如何上好方程组解法的第一课

如何上好方程组解法的第一课──对两节“消元──二元一次方程组的解法”课的思考长顺县民族中学何书平摘要：如何在转化、消元等思想方法的引领下上好方程组解法的第一课，是一个值得深入研究的问题。

现结合同课异构的两个课例，从“情景引入”、“解法探究”，“技能训练”、“小结反思”等四个方面进行研究与探讨，认为在课堂中，应把基本的数学思想方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，也悟到一定的数学思想方法，进而真正提高学生的数学素养.关键词：二元一次方程组；解法；转化；消元“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题组第六次课题研讨会于今年四月中旬在江苏南通召开，课题会上，北京五中分校的曹老师和山西阳泉十九中的翟老师就“消元——二元一次方程组的解法”这一内容以同课异构的方式各上了一节研究课，两位老师对该课不同的教学设计与处理引发了我们对“如何上好方程组解法第一课”的思考，并形成本文，与同行们商榷.一、关于新课导入课例A师：在上一节课，我们研究了一个与篮球赛有关的应用问题，还记得吗？（学生未作回答。

）师：在那一节课，我们列出了一个二元一次方程组（板书方程组），并通过对这一问题的研究，学习了什么叫二元一次方程组及二元一次方程组解的定义. 大家列方程组解应用题，最关注的是什么？会解这个二元一次方程组吗？（学生未作回答。

）师：在探究一个新问题之前，大家先想一想，我们有没有学过与之相关联的知识？生1：学过解一元一次方程.师：解一元一次方程的依据是什么？生2：等式性质.师：这一节课我们就来共同探究一下，能不能运用等式性质和一元一次方程的相关知识解决今天新的问题——二元一次方程组（板书课题）.……课例B媒体先播放引言：在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.──德国数学家康托尔师：得知我到这个地方来上课，我的学生特意让我带来他们对你们的问候。

媒体同时播放背景材料：老师在我们学校带3个班的数学，所教学生共143人.师：就这个背景，你能提出哪些问题？生1：平均每班人数为多少？生2：男生和女生人数分别为多少？师：问题提得好不好？想不想知道问题的答案？想知道就需要老师增加条件.媒体接着播放增加的条件：男生人数的2倍比女生人数的3倍少14.师：如何解决这个问题？随后，教师与学生开始共同探讨问题及求解方法（未出示课题）.……良好的开端是成功的一半. 如何在上课伊始将学生的“心”、“思”紧紧抓住，让他们全身心、主动地参与到数学教学活动中来？这需要我们对课堂的引入做精心的设计.从两位教师的教学设计看，课例A以问题串为纽带，通过师生对话，以期实现以旧引新. 课例B欲通过创设问题情境，创造轻松氛围，拉近师生距离，同时引出本节课的教学内容. 但从具体实施效果看，都不够理想.引入和情境创设的方法较多，无论采用哪种方式和手段进行教学设计与实施，都必须基于所授课的教学目标、教学内容和学生具体的学情. 同时，作为课堂教学的第一个环节，还必须做到简明扼要、紧扣主题. 作为方程组解法的第一课，我们欣赏并提倡使用教材精心编排的引入，以章头图所涉问题为背景，从讨论解方程组的需要出发，通过对比、类比，引导学生从解决问题的基本策略的角度先归纳出“将未知数的个数由多化少，逐一解决”的消元思想，然后在这种思想指导下从具体到抽象，从特殊到一般地认识代入消元法. 这样做，开门见山、直奔主题、重点突出、切中要害，学生很快就能将注意力集中在教学内容最本质、最核心、最重要的问题上来.二、关于解法探究课例A学生自主探究方程组的解法（教师不加任何解释和引导）.（5分钟后。

