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2019版高中数学人教B版选修2-3：第一章 计数原理 检测 含解析

D.A 2 5
:第一步,第一只老鼠被捉住,有2种方法;第二步,第二只老鼠被捉住,有2种方法;…;第五步,第五只老鼠被捉住,有2种方法.由分步乘法原理,共有25种方法.
:B
从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机台,则不同的取法共有( )
A.140种
B.84种
种 D.35种
:=70(种).
C24·C15+C14·C25
D.52
C48
:-6-6=58(个).
:C
1到100这100个自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,不同取法共有( )种
B.100
C.1 275
D.2 500
:取法可分为两类:一类是1与100;2与99,100;3与98,99,100;…,共有(1+2+3+…+49)种取法.另一类
C251C251
50,51,…,100共51个数中取两个数相加,有种取法,故不同取法有+(1+2+…+49)=2 500(种
100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是( )B.36
C.24
D.18
:当4人中有两人选甲,两人选乙,且得0分有种,当4人都选甲或都选乙,且得0分有C 24·A 22·C 22·A 22种,故共有+2=36(种).
22C 24·A 22·C 22·A 22C 24·C 2
2:B
设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A ,B 都是U 的子集,若A ∩B={1,3,5},则称A ,B 为“理想配集”,记作(A ,B “理想配集”(A ,B )共有( )个
B.8个
C.27个
D.28个
令9-2r=3,∴r=3.
C39
∴含x3项的系数为(-1)3a3=-84.
∴a3=1.∴a=1.
:1
如图所示,在排成4×4方阵的16个点中,中心4个点在某一个圆内,其余12个点在圆外,在16个点中3个点构成三角形,其中至少有一个点在圆内的三角形共有 个.
C14(C212C24(
:分类讨论.有一个顶点在圆内的三角形有:-4)=248(个).有两个顶点在圆内的三角形有:
=4(个).
C13·C24·A33
第二类,四位数中包含5,不含0的情况:=108(种).
C23C14A33
第三类,四位数中包含0,不含5的情况:=72(种).
综上所述,四位数总个数为:120+108+72=300.
:300
三、解答题(本大题共3小题,共25分)
分)已知有6名男医生,4名女医生.
选3名男医生,2名女医生,让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗,共有多少种分派方法?
把10名医生分成两组,每组5人且每组要有女医生,共有多少种不同的分法?若将这两组医生分派到
求的取值范围.
a
b (1)设T r+1=(ax m )12-r ·(bx n )r =a 12-r ·b r x m (12-r )+nr 为常数项,
C r 12·C r
12·则有m (12-r )+nr=0,因为2m+n=0,所以m (12-r )-2mr=0,解得r=4,故可知常数项是第5项.
(2)因为第5项又是系数最大的项,
所以
{
C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3,C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5,①②因为a>0,b>0,。

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(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(3)

(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(3)

一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2093．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<4．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1035．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 发生次数ξ的期望和方差分别为 （ ） A ．94和916 B ．34和316C ．916和364D ．94和9646．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（ ）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.27．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( ) A ．38B ．12C ．516D ．7169．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<<10．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3412．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 16．小王做某个试验，成功的概率为23，失败的概率为13，成功一次得2分，失败一次得-1分，求100次独立重复试验的总得分的期望______.17．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．18．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____. 19．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=12,且甲比乙投中次数多的概率为736,则q 的值为____. 20．已知某次数学考试中，学生的成绩X 服从正态分布，即()~N 85,225X ，则这次考试中，学生成绩落在区间[]100,130之内的概率为____________.（注：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=）三、解答题21．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.22．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m，n的概率分布和数学期望.23．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．24．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？25．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828A (01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.2．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.3．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.4．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=，则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得34p =，再根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 在每次试验中发生的概率为P ， 因为事件A 至少发生一次的概率为6364，即333631(1)64C p --=，解得34p =， 则事件A 发生的次数ξ服从二项分布3(3,)4B ξ~， 所以事件A 发生的次数ξ的期望为39()344E ξ=⨯=，方差为339()3(1)4416D ξ=⨯⨯-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果． 【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率． 【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．9．A解析：A 【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小.详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34， 故选B ．二、填空题13．【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率可知然后利用二项分布的期望公式可计算出的值【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知由二项分布的期望公式得故答案为：【点睛】本题考查二项分5【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=.故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．【分析】首先根据题意判断出的可取值有并利用概率公式求得对应的概率最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果【详解】由已知1又所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题涉及到的7【分析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C C P X C ===，()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-. 【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目.16．100【分析】计算得到答案【详解】设一次实验得分为根据题意：故100次独立重复试验的总得分的期望为故答案为：【点睛】本题考查了数学期望意在考查学生的计算能力和应用能力解析：100 【分析】 计算()2121133E X =⨯-⨯=，得到答案. 【详解】设一次实验得分为X ，根据题意：()2121133E X =⨯-⨯=， 故100次独立重复试验的总得分的期望为()100100E X =. 故答案为：100. 【点睛】本题考查了数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.17．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】解析：6 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．19．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投解析：23【分析】由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解答案. 【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p 2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20．【解析】【分析】已知X~N （σ2）则正态曲线关于x=85对称根据与所求区间的关系和已知概率求解【详解】：∵学生的成绩服从正态分布X~N （85225）即=85=15∴P(70<X<100)=06826 解析：0.1574【解析】 【分析】已知X~N （μ ，σ2），则正态曲线关于x=85对称.根据[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+] 与所求区间的关系，和已知概率求解. 【详解】：∵学生的成绩X 服从正态分布X~N （85，225） 即μ=85，σ=15∴P(70<X<100)=0.6826 ,P(40<X<130)=0.9974 ∴P(100<X<130)=()10.99740.68260.15742-= 【点睛】在实际问题中进行正态分布条件下的概率计算时，关键是确定正态分布的两个重要参数μ和σ，以及三个范围[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+]与所求区间的关系，结合已知概率，进行求解。

高二数学(选修2-3人教B版)-基本计数原理

高二数学(选修2-3人教B版)-基本计数原理

原理初悟
2019年北京“世园会”举世瞩目，李华同学一家打
算去参观“世园会”，在计划出行的方案中有自驾出行，
乘坐“世园会”公交专线出行.自驾去“世园会”有2条
路线可以选择，乘坐“世园会”公交专线出行有4条路
线可以选择，请问李华一家去参观“世园会”共有多少
种出行方案？
2+4=6（种）
例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3
根据分类加法计数原理从甲地到丁地共有6+8=14
种不同的走法.
甲地
乙地
丙地
丁地
先分类、再分步
练习：某学校的一天的课程表要求如下，每天上午有4节课，
下午有2节课，安排5门不同的课程，其中安排某一门课两
节连在一起上，那么一天不同的课程表安排方案有多少种？
节数 课程
1
2
3
4
5
6
练习：某学校的一天的课程表要求如下，每天上午有4节课，
法……在第n类办法中，有 mn 种不同的方法，
则完成这件事共有N m1 m2 +mn 种不同的方法.
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做
第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2 种不同的方
法……做第n步有 mn 种不同的方法，则完成这
件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
出公园.只考虑游玩路线的选择，该游客有多少种不同的走
法？
西门
景点A
东门
3×2=6（种）
情境创设
a1
西门
a1
1
a2
a3
b1
景点A
b2
a2
2
1
东门

数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）

数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）

第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(含答案解析)(2)

