学而思寒假七年级尖子班讲义第5讲二元一次方程组进阶-共11页

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第二节二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学学而思

第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用法，消y 用法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。

学而思初一数学寒假班第5讲.基本乘法公式及应用.教师版

代数式6级复杂乘法公式及整式除法代数式5级基本乘法公式及应用代数式4级整式乘法原来如此漫画释义满分晋级阶梯5基本乘法公式及应用题型切片（四个）对应题目题型目标平方差公式及几何意义例1；完全平方公式及几何意义例2；例3；简便计算例4；乘法公式的综合运用例5；例6；例7；例8考点一、平方差公式若226m n -=，且3m n -=，则m n += .【解析】 2考点二、完全平方公式及变形若4,2p q pq -==-，则22p q +的值为 . 【解析】 12【例1】平方差公式及几何意义；【例2】完全平方公式的计算；【例3】完全平方公式几何意义和复杂计算；【例4】利用两个公式简便计算；【例5】先化简再代入求值；【例6】平方差公式的应用；编写思路考点剖析知识互联网题型切片【例7】完全平方公式的应用；【例8】常考恒等变形.【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）图乙图甲bbaaabbA ．222()2a b a ab b +=++ B ．222()2a b a ab b -=-+ C ．22()()a b a b a b -=+- D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-⑵如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，将余下部分拼成一公式示例剖析平方差公式：22()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式．bbbaa注意：⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意．⑵ 运算性质中，字母a ，b 可表示一个数一个单项式或一个多项式． ⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用． ⑷ 零指数计算中底数不能为零．夯实基础知识导航模块一平方差公式及几何意义个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )A ．()2222a b a ab b -=-+B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+⑶计算①()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ③()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】 ⑴ C ；⑵C; ⑶①22x y -；②22y x -；③224x y -；④2169x -；⑤22x y -；⑥2249m n -.公式示例剖析完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+ 222()2a b a ab b +=++两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式．()22121x x x +=++完全平方公式几何意义：知识导航模块二完全平方公式及几何意义【例2】计算⑴()2x y +；⑵()2x y -+；⑶()2x y --⑷2(3)x y + ；⑸2(23)x y --；⑹ 2324x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】 ⑴222x xy y ++；⑵222x xy y -+⑶222x xy y ++；⑷2296x xy y ++；⑸ 224129x xy y ++；⑹293416x x -+.【例3】 ⑴ 有若干张面积分别为2a ，2b ，ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为2a 的正方形纸片，4张面积为ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为2b 的正方形纸片为（）A ．2张B ．4张C ．6张D ．8张⑵ 化简：()()()222m n m n m n m -+++-; ⑶2(25)(52)(25)x x x ----； ⑷()()x y z x y z +++- ⑸()()x y z x y z +--+ ⑹(59)(59)x y x y +--+.【解析】⑴ B ；⑵ ()()()22222222222m n m n m n m m n m mn n m mn -+++-=-+++-=; ⑶ 284050x x -+-； ⑷2222x y z xy +-+； ⑸2222x y z yz --+； ⑹22259081x y y -+-bbaaba b a关于完全平方公式的重要变形： 222()2a b a b ab +=+- 222()2a b a b ab +=-+()22()4a b a b ab +=-+221()()4ab a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 夯实基础对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.【例4】 ⑴ 2999; ⑵2299101+；⑶ 22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;【备选】⑷24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++ 【解析】⑴ 998001;⑵ 原式=()()2210011001-++=20002；⑶原式=11111111111122331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=132491122331010⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=1120；⑷24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++2481622481644816881616163232(21)(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)1(21)(21)1(21)12=-++++++=-+++++=-++++=-+++=-++=-+=首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.