2019年天津高考数学第20题
2019天津高考数学试卷分析
2019天津高考数学试卷分析试卷满分150分，考试时间120分钟试卷包括I、II两卷。
第I卷一、选择题（8题，40分）1集合的运算2函数求最值3充分必要条件，化简不等式4程序框图的应用5抛物线和双曲线的性质及离心率的求解6对数、指数比较大小：7三角函数的解析式8分段函数的最值第II卷二、填空题（6题，30分）9复数定义、模的概念及基本运算10二项式的展开式的通项11四棱锥与圆柱内接，立体几何12运用直线与圆相切等求解13基本不等式求最值14平面向量基本定理和数量积三、解答题（6题，80分）15 （13分）正弦定理、余弦定理两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式三角函数的基本关系16 （13分）离散型随机变量的分布列与期望互斥事件与相互独立事件的概率计算公式17 （13分）直线与平面平行的判定空间向量求解线面角与二面角的大小18 （13分）直线与椭圆方程求交点19 （14分）等差数列、等比数列通项公式20 （14分）导数的运算不等式的证明运用导数研究函数的性质2019年全国I卷高考理数试卷结构题型及分值试卷满分150分，考试时间120分钟第I卷一、选择题（12题，60分）1一元二次不等式解法和交集的运算2复数的模、几何意义3指数函数和对数函数的单调性增函数和减函数的定义4推理和估算5函数的图象与性质，奇偶性和特殊值6概率的求法，排列组合7平面向量的数量积和向量的夹角8程序框图的应用9等差数列的通项公式，前n项和公式10椭圆的性质11判断与三角函数有关的命题的真假12多面体外接球体积的求法二、填空题（4题，20分）13利用导数研究函数上某点的切线方程14等比数列的通项公式15相互独立事件概率乘法公式16双曲线的性质三、解答题（6题，70分）（一）必考题（5题，60分）17 （12分）正弦定理、余弦定理、三角函数性质18 （12分）直线与平面平行的判定利用空间向量求解空间角19 （12分）抛物线的性质20 （12分）利用导数求函数的极值函数零点的判定21 （12分）数列和函数的应用离散型随机变量的分布列（二）选考题（任选1题，10分）22曲线的极坐标方程参数方程化普通方程直线与椭圆位置关系的应用两平行线间的距离公式23不等式和基本不等式的运用。
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2019年高考数学试题分项版——数列（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2019·浙江，10)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋b ，n ∈N *，则( )A ．当b ＝12时，a 10＞10 B ．当b ＝14时，a 10＞10 C ．当b ＝－2时，a 10＞10 D ．当b ＝－4时，a 10＞10 答案 A解析 当b ＝12时，因为a n ＋1＝a n 2＋12，所以a 2≥12，又a n ＋1＝a n 2＋12≥√2a n ，故a 9≥a 2×(√2)7≥12×(√2)7＝4√2，a 10＞a 92≥32＞10.当b ＝14时，a n ＋1－a n ＝(a n −12)2，故当a 1＝a ＝12时，a 10＝12，所以a 10＞10不成立．同理b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a ＝x 0，则a 10＝x 0＜10，故a 10＞10不成立．3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵{S 4＝0，a 5＝5，∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3，d =2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n−1)2d ＝n 2－4n .故选A.4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q ， 则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×[1−(−12)4]1−(−12)＝58.2．(2019·全国Ⅲ文，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝a 7−a 37−3＝13−54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.3．(2019·江苏，8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二 ∵S 9＝a 1+a 92×9＝27，∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9，∴其公差d ＝a 8−a 58−5＝2，∴a 1＝－5，∴S 8＝8×a 1+a82＝16.4．(2019·全国Ⅰ理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 42＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 42＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1−q 5)1−q＝13×(1−35)1−3＝1213.5．(2019·全国Ⅲ理，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则s 10s 5＝________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以s 10s 5＝10a1+10×92d 5a1+5×42d＝10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1＝10025＝4.6．(2019·北京理，10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+⨯=， 21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，.S n＝n(n−9)d2由a1>0知d<0，≥(n－5)d，化简得故S n≥a n等价于n(n−9)d2n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．2．(2019·全国Ⅱ文，18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.3．(2019·北京文，16)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．即(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.4．(2019·天津文，18)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92(n ∈N *)．5．(2019·浙江，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝√a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n ，n ∈N *.(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由题意得 a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝0，d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列得(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1a (S n+12－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明 c n ＝√a n 2b n＝√2n−22n(n+1)＝√n−1n(n+1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0＜2，不等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时不等式成立，即 c 1＋c 2＋…＋c k ＜2√k . 那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2√k ＋√k(k+1)(k+2)＜2√k ＋√1k+1＜2√k ＋√k+1+√k＝2√k ＋2(√k +1－√k )＝2√k +1.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n 对任意n ∈N *成立．6．(2019·江苏，20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”； (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n＝2b n －2b n+1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2−4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M －数列”． (2)解 ①因为1S n＝2b n－2bn+1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由2S n＝2b n－2bn+1，得S n ＝b nb n+12(b n+1−b n )，当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b nb n+12(b n+1−b n)－b n−1bn2(b n−b n−1)， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M －数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m . 