2023年新高考数学一卷第20题

2023年新高考数学一卷第20题
题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + a$，其中$a \in
\mathbf{R}$．
(1)若$f(x)$在区间$( - 1,3)$上有且仅有一个零点，求实数$a$的取值范围；
(2)若$\exists x_{0} \in ( - 1,3)，f(x_{0}) > 0$，求实数$a$的取值范围．
【分析】
(1)求出函数的导数，通过讨论$a$的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，利用函数在区间$( - 1,3)$上有且仅有一个零点，列出不等式，求出$a$的范围即可；
(2)利用特称命题转化为存在性问题，利用导数求出函数的极值，求出函数
的最大值，得到关于$a$的不等式，求出$a$的范围即可．
【解答】
(1)由题意得：$f^{\prime}(x) = x^{2} - 2x = x(x - 2)$，由$f^{\prime}(x) > 0$得：$x < 0$或$x > 2$，由$f^{\prime}(x) < 0$得：$0 < x < 2$，故函数$f(x)$在$( - 1,0)$上单调递增，在$(0,2)$上单调递减，在$(2,3)$上单调
递增，故函数在区间$( - 1,3)$上的极大值为：$f(0) = a$，极小值为：$f(2)
= \frac{4}{3} - 4 + a = \frac{4}{3} - 4 + a = a - \frac{8}{3}$，若函数在区间$( - 1,3)$上有且仅有一个零点，则满足：$\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\
a \leqslant 0或a - \frac{8}{3} \geqslant 0 \\
\end{matrix} \right$.，解得：$0 < a \leqslant \frac{8}{3}$或$a
\leqslant 0$；
(2)由$(1)$知：函数在区间$( - 1,3)$上的极大值为：$f(0) = a$，极小值为：$f(2) = a - \frac{8}{3}$，若$\exists x_{0} \in ( - 1,3)，f(x_{0}) > 0$，则
满足：$\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\
a \geqslant f(2) \\
\end{matrix} \right$.，即满足：$\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\
a \geqslant a - \frac{8}{3} \\
\end{matrix} \right$.，解得：$a > 0$.。