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4B ．6C ．8D ．112．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（ ）A ．15B ．25C D 4．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ> D ．()()D D ηξ<5．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于( ) A ．6227B ．73C ．6427D ．65276．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ） A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +7．设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若随机变量X 的方差()43D X =，则()2P X == ( )A ．4729B ．16C ．20243D ．802438．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．239．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.6 B ．0.4C ．0.3D ．0.210．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1111．2017年5月30日是我国的传统节日端午节，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个大枣馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =取到的两个都是豆沙馅”，则(|)P B A =（ ） A ．34B ．14C ．110D ．31012．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则(31)D X +的值是______14．在高三的一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数1(5,)4B ξ～，则()P k ξ=取最大值时k =_______．15．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________ 16．若随机变量~(2,)X B p ，随机变量~(3,)Y B p ，若4(2)9P X ==，则(21)E Y +的值为_______.17．(理)假设某10张奖券中有一等奖1张,奖品价值100元;有二等奖3张,每份奖品价值50元;其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张,获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为_________.18．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______.19．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____.20．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=300-30012C?33kkk ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0,1,2,…,300),则E (ξ)=____.三、解答题21．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列. 22．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.23．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33+”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；(II)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2y ≥”的概率.24．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.25．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．26．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=， 所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.2．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.3．B解析：B 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)5P X ==，()1E X =，列出方程组，求出35p =，15q =，由此能求出()D X ． 【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1()0215E X p q =⨯++=①，又115p q ++=，② 由①②得，35p =，15q =， 2221312()(01)(11)(21)5555D X ∴=-+-+-=，故选：B . 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.5．D解析：D 【分析】本道题分别计算X=1,2,3对应的概率，然后计算数学期望，即可． 【详解】()()()21322213432423441141,2327327C C C A C C C P X P X +======, ()234344339C A P X ===列表：所以数学期望1232727927EX =⋅+⋅+⋅=，故选D ． 【点睛】本道题考查了数学期望的计算方法，较容易．6．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．7．D解析：D 【解析】随机变量X 满足二项分布，所以1224(),3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以224612(2)()()33P X C ===80243，选D.8．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 9．C解析：C 【解析】∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3 10．C解析：C 【解析】因为()20,X B p ~，12p =，所以()20202020111222kkk k P X k C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当10k = 时20kC 取得最大值，故选C. 11．A解析：A 【解析】由题意，2223C +C 4P A ==1010（）,23C 3P AB ==1010（）P AB 3P A |B ==P A 4（）（）（）∴，故选：A ．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n AB n A （）（），其中n(AB)表示事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）（），特别要注意P(AB)的求法．12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34，故选B ．二、填空题13．5【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知结合数学期望公式和abc 成等差数列列出式子求出各个概率的值以及方差并代入即可【详解】abc 成等差数列又且联立以上三式解得:则故答案为:5【点睛】本题考查随解析：5 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知, 1a b c ++=,结合数学期望公式和a ，b ，c 成等差数列列出式子,求出各个概率的值以及方差,并代入(31)D X +即可. 【详解】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+, 又1a b c ++=,且1()3E X a c =-+=,联立以上三式解得:111,,632a b c ===, ()22211111151013633329D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()25(31)3959D X D X +==⨯=,故答案为: 5. 【点睛】本题考查随机变量的分布列以及随机变量的方差的求法,解题时需认真审题,注意使用离散型随机变量的分布列的性质和数学期望的性质,结合等差数列合理运用.14．1【分析】可得则且计算可得【详解】解：依题意可得则且解得又所以故答案为：1【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式组合数的计算公式考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：1 【分析】1~(5,)4B ξ，可得5511()()(1)44k k k P k C ξ-==⨯-．则()(1)P k P k ξξ=≥=-且()(1)P k P k ξξ=≥=+计算可得．【详解】解：依题意，可得5511()()(1)44kk k P k C ξ-==⨯-则5C k3()45k-1()4k15C k -≥3()45(1)k --1()41k -，且5C k3()45k-1()4k ≥15C k +5(1)3()4k -+11()4k +， 解得12k ≤≤32，又*k N ∈，所以1k =． 故答案为：1 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．3500【分析】设检测机器所需检测费为则的可能取值为200030004000分别求出相应的概率由此能求出所需检测费的均值【详解】设检测的机器的台数为则的所有可能取值为234所以所需的检测费用的均值为解析：3500 【分析】设检测机器所需检测费为X ,则X 的可能取值为2000,3000,4000,分别求出相应的概率,由此能求出所需检测费的均值.【详解】设检测的机器的台数为X ,则X 的所有可能取值为2，3，4.1123223233522513133(2000),(3000),(4000)1101010105A C A A A P X P X P X A A +========--=所以所需的检测费用的均值为()133200030004000350010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为: 3500. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和均值,考查学生分析问题的能力,难度一般.16．5【分析】根据随机变量和求出从而确定随机变量再用均值公式求解【详解】因为随机变量所以所以所以随机变量所以所以故答案为：5【点睛】本题主要考查了随机变量的二项分布还考查了运算求解的能力属于基础题解析：5 【分析】根据随机变量~(2,)X B p ，和2224(2)9===P X C p 求出p ，从而确定随机变量~(3,)Y B p ，再用均值公式求解.【详解】因为随机变量~(2,)X B p ，所以2224(2)9===P X C p 所以23p =所以随机变量2~(3,)3Y B ， 所以()2==E Y np所以(21)2()15+=+=E Y E Y 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了随机变量的二项分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题.17．【分析】奖品的总价值可能值为050100150分别求出求出期望即可求解【详解】奖品的总价值可能值为050100150其分布列为 150 获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率即获解析：23【分析】奖品的总价值ξ可能值为0,50,100,150，分别求出()0P ξ=，5(0)P ξ=，0(0)1P ξ=，5(0)1P ξ=，求出期望，即可求解.【详解】奖品的总价值ξ可能值为0,50,100,150，262101()03C P C ξ===，11632105502()C C P C ξ===，1263210+101()50C C P C ξ===，132101(150)15C P C ξ===， 其分布列为()0501001505055515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率， 即获得奖品的总价值ξ不少于50的概率为23. 故答案为:23【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，求出随机变量的概率是解题的关键，属于中档题.18．46【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分这两种情况是互斥的根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案【详解】解:设同学甲答对第i 个题为事件则且相互独立同学甲得分不低于300分对应于解析：46 【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案． 【详解】解:设“同学甲答对第i 个题”为事件(1,2,3)i A i =，则()10.8P A =，()20.6P A =，()30.5P A =，且1A ，2A ，3A ，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件()()()123123123A A A A A A A A A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂发生，故所求概率为()()()123123123P P A A A A A A A A A ⎡⎤=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⎦⎣()()()123123123P A A A P A A A P A A A =⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂ ()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为0.46【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解19．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．20．【解析】分析：由二项分布的期望公式计算详解：由题意得ξ~B 所以E(ξ)=300=100点睛：本题考查二项分布的期望计算公式若则解析：【解析】分析：由二项分布的期望公式计算． 详解：由题意,得ξ~B 1300,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以E (ξ)=30013⨯=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若(,)B n p ξ，则E np ξ=，(1)D np p ξ=-．三、解答题21．（1）80243；（2）分布列答案见解析. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率为3225218033243P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）随机变量ξ的可能取值为：0、1、2、3、4，()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221423327P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()321833381P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 22．（1）827；（2）19；（3）分布列答案见解析，数学期望：14881. 【分析】(1)参加甲游戏的概率P=13,设"这4个人中恰有k 人去参加甲游戏"为事件A k (k ＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率()2P A ,计算即可得出结果; (2)由(1)可知求()()34P A P A +;(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列. 【详解】依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为13，去乙地的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去甲地”为事件0,1,2,3,4i A i =（），则4-412()()()33iiii P A C =.（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为22224128()()()3327P A C ==（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B ，则34B A A =⋃，由于3A 与4A 互斥，故3144443341211()()()3339PB P A PC C A =++==（）（）（）. 所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为19. （3）ξ的所有可能的取值为0,2,4，由于1A 与3A互斥，0A 与4A 互斥， 故28270PP A ξ===（）（），1340812P P A P A ξ==+=（）（）（）， 0417814P P A P A ξ==+=（）（）（）. 所以ξ的分布列为：故1714827801818124Eξ=⨯+⨯+⨯=（）. 【点睛】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型. 23．（Ⅰ）2949; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）1116.【解析】试题分析：（Ⅰ）设“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件的概率，从而得到选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）由题意得到随机变量的取值，计算其概率，列出分布列，根据公式求解数学期望. （Ⅲ）由题意得所调查的学生中物理、化学、生物选考两科目的学生的人数，得到相应的概率，即可求解“2Y ≥”的概率. 试题（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则()222525202502049C C C P A C ++== 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为()29149P A -=（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值分别为0，1，2()2225252025020049C C C P X C ++===， ()1111525202525025149C C C C P X C +=== ()115202504249C C P X C === 从而X 的分布列为()01249494949E X =⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 相应的概率为251502P ==，所以Y ~14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭所以事件“2Y ≥”的概率为()223423444411111112112222216P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24．（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=，第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈，（i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 25．（1）详见解析；（2）13． 【分析】（1）优先表示随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数” 可以分解为，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案. 【详解】（1）题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X 服从参数为10N =，3M =，3n = 的超几何分布，因此 ()()337310C C 0,1,2,3C k k P X k k -===． 所以 ()0337310C C 3570C 12024P X ====， ()1237310C C 63211C 12040P X ====，()2137310C C 2172C 12040P X ====，()3037310C C 13C 120P X ===．故 X 的分布列为 ：（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ， 由于事件1A ，2A ，3A彼此互斥，且123A A A A =++， 而()12341310C C 3C 20P A ==，()()27240P A P X ===，()()313120P A P X ===， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=． 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13． 【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题. 26．（1）13；（2）15；（3）12．【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；（2）利用条件概率的公式即可计算结果； （3）与（2）解法相同. 【详解】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ， 从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab 共有5种，故()51153P M ==． （2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ， 不妨设女生乙为b ， 则()115P MN =，又由（1）知()13P M =， 故()()()15P MN P N M P M ==． （３）记“挑选的2人一男一女”为事件S ，则()815P S =， “女生乙被选中”为事件N ，()415P SN =，故()() ()12 P SNP N SP S==．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题.。

(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(答案解析)

(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(答案解析)