当k ＝1时，有q ≥1； 当k ＝2,3，…，m 时，有lnk k≤ln q ≤lnkk−1.设f (x )＝lnx x(x >1)，则f ′(x )＝1−lnx x 2(x >1)．令f ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：因为ln22＝ln86<ln96＝ln33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln33.取q ＝√33，当k ＝1,2,3,4,5时，lnk k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.7．(2019·全国Ⅱ理，19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n−1,，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.8．(2019·北京理，20)（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a ，即可证明结论．()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 【解析】：()1I ，3，5，6．()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，∴0n a >该数列的第p 项0m a ， ∴00m n a a <．()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列， 这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前． 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -， 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，⋯⋯，第s 项是21s -与2s 二选1，故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．2∴，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．9．(2019·天津理，19)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝{1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (ⅰ)求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；(ⅱ)求(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 依题意得{6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得{d ＝3，q ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1， b n ＝b 1·q n －1＝6×2n －1＝3×2n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)(ⅰ)a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. 所以数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1. (ⅱ)a i c i ＝[a i ＋a i (c i －1)] ＝a i ＋a 2i (c 2i －1)＝[2n ×4+2n (2n −1)2×3]＋(9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1−4n )1−4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．。
2019年天津市高考数学试卷（理科）-解析版
2019年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈< ，则()(A C B = )A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}【解答】解：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈< ，则{1A C = ，2}，{2B = ，3，4}，{()1A C B = ，2}{2 ，3，4}{1=，2，3，4}；故选：D ．2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩ 则目标函数4z x y =-+的最大值为()A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．3．（5分）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：250x x -< ，05x ∴<<，|1|1x -< ，02x ∴<<，05x << 推不出02x <<，0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即250x x -<是|1|1x -<的必要不充分条件．故选：B ．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为()A ．5B ．8C ．24D ．29【解答】解：1i =，0s =；第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件；故输出S 值为8，故选：B ．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为()ABC ．2D【解答】解： 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．(1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为c e a==故选：D ．6．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：由题意，可知：5log 21a =<，110.5122221log 0.25log 5log 425b log log --====>=．0.20.51c =<，b ∴最大，a 、c 都小于1．521log 25a log ==，10.2510.5()2c ====．而22log 5log 42>=>∴215log <．a c ∴<，a cb ∴<<．故选：A ．。
天津市2019年高考数学压轴卷文含解析
天津市2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B．3CD．7.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8.已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________． 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值 ．13.已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．14.函数()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16(本小题满分13分)某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据()()12,,,,6i i x y i =如下表所示（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测4月6日的产品销售量m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率． 参考公式：ˆˆˆybx a =+， 其中()()1122211(ˆ)n niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离． 18.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20.（本小题满分14分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围． 1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，， 满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4【答案】A【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则1a -<，此时a 的范围为(]1,0-，当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 5【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 6【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等边三角形，所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．7【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ．8.【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或3211131【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =+故答案为1e =+ 14【答案】ln21--【解析】由()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，可令()()ln 2g x x x =-+， ()11122x g x x x +'=-=++，故()()l n 2g x x x =-+在()2,1--上是减函数，()1,-+∞上是增函数，故当1x =-时，()g x 有最小值()11g -=-，而e 4e 4x a a x --≥+，（当且仅当e 4e x a a x --=，即ln2x a =+时成立）， 故()3f x ≥（当且仅当等号同时成立时，等式成立）， 故ln21x a =+=-，即ln21a =--．15(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos29A A ==- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16【答案】（1）41；（2）23．【解析】（1）由题设可得111012113x ++==，322935323y ++==， 则()()()()()31322221ˆ0013133011iii ii x x y y bx x ==--⨯+-⨯-+⨯===++-∑∑．所以32ˆ11ˆ31ay bx =-=-⨯=-， 则回归直线方程为ˆ31yx =-，故314141m =⨯-=．（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共15种，其中相邻两天的结果为{}12,A A ，{}23,A A ，{}34,A A ，{}45,A A ，{}56,A A 共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率()521153P B =-=．17【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ， 由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF18【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由O M O N ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0．19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+ 【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n a = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+ 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2n i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅ 20【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e x f x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m +-，所以21e 11e m +--≤，解得m ≥或m ≤∴实数m 的取值范围是2,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．。
理第20题 解析几何(解析版)-2022年高三毕业班数学第X题满分练(全国通用)
第20题解析几何高考考点命题分析三年高考探源 考查频率曲线的方程或轨迹方程高考全国卷每年必有一道解析几何解答题，在高考中解析几何一般运算量较大，该题通常有2问，第1问多为曲线方程的确定，第2问多为直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查热点是长度、面积及定点定值问题2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ202020课标全国Ⅱ19 2019课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21★★★★★ 直线与圆锥曲线位置关系及应用（长度、面积、定点、定值）2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ20 2020课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21 2019课标全国Ⅲ21★★★★★例题（2021高考全国I ）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）5解：（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，（2分）所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（4分）（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，（5分）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，（8分） 所以，()()()222222001212000001414164422x x AB x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=++-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（9分）点P 到直线AB 的距离为200244x y d x -=+（100分）所以，()()()2300222200002041114442224PABx y S AB d xx y x y x -=⋅=+-=-+△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202052⨯=（12分）1．（2022届山西省吕梁市高三模拟）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 3(3,6为C 上一点，过点1F 且与y 轴不垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)求C 的方程；(2)在平面内是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)221128x y +=(2)存在；8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 (1)设C 的半焦距为()0c c >，由题意得222223361c a a b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2221284a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以C 的方程为221128x y +=．(2)假设存在定点(),Q s t ，使得QA QB ⋅为定值λ，设()11,A x y ，()22,B x y ． 由（1）知()2,0F -，因为l 不垂直于y 轴，故设l 的方程为2x my =-，联立，得2221128x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并化简，得()22238160m y my +--=．则()226464230m m ∆=++>，且122823m y y m +=+，1221623y y m =-+， ()()1111,2,QA x s y t my s y t =--=---，()()2222,2,QB x s y t my s y t =--=---，所以()()()()121222QA QB my s my s y t y t ⋅=----+--()()()()2221212122m y y m s t y y s t =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()222221618222323m m s t m s t m m λ+++⎡⎤⎣⎦=--+++=++． 所以()()()222222221616828223223m s m tm s t m s t m λλ⎡⎤⎡⎤---+-++++++=+⎣⎦⎣⎦， 所以()()2216822222s s t λ--++++=，80t -=，()22163233s t λ-+++=，所以83s =-，0=t ，449λ=-．所以存在8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值449-．2．（2022届河南省顶级名校高三4月联合考）己知抛物线1C 的方程是223y x =，圆2C 的方程是()2211x a y -++=，过抛物线1C 上的点()(),0>P a b b 作圆2C 的切线，两切线分别与抛物线1C 相交于与点P 不重合的()()()112212,,,>A x y B x y y y 两点． (1)求直线P A ，PB 的方程（直线PB 的方程用含b 的等式表示）； (2)若PA PB =，求实数2b 的值．【答案】(1)x a =，()242214370b x by b b ---+=(2)227+【解析】 (1)由题意可知，直线PB 的方程是x a =，根据条件可设直线PA 的方程是()y k x a b =-+，即0kx y ka b --+=， ∵直线PA 与圆()2211x a y -++=相切，∴()2111k a ka bk --+=+，∴212b k b-=，∴直线PA 的方程是2221130222b b b x y b b b ----⋅+=，即()242214370b x by b b ---+=.