）生1：由②－①，得x=18。

把x=18代入①，得y=4.生2：由①得：x=22－y③，将③代入②得：y=4，……，x=18.接下来，师生共同探讨并学习解二元一次方程组的两种方法——代入消元法、加减消元法.……课例B师：怎样解二元一次方程组？配合教师的问题，媒体播放“问题2：怎么解二元一次方程组呢？”以及“追问：为什么要这样做？依据是什么？你的解题思路是什么？你的解法的名称是什么？为什么可以这样归纳？”（学生思考、交流.）生1：由①得，代入②，得，……生2：我有不同意见，先把②式算出来x=143－y，然后代入①得3(143－y)－2y=14，……然后，师生依照“问题2”展开对代入消元法的探讨与学习.……课例A，先充分放手，让学生自主探究方程组的解法，待学生找到了二元一次方程组的两种解法──代入消元法、加减消元法后，同时对这两种解法展开学习. 课例B先出示引导性问题，再组织学生探究解决这些问题，并在此基础上学习代入消元法.在方程组解法的起始课上，同时呈现两种解法并加以学习，这一做法我们曾在一数学基础较好的数学实验班中做过尝试，但效果欠佳. 这样处理是否妥当，还有待于进一步探讨与研究. 课例B的解法探究，由于所提供问题情景中方程组的数据偏大，且计算稍显复杂（就刚接触方程组解法的学生而言），给学生的认知与探究带来了一定的障碍（如生1、生2变形后均未能及时求出对应未知数的值），从而影响了解法探究的顺畅进行，导致整个解法探究不够自主与不够彻底等现象的出现.代入消元法与加减消元法都属于解二元一次方程组最基本的方法，但加减消元法的求解过程中包含有大量“代入”的过程，同时，代入消元法与加减消元法的“实施程序”基本相同，因此，先学好代入消元法将有助于学生认知的同化，并对加减消元法的学习与掌握产生有力的推动作用. 因此，我们主张方程组解法的第一课，应先进行代入消元法的学习，让学生切实掌握代入消元法. 同时，在解法学习的过程中，应力求做到以下三点.（1）自主.著名数学教育家波利亚说：“学习任何东西的最佳途径就是自己去发现”. 另外，根据本章所涉内容的特点，在本章内容的呈现和结构设计上，教材编写者也有意加强了学习的主动性和探究性.就本节课而言，其内容与设计的目的是让学生确定解题方向，找到一个在本阶段有能力解决问题的方法，来解二元一次方程组. 而在二元一次方程组的求解过程中，让学生感到困难的地方是：有两个方程，两个未知数. 怎样才能把难点转化为学生已经学过的知识？如果能够把两个未知数变成一个未知数，即成为一元一次方程，问题将迎刃而解. 而通过比较二元一次方程组和一元一次方程，学生可以找到两者间的联系，由此自然联想到将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，并在此基础上找到消去一个未知数的方法：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. 进而展开对代入消元法更深入的学习.“目标发现”—“遇困”—“问题解决”，这是一个自主学习的“好”过程，只要教师引导、组织、合作得当，学生将在此过程中自主、自然地感受消元思想，流畅、彻底地掌握代入消元法.（2）深刻在学生已有的认知和发展水平的基础上，进一步加深学生对代入消元法的认识，帮助学生切实掌握用代入消元法解二元一次方程组的全过程.以方程组为例. 在学生了解了代入消元法后，必须思考并处理好以下6个问题：①这个二元一次方程组如何转化为一元一次方程？怎么转化较简便？②哪个未知数的值可以先求出来？从哪里求？问题解完了吗？③另一个未知数的值如何求？④可以把方程x=22－y代回x＋y=22求解吗？为什么？⑤先求出的一个未知数的值可以代回到方程x＋y=22或2x＋y=40中，求出另一个未知数的值吗？⑥你能谈谈代入消元法解二元一次方程组的一般过程与步骤吗？以上问题的有效处理，将是消元、转化思想的进一步渗透，同时也是代入消元法学习与认识的进一步深刻.（3）优化.“变形—消元—求解—回代—写解”是代入消元法解二元一次方程组的一般过程. 其中，在变形的过程中，选择哪一个方程变形较为方便？在回代的过程中，选择哪一个方程回代计算较简便？如何使整个方程组的求解更为顺畅、准确、便捷？思考、解决好这些问题，帮助学生实施认知的进一步“协调”与“精致”，是学生解法学习与掌握的又一次飞跃. 同时，在运算中寻找最佳途径，将复杂问题简单化，这种优化思想的渗透，对于学生良好思维习惯的培养有着较为重要的意义.三、关于技能训练课例A出示练习题，并要求全班学生求解.解方程组：（1）（2）（3）（4）课例B出示练习题，并要求学生求解.A组：必做题（1）（2）（3）B组：选做题两节课例在这一环节的处理方式上基本相同，均是在解法探究后进行一定量的练习. 但练习的设计较为笼统，其针对性、系统性也较弱.认知心理学家把知识分为陈述性知识与程序性知识，特殊领域程序性知识又被进一步划分为特殊领域的自动化基本技能与特殊领域的策略性知识（认知策略），数学基本技能属于特殊领域的自动化基本技能，是否达到自动化是判断是否掌握数学基本技能的标准之一. 从基本技能的认知阶段开始，尤其是联系阶段和自动化阶段，必须强调训练的重要性，必须进行有针对性、切实有效、一定数量的训练. 联系阶段应注重基础训练和理解性训练，自动化阶段应注重变式训练. 代入消元法属于典型的程序性技能知识，因此，在保证有适度训练“量”的前提下，还必须注意训练的“质”. 练习的使用必须注重选择性与针对性，训练的方式也应力求循序渐进、层层递进.课堂练习的改进：（1）（直接代入）（2）（简单变形）（3）（策略优化）（4）（5）（进一步变式）另外，一定量的训练对促进学生有关技能的形成与获得十分重要，但形式化的技能训练有时难以激发学生的学习兴趣，从教材的编排来看，教材力图在后续各节中，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能，这一点也需要我们注意.四、关于小结与反思“编筐窝篓全在收口. ”课堂小结是对知识进一步加工、处理、和整合的过程，是教师帮助学生形成知识结构、揭示知识内在联系、发现和总结规律、由感知上升到理性思考的重要环节.本课的小结，课例A注重了框图的作用，这一点值得肯定和提倡。

例如，用代入消元法解二元一次的过程可表示为如下图所示的框图。

上图不仅展示了代入消元法和解方程组的具体步骤，而且展示了各步骤的作用，利用这一框图进行解题后的反思与回顾，一方面，可以渗透算法中程序化的思想，另一方面，有助于培养学生良好的学习习惯，提高思考的深度.本节课的核心思想是消元与转化，除此之外还涉及到了程序化思想和简化、优化思想，在教学中也应注意适度渗透. 同时，我们应时刻在课堂中把基本的数学思想方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，领悟到一定数学思想方法. 在运用思想方法的同时，巩固知识、技能. 这样，思想方法就有了载体，知识技能就有了灵魂，才能真正提高学生的数学素养.参考文献：①曹才翰，章建跃. 数学教育心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2006：212-236本文发表于《中国数学教育》初中版2011年第1、2期。