知识导航模块四乘法公式的综合运用知识导航模块三简便计算能力提升【例5】 ⑴ 先化简，再求值:()()()2111x x x x +-+-，其中2x =-⑵ 已知21y x +=，求代数式()()2214y y x +--的值．⑶()()()22322x y x y x y +-+-，其中1132x y ==-，.⑷若22m m +=，求代数式()221(1)(2)(23)(32)m m m m m ++----+的值.【解析】 ⑴ 原式232311x x x x =-+-=-,当2x =-时，原式()3219=--=-.⑵ 原式22214y y y x =++-+ =241y x ++ ()=221y x ++当21y x +=时，原式2113=⨯+=. ⑶ 原式=()()222241294x xy y x y ++--=21210xy y +=111232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭+21102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=12.⑷ 原式=21214m m ++=.【例6】 ⑴ 若()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值.⑵ 已知2214x y y z x z -=-=+=，，，求22x z -的值.【解析】 ⑴ ()()()22212212163a b a b a b +++-=+-=⎡⎤⎣⎦⇒()216a b +=⇒4a b +=±.⑵ ()()224x z x y y z -=-+-=+=，()()2214456x z x z x z -=+-=⨯=.【例7】 ⑴已知()()212x x x y ---=-，求222x y xy +-的值.⑵已知72a b ab +==，，求① 22a b +；② 22a ab b -+.【解析】⑴ 条件化简得2x y -=，()2222222222222x y x y x y xy xy -++--====. ⑵ ①()2222a b a b ab +=+-=2722-⨯=45.②22a ab b -+=()23a b ab +-=2732-⨯=43.【备选】⑴已知22610340m n m n +-++=，求m n -的值.⑵已知3a b +=，2230a b ab +=-，求2211a ab b -++的值.【解析】⑴()()222261034350m n m n m n +-++=-++=，所以35m n ==-，，故8m n -=.⑵22()30a b ab ab a b +=+=-， 10ab ∴=-夯实基础能力提升22211()3119301150a ab b a b ab ∴-++=+-+=++=.【例8】已知2410x x -+=，求 ① 1x x +；② 221x x+. 【解析】 ① ∵2410x x -+= ∴0x ≠，则两边同时除以x 得11404x x x x-+=⇒+=，② 221x x +=2112x x x x ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭24214-=.【备选】先化简：()()22x y x xy y +-+，若=1=1x y xy +-，，求33x y +. 【解析】33x y +；334x y +=.训练1. 请设计一个几何图形，验证222()2a b a ab b -=-+.【解析】训练2. ⑴ 若21690x x -+=，则2x = ; ⑵()()22a b c b c a --+-; ⑶ ()()222121a a +-.【解析】⑴ 6; ⑵ 2224442b c a bc ab ac ----++; ⑶ 421681a a -+.训练3. 已知实数a ，b 满足()21a b +=，()225a b -=，求22a b ab ++的值．（北大附期末考试）【解析】 ()22221a b a ab b +=++=①()222225a b a ab b -=-+=②①+②得2213a b +=. ①-②得6ab =-. ∴221367a b ab ++=-=.思维拓展训练（选讲）真题赏析bbaa训练4. 2222004200312004200220042004++ 【解析】设20042003a =，则2222004200312004200220042004++=2221(1)(1)a a a +-++=12.知识模块一平方差公式及几何意义课后演练【练习1】计算()()2112x x +-= .【解析】214x -.知识模块二完全平方公式及几何意义课后演练【练习2】⑴ 计算 22(2)(2)x x +-；⑵ 计算 2222()()a ab b a ab b ++-+； ⑶ 化简：()()22121x x x ++--;⑷ 如果26x xy m ++是一个完全平方式，则m =（） A ．9y 2B ．3y 2C ．y 2D ．6y 2【解析】⑴ 42816x x -+;⑵ 4224a a b b ++;⑶ 原式2221223x x x x =+++--=; ⑷ A.知识模块三简便运算课后演练【练习3】⑴ 2238.977.848.948.9-⨯+;⑵ 2222221009998979621-+-+-⋅⋅⋅+-. 【解析】⑴ 100;⑵ 原式=()()1009910099+-+()()98979897+-+⋅⋅⋅()()2121+-=100999821+++⋅⋅⋅++=5050.实战演练知识模块四乘法公式的综合应用课后演练【练习4】⑴先化简，再求值：()()()222a a a a -+--，其中1a =-.⑵先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.【解析】 ⑴ 原式246a =-=-.⑵ 2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=-又13x =-，故原式=1959583x ⎛⎫-=⨯--=- ⎪⎝⎭【练习5】13a a -=，则221a a+= .【点评】 11.【练习6】已知实数x 、y 、z 满足259x y z xy y +==+-，，求23x y z ++的值. 【解析】将5x y =-代入29z xy y =+-得()()22259693z y y y y y y =-+-=-+-=--⇒()2230z y +-=⇒032z y x ===，，，代入23x y z ++得8.第十四种品格：信念飞翔的信念信念就是一支火把，它能最大限度地燃烧一个人的潜能，指引他飞向梦想的天际。