(2)若210b -=，则0k =，直线PA 与抛物线1C 没有两个交点，不合题意， 故210b -≠，∴直线PA 的方程可写成()4222237121b b b x y b b -=+--，将它代入223y x =并化简得()2242314370b y by b b ---+=，∴()()2224Δ(4)121730b b b b =---->①，()12431b y b b +=-，即()12431by b b =--， ∴()21112211114PA b y b by k k=+-=++-()()()()()2222222222221354164143119131b b b b b b b b b b b b ⎡⎤+-⎢⎥=+---⎢⎥---⎣⎦，∵2PB b =，∴()22222135231b b b b b +-=-，解得，22b =，或227b += 经检验，22b =与227b +=①，所以实数2b 的值是227+3．（2022届山西省高三第二次模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>经过点()12,0A ，()24,0A ，(322,3A ，(422,3A -，53,3A 中的3个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点M ，N 是双曲线C 上与其顶点不重合的两个动点，过点M ，N 的直线1l ，2l 都经过双曲线C 的右顶点，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=，判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1)22143x y -=(2)直线MN 过定点，且定点坐标为()2,3【解析】 (1)由于34,A A 关于x 轴对称，所以34,A A 要么都在双曲线C 上，要么都不在双曲线C 上.点12,A A 不可能都在双曲线C 上，因为双曲线C 经过3个点，所以34,A A 都在双曲线C 上.将34,A A 的坐标代入22221x y a b-=得22831a b -=，由34,A A 都在双曲线C 上可知()24,0A 、53,3A 都不在双曲线C 上，所以点()12,0A 在双曲线C 上，故2a =， 结合22831a b -=可得3b = 所以双曲线C 的方程为22143x y -=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ，其中12y y ≠，故可设直线MN 的方程为x my n =+，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 并化简得()2223463120m y mny n -++-=，2340m -≠，21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-⋅=--. 因为双曲线C 的右顶点为()12,0A ，且121k k +=， 所以121212122222y y y y x x my n my n +=+--+-+-12122212122(2)()(2)()(2)my y n y y m y y m n y y n +-+=+-++-22222222222226246123343413126122(2)3434mn m mn mnm m m m n m m n m n nn m m -----==----+---，所以32n m =-+，代入x my n =+得()32x m y =-+， 当3y =时，2x =， 所以直线MN 过定点()2,3.4．（2022届河北省九师联盟高三4月联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为()16,0F ，)26,0F ．且该双曲线过点(22,2P ．(1)求C 的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点(),0T t 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A ，B 和点C ，D ．当直线AB ，CD 均不平行于坐标轴时，直线AC ，BD 分别与直线x t =相交于P ．Q 两点，证明：P ，Q 两点关于x 轴对称． 【答案】(1)22142x y -=(2)证明见解析 【解析】 (1)解：由已知可得22226821a b a b ⎧+⎪⎨-=⎪⎩，解得224,2a b ==， 所以双曲线C 的方程为22142x y -=； (2)证明：由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，直线CD 的方程为1x y t m=-+，点 ()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由22142x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得 ()2222240m y mty t -++-=，则()()22222(2)424168320mt m t m t ∆=---=+->，得2224m t +>，所以212122224,22mt t y y y y m m --+==--， 同理可得()2234342242,1212t m mt y y y y m m-+==--，其中,m t 满足2224t m +>， 直线AC 的方程为()133111y y y y x x x x --=--，令x t =，得()131113y yy t x y x x -=-+-, 又11331,x my t x y t m =+=-+，所以()2121331m y y y m y y +=+，即()2132131,m y y P t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 同理可得()2242241,m y y Q t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为()()()()()()()2222123412341324222213241324111m m y y y y y y y y my y my y m y y m y y my y m y y ⎡⎤++++++⎣⎦+=++++()()()()()222222222221324442212122120m t t m mt mt m m m m m m y y m y y ⎡⎤---+⋅+⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦==++， 所以,P Q 两点关于x 轴对称.5．（2022届天津市第七中学高三阶段检测）已知曲线C 上动点M 与定点()2,0F 的距离和它到定直线1:22l x =-22，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．(1)说明曲线C 的形状，并写出其标准方程； (2)是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)曲线C 为椭圆，标准方程为：22142x y +=，(2)存在定点()0,2Q ，使得QA PA QB PB =恒成立. 【解析】 (1) 设(),M x y ()2222222x y x ++=+，整理可得：22142x y +=， ∴曲线C 为椭圆，标准方程为：22142x y +=.(2)①当直线l 与y 轴垂直时，即:1l y =，由椭圆对称性可知：PA PB =，QA QB ∴=，∴点Q 在y 轴上；②当直线l 与x 轴垂直时，即:0l x =，则(2A ，(0,2B -， 若存在定点Q ，则由①知：点Q 在y 轴上，可设()()0,1Q t t ≠，由QA PA QB PB =221212t t --=++1t =（舍）或2t =，()0,2Q ∴； 则若存在定点Q 满足题意，则Q 点坐标必然是()0,2，只需证明当直线l 斜率存在时，对于()0,2Q ，都有QA PAQB PB=成立即可. 设:1l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2212420k x kx ++-=，其中23280k ∆=+>恒成立，122122412212k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪=-⎪+⎩，121212112x x k x x x x +∴+==，设点B 关于y 轴的对称点为B '，则()22,B x y '-， 11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--， 12112220QA QB k k k k k x x '⎛⎫∴-=-+=-= ⎪⎝⎭，即,,Q A B '三点共线，12QA QA x PAQB QB x PB∴==='； 综上所述：存在定点()0,2Q ，使得QA PAQB PB=恒成立. 6．（2022届浙江省嘉兴市高三4月二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，椭圆1C 上的点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆1C 的右焦点2F 重合，过点(,0)(0)P m m >作直线1l 交抛物线2C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线2C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线2C 的切线2l ，且21l //l ，求MNQ △面积S 的最小值.