一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.23．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )A ．1.4,0.2B ．0.44,1.4C ．1.4,0.44D ．0.44,0.26．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110B ．0C ．110-D ．157．设一随机试验的结果只有A 和A ,且A 发生的概率为m ，令随机变量11A X A 发生发生⎧=⎨-⎩，则()D X =（ ）A ．1B ．(1)m m -C ．4(1)m m -D ．4(1)(21)m m m --8．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为123,,234，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）A ．1124B ．2324C ．14D ．17329．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元10．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ）A ．18B ．38C ．58D ．7811．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是A ．4,4E D ξξ=-=B ．3,3E D ξξ=-=C ．4,4ED ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=12．设随机变量ξ的概率分布列为1()()3kP k a ξ==，其中0,1,2k =，那么a 的值为（ ） A ．35B ．2713C ．919D ．913二、填空题13．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 16．2017年5月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ~ N ()2100,σ.（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________.17．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望7()3E ξ=，则a b +=_____. 18．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 19．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3D X =_______． 20．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）．三、解答题21．某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得15-分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列. （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.22．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率23．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． ①利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数．已知X 服从二项分布(),B n p ，利用①的结果，求()E X ．15012.2≈若()2,Z N μσ~则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．24．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率； （2）求X 的分布列及数学期望.25．湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T ，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表： 设小明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表： （1）从政治成绩获得A 等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；（2）从政治成绩获得A 等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为ξ，求ξ的分布列和期望.26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.4．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得，所以随机变量的均值为，方差为， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为X1 2 3 4P+a b 2a b + 3a b + 4a b +()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据随机试验的结果只有A 和A ，P （A ）=m ，使得随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生，得到随机变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果． 【详解】∵由题意知一随机试验的结果只有A 和A ， 且P （A ）=m ，随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生∴X 服从两点分布，∴EX=1(1)(1)21m m m ⨯+-⨯-=-, ∴DX=4m （1-m ）． 故选C ． 【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．8．A解析：A 【分析】若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =，()23P B =，()34P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为()1231111113412P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则电路不发生故障的概率1111121224P =⨯= 故选A 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．9．C解析：C【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.10．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ==== 所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n k n C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.11．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于a 的等量关系式，最后求得结果.详解：根据分布列的性质可得，()()()0121110121333P P P a a a ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得913a =，故选D. 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数a 所满足的等量关系式，最后求得结果.二、填空题13．【解析】所以【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望方差公式求解注意： 解析：1712【解析】()11103412P X ==⨯=，()211351343412P X ==⨯+⨯=，()23623412P X ==⨯=，所以()1526171212E X ⨯+⨯==. 【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可. 【详解】通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2， 抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=， 故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计算得到答案. 【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【分析】根据正态分布对称性知计算得到答案【详解】根据正态分布对称性知：故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：【点睛】本题考查了正态分布意在考查学生对于正态分布性质的应用 解析：200根据正态分布对称性知()11208p X >=，计算得到答案. 【详解】根据正态分布对称性知：()()131120801248p X p X ⎛⎫>=<=⋅-= ⎪⎝⎭. 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为116002008⨯=. 故答案为：200. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布性质的应用.17．【分析】要求的值就是要将与求出两个未知数建立出两个方程即可由概率之和为1得到一个方程由得到第二个方程建立方程组从而得到结果【详解】解：离散随机变量可能取的值为123（）故的数学期望①而且②①②联立方解析：16【分析】要求+a b 的值，就是要将a 与b 求出。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．162．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．112125B ．80125C ．113125D ．1241253．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设随机变量X 服从正态分布()0,9N ，则()36P X <<=（ ）（附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(2)0.9544P X μσμσ+<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.31745．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ）A ．274B ．92C ．3D ．4 6．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．408．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )A ．1.4,0.2B ．0.44,1.4C ．1.4,0.44D ．0.44,0.29．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072910．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3411．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=12．设样本x 1,x 2,…,x 10数据的平均值和方差分别为3和5,若y i =x i +a(a 为非零实数,i=1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为( ) A ．3，5B ．3+a ，5C ．3+a ，5+aD ．3，5+a二、填空题13．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数为i ξ(1,2)i =，则()()12E E ξξ+的值为________15．随机变量ξ的分布列如下：若()3E ξ=，则()D ξ=__________. 16．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．17．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,()10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 18．一批排球中正品有m 个，次品有n 个，()10m n m n +=≥，从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数若 2.1DX ＝，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p ＝___________19．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________． 20．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=300-30012C?33kkk⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0,1,2,…,300),则E (ξ)=____.三、解答题21．某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为45，答对每道选答题的概率为25. （1）求甲恰好答对4道必答题的概率；（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为12，试求甲同学在选答题阶段，得分X 的分布列.22．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.23．某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记X 为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．24．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P （X ＝0）＝0.01. （1）求实数m ，n 的值； （2）求X 的分布列；（3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？25．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品. （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布； （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望.26．如图，直角坐标系中，圆的方程为22111,(1,0),,,,2222x y A B C ⎛⎫⎛⎫+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为不为3的倍数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为(),(),(),n n n P A P B P C 例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为111()0,()3P A P B ==，12()3P C =.（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的正弦值弦值记为随机变量n X ，求5X 的分布列和数学期望；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.2．A解析：A 【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由随机变量X 符合正态分布()0,9N ，得0μ=，3σ=，则所求(36)P X <<，即为(2)P X μσμσ+<<+，根据3σ原则，以及正态曲线的对称性即可求值.【详解】因为随机变量X 符合正态分布()0,9N ，则0μ=，3σ=， 所以(36)(2)P X P X μσμσ<<=+<<+， 由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+=，以及正态曲线的对称性，可知()00.3413P X μσ<<+≈，(02)0.4772P X μσ<<+=，则(36)0.47720.34130.1359P X <<=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，两个变量μ和σ的应用，3σ原则，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q +221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.7．B解析：B 【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果. 【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555216C =因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5(80,)16X B 则5()802516E X =⨯= 故选B 【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得，所以随机变量的均值为，方差为，故选C ． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．10．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．11．D解析：D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．12．B解析：B 【解析】根据题意,样本x 1,x 2,…,x 10数据的平均值和方差分别为3和5， 则有x =110(x 1+x 2+…+x 10)=3， S 2x =110[(x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2]=5，对于y i=x i+a；则有y=110(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10+10a)=3+a，S2y=110[(y1-3-a)2+(y2-3-a)2+…+(y10-3-a)2]=5，本题选择B选项.二、填空题13．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概解析：375【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为3 10003758⨯=台.故答案为：375.【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 14．【分析】当抽取个球时的取值为根据古典概型概率计算公式计算出概率并求得期望值当抽取个球时的取值为根据古典概型概率计算公式计算出概率并求得期望值【详解】解：甲盒中含有红球的个数的取值为12则则；甲盒中含解析：23 7【分析】当抽取1个球时，1ξ的取值为1,2，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取2个球时，2ξ的取值为1,2,3，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.【详解】解：甲盒中含有红球的个数1ξ的取值为1，2，则()14117417C P C ξ===，()13117327C P C ξ===.则()1431012777E ξ=⨯+⨯=； 甲盒中含有红球的个数2ξ的值为1，2，3，则()24227217C P C ξ===，()1134227427C C P C ξ===，()23227137C P C ξ===. 则()2241131237777E ξ=⨯+⨯+⨯=. ∴()()12101323777E E ξξ+=+=. 故答案为：237. 【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.15．【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得解得因此故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算解题时要注意概解析：59【分析】利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出()D ξ的值．【详解】由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得1612a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，()22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59． 【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题．16．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4 【解析】 【分析】由题意求得随机变量X 的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望． 【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X 的取值为0,1,2X =， 则P(X 0)0.20.40.08==⨯=，P(X 1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=，P(X 2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．3【分析】根据随机变量的概率之和为1即可求出【详解】根据随机变量的概率分布的性质可知故【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质属于中档题解析：3 【分析】根据随机变量的概率之和为1，即可求出()30P X >. 【详解】根据随机变量的概率分布的性质,可知()()()101030301P X P X P X <+≤≤+>=, 故(30)10.30.40.3P X >=--=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质，属于中档题.18．【分析】由题意知随机变量根据方差求得的值再计算所求的概率值【详解】由题意知随机变量则方差又则解得所求的概率为故答案为【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算考查古典概型的概率的计算意在考查学生对这些知 解析：815【分析】由题意知随机变量~(10,)10nX ，根据方差DX 求得n 的值，再计算所求的概率值． 【详解】由题意知，随机变量~(10,)10nX ， 则方差10(1) 2.11010n nDX =⨯⨯-=， 又m n ，则5n ，∴解得3n =，∴所求的概率为112373210815C C C p C +==． 故答案为815【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算,考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．【分析】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验用n 次独立重复试验概率公式即可求出P(X ＝4)【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验这是5次独立重复试验则有45所以故答案为【点 解析：10243【分析】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，153X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，用n 次独立重复试验概率公式即可求出P (X ＝4). 【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，153X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，则有()551233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0123k =，，，，4，5. 所以()41451210433243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为10243. 【点睛】独立重复试验的特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）每次试验的结果相互独立．20．【解析】分析：由二项分布的期望公式计算详解：由题意得ξ~B 所以E(ξ)=300=100点睛：本题考查二项分布的期望计算公式若则解析：【解析】分析：由二项分布的期望公式计算．详解：由题意,得ξ~B 1300,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以E (ξ)=30013⨯=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若(,)B n p ξ，则E np ξ=，(1)D np p ξ=-．三、解答题21．（1）256625；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式解之即可；（2）甲得分的可能性为4-分，2-分，0分，3分，5分和10分，然后根据相互独立事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）甲恰好答对4道必答题的概率为4454125655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）依题意，每道题选择回答并答对的概率为121255⨯=，选择回答且答错的概率为1332510⨯=，选择放弃回答的概率为12.甲得分的可能性为4-分，2-分，0分，3分，5分和10分. 所以9(4)100P X =-=， 121133(2)C 22510P X ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 111(0)224P X ==⨯=， 1211233(3)C 225525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21121(10)22525P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为22．（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=，第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 23．（1）25；（2）分布列见解析，65【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人，再根据古典概型概率公式可得结果； （2）由已知得随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，X ～B （3，25），由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望EX ． 【详解】 （1）根据题意，参加社区服务在时间段[)90,95的学生人数为2000.06560⨯⨯=人； 参加社区服务在时间段[)95,100的学生人数为2000.02520⨯⨯=人；∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人. ∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为8022005P ==. （2）由（1）可知，从全市高中学生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25，X ～B （3，25），由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， 则()0332327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 随机变量X 的分布列为：∴()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量二项分布的分布列和数学期望，属于中档题．24．（1）10m =，40=；（2）分布列见解析；（3）1500a <元时，方案一合算，1500a >时，方案二合算，1500a =时，两种方案一样．【分析】（1）由(0)P X =可得m ，再得出n 的值，（2）X 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，分别求得概率，得概率分布列， （3）由期望公式得出期望．可得两种方案的总费用，比较后可得结论． 【详解】（1）由2(0)0.01100m P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得10m =，∴10010104040n =---=；（2）依题意X 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，由题意一台机器维修次数为n ，概率为1(0)10P n ==，1(1)10P n ==，2(2)5P n ==，2(3)5P n ==，1(0)100P X ==， 111(1)2101050P X ==⨯⨯=， 12119(2)21051010100P X ==⨯⨯+⨯=， 12124(3)2210510525P X ==⨯⨯+⨯⨯=， 12226(4)21055525P X ==⨯⨯+⨯= 228(5)25525P X ==⨯⨯=，224(6)5525P x ==⨯=，X 的分布列如下：（2）由（1）方案一维修费用期望值为2325252525a a a a +⨯+⨯= 方案一总费用为134860025y a =+（元）， 方案二维修费用期望值为84100020006402525⨯+⨯= 方案二总费用为21000064010640y =+=（元）．3486001064025a +=，1500a =，1500a <时，12y y <，1500a >时，12y y >， ∴1500a <元时，方案一合算，1500a >时，方案二合算，1500a =时，两种方案一样． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查了随机变量的数学期望，用样本估算总体．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力． 25．（1）见解析；（2）①23；②分布列见解析，16 【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列.（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率.②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列和数学期望.【详解】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，P（X＝0）1611035CC==，P（X＝1）1411025CC==，∴X的分布列为：∴顾客乙中奖的概率为：P11246421023 C C CC+==.②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），∴Y的可能取值为0，10，20，50，60，P（Y＝0）2621013CC==，P（Y＝10）114621025C CC==，P（Y＝20）23210115 CC==，P（Y＝50）1116210215C CC==，P（Y＝60）1113210115 C CC==，∴随机变量Y的概率分布列为：E （Y ）1212101020506035151515=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=16. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.26．（1）当掷骰子二次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为441,,999；当掷骰子三次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为124,,399；（2）分布列见解析， 【分析】（1）由已知可得，当2n ≥时，11111212()()(),()()()3333n n n n n n P A P C P B P B P A P C ----=+=+， 1112()()()33n n n P C P B P A --=+，取2,3n n ==，即可求解；（2）根据已知5X 的所有可能取值为0、555(),(),()P A P B P C 的概率，得出随机变量5X 的分布列，按期望公式，即可求出结论.【详解】（1） 当掷骰子一次时11112()0()()33P A P B P C ===，， 当掷骰子二次时 21121224()()()33999P A P B P C =+=+= 211121224()()()0333339P B P A P C =+=⨯+⋅= 211121()()()339P C P B P A =+= 当掷骰子三次时32221241191()()()333939273P A P B P C =+=⋅+⋅== 32212142162()()()333939279P B P A P C =+=⋅+⋅== 3221214244()()()3339399P C P B P A =+=⋅+⋅=（2） 依题意，5X 的所有可能取值为0-、54421(0)()()()33P X P A P B P C ===+3333212[()()(112[())]33]3333P A B A P C P P ++=+ 333441()()()999P A P C P B =++ 4144123093999981=⋅+⋅+⋅=， 54412()()()()233P X P B P A P C ===+ 3333121212[()()][()()]333333P B P C P B P A =+++ 333414()()()999P B P C P A =++ 4214412499999381=⋅+⋅+⋅=5302427(()1818181P X P C ===--= X ∴的分布列为【点睛】 本题考查相互独立和互斥事件的概率求法、离散型随机变量的分布列和期望，理解概率间的关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(有答案解析)(1)