二元一次方程组经典讲义

金牌数学初二专题系列之一次函数1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

二元一次方程组--辅导讲义(学)

二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．例1.方程41ax yx -=-是二元一次方程，则a 的取值为（）A 、0a ≠B 、1a ≠-C 1a ≠D 、2a ≠ 例2.若二元一次方程321x y-=有正整数解，则x 的取值应为（）A 正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为。

2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________.知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。

人教版数学七年级下册8.1 二元一次方程组课件(共26张PPT)

第八章二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.经历根据实际问题列二元一次方程（组）的过程,让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的数学模型. 2.通过复习类比一元一次方程,探究掌握二元一次方程（组）及其解的概念. 3.培养学生的数学类比思想,感受方程组的实际应用价值.
学习重点：二元一次方程(组)以及解的概念. 学习难点：二元一次方程组的解的概念.
写出二元一次方程3x+2y=19的正整数解. 解：ቊyx==81；, ቊyx==53；, ቊxy==25.,
例3 二元一次方程组ቊxx−+yy==180, 的解是（ C ）
A.ቊxy==35,
B.ቊxy==111,
C.ቊyx==−91,
D.ቊxy==16..55,
下列各组值中是二元一次方程组ቊxx−+yy==35,的解的是（ C ）
我们已经学习了一元一次方程，并学会了用它解决实际问题。一元一次方程中只含有一个未知数，下面我们来看下这些问题含有几个未知数？
篮球比赛不仅出现在奥运赛场上，在生活中也随处可见,请同学们看下面这个问题：在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到 16分，那么这个队胜负场数分别是多少呢？
思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
分析：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=
总积分.
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
解:设这个队胜的场数为x场,负的场数为y场. 依据题意,得x+y=10,2x+y=16.
学生活动一【一起探究】

第五节二元一次方程组的图像解法-学而思培优

第五节二元一次方程组的图像解法-学而
思培优
二元一次方程组是指两个未知数的一次方程组。

解决这样的方程组可以使用图像解法。

图像解法通过图像的相交点来求出方程组的解。

图像解法的步骤如下：
1. 将方程组转化为标准形式：将方程组中的变量写在一边，常数写在另一边，得到方程组的标准形式。

2. 在平面直角坐标系中绘制两个方程的图像：将每个方程转化为直线的形式，然后在坐标系中绘制出两条直线。

3. 通过观察图像的相交点确定解：观察两条直线的交点，如果有交点，则表示方程组有解，交点的坐标就是方程组的解。

通过图像解法，我们可以直观地理解方程组的解，并且可以通过观察直线的斜率和截距来推测解的性质。

如果两条直线平行，则表示方程组无解；如果两条直线重合，则表示方程组有无穷解。

图像解法是一种直观简单的方法，适用于初等数学的教学和解题。

在学而思培优教学中，我们通过图像解法来帮助学生理解二元一次方程组的解的概念和求解方法。

总结起来，二元一次方程组的图像解法是一种通过绘制方程直线的相交点来求解方程组的方法。

通过观察图像的特点，我们可以直观地判断方程组的解的性质。

在学而思培优教学中，我们推崇简单直观的解题方法，并通过图像解法来促进学生对于二元一次方程组的理解和掌握。

七年级下册数学《二元一次方程组》优质课件

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例如，
x＝5，就是二元一次方程组 y＝3
x＋y＝8，的解. 5x＋3y＝34
知识讲解
例3 根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价
格分别是（ D ）
小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？
哦……我忘了！只记得先
后买了两次，第一次买了 5支笔和10本笔记本花了 42元钱，第二次买了10支笔和 5 本笔记本花了 30 元钱．
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分析：胜的场数＋负的场数＝总场数
胜的场数的分数＋负的场数的分数＝总分数设篮球队胜了x场，负了y场.
胜负合计
场数 x
y 10
得分 2x y 16
x＋y=10 2x＋y=16
知识讲解
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝___0_____．解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.