【答案】(1)22143x y +=；(2)16.【解析】 (1)因为椭圆1C 上的点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4，所以有24a =，即2a =，将点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆1C 的方程22214x yb+=，得219144b+=，从而23b =， 所以椭圆1C 的标准方程为22143x y +=； (2)由（1）知椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，所以12p=，即2p =，从而抛物线2C 的方程为24y x =.设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 为：(0)x ty m t =+≠，联立24x ty my x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty m --=，所以121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩①， 直线2114:14y MF x y y -=+与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得 2211440y y y y ---=，所以得Q 点的纵坐标为14y -，所以21144,Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为21l //l ，所以直线2l 为：21144t x ty y y =++与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得2211161640t y ty y y ---=，故2221114240t t t y y y ⎛⎫∆=++=+= ⎪⎝⎭，得12y t =-，代入①式可以得224y t t =+，122244y y t m t t ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即212m t=+，又有()2,2Q t t ，直线MN 为212(0)x ty t t =++≠，得2221||12MN t t t =+++222121Q MN d t t t -⎫=++⎪⎭+所以33222222112222216MNQ S t t t t ⎛⎫⎛⎫=++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭△， 当且仅当1t =±时取到最小值.7．（2022届山西省吕梁市高三第二次模拟）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>6(6,1)P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，且1213k k =-，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】(1)22193x y +=；(2)[3,0)(0,3]-.【解析】 (1)由题意，226611c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，解得3,3a b ==所以椭圆C 为22193x y +=. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，若直线l 的斜率存在，设l 为y kx t =+，联立22193y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222136390+++-=k x ktx t ，22Δ390k t =+->，则12221226133913kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k =121213y y x x =-， 故121213=-y y x x 且120x x ≠，即2390-≠t ，则23≠t ，又1122,y kx t y kx t =+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t t kx t kx t kt x x t y y t k k k k t x x x x x x t k ， 整理得222933=+≥t k ，则232≥t 且Δ0>恒成立． 221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=- ⎪+⎝⎭t t OA OB x x y y x x x x x x k t t ， 又232≥t ，且23≠t ，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭t . 当直线l 的斜率不存在时，2121,x x y y ==-，又12k k =212113-=-y x ，又2211193x y +=，解得2192x =，则222111233⋅=-==OA OB x y x ． 综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．8．（2022届浙江省温州市高三3月适应性测试）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>离心率为662⎝⎭；圆()()2223:4C x m y n -+-=的圆心为M ，M 是椭圆上1C 上的点，过O 作圆2C 两条斜率存在的切线，交椭圆1C 于A ，B ．(1)求椭圆1C 方程；(2)记d OA OB =+，求d 的最大值． 【答案】(1)2213x y +=(2)22【解析】 (1)依题意22222226216a b a b c c a ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3,1,2a b c ==所以椭圆1C 的方程为2213x y +=.(2)设过原点的圆()()2223:4C x m y n -+-=的切线方程为y kx =，即0kx y ， 231km n k -=+()222348340m k mnk n -++-=， 其两根12,k k 满足21223434n k k m -=-，设12,OA OB k k k k ==，(),M m n 是椭圆1C 上的点，所以22221,133m m n n +==-. 2221222243341334133434343m m n k k m m m ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭====----. 设()()1122,,,A x kx B x kx ，则2211221,1OA k x OB k x +=+，且2222221211221,133x x k x k x +=+=，2212221233,1313x x k k ==++ 所以()()222222112211OA OB k x k x +=+++()222222222222222222121122112211221122333362x x k x k x k x k x k x k x k x k x =+++=-+-++=-+ 2212221233621313k k k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭()()()()222212212212313313621313k k k k k k +++=-⨯++ 2222221212122222221212123318332626262=41339233k k k k k k k k k k k k ++++=-⨯=-⨯=-+++++. 所以由基本不等式得()22222d OA OB OA OB =+≤+=，当且仅当OA OB =时等号成立. 所以d 的最大值为229．（2022届云南省高三第二次统一检测）已知曲线C ()22110x y x -++=，点D 的坐标为()1,0，点P 的坐标为()1,2．(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标；(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A ，PB 与y 轴分别交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P ．证明：直线AB 的斜率为定值． 【答案】(1)(3,23或(3,23-(2)证明见解析 【解析】 (1)∵曲线C ()22110x y x -++=，移项平方得()()22211x y x -+=+，化简得24y x =， ∴曲线C 的方程为24y x =．∴()1,0D 为抛物线24y x =的焦点，直线1x =-为抛物线24y x =的准线． 设()00,E x y ，则01ED x =+． ∵4ED =，∴014x +=，解得03x =．∴20412y x ==，解得023y =± ∴E 的坐标为(3,23或(3,23-．(2)∵()1,2P ，曲线C 的方程为24y x =，2241=⨯， ∴点()1,2P 在曲线C 上．∵A 、B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ，∴直线P A 、PB 的斜率都存在，且都不为0，分别设为k 、1k ，则10kk ≠，直线P A 的方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-．当0x =时，2y k =-，即()0,2M k -． 同理可得()10,2N k -．∵线段MN 的垂直平分线经过点P ， ∴12222k k -+-=，即1k k =-．由224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，得：()2222222440k x k k x k k --++-+=． 