一、选择题1．在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件A 表示“第1次摸到的是红球”，事件B 表示“第2次摸到的是红球”，则()P B A （ ） A ．49B ．12C ．110D ．152．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7104．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ）A ．59B ．53C ．5D ．75．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则21p q+的最小值为（ ） A ．274B ．92C ．3D ．46．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1037．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( )A ．38B ．12C ．516D ．7168．已知随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝2ia(i ＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于( ) A ．910B ．710 C ．35D ．129．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．7810．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1911．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64 B ．0.16 C ．0.32 D ．0.34 12．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ）A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +二、填空题13．甲、乙两人被随机分配到,,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望()E X =_____． 14．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．15．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．16．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________ 17．小李练习射击,每次击中目标的概率均为13,若用ξ表示小李射击5次击中目标的次数,则ξ的均值E(ξ)与方差D(ξ)的值分别是____.18．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．19．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=300-30012C?33kkk ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0,1,2,…,300),则E (ξ)=____.20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为13，若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“行让行人”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”.试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布()~8,9X N ，求该月没能在 14天内缴纳人数. 参考公式：()()()112211ˆˆˆ,nniii ii i nniii i x x yyx y nxybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑()()()0.6826,220.9544,330.9974P ZP Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<+=-<<+=22．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M 外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？（2）现从全国开展M 外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的可能性最大，试求整数k 的值.参考数据：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=.23．某射手每次射击击中目标的概率均为23，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ζ表示射手射击3次后的总得分，求ζ的分布列和数学期望． 24．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？ 25．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系： 商品A 的月需求量x （万件） 50100x ≤< 100200x ≤<200x ≥车间最多正常运行个数345若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系： 商品A 的月需求量x （万件）50100x ≤<100200x ≤<未正常生产的一个车间的月维护费（万元）500600试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大．26．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式2.63≈，若 ()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③(33)0.9973P X μσμσ-<+=.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，分别求出()P A ，()P AB ，利用条件概率公式求出答案．【详解】设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ， 则“第一次摸到红球”的概率为：()51102P A == “在第一次摸出红球，第二次也摸到红球”的概率是()5421099P AB ⨯==⨯ 由条件概率公式有()()()249192P AB P B A P A ===故选：A 【点睛】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率，弄清楚事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．属于中档题．2．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.3．B解析：B【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.4．C解析：C 【分析】 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．【详解】 1()3E X =∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．B解析：B 【分析】根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得21p q+的最小值.【详解】离散型随机变量X 服从二项分布(),XB n p ,且2EX =,DX q =由二项分布的均值与方差公式可得()21npq np p =⎧⎨=-⎩, 化简可得22p q +=,即12qp +=由基本不等式化简可得21p q +221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭2525922q p p q ≥+=++= 即21p q +的最小值为92故选:B 【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.6．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率． 【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．8．B解析：B 【分析】 由题意可得()1123412a+++=，即可求出a 的值，再利用互斥事件概率的加法公式可得 ()()()2434P X P P <≤=+，据此计算即可得到答案【详解】()()12342iP X i i a===，，，， ()1123412a∴+++= 解得5a =则()()()3472434101010P X P P <≤=+=+= 故选B 【点睛】本题是一道关于求概率的题目，解答本题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列，属于基础题．9．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)kkn kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.10．A解析：A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．二、填空题13．【分析】由题意得出的可能取值以及相应的概率再计算数学期望即可【详解】由题意可得的可能取值有012则数学期望故答案为：【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望属于中档题解析：23【分析】由题意得出X 的可能取值以及相应的概率，再计算数学期望即可. 【详解】由题意可得X 的可能取值有0，1，2224(0)339P X ⨯===⨯，122411(1),(2)339339C P X P X ⨯======⨯⨯则数学期望4()09E X =⨯41212993+⨯+⨯=．故答案为：23【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.14．【分析】设事件表示该选手能正确回答第轮的问题选手被淘汰考虑对立事件代入的值可得结果；【详解】记该选手能正确回答第轮的问题为事件则该选手被淘汰的概率：故答案为：【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：( 解析：101125【分析】设事件(1,2,3)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()P A P A P A 的值，可得结果； 【详解】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===. 该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯= 故答案为：101125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()P A P A =－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．15．1359【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可；【详解】解：∵∴∴又∴∴∴∵∴因此此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的性质属于中档题解析：1359 【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可； 【详解】解：∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴10.6826()2P X μσ->+=，∴()1P X μσ<+=-10.682610.6826222-=+．又(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，∴10.9544(2)2P X μσ->+=，∴10.954410.9544(2)1222P X μσ-<+=-=+，∴(2)(2)P X P X μσμσμσ+<<+=<+-()P X μσ<+10.954410.6826()2222=+-+1(0.95440.6826)2=⨯-0.1359=． ∵30μ=，10σ=，∴(4050)0.1359P X <<=．因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359． 故答案为：0.1359 【点睛】本题考查正态曲线的性质，属于中档题.16．3500【分析】设检测机器所需检测费为则的可能取值为200030004000分别求出相应的概率由此能求出所需检测费的均值【详解】设检测的机器的台数为则的所有可能取值为234所以所需的检测费用的均值为解析：3500 【分析】设检测机器所需检测费为X ,则X 的可能取值为2000,3000,4000,分别求出相应的概率,由此能求出所需检测费的均值. 【详解】设检测的机器的台数为X ,则X 的所有可能取值为2，3，4.1123223233522513133(2000),(3000),(4000)1101010105A C A A A P X P X P X A A +========--=所以所需的检测费用的均值为()133200030004000350010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为: 3500. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和均值,考查学生分析问题的能力,难度一般.17．【解析】试题分析：的可能取值是012345 0 1 2 3 4 5 考点：期望方差的计算解析：510,39【解析】试题分析：ξ的可能取值是0,1,2,3,4,5,12345．考点：期望、方差的计算．18．【解析】分析：先确定随机变量取法再分别求对应概率最后根据数学期望公式求期望详解：获得奖金数为随机变量ξ则ξ＝691215所以ξ的分布列为：ξ 6 9 12 15 P E(ξ)＝6×＋9× 解析：212【解析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望. 详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为： ξ 691215P112 512 512 112E(ξ)＝6×12＋9×12＋12×12＋15×12＝2. 点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.19．【解析】分析：由二项分布的期望公式计算详解：由题意得ξ~B 所以E(ξ)=300=100点睛：本题考查二项分布的期望计算公式若则解析：【解析】分析：由二项分布的期望公式计算． 详解：由题意,得ξ~B 1300,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以E (ξ)=30013⨯=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若(,)B n p ξ，则E np ξ=，(1)D np p ξ=-．20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点解析：3572【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:A 甲的稿件被录用，则()2212111522312P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572. 【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.三、解答题21．（1）ˆ8124yx =-+；（2）达到“理想状态”；（3）2. 【分析】（1）请根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）利用回归方程计算6x =时ˆy的值，比较即可得出结论； （3）根据正态分布的性质，结合()2140.9544P X <<=即可得答案. 【详解】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=；12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()nii i nii xx y y bxx ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=； y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124y x =-+；（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=； 且807645-=<，6∴月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；（3）因为X 服从正态分布()~8,9X N ， 所以()2140.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=， 【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a=+. 22．（1）①5；②100万元；（2）48. 【分析】（1）①先由频率分布表求出样本平均数，得到()212.16,3.64ZN ，求出()4.8815.8P Z <≤，再由题意，得到()6,0.8186XB ，根据二项分布的期望公式，即可得出结果；②根据分层抽样，分别得出订单数在区间[)3,5和[)5,7的城市数，计算出不开展营销活动所得利润，以及开展营销活动所得利润，即可得出结果；（2）根据题意，由正态分布，先求出随机抽取1个城市的外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的概率为0.47725P =，得到抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的概率为()()1001k kk P X k C P P ==-，为使其最大，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】（1）①由频率分布表可得，样本平均数为40.0460.0680.1100.1μ=⨯+⨯+⨯+⨯120.3140.2160.1180.08200.0212.16+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以()212.16,3.64ZN ，因此()()4.8815.82P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+()()()111220.95450.68270.8186222P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+=+=， 由题意，可得()6,0.8186XB ，所以X 的数学期望为()60.8186 4.91165E X =⨯=≈；②由分层抽样知，这100个城市中每月订单数在区间[)3,5内的有0.04100400.040.06⨯=+个，则每月订单数在区间[)5,7内的有0.06100600.040.06⨯=+个，若不开展营销活动，则一个月的利润为404560652600⨯⨯+⨯⨯=（万元）， 若开展营销活动，则一个月的利润为()1009522700⨯⨯-=（万元），因此M 外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利100万元； （2）因为()()()112.1619.442222P Z P Z P Z μμσμσμσ<≤=<≤+=-<≤+ 0.47725=，即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的概率为0.47725P =， 则从全国开展M 外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的概率为()()1001kk kP X k C P P ==-，为使若抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的可能性最大，只需()()()()1009911100100100101111001001111k k k k k k k k k k k k C P P C P P C P P C P P --++----⎧⋅⋅-≥⋅⋅-⎪⎨⋅⋅-≥⋅⋅-⎪⎩， 即()()11001001111001001111k k k k k k k k k k kk A A P P A A A A P P A A +++---⎧⋅-≥⋅⎪⎪⎨⎪⋅≥⋅-⎪⎩，即100111011k P P k k P P k -⎧-≥⋅⎪⎪+⎨-⎪⋅≥-⎪⎩，解得1011101P k P -≤≤， 则47.2022548.20225k ≤≤， 又k 为整数，所以48k =. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正态分布求指定区间的概率，考查由二项分布的概率计算公式求概率的最值，解题关键在于熟记正态分布的对称性，二项分布的概念以及二项分布的概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题. 23．（1）2027；（2）分布列见解析，2209E ζ=． 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量ζ的可能取值有0、10、20、25、40，计算出随机变量ζ在不同取值下的概率，可得出随机变量ζ的分布列，由此可求得随机变量ζ的数学期望值. 【详解】（1）设X 为射手3次射击击中目标的总次数，则23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭． 故()()()23233322220223133327P X P X P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==⋅⋅-+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，所求概率为2027； （2）由题意可知，ζ的所有可能取值为0、10、20、25、40， 用()1,2,3i A i =表示事件“第i 次击中目标”，则()()31100327P P X ζ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()2132221011339P P X C ζ⎛⎫====⋅⋅-= ⎪⎝⎭，()()12321242033327P P A A A ζ===⨯⨯=，()()()82522027P P X P ζζ===-==， ()()328403=327P P X ζ⎛⎫==== ⎪⎝⎭．故ζ的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为1648822001020254027272727279E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查利用独立重复试验的概率公式计算事件的概率，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）详见解析；（2）选择延保方案一较合算． 【分析】（1）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，计算概率得到分布列. （2）分别计算所需费用的分布列，计算数学期望，比较大小得到答案. 【详解】 （1）0515010p ==；1202505p ==；2101505p ==；31535010p ==. X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．111(0)1010100P X ==⨯=，122(1)210525P X ==⨯⨯=，22111(2)2555105P X ==⨯+⨯⨯=，131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，11327(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=，133(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为：（2）选择延保方案一，所需费用1元的分布列为：17009001100130015001000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为：2100011001200103010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）． ∵12EY EY <，∴该工厂选择延保方案一较合算． 【点睛】本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 25．（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=； 需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则4870=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间． 【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.26．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈，所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；（ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973k k k P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=， 所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.。