二元一次方程组讲义

二元一次方程组的解法一、知识点睛1. 二元一次方程含有____个未知数，并且所含未知数的项的次数都是____；2. 含有____个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做__________；3. 适合一个二元一次方程的________________，叫做这个二元一次方程的________；4. 二元一次方程组中各个方程的________，叫做这个二元一次方程组的解；5. 解方程组的基本思路是________，主要方法有________法和________法．二、专项训练【板块一】二元一次方程（组）及其解 1. 下列方程： ①213yx -=； ②332x y +=； ③224x y -=；④5()7()x y x y +=+；⑤223x =；⑥14x y+=．其中是二元一次方程的是． 2. 如果14(2)3m n m xy ---+=是关于x 和y 的二元一次方程，则m -n =________．3. 若方程23786n mxy x y-+-=是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值为_______，n 的值为_______．4. 已知方程22(4)(2)(3)1k x k x k y k -+++-=+，若k =______，则方程为二元一次方程；若k =_______，则方程为一元一次方程，且这个方程的解为_______．已知方程22(4)(2)(3)1k x k x k y k -+++-=+，若k =______，则方程为二元一次方程；若k =_______，则方程为一元一次方程，且这个方程的解为_______． 5. 求方程92=+y x 在正整数范围内的解是．6. 要使方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x 有正整数解，则整数a 的值是．7. 方程27x y +=在自然数范围内的解( )有无数对 B ．只有1对 C ．只有3对 D ．只有4对 8. 判断下列方程组是否是二元一次方程组，并说明理由．（1）234232x y x z +=⎧⎨-=⎩ （2）232x y y x +=⎧⎨=+⎩ （3）00x y y +=⎧⎨=⎩（4）56a b ab +=⎧⎨=⎩ （5）224251x yx y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩（6）x y z x y z -=⎧⎨+=-⎩ 9. 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解与两直线1111:l a x b y c +=与2222:l a x b y c +=位置关系的联系．（其中6个常数均不为零．）（每小题前一个空选填“唯一”、“无”或“无穷多组”；后一个空选填“相交”、“平行”或“重合”）．（1）当2121b b a a ≠时，从“数”看：方程组有_______解；从“形”看，1l 与2l _______．（2）当212121c c b b a a ≠=时，从“数”看：方程组_______解；从“形”看，1l 与2l _______．（3）当212121c c b b a a ==时，从“数”看：方程组有_______解；从“形”看， 1l 与2l ______．【板块二】巧解方程组 10. 解下列方程组：（1）22(1)2(2)15-=-⎧⎨-+-=⎩x y x y （2）2(1)272(1)3(2)1++-=⎧⎨+--=-⎩x y x y（3） 212319182016+=⎧⎨+=⎩x y x y （4）201120122013201020112012+=⎧⎨+=⎩x y x y（5）361463102463361102+=-⎧⎨+=⎩x y x y （6）246+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩a b b c c a（7）5115--=⎧⎪--=⎨⎪--=-⎩x y z y x z z x y【板块三】同解方程问题11. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-21124y kx y x 的解也是x y =的解，则k =______.12. 若方程组456234x y x y -=-⎧⎨+=⎩与24ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同,则a,b 值为（）A. a =33, b =1411B. a =33, b =1114- C. a =-33, b =1411D. a =-33, b =1114-13. 若方程组2456ax by x y +=⎧⎨-=-⎩与2344x y ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同,则a,b 值为（）A. a =33, b =1411B. a =33, b =1114- C. a =-33, b =1411D. a =-33, b =1114-14. 某一天，小明和小华同解二元一次方程组161ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩①②，小明把方程①抄错，求得的解为⎩⎨⎧=-=31y x ，小华把方程②抄错，求得的解为⎩⎨⎧==23y x ，求原方程组的解.【板块四】“整体叠加”巧解二元一次方程组1．两种方法解二元一次方程组. 【类型一】“整体”捆绑（1）2(2)422①②x x yx y++=⎧⎨+=⎩（2）2(1)272(1)3(2)1x yx y++-=⎧⎨+--=-⎩【类型二】“阶梯”系数——相减（1）191817171615x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）201020112012200920102011x yx y+=⎧⎨+=⎩【类型三】轮换对称——相加（1）361463102463361102x yx y+=-⎧⎨+=⎩（2）21129220a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩347111035x yx y+=⎧⎨+=⎩作业：1．若245137a x abxy y -++=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =____，b =_____． 2．下列方程组是二元一次方程组的是（）A .27349a b c d +=⎧⎨+=⎩B .21146xy x⎧+=⎪⎨⎪=⎩ C .31419592x y xyx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D .27210242y x x x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3．下面4组数值中，是二元一次方程310x y +=的解的是（）A .26x y =-⎧⎨=⎩B .34x y =⎧⎨=⎩C .43x y =⎧⎨=⎩D .42x y =⎧⎨=-⎩ 4．