设()11,A x y ，则1，1x 是()2222222440k x k k x k k --++-+=的解．由韦达定理得：2112441k k x x k -+=⋅=．∴21244422k k y k k k k-+=⨯+-=-．∴22444,2k k A k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 同理可得22444,2k k B k k ⎛⎫++- ⎪-⎝⎭． ∴2222442214444ABk k k k k k k k k ---+==-++-+-． ∴直线AB 的斜率为定值．10．（2022届河南省五市高三第二次联合调研）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M 为椭圆C 的右顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若经过点(,0)P t 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，实数t 取何值时以AB 为直径的圆恒过点M ？【答案】(1)22142x y +=，(2)23t = 【解析】 (1)由题意知：2b cbc =⎧⎨=⎩解得：2b c ==2a =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由（1）知：(2,0)M ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x t =（22t -<<）， 此时222t A t ⎛- ⎝，2,22t B t ⎛-⎝， 由0MA MB ⋅=得2222,2022t t t t ⎛⎛--⋅---= ⎝⎝， 解得23t =或2t =（舍），即23t =. 若直线l 的斜率存在，不妨设直线l ：()y k x t =-，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立()22142y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()22222124240k x k ty k t +-+-=.所以，2122412k tx x k +=+，221222412k t x x k -=+.由题意知：0MA MB ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-=， 易得()()()()222212121240kx x k t x x k t +-++++=，()()()()()22222222124244120k k tk t k t k t k +--++++=（），整理得，()223840k t t -+=，因为k 不恒为0故解得23t =或2t =（舍）， 综上，23t =时以AB 为直径的圆恒过点M . 11．（2022届江苏省南通市高三二模））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，焦距为2，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π． (1)求椭圆C 的方程；(2)延长12,PF PF 与椭圆C 分别交于点A ，B ，问：1212PF PF F AF B+是否为定值?并说明理由．【答案】(1)22143x y +=，(2)是，理由见解析 【解析】 (1)设12PF F △的内切圆的半径为r ，点P 的坐标为()00,x y ． 因为焦距为2，所以122F F =，故1c =． 12PF F △的面积()12012121122S F F y PF PF F F r =⋅=++⋅，故0(1)y a r =+． 对于给定的椭圆，要使 12PF F △的内切圆的面积最大，即r 最大，即0y 最大, 由于12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π,故此时3r =, 所以0y b =时，有3(1)b a =+①又221a b -=．②由①②，得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程22143x y +=． (2)由题意知：12(1,0),(1,0)F F - ,设()()1122,,,A x y B x y ，直线1PF 的方程为1x my =-，与（1）中所求椭圆22:143x y C +=联立方程组并消去x 得， ()2234690my my +--=，24(1)0m ∆=+> ，所以012934y y m -=+，所以221001103409PF y m y F A y -+==-． 因为点00(,)P x y 在直线1:1PF x my =-上，所以001x m y +=， 又点 00(,)P x y 在椭圆22:143x y C +=上，所以22003412x y +=，所以()20222100000113431452993x PF y x y x y F A ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭===． 同理，可得202523PF x F B -=， 所以1212103PF PF F A F B +=（定值）． 12．（2022届浙江省稽阳高三4月联考）如图，点()()00,10A x x >在抛物线22x py =上，抛物线的焦点为F ，且||2AF =，直线y kx k =-交抛物线于B ，C 两点（C 点在第一象限），过点C 作y 轴的垂线分别交直线OA ，OB 于点P ，Q ，记PQO ，ACP △的面积分别为1S ，2S .(1)求0x 的值及抛物线的方程； (2)当0k <时，求12S S 的取值范围.【答案】(1)202,4x x y ==(2)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 （1）12,22pAF p =+=∴=， 204,2x y x ∴==.（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为直线OA ：12y x = 则()112,P yy ，直线OB 的方程为:22y y x x =,1212,y x Q y y ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 联立方程组24y kx kx y=-⎧⎨=⎩消去y 可得:2440x kx k -+=,121244x x k x x k +=⎧∴⎨=⎩1121221,1x x x x x x x ∴+=∴=- ()()12111212111112212112y x y y PQ y y S S x y y PC y ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭∴==--- 2222211111121222221111112424112424x x x x x x x S S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21211221214414x S x x S x ∴==--,222111122222111144414444S x x x S x x x x ⎛⎫-+∴==-=-=-+ ⎪----⎝⎭ 又10,01k x <∴<<,-4<x12-4<-3, 221144141,103434x x ∴-<<--<+<--故1210,3S S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
专题18三角函数与解三角形解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)
三角函数与解三角形解答题20题1．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 2．（2021年浙江省高考数学试题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a 3，b 7ABC 的面积；（2）若sin A 3C 2，求C . 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（222a b c +=，求sin C ．5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =BC .6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.7．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．8．（2021年北京市高考数学试题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+；条件③：ABC 的面积为334； 9．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形． 10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.11．（2020年江苏省高考数学试卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．12．（2020年浙江省高考数学试卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a -=．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．13．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 14．（2021·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，满足321BC =，7BD =，tan 33BDC ∠=-，3DEC π∠=．