人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-2．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12963．在1032x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -4．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．255．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48 B ．72 C ．84 D ．1686．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-17．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．96 8．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26B ．18C ．12D ．99．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ） A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个10．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12011．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种二、填空题13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答）14．若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 15．市扶贫工作组从4男3女共7名成员中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人工作小组下乡，要求工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有______种安排方法．16．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x x m m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.17．若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a =_______.18．已知25270127(231)(2)x x x a a x a x a x ++-=++++，求01234567a a a a a a a a +++++++=_______19．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.20．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种．三、解答题21．已知2nx⎫⎪⎭的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等.（1）求n；（2）求展开式中4x项的系数.22．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？23．已知n+的展开式中前三项的系数为等差数列.（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项.24．已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m.（I）求m的值；（II）求342mx⎫⎪⎭的展开式中的常数项.25．已知在)23n x的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n的值；（2）求展开式中6x的项；（3）求展开式中系数最大的项.26．（1）求(-x+12x)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项.（2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相.①求3位女同学站在一起的概率；②求4位男同学互不相邻的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出展开式的通项公式，利用x的次数为5进行求解即可．【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.2．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数3．D解析：D 【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】10∴二项式展开式为：(10)113211012kkkkT C x x--+⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k+项，可得11101011101011221122k k k kk k k kC CC C--++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可得11112101112kkkk-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k≤≤*k N∈∴3k=在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x xT C x-⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎭-⎪⎝⎭⎝故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．4．B解析：B【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．5．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.6．C解析：C 【分析】首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭，通分后即得结果. 【详解】 令12x =， 201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭,20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==，∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.7．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.8．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A 52=20个没有重复数字的三位偶数； ②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法， 此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数， 综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数． 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．10．C解析：C 【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!kk k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．二、填空题13．30【分析】根据题意先将5名医生分成2组再分配的两家医院即可求得分配方案的种数分组时有和两种分组方法结合组合的运算集合求出结果【详解】解：由题可知先将5名医生分成2组有种再分配的两家医院有种即有30解析：30 【分析】根据题意，先将5名医生分成2组，再分配的两家医院即可求得分配方案的种数，分组时有14+和23+两种分组方法，结合组合的运算集合求出结果. 【详解】解：由题可知，先将5名医生分成2组，有1423545351015C C C C ⋅+⋅=+=种， 再分配的两家医院有221530A =种，即有30种分配方案. 故答案为：30. 【点睛】本题考查排列和组合的运算和应用，考查了先选再排的技巧，分组时要注意分类讨论.14．【分析】根据二项展开式的通项公式可得：再由可得代入项的系数即可得解【详解】根据二项展开式的通项公式可得：令可得解得：故答案为：【点睛】本题考查了二项展开示式公式考查了由项的系数求参数大小考查了计算能 解析：12【分析】根据二项展开式的通项公式可得：48318r r rr T C a x-+=，再由4843r-=，可得3r =，代入项的系数，即可得解. 【详解】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r rr T C x C a x C a x ----+==，令4843r-=，可得3r =， 3388==7r r C a C a ，解得：12a =， 故答案为：12【点睛】本题考查了二项展开示式公式，考查了由项的系数求参数大小，考查了计算能力，属于中档题.15．348【分析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论每种情况先计算4人的选取方法在计算队长副队普通队员的分配情况数目由分类计数加法原理可得出结果【详解】第一类：当选出1女3男时有种这4人作为队长和副解析：348 【分析】将参加工作小组女生的人数分3种情况讨论，每种情况先计算4人的选取方法，在计算队长、副队、普通队员的分配情况数目，由分类计数加法原理可得出结果. 【详解】第一类：当选出1女3男时，有133412C C =种，这4人作为队长和副队有2412A =种，故有1212144⨯=种；第二类：当选出2女2男时，有223418C C =种，2个女成员当选队长和副队时，有222A =种，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有224210A A -=种，故有1810180⨯=种；第三类：当选出3女1男时，有31344C C =种，根据题意，这名男成员只能为队长或副队，则这4人中队长和副队长不能都是女同志的有1326A =种，故有4624⨯=种由分类计数加法原理得：工作组中至少有1名女同志，且队长和副队长不能都是女同志，共有14418024348++=种安排方法． 故答案为：348 【点睛】本题主要考查了分类计数加法原理等，属于中档题.16．①②【分析】根据新定义结合组合数公式进行分类讨论即可【详解】当时由定义可知：当时由定义可知：故①成立；当时由定义可知：当时由定义可知：故②成立故答案为：①②【点睛】本题考查了新定义题考查了数学阅读能解析：①，②.. 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.17．【解析】分析：中的系数与的积加上中的系数与的系数的积就是展开式的系数详解：展开式通项为令则令则∴解得故答案为－2点睛：二项式的展开式的通项为由此通项公式可求展开式中的特定项如果是两个（或多个）式子相 解析：2-【解析】分析：31(2)x x -中3x 的系数与a -的积，加上31(2)x x-中x 的系数与23x 的系数的积就是展开式3x 的系数．详解：51(2)x x-展开式通项为55521551(2)()2r rr r r r r T C x C x x---+=-=， 令523-=r ，则1r =，令521r -=，则2r，∴41325523280a C C -⨯+⨯=，解得2a =-，故答案为－2.点睛：二项式()n a b +的展开式的通项为1C r n r rr n T a b -+=，由此通项公式可求展开式中的特定项．如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.18．【分析】在展开式中令可得系数和【详解】令得故答案为：【点睛】本题考查二项式定理在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法设二项展开式为则有：奇数项系数和为偶数项系数和为 解析：6-【分析】在展开式中令1x =可得系数和． 【详解】令1x =得501234567(231)(12)6a a a a a a a a +++++++=++-=-. 故答案为：6-． 【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，设二项展开式为2012()n n f x a a x a x a x =+++，则有：012(1)n f a a a a =++++，奇数项系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=， 偶数项系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．19．【分析】根据题意由排列组合数公式计算三个班级各出三人组成小方阵和来自同一班级的同学既不在同一行也不在同一列的排法由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意三个班级各出三人组成小方阵有种安排方法若来自 解析：1140【分析】根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成33⨯小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有336A =种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率99622781140P A ⨯⨯⨯==；故答案为：1140. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.20．30【分析】先假设可放入一个盒里那么方法有种减去在一个盒子的情况就有5种把2个球的组合考虑成一个元素就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子从而可得到结果【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球解析：30 【分析】先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有24C 种，减去,A B 在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果． 【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设,A B 可放入一个盒里，那么方法有246C =.再减去,A B 在一起的情况，就是615-=种．把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有336A =种．∴根据分步计数原理知共有5630⨯=种． 故选：C ． 【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法．三、解答题21．（1）11；（2）22-． 【分析】（1）由二项式定理得二项式系数，根据组合数性质求得n ；（2）写出展开式通项公式，由x 的指数为4得所求项数，从而得其系数． 【详解】（1）由题意29n n C C =，∴2911n =+=；（2）二项展开式通项公式为113112111112(2)rrrr r r r T CC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令11342r -=，1r =，所求系数为1111(2)22C -=-． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数，掌握二项式展开式通项公式是解题关键．22．（1）15；（2）120；（3）74 【分析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果．（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果．（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择． 【详解】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N =5+6+4=15种； （2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N =5×6×4=120种； （3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N =5×6+6×4+4×5=74种．； 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 23．（1）358x ；（2）747x 和527x . 【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项. 【详解】（1）由题意，n的展开式是1rn rrr n T C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n nn n T C xx----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去） 则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8rC ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<， 则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x -=⋅⋅=⋅，5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅，7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型. 24．（I ）12；（II ）672. 【分析】（I ）先考虑特殊要求，再排列其他的；（II ）根据二项式定理展开式的通项公式求解. 【详解】（I ）所有不同的排法种数132312m C A =•=.（II ）由（I）知，39422mx x ⎫⎫=⎪⎪⎭⎭，92x ⎫∴⎪⎭的展开式的通项公式为932192r r r r T C x -+=⋅⋅，令9302r-=，解得3r =， ∴展开式中的常数项为3392672C ⋅=.【点睛】本题考查排列与二项式定理.25．（1）5n =；（2）6390T x =；（3）2635405T x =【分析】（1）代入1x =求得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n ，根据二者相差992可得方程，解方程求得n ；（2）根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于6，求得r ，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为53r rC ，利用115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩解得r ，进而求得系数最大的项. 【详解】（1）)23nx展开式各项系数的和为：)2314nn ⨯=；二项式系数的和为：2n又各项系数的和比二项式系数的和大99242992nn∴-=，即()2229920nn --=，解得232n =5n ∴=（2）)523x展开式的通项公式为：()10452315533r rrr r rr TCx C x+-+==令10463r+=，解得2r展开式中6x 的项为：226635390T C x x == （3）设第1r +项的系数为1r t +，则153r rr t C +=由121r r r r t t t t +++≥⎧⎨≥⎩，即115511553333r r r r r rr r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩ 解得：7922r ≤≤，所以4r = 展开式系数最大项为：26264433553405T C x x ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型. 26．（1）各项系数之和为：164，常数项为：52- ；（2）①17；②135 . 【分析】（1）根据二项式定理的通项公式以及系数之和的性质进行求解即可． （2）利用古典概型的概率公式以及排列公式进行计算即可． 【详解】解：（1）令1x =得各项系数之和为611(1)264-+=，展开式的通项公式666216611()()(1)()22k kk kk k k k T C x C x x ---+=-=-， 由620k -=得3k =，则常数项为333615(1)()22C -=-．（2）①把3位女生当作一个元素，则有5353A A 种排法，则对应的概率53537717A A P A ==．②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有3434A A．则对应概率343477135A APA==．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用以及古典概型的计算，利用二项式定理的通项公式以及排列公式是解决本题的关键．难度不大．。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(答案解析)(3)