方程3x +4y =19在自然数范围内的解有（）组．A ．4B ．3C ．2D ．1 5．在方程2578x y +=中，用含有y 的代数式表示x ，则x =_________． 6．解下列方程组．73228x y x y -=⎧⎨+=⎩ 25438x y x y +=⎧⎨+=⎩ 7．当x =_____，y =____时，代数式3x +8y +2和4x +y -7的值都和33x 相等．8．若关于x 、y 的二元一次方程组31269x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解中，x 、y 的值相等，则m =______．9．方程组⎩⎨⎧=-=+95732y x y x 的解是83=+my x 的一个解，则m =_______．10．已知35323x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩且x 、y 之和为12，则m 等于（）A.10B.15C.20D.25 11．已知252124x y x y ++==，则=+-++73212y x y x ________．12．要使方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x 有正整数解，则整数a 为．13．方程组2316413x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是___________，则直线216=+33y x ﹣与113=+44y x ﹣的交点坐标是________．14．如果关于x 、y 的方程组5616645x y x y m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩有无穷多解，则关于x 、y 的方程组45710711x y mx y +=⎧⎨+=⎩的解为___________． 15．若方程组⎩⎨⎧=+=+b ay x y x 21有唯一解，则a 、b 的值应当是（）A ．a ≠2，b 为任意实数B ．a ＝2，b ≠0C ．a ＝2，b ≠2D ．a ，b 为任意实数16．若方程组⎩⎨⎧=+=-241my x y kx 有无数组解，则k 与m 分别为（）A ．k =1，m =1B ．k =2，m =1C ．k =2，m =﹣2D ．k =2，m =217． k 为_______时，方程组⎩⎨⎧=-=+25322y x y kx 无解．二元一次方程组解应用题一、知识提要1．二元一次方程组基础应用鸡兔同笼问题的关键：配套；增收节支问题的关键：列表；行程问题的关键：画线段图；数字问题的关键：画数位图.2．方案设计问题：找出不同情况下的等量关系，列出方程，求出最优解3．拓展拔高：三元一次方程组的应用二、专项训练【板块一】鸡兔同笼1.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分别分配名工人生产螺钉，工人生产螺母．（）A．12、10 B．11、11 C．10、12 D．9、132.晓东服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？【板块二】增收节支3.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，甲、乙两件服装成本分别是（）元.A．100、400 B．200、300 C．300、200 D．400、1004.小刚家去年种植芒果的收入扣除各项支出后结余5000元．今年他家芒果又喜获丰收，收入比去年增加了20%．由于实行了科学管理，今年的支出比去年减少了5%，因此今年结余比去年多1750元．小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元？【板块四】行程问题5.一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，求轮船在静水中的速度是（）千米/时．A．18 B．19 C．20 D．216.A、B两地相距360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车相距120千米时，甲车从出发一共用了（）分钟．A．275 B．250 C．225 D．200【板块五】数字问题7.小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数．小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9 ”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9” 那么新的两位数是（）A．54 B．45 C．36 D．638.一个三位数的数字之和等于12，它的个位数比十位数字小2．若将它的百位数字与个位数字互换，所得的数比原来的数小99，求原数．【板块六】方案设计问题9.某商场计划从厂家购进电视机,已知该厂生产三种不同型号的电视机,出厂价格分别是甲种每台1500元, 乙种每台2100元, 丙种每台2500元.（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.（2）已知商场销售一台甲型电视机可获利150元, 售一台乙型电视机可获利200元, 售一台丙型电视机可获利250元,在（1）的方案中为使销售时获利最多,应该选择哪种进货方案?三、课后作业1.A、B两城市航线长1200千米，一架飞机从A城顺风飞往B城需2小时30分钟，从B城返回A城逆风飞行需3小时20分，则飞机每小时飞行多少千米，风速是多少？2.甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地的出发．相向而行，每隔2分相遇一次；如果同向而行，每隔6分相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲乙每分各跑多少圈？3.某车间每天能生产甲种零件125个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在22天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？4.用含糖分别为30%和75%的两种糖水混合，配制成含糖为50%糖水18kg．问每种糖水各需多少千克？5.某公司用200万元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润是5%，另一种货物的利润是45%，共获得利润为35%，问两种货物各进货多少元？6.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的个位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？7.有甲、乙、丙三个数字，甲的3倍与丙的4倍的差是7，甲数的2倍与乙数的3倍的和比丙数大9，甲数的5倍与丙数的7倍的差等于9与乙数的9倍的和．。