（1）求BCD ∠的大小；（2）求CE DE +的最大值．15．（2021·上海黄浦·一模）已知直线()x t t =∈R 与函数sin 2y x =、cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像分别交于M 、N 两点．（1）当4t π=时，求MN 的值； （2）求MN 关于t 的表达式()f t ，写出函数()y f t =的最小正周期，并求其在区间[]0,2π内的零点．16．（2021·上海徐汇·一模）已知向量113,sin 22,((),1)22m x x n f x ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥， （1）求函数()f x 在[0,]x π∈上的单调递减区间；（2）已知ABC 的三个内角分别为,,A B C ，其对应边分别为,,a b c ， 若有112f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3BC =，求ABC 面积的最大值.17．（2021·山东·泰安一中模拟预测）设函数()()sin f x m x ωϕ=+，其中0,0,2m πωϕ>><，其图象的两条对称轴间的最短距离是2π，若()12f x f π⎛⎫- ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，且212f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式； （2）在锐角ABC 中，,,A B C 是ABC 的三个内角，满足()()sin 3cos 2B f A B A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求sin sin C B的取值范围. 18．（2021·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos 3sin b A a B -．（1）若::1:2:2a b c =，则此时ABC 是否存在？若存在，求ABC 的面积；若不存在，请说明理由；（2）若ABC 的外接圆半径为4，且2a b c -=，求ABC 的面积． 19．（2021·新疆昌吉·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A c B b C =+.（1）若89a =ABC 的面积为102b ，c 的值；（2）若sin sin B k C =，且ABC 为钝角三角形，求k 的取值范围. 20．（2021·四川雅安·模拟预测（文））已知函数()3sin2cos2f x x x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中4,,3b A ABC π==的面积为3求()f C 的值．。
【数学】2019年高考真题——天津卷(文)(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学第Ⅰ卷一、选择题1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B 等于( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3} D ．{1,2,3,4}答案 D解析 由条件可得A ∩C ＝{1,2}，故(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}．2．设变量x ，y 满足约束条件{x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线－4x ＋y ＝0，并平移，可知当直线过点A 时，z 取得最大值．由{x ＝－1，x －y ＋2＝0，可得{x ＝－1，y ＝1，所以点A 的坐标为(－1,1)，故z max ＝－4×(－1)＋1＝5.3．设x ∈R ，则“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|＜1可得0＜x ＜2，所以“|x －1|＜1的解集”是“0＜x ＜5的解集”的真子集．故“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要不充分条件．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()A．5 B．8 C．24 D．29答案B解析执行程序框图，S＝1，i＝2，j＝1，S＝1＋4＝5，i＝3，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出的S＝8.5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b答案A解析∵a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2且b＞1，c＝0.30.2＜0.30＝1，∴c＜b＜a.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C．2 D.√5答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.将x＝－1代入y＝±ba x，得y＝±ba，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|＝4|OF|可得2ba＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ca ＝√a2+b2a2＝√5.7．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(π4)＝√2，则f(3π8)等于()A．－2 B．－√2 C.√2D．2答案C解析∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.又f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝A sin 2x . 由题意可得g (x )＝A sin x ，g (π4)＝√2，即A sin π4＝√2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin 2x . ∴f (3π8)＝2sin3π4＝√3.8．已知函数f (x )＝{2√x,0≤x ≤1,1x,x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.[54,94] B.(54,94] C. (54,94]∪{1} D. [54,94]∪{1}答案 D 解析 如图，画出函数y ＝f (x )的图象，而y ＝－14x ＋a 的图象是一条斜率为－14的直线，在y 轴的截距为a .①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2√x 的图象只有一个交点的情况． 当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时，2＝－14＋a ，解得a ＝94，所以0≤a ≤9144；②再研究当x ＞1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况．当直线与y ＝1x 的图象相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为(2,12)，可得a ＝1. 当直线与y ＝1x的图象相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向上平移时与y ＝1x的图象只有一个交点．直线过点A (1,1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为[54,94]∪{1}．第Ⅱ卷 二、填空题9．i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为________． 答案 √13 解析 方法一5−i1+i ＝(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)＝4−6i 2＝2－3i ，故|5−i1+i |＝√4+9＝√13.方法二 |5−i 1+i|＝|5−i 1+i|＝√25+11+1＝√26√2＝√13. 10．设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2＜0成立的x 的取值范围为________． 答案 (−1,23)解析 3x 2＋x －2＜0变形为(x ＋1)(3x －2)＜0，解得－1＜x ＜23，故使不等式成立的x 的取值范围为(−1,23).11．曲线y ＝cos x －x2在点(0,1)处的切线方程为________． 答案 x ＋2y －2＝0解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0.12．已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形，侧棱长均为√5，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________． 答案 π4解析 由题意可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为√5−1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×(12)2×1＝π4. 13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为________．答案 92 解析 (x+1)(2y+1)xy＝2xy+x+2y+1xy＝2xy+5xy＝2＋5xy.∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4，∴4≥2√2xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， ∴2xy ≤4，∴1xy ≥12，∴2＋5xy≥2＋52＝92.14．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________. 答案 －1解析 方法一 在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )A ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝5×2√3×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2√3×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二 在△ABD 中，由余弦定理可得BD ＝√AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cos∠BAD ＝√7，所以cos ∠ABD ＝AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD＝－√2114，则sin ∠ABD ＝5√714.设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD ＋30°)＝－cos(∠ABD －30°)＝－cos ∠ABD ·cos 30°－sin ∠ABD ·sin 30°＝－√714，在△ABE 中，易得AE ＝BE ＝2，故BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝√7×2×(−√714)＝－1. 三、解答题15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种． 所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值； (2)求sin (2B +π6)的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sinB＝csinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，又sin C ≠0，所以3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a ，由余弦定理可得cos B ＝a 2+c 2−b 22ac＝a 2+49a 2−169a 22∙a∙23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝√1−cos 2B ＝√154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin (2B +π6)＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－√158×√32－78×12＝－3√5+716. 17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． (1)证明 连接BD ，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH . 又由BG ＝PG ，故GH ∥PD .又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 所以GH ∥平面P AD .(2)证明 取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC .又因为平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，DN ⊂平面PCD ， 所以DN ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，所以DN ⊥P A .又已知P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，CD ，DN ⊂平面PCD ， 所以P A ⊥平面PCD .(3)解 连接AN ，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝√3.又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD＝√33，所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为√33.18．设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92 (n ∈N *)．19．设椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知√3|OA |＝2|OB |(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP .求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知有√3a ＝2b ，又由a 2＝b 2＋c 2，消去b 得a 2＝(√32a)2＋c 2，解得ca ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝√3c ，故椭圆方程为x 24c2＋y 23c 2＝1.由题意，F (－c,0)，则直线l 的方程为y ＝34(x ＋c )． 点P 的坐标满足{x 24c 2+y 23c 2=1,y =34(x +c ),消去y 并化简，得到7x 2＋6cx －13c 2＝0， 解得x 1＝c ，x 2＝－13c 7.代入到l 的方程，解得y 1＝32c ，y 2＝－914c . 因为点P 在x 轴上方，所以P (c,32c).由圆心C 在直线x ＝4上，可设C (4，t )． 因为OC ∥AP ，且由(1)知A (－2c,0)， 故t4＝32c c+2c ，解得t ＝2.因为圆C 与x 轴相切，所以圆C 的半径为2. 又由圆C 与l 相切，得|34(4+c )−2|√1+(34)2＝2，可得c ＝2.所以，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.20．设函数f (x )＝ln x －a (x －1)e x ，其中a ∈R . (1)若a ≤0，讨论f (x )的单调性； (2)若0＜a ＜1e .①证明：f (x )恰有两个零点；②设x 0为f (x )的极值点，x 1为f (x )的零点，且x 1＞x 0，证明3x 0－x 1＞2. (1)解 由已知，f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x －[a e x ＋a (x －1)e x ]＝1−ax 2e xx.因此当a ≤0时，1－ax 2e x ＞0，从而f ′(x )＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (2)证明 ①由(1)知，f ′(x )＝1−ax 2e xx.令g (x )＝1－ax 2e x ，由0＜a ＜1e ，g ′(x )＝－ax ·e x (x ＋2)＜0，可知g (x )在(0，＋∞)内单调递减．又g (1)＝1－a e ＞0，且g (ln 1a )＝1－a (ln 1a )2·1a ＝1－(ln 1a )2＜0， 故g (x )＝0在(0，＋∞)内有唯一解， 从而f ′(x )＝0在(0，＋∞)内有唯一解，不妨设为x 0，则1＜x 0＜ln 1a .当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＝g(x)x＞g(x 0)x＝0，所以f (x )在(0，x 0)内单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＝g(x)x＜g(x 0)x＝0，所以f (x )在(x 0，＋∞)内单调递减， 因此x 0是f (x )的唯一极值点． 令h (x )＝ln x －x ＋1，则当x ＞1时，h ′(x )＝1x －1＜0， 故h (x )在(1，＋∞)内单调递减， 从而当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0， 所以ln x ＜x －1，从而f (ln 1a )＝ln (ln 1a )－a (ln 1a −1)eln 1a ＝ln (ln 1a )－ln 1a ＋1＝h (ln 1a )＜0. 又因为f (x 0)＞f (1)＝0，所以f (x )在(x 0，＋∞)内有唯一零点． 又f (x )在(0，x 0)内有唯一零点1. 从而，f (x )在(0，＋∞)内恰有两个零点． ②由题意，可得{f ′(x 0)=0,f (x 1)=0,即{ax 02e x 0=1,lnx 1=a (x 1−1)e x 1,从而ln x 1＝x−1x 02e x 1−x0， 即ex 1−x 0＝x 02lnx 1x 1−1.因为当x ＞1时，ln x ＜x －1， 又x 1＞x 0＞1， 故e x 1−x 0＜x 02(x 1−1)x 1−1＝x 02，两边取对数，得ln e x 1−x 0＜ln x 02，于是x 1－x 0＜2ln x 0＜2(x 0－1)， 整理得3x 0－x 1＞2.。
2019年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2B 3C ．2D 56．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2C 2D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。