一、选择题1．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ．112125B ．80125C ．113125D ．1241252．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为η，则η的数学期望为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．33．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027%B ．99.9973%C ．0D ．91.2673%4．设随机变量X 服从正态分布()0,9N ，则()36P X <<=（ ）（附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(2)0.9544P X μσμσ+<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.31745．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()D ξ=（ ） A ．0.09B ．9C ．1D ．0.96．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1037．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( ) A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110B ．0C ．110-D ．159．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（ ） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.7810．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3411．已知随机变量X 的分布列如表，其中a ，b ，c 为等差数列，若1()3E X =，则()D X 等于（ ）X 1- 0 1PabcA ．49B ．59C ．13D ．2312．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．23二、填空题13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则(31)D X +的值是______14．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 15．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______.16．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．17．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P （X=0）=，则随机变量X的数学期望E （X ）=___________． 18．某篮球运动员投中篮球的概率为23，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的 概率是__________.(结果用分数表示)19．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2B ξ，则(23)E ξ+=________，(23)D ξ+=________.20．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若命题:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==14；④函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）.三、解答题21．因新冠疫情的影响，2020年春季开学延迟，老师采用线上教学.某校高中二年级年级组规定：学生每天线上学习时间3小时及以上为合格，3小时以下为不合格.现从1班，2班，3班随机抽取一些学生进行网上学习时间调查，3个班的人数分别为40人，32人，32人，再采用分层抽样的方法从这104人中抽取13人. （1）应从这3个班中分别抽取多少人？（2）若抽出的13人中有10人学习时间合格，3人学习时间不合格，现从这13人中随机抽取3人.（i ）设X 表示事件“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，求事件X 发生的概率.（ii ）设Y 表示抽取的3人中学习时间合格的人数，求随机变量Y 的分布列和数学期望. 22．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．（1）已知[30，40），[40，50），[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X （单位：元）的分布列与数学期望．23．某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的. （1）若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是14、23、25，求这一时段A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率； （2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是13，求这一时段办公室电脑数无法满足需求的概率.24．某高三年级学生为了庆祝教师节,同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若A 项技术指标达标的概率为3,4B 项技术指标达标的概率为89，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品.（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列. 25．从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示：（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+．用所求回归方程预测2020年（5t =）方便面在该城市的年销量；（2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品．现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．参考公式：回归方程：y bt a =+，其中121()()()niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：41()()135.5iii t t y y =--=-∑．26．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： 3223441112()()()555125P C =+=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．C解析：C 【分析】根据题意可知随机变量η的可能取值有1、2、3，计算出随机变量η在不同取值下的概率，列出分布列，进而可求得η的数学期望. 【详解】由题意可知，随机变量η的可能取值有1、2、3，()1346115C P C η===，()223346325C C P C η===，()1346135C P C η===.所以，随机变量η的分布列如下表所示：因此，随机变量η的数学期望为1232555E η=⨯+⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，一般要列出随机变量的分布列，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求. 【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为10.0000270.99997399.9973%-==．故选：B ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由随机变量X 符合正态分布()0,9N ，得0μ=，3σ=，则所求(36)P X <<，即为(2)P X μσμσ+<<+，根据3σ原则，以及正态曲线的对称性即可求值.【详解】因为随机变量X 符合正态分布()0,9N ，则0μ=，3σ=， 所以(36)(2)P X P X μσμσ<<=+<<+， 由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+=，以及正态曲线的对称性，可知()00.3413P X μσ<<+≈，(02)0.4772P X μσ<<+=，则(36)0.47720.34130.1359P X <<=-=. 故选：B.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，两个变量μ和σ的应用，3σ原则，属于中档题.5．D解析：D 【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差的公式，即可求解． 【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.9．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥，()50.89P ξ≤=， ()510.890.11P ξ∴≥=-=， ()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.10．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．11．B解析：B 【详解】∵a ，b ，c 为等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，1113E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=，解得16a =，13b =，12c =，∴22215()()39DX E X EX a c ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，故选B ． 12．B解析：B 【解析】 由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 二、填空题13．5【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知结合数学期望公式和abc 成等差数列列出式子求出各个概率的值以及方差并代入即可【详解】abc 成等差数列又且联立以上三式解得:则故答案为:5【点睛】本题考查随解析：5 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知, 1a b c ++=,结合数学期望公式和a ，b ，c 成等差数列列出式子,求出各个概率的值以及方差,并代入(31)D X +即可. 【详解】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+, 又1a b c ++=,且1()3E X a c =-+=, 联立以上三式解得:111,,632a b c ===,()22211111151013633329D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()25(31)3959D X D X +==⨯=,故答案为: 5. 【点睛】本题考查随机变量的分布列以及随机变量的方差的求法,解题时需认真审题,注意使用离散型随机变量的分布列的性质和数学期望的性质,结合等差数列合理运用.14．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计算得到答案. 【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．46【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分这两种情况是互斥的根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案【详解】解:设同学甲答对第i 个题为事件则且相互独立同学甲得分不低于300分对应于解析：46 【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案． 【详解】解:设“同学甲答对第i 个题”为事件(1,2,3)i A i =，则()10.8P A =，()20.6P A =，()30.5P A =，且1A ，2A ，3A ，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件()()()123123123A A A A A A A A A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂发生，故所求概率为()()()123123123P P A A A A A A A A A ⎡⎤=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⎦⎣()()()123123123P A A A P A A A P A A A =⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂ ()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为0.46【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解16．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4 【解析】 【分析】由题意求得随机变量X 的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望． 【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X 的取值为0,1,2X =， 则P(X 0)0.20.40.08==⨯=，P(X 1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=， P(X 2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】∵P(X ＝0)＝＝(1－p)2×∴p ＝随机变量X 的可能值为0123因此P(X ＝0)＝P(X ＝1)＝×()2＋2××()2＝P(X ＝2)＝×()2×2＋×()2＝P(X ＝3)＝×()2＝因此E 解析：【解析】 ∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×(12)2＋2×13×(12)2＝13，P(X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P(X ＝3)＝23×(12)2＝16，因此E(X)＝1×13＋2×512＋3×16＝53． 18．【分析】投篮3次至多投中1次包括只投中一次和全部没有投中由投篮3次至多投中1次的概率是求得结果【详解】：投篮3次至多投中1次包括只投中一次和全部没有投中故投篮3次至多投中1次的概率是故答案为【点睛】解析：727. 【分析】“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，由“投篮3次至多投中1次”的概率是223333121()()333C C ⋅⋅+⋅ 求得结果． 【详解】：“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是2233331217()()33327C C ⋅⋅+⋅=， 故答案为727． 【点睛】本题考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率，等可能事件的概率．19．6【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出和再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果【详解】∵随机变量服从二项分布所以则故答案为：9；6【点睛】关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性解析：6 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出()E ξ和()D ξ，再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果. 【详解】∵ 随机变量ξ服从二项分布1(6,)2B ， 所以1()632E ξ=⨯=，1132)622(D ξ⨯⨯==， 则(23)2()32339E E ξξ+=+=⨯+=，23(23)2()462D D ξξ+=⋅=⨯=.. 故答案为：9；6. 【点睛】关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性质求解是解题关键.20．①③【分析】求出判断①利用存在量词命题否定形式判断②二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④【详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；②若命题：则命题的否定为：；所以②不正确；③设随机变解析：①③ 【分析】 求出5()012f π-=判断①，利用存在量词命题否定形式判断②，二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④． 【详解】 解：①5()4cos()0122f ππ-=-=， ∴函数()4cos(2)3f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π-，故①正确；②若命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”；所以②不正确；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，()1D ξ=，可得2np =，(1)1np p -=，可得12p =，4n =则43111(1)12412p C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭；所以③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()4y x π=+，不是sin(2)4y x π=+的图象，所以④不正确；故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，命题的否定，期望与方差的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）3个班中分别抽取5人，4人，4人；（2）（i ）165286，（ii ）分布列见解析，数学期望为330143【分析】（1）利用分层抽样的定义按比例进行抽取即可；（2）（i ）“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，包括“1人学习时间合格，2人学习时间不合格”“2人学习时间合格，1人学习时间不合格”，且这两个事件间是互斥的，从而可求出所求概率（ii ）Y 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可得随机变量Y 的分布列和数学期望 【详解】解：（1）由题意可知，3个班抽取的人数分别为：403232135,134,134104104104⨯=⨯=⨯=， 所以应从这3个班中分别抽取5人，4人，4人；（2）（i ）“抽取的3人中既有学习时间合格的学生，又有学习时间不合格的学生”，包括“1人学习时间合格，2人学习时间不合格”“2人学习时间合格，1人学习时间不合格”，且这两个事件间是互斥的，所以1221103103331313165()286C C C C P X C C ⋅⋅=+= （ii ）由题意可知，Y 的可能取值为0，1，2，3，则333131(0)286C P Y C ===,1210331330(1)286C C P Y C ===, 21103313135(2)286C C P Y C ===,310313120(3)286C P Y C ===,所以随机变量Y 的分布列为所以()0123286286286286143E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列，考查计算能力，属于中档题22．（1）0.035,0.025；（2）见解析 【分析】（1）根据题意[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；（2）利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和X 的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，所以(0.0150.0150.010)10120.015a b b a ++++⨯=⎧⎨=+⎩，解得0.035,0.025a b ==.（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150,200,250,300，32166433101011(150),(200)62C C C P X P X C C ======，12364433101031(250),(300)1030C C C P X P X C C ======，∴X 的分布列为()150200250300210621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 23．（1）13；（2）11243【分析】由题意可知A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到概率；（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，每一种情况满足独立重复实验，代入公式得到结果. 【详解】设甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A ，B ，C ， 因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，∴ 甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是()()()P P ABC P ABC P ABC =++12311232214354354353=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时使用电脑的事件为M ，有5位教师同时需要使用电脑的实际为N ，()445121033243P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5113243P N ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∴所求的概率是()()10111243243243P P M P N =+=+=， 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件，独立重复实验，重点考查读题能力，运用概率知识解决实际问题的能力，关键是判断概率类型. 24．（1）3536；（2）见解析 【分析】(1)结合对立事件的概率关系可求出至少一项技术指标达标的概率； (2)由题意知，2~4,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()0P ξ=，(1)P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，()4P ξ=的值，从而可求出分布列.【详解】(1)设:M 一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则38()1-11493635P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)依题意知2~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则411(0)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1314218(1)3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222421823327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334213233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为：本题考查了独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列求解.本题关键是求出ξ每种可能取值下的概率.求离散型随机变量的分布列时，第一步写出变量的可能取值，第二步求出每种取值下的概率，第三步写出分布列.25．（1）27.1491.5y t =-+，356万包；（2）分布列详见解析，9()10E ξ=． 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）ξ的可能值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】 （1） 2.5t =，462444404385423.754y +++==，()()()()4222221()1 2.52 2.53 2.54 2.55i i t t =-=-+-+-+-=∑，135.527.15b -==-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+. 当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=.（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以37310C 7(0)C 24P ξ===；1237310C C 21(1)C 40P ξ===； 2137310C C 7(2)C 40P ξ===； 33310C 1(3)C 120P ξ===，故分布列为：()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．（1）详见解析；（2）13． 【分析】（1）优先表示随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数” 可以分解为，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案. 