学而思寒假七学年尖子班讲义第5讲二元一次方程组进阶

.五、二元一次方程组进阶知识目标：1、掌握三元一次方程组、轮换对称形的方程组的解法2、掌握同解问题、错解问题、整数解问题的解法3、灵活运用分类讨论思想、还原思想1、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程。

例如.，x ＋2y ＝5，u －2v ＝0,3m ＝21n 等,都是二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，例如.⎩⎨⎧=-=+5322y x y x ，⎩⎨⎧==+123x y x 等都是二元一次方程组。

3、二元一次方程组的基本解法方法1：代入消元法：方法2：加减消元法：巩固练习：解基本二元一次方程组解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=7212y -x y x （2）⎩⎨⎧=--=+89413t 2s t s（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-120944151)2(3.0-1x y x y （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y例1：解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-35232123z x z y y x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++123272y x 13z 2y x 3z y x z练习：解方程组：.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==++=+1z -y -57x z y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++13398245c b a c b a c b a例2: 解方程组：（1）⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++623632632z y x z y x z y x练习：解方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+673317831733y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+92827y x 2x z z y例3（1）（硚口区2015－2016七下期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+87ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==32y x ，那么关于m 、n 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-++=-++8)()(7)()(n m a n m b n m b n m a 的解是。

《二元一次方程》讲义

《二元一次方程》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。

那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程是指含有两个未知数（通常用 x 和 y 表示），并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。

例如：2x ＋ 3y ＝ 8 ，x 5y ＝－1 ，这些都是二元一次方程。

它的一般形式可以写成 Ax ＋ By ＝ C ，其中 A、B 不同时为 0 。

这里要注意几个关键点：首先，方程中必须含有两个未知数；其次，未知数的最高次数是 1 ；最后，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。

二、二元一次方程的解既然有方程，那就会有解。

那什么是二元一次方程的解呢？对于一个给定的二元一次方程，如果存在一组数（x，y），将这组数代入方程后，能使方程左右两边相等，那么这组数就叫做这个二元一次方程的一个解。

比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 8 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 2 ，代入方程左边得到 2×1 ＋ 3×2 ＝ 8 ，方程左右两边相等，所以（1，2）就是这个方程的一个解。

需要注意的是，二元一次方程一般有无数个解。

因为只要给定一个x 的值，就可以通过方程求出对应的 y 值。

三、二元一次方程组有时候，我们会遇到两个二元一次方程组合在一起的情况，这就形成了二元一次方程组。

例如：＼＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼x 5y ＝－1＼end{cases}＼二元一次方程组的解，就是同时满足这两个方程的未知数的值。

求解二元一次方程组的方法主要有代入消元法和加减消元法。

四、代入消元法代入消元法是求解二元一次方程组的一种常用方法。

举个例子，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以从第一个方程中解出 x ＝ 5 y ，然后将其代入第二个方程：2(5 y) y ＝ 1 ，10 2y y ＝ 1 ，10 3y ＝ 1 ，－3y ＝－9 ，y ＝ 3 。

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五、二元一次方程组进阶
知识目标：
1、掌握三元一次方程组、轮换对称形的方程组的解法
2、掌握同解问题、错解问题、整数解问题的解法
3、灵活运用分类讨论思想、还原思想
1、二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程。

例如.，x ＋2y ＝5，u －2v ＝0,3m ＝
2
1
n 等,都是二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，例如.⎩⎨
⎧=-=+5322y x y x ，⎩⎨⎧==+1
23
x y x 等都是二元一次方程组。

