点x=x0处 的导数值; ②求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0); ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点; ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线;
原函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f(x)=lnx
导函数
f′(x)=_a_xl_n_a_ f′(x)=_e_x
1
f′(x)=__x_ln_a__
1
f′(x)=___x__
4.导数四则运算法则
(1)［f(x)±g(x)］′＝_f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)_.
12年(2考)：新课标全国卷T13 辽宁T12 11年(5考)：新课标全国卷T21 湖南T7
山东T4 江苏T12 辽宁T20
考情 播报
1.导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点 2.导数的运算一般不单独命题,常在考查导数的应用中 同时考查,而导数的几何意义常与解析几何中的直线交 汇命题 3.题型主要以选择题、填空题或解答题中的基本的一 步的形式出现,属中低档题
6.(2014·济南模拟)曲线y= x 在点(-1，-1)处的切线方程为
x2
________.
【解析】y′=
(
x
高三数学一轮复习 第2章第10节 变化率与导数、导数的计算课件 文 (广东专用)
设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线 方程为________．
【尝试解答】 因为 f(x)＝xln x＋1， 所以 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y－(e＋1)＝2(x－e)， 即 2x－y－e＋1＝0. 【答案】 2x－y－e＋1＝0
设函数 f(x)＝ax＋x＋1 b(a，b∈Z)，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程为 y＝3.
(1)求 y＝f(x)的解析式； (2)证明曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝1 和直线 y＝x 所 围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【f′2＝ f2＝3
(3)y′＝ln
x′x2＋1－ln x2＋12
xx2＋1′
＝1xx2＋x21＋－122xln
x＝x2＋x1x－2＋21x2l2n
x .,
将例题中的函数改为：(1)f(x)＝x2cos x， (2)g(x)＝ex＋ln x，分别求f(x)与g(x)的导数．
【解】 (1)(1)f′(x)＝(x2cos x)′ ＝(x2)′·cos x＋x2(cos x)′ ＝2xcos x－x2sin x. (2)g′(x)＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋1x.
课时知能训练
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A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
【错解】 ∵f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－x2x－4， ∴由 f′(x)＞0，可得x2－xx－2＞0， 解得 x＞2 或－1＜x＜0，故选 B.
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解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－12－1＝(Δx)2＋2Δx， Δy ∴Δx＝Δx＋2.
答案：C
2．已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为 ( ) 10 A. 3 16 C. 3
10 6＝4，得 a＝ 3 .
答案：A
13 B. 3 19 D. 3
解析：由条件知 f′(x)＝3ax2＋6x，所以 f′(－1)＝3a－
π f4的值为________．
π f(x)＝f′4cos
x＋sin x， 则
π 解析：f′(x)＝－f′4sin π ∴f′4＝－ π ∴f′4＝ π ∴f4＝(
x＋cos x，
2 π 2 2 f′4＋ 2 ，
答案：D
4．若曲线 f(x) ＝x4 －x 在点P 处的切线平行于直线 y ＝3x ，则
点P的坐标为________． 解析：设切点P为(x0，f(x0))，f′(x)＝4x3－1， 由题意知f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，∴f(x0)＝0. ∴切点P为(1,0)．
答案：(1,0)
5． (2013· 淄博模拟)已知函数
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1， 1＋Δx－1 Δy 1 ∴Δx＝ ＝ ， Δx 1＋Δx＋1 ∴Δ lim x→0 1 1 ＝2. 1＋Δx＋1
1 ∴f′(1)＝2.
二、导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0) 处的切线的 斜率 ，过点P的切线方程为： y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0(x0，y0)的切
线，两种说法有区别吗？ 提示：两种说法有区别．在点 P0(x0 ， y0) 处的切线说明点 P0 在曲线y＝f(x)上，且P0为切点；过点P0(x0，y0)的切线则点P0不一 定在曲线上，或点P0在曲线上也不一定为切点．
函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的原则，求导 时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对
求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价
性，避免不必要的运算失误．
1．在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 Δy ＋Δx,2＋Δy)，则Δx为( 1 A．Δx＋Δx＋2 C．Δx＋2 ) 1 B．Δx－Δx－2 1 D．2＋Δx－Δx
x 3．曲线 y＝ 在点(1，－1)处的切线方程为( x－2 A．y＝x－2 C．y＝2x－3 B．y＝－3x＋2 D．y＝－2x＋1
)
x－2－x 2 解析：y′＝ 2 ＝－ 2，故 y′|x＝1＝－2，因此 x－2 x－2 所求切线方程为 y－(－1)＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.
fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx ________________________ .
3．导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝ y′＝
fx＋Δx－fx lim Δx→0吗？
提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点 x0处的函数值．
在解答过程中.
一、导数的概念 1．函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
fx2－fx1 函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 x2－x1 ，若 Δx
Δy ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为Δx.
2．f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 fx0＋Δx－fx0 Δy lim → Δx 0 Δx ______________________ ＝Δ lim ，称其为函数 y＝f(x) x→0 Δx 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝
考纲要求 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数的定义求函数y ＝c，y＝x，y＝x2，y＝ 1 的 x 导数． 4.能利用给出的基本初等函数 的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数.
考情分析 1.导数是高考命题的热点，是
必考内容，主要考查导数的
概念、导数的几何意义、导 数的计算等． 2.考查形式以选择题、填空题 为主，在解答题中通常出现
三、几种常见函数的导数
函数 f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*) 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a(a＞0且a≠1) f′(x)＝ex 1 f′(x)＝xln a(a＞0 且 a≠1) 1 f′(x)＝x
2－1， 2 2 2－1)× 2 ＋ 2 ＝1.
答案：1
【考向探寻】
1．利用导数的概念求有关变化率．
2．利用导数的概念，解决有关的实际问题．
【典例剖析】 用导数定义求函数 f(x)＝ x在 x＝1 处的导数．
Δy 解决本题的关键是正确的求出 Δy，Δx，然后求出极限 即可，需要严格按照定义来求解．
； ；
f′xgx－fxg′x f x 2 [ g x ] (3)[ ]′＝ gx
(g(x)≠0)．
五、复合函数的导数(理) 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间 的关系为y′x＝ 对x的导数的积． yu′u′x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a＞0且 a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且 a≠1) f(x)＝ln x
四、可导函数的四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝ (2)[f(x)· g(x)]′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)