3、二元一次方程组的基本解法
方法1：代入消元法：方法2：加减消元法：
巩固练习：解基本二元一次方程组解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=7212y -x y x （2）⎩⎨⎧=--=+8
941
3t 2s t s
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-+=-+=-120944
151)2(3.0-1x y x y （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y
例1：
解方程组：
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-35232123z x z y y x (2)⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=++=++123272y x 13z 2y x 3z y x z
练习：解方程组：
（1）⎪⎩⎪⎨⎧==++=+1z -y -57x z y x y x （2）⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+-=++13398245c b a c b a c b a
例2:
解方程组：
（1）⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x （2）⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++6
236326
32z y x z y x z y x
练习：解方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+673317831733y x y x （2）⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+9
2827
y x 2x z z y
例3
（1）（硚口区2019－2019七下期末）
已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+87ay bx by ax 的解是⎩
⎨⎧==32
y x ，那么关于m 、n 的二元一次
方程组⎩
⎨⎧=-++=-++8)()(7
)()(n m a n m b n m b n m a 的解是。

（2）解方程组：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=---=-+-16
311152111y x y x
练习：（江汉区2019——2019七下期中）
方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-++-=--+162
9)(4)(3y x y x y x y x
的解是 .
例4
(1)关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 与关于x 、y 的方程组⎩
⎨⎧-=+=-100
ay bx by ax 的解相同，
求ab 的值
（2）关于x 、y 的方程组⎩⎨
⎧=-=+4a 6-52by x y x 与关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-8
16
53ay bx y x 的解相同，
求2017
)2(b a +
的值
（3）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+1
532m y x m
y x 的解也是方程x －y ＝7的解，求m .
练习：
（汉阳区2019——2019七下期中）（4）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+1
232y x k
y x 的解互为相反数，则k 的值是 .
例5
（2019二中七下期中）在解关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+247
y cx by ax 时，小强正确解得
⎩⎨⎧==32y x ，而小刚看错了c 解得⎩⎨
⎧==2
1-y x ，则当x ＝－1时，求代数式ax 2
＋bx ＋c 的值。

练习
在解关于x 、
y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧-=+=+2b 415
5y x y ax 时，甲看错了第一个方程中的a ,得到的解为
⎩⎨⎧==1-3-y x ，乙看错了第二个方程中的b ，得到的解为⎩
⎨⎧==45
y x ，那么按正确的a 、b 计算，求x －y 的值。

例6
(1)（二中2019——2019七下期中）
已知m 为正整数，x 、y 均为正数，且关于x 、y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧==+0y -210x y mx 有整数解，
则m 的值为。

（2）（东湖高新2019－2019七下期中）
若a 为自然数，m 、n 是方程组⎩
⎨⎧-=--=+a m n a
m n 2023310023的解，且m 、n 均为正整数，则该方程
组的所有解的组数是 . 练：
（2019外校七下期中）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+p
y x y x 23
35的解是一组正整数解，
求整数p 的值.
例7
(1)关于x 、y 的方程组⎩
⎨⎧+-=+=4)12(x k y m
kx y ，当m 、k 满足什么条件时，方程组有无数组解？
（2）已知x 、y 的方程组⎩⎨
⎧=+=-6
3y mx n
y x ，当m 、n 为何值时，方程组：
①有唯一一组解； ②无解；③有无穷多组解。

练习：
已知x 、y 的方程组⎩
⎨⎧+-=+=2)13(b
y x k y kx ，当k 、b 为何值时，方程组：
①有唯一一组解； ②无解；③有无穷多组解。

第五讲：课后作业－－－－－二元一次方程组进阶
解方程组：
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=--+1)(41)(3
11)(3
1)(21
y x y x y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+598719951997598919971995y x y x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+8106x z z y y x （4）⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-+=-+54321412865z y x z y x z y x
2、已知x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+824y x 13ny mx 与⎩⎨⎧=--=-6
32
5y x n ny x 有相同的解，则m －n ＝ .
3、已知x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-18
72253a y x a
y x 的解互为相反数，则此方程组的解为 .
4、方程组⎩⎨
⎧=+=+18526y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==24y x ，一个同学把c 看错了，因此解得⎩⎨⎧==3
7
y x ，求a
＋b ＋c 的值．
5、若m 为正整数，且关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+0
2310
2y x y mx 的解为一组整数，求m 2的值。

6、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()⎩
⎨⎧-=---=-412y x m n
y mx
（1）无解；（2）唯一解；（3）有无穷多解．。