【详解】（1）题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X 服从参数为10N =，3M =，3n = 的超几何分布，因此 ()()337310C C 0,1,2,3C k k P X k k -===．所以 ()0337310C C 3570C 12024P X ====， ()1237310C C 63211C 12040P X ====，()2137310C C 2172C 12040P X ====，()3037310C C 13C 120P X ===．故 X 的分布列为 ：”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ， 由于事件1A ，2A ，3A彼此互斥，且123A A A A =++， 而()12341310C C 3C 20P A ==，()()27240P A P X ===，()()313120P A P X ===， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=． 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13． 【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题.。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（ ）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481253．一批产品（数量很大）中，次品率为13，现连续地抽取4次，其次品数记为X ，则()E X 等于（ ）A ．13B ．23C ．89D ．434．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4B ．6C ．8D ．115．设随机变量X 服从正态分布()0,9N ，则()36P X <<=（ ）（附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(2)0.9544P X μσμσ+<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.31746．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）A ．3.56B C ．3.2D 7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．258．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．389．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于( ) A ．6227B ．73C ．6427D ．652710．在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．82111．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小12．将3颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，事件B 为“至少出现一个1点”，则条件概率(A |B)P 和(|)P B A 分别为（ ） A ．160,291B ．560,1891C ．601,912D ．911,2162二、填空题13．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________．14．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________.15．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.997417．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______．18．（理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________元．19．设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=300-30012C?33k kk⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0,1,2,…,300),则E(ξ)=____.20．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，13，n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m＞n．则m n+=_____三、解答题21．已知集合{}1,2,3,4A =和集合{}1,2,3,4,5B =，从集合A 中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S 表示；从集合B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T 表示，记X T S =-.（1）当5T =时，有多少种情况？（2）求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X .22．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数K 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 23．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立.（1）求某应聘人员被录用的概率；（2）若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列.24．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()38.45,50.4内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=．25．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率； （2）求X 的分布列及数学期望.26．某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x （1）求55x =的概率； （2）求x 的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出()E X ，利用方差的定义建立()()22=13D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.【详解】由题意：()1111333E X a b =⨯+⨯+⨯，∵2a b +=，∴()1E X =.∴()()()()()222221111=111123333D X a b a b -⨯+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，∴()()()()2222122=2=21=1333D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()22=13D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B2．A解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.3．D解析：D 【分析】根据独立重复试验的条件，转化成4次的独立重复试验，利用二项分布期望的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，一批产品数量很大，其中次品率为13，现连续地抽取4次， 可以看出是4次的一个独立重复试验，可得随机变量X 服从二项分布，即1(4,)3X B ，所以()14433E X =⨯=. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了独立重复试验，以及二项分布的期望的计算，其中解答熟记独立重复试验的条件，掌握独立重复试验中随机变量服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4．C解析：C 【分析】由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=， 所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.5．B解析：B 【分析】由随机变量X 符合正态分布()0,9N ，得0μ=，3σ=，则所求(36)P X <<，即为(2)P X μσμσ+<<+，根据3σ原则，以及正态曲线的对称性即可求值.【详解】因为随机变量X 符合正态分布()0,9N ，则0μ=，3σ=， 所以(36)(2)P X P X μσμσ<<=+<<+， 由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+=，以及正态曲线的对称性，可知()00.3413P X μσ<<+≈，(02)0.4772P X μσ<<+=，则(36)0.47720.34130.1359P X <<=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，两个变量μ和σ的应用，3σ原则，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，()()()()2221 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，ξ∴=故选：D . 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.7．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．8．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】本道题分别计算X=1,2,3对应的概率，然后计算数学期望，即可． 【详解】()()()21322213432423441141,2327327C C C A C C C P X P X +======, ()234344339C A P X ===列表：所以数学期望1232727927EX =⋅+⋅+⋅=，故选D ． 【点睛】本道题考查了数学期望的计算方法，较容易．10．A解析：A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可． 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时444101210C P C ==当1个正品3个次品时136441024421035C C P C === 所以正品数比次品数少的概率为1452103542+= 所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题．11．D解析：D 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑12．C解析：C 【解析】根据条件概率的含义，()|P A B 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点” 的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3 点”的情况数目为66655591⨯⨯-⨯⨯=，“三个点数都不相同”，则只有一个3点，共135460C ⨯⨯=种，()60|91P A B ∴=；()|P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个3点”的概率，()601|=1202P B A ∴=，故选C. 二、填空题13．【分析】根据的票数为分类讨论再根据互斥事件的概率加法公式即可求出【详解】若仅A 一人是最高得票者则的票数为若的票数为则；若的票数为则三人中有两人投给剩下的一人与不能投同一个人；所以仅A 一人是最高得票者解析：527【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出． 【详解】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2． 若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A 不能投同一个人，213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为：527． 【点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．14．【分析】记甲乙都正常工作为事件记丙丁都正常工作为事件计算出利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为【详解】记甲乙都正常工作为事件记丙丁都正常工作为事件则当且仅当事件或事件发生时系统正常工作当且仅当 解析：242r r -【分析】记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，计算出()P A 、()P B ，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为()()1P A P B -. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，则()()2P A P B r ==，当且仅当事件A 或事件B 发生时，系统正常工作， 当且仅当事件A 和事件B 都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为()()()22241112P P A P B r r r =-=--=-.故答案为：242r r -. 【点睛】关键点点睛：本题考查事件概率的计算，解本题的关键就是确定事件“系统正常运行”的对立事件为“两条线路都不工作”，进而可利用概率的乘法公式以及对立事件的概率公式来进行求解.15．【分析】首先对事件进行分类分成女生0分男生6分或女生2分男生4分或女生4分男生2分女生的概率可以按照超几何概率求解男生按照独立重复求解概率【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A 则可分为 解析：43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=. 故答案为：43120【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.16．②④【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率逐项分析即可选出正确答案【详解】解：①若8：00出门江先生乘坐公交从家到车站需要5分钟下车后步行再到单位需要12分钟乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间解析：②④ 【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案． 【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故()()12145452P Z P Z -<<≥=10.99740.00132-==， ∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足P （Z≤41）()()1254125410.97722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足P （Z≤48）()()1404840480.99722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； ③若8：06出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()()()129373729370.84132P Z P Z P Z -≤=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()1440.52P Z ≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； ④若8：12出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()31P Z ≤时，江先生乘坐公交不会迟到， 而()()()1293731290.18572P Z P Z P Z -≤>≤==＜＜；若8：12出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()()13850380.001352P Z P Z -<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，由0.18570.00135>，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．17．【分析】前三局乙获胜一场计算得到概率【详解】根据题意知：前三局乙获胜一场故故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算意在考查学生的理解应用能力 解析：827【分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率. 【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故3131283327p C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ 故答案为：827【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.18．【分析】根据概率和为1求再根据期望公式求结果【详解】因为所以期望是故答案为：【点睛】本题考查数学期望公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：5000【分析】根据概率和为1求a ，再根据期望公式求结果. 【详解】因为12417a a a a ++=∴=所以期望是700056002420041000160024005000a a a ⨯+⨯+⨯=++= 故答案为：5000 【点睛】本题考查数学期望公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【解析】分析：由二项分布的期望公式计算详解：由题意得ξ~B 所以E(ξ)=300=100点睛：本题考查二项分布的期望计算公式若则解析：【解析】分析：由二项分布的期望公式计算． 详解：由题意,得ξ~B 1300,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以E (ξ)=30013⨯=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若(,)B n p ξ，则E np ξ=，(1)D np p ξ=-．20．【分析】三个社团都能进入的概率为得到至少进入一个社团的概率为即一个社团都没能进入的概率为得到即联立得解【详解】由题知三个社团都能进入的概率为即又因为至少进入一个社团的概率为即一个社团都没能进入的概率解析：34【分析】三个社团都能进入的概率为124得到18m n ⨯=，至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为14得到，即318m n m n --+⨯=，联立得解 【详解】由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=，又因为至少进入一个社团的概率为34， 即一个社团都没能进入的概率为31144-=，即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=. 故答案为：34. 【点睛】熟练运用独立事件概率乘法公式是解题关键.三、解答题21．（1）6；（2）分布列见解析，()134E X =. 【分析】（1）当5T =时，即从1,2,3,4中再选2个即可；（2）计算X 的取值对应的S 和T 的取值，利用组合数公式计算概率，得出分布列和数学期望； 【详解】（1）当5T =时，即5被选中，再从其余4个中选两个即可，即246C =， ∴共有6种情况.（2）S 的可能取值为1，2，T 的可能取值为3，4，5； 则X 的可能取值为1，2，3，4，1245111(1)40P X C C ==⋅=； 223333334545113(2)20C C P X C C C C ==⋅+⋅=；2223343332454513(3)8C C C P X C C C C ==⋅+⋅=； 223433459(4)20C C P X C C ==⋅=；X 的分布列为：()123440208204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）理解新定义中,S T 的意义，得到其对应的事件结果； （2）利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式得到其对应的概率. 22．（1）分布列见解析；（2）①825元；②选择方案二. 【分析】（1）利用二项分布的知识计算出分布列.（2）①先求得一个接种周期的接种费用的期望值，由此求得三个接种周期的接种费用的期望值()E X .②首先求得“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”的概率，根据相互独立事件概率计算公式，结合随机变量期望值的计算，计算出花费的期望值()E Y .由于()()E X E Y >，所以选择方案二. 【详解】（1）由题意可知，随机变量K 服从二项分布13,2KB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()331122kkk P K k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（0,1,2,3k =）则X 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300， 因为()12004P ξ==，()33004P ξ==， 所以()1320030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()()33275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，()311882P A =+=. 所以()()13002P Y P A ===， ()()()160014P Y P A P A ==-⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()19001114P Y P A P A ==-⨯-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()111300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯= 因为()()E X E Y >. 所以选择方案二. 【点睛】本小题主要考查二项分布，考查相互独立事件概率计算，考查数学期望的计算，属于中档题. 23．(1)25;(2)分布列见解析. 【分析】(1)通过分析知所求的应聘人员被录用的情况包括两位专家都同意通过的情况和只有一位专家同意通过并通过复审的情况，所以分别求概率，利用独立事件的概率求解；(2)先求出每个人被录用的概率，再利用二项分布求出每种情况的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式计算数学期望. 【详解】设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C ．(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D A BC =+， ∵()111224P A =⨯=，()11121222P B ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()310P C =，∴()()()()()25P D P A BC P A P B P C =+=+=. (2)根据题意，0,1,2,3,4X =，i A 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”．∵()04004238155625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31142321655625P A C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()222242321655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3334239655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭， ()4444231655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为本题主要考查独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.24．（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列详见解析，数学期望为2. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可； （2）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值． 【详解】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：(]0,10的频率为：0.010100.1⨯=；(]10,20的频率为：0.020100.2⨯=； (]20,30的频率为：0.030100.3⨯=； (]30,40的频率为：0.025100.25⨯=； (]40,50的频率为：0.015100.15⨯=，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈()38.4550.4P Z <<()()26.5211.9526.5211.9526.511.9526.511.95P Z P Z =-⨯<<+⨯--<<+()0.95440.682620.1359-÷==∴Z 落在()38.45,50.4内的概率是0.1359．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(]10,30内的概率为0.20.30.5+=， 所以1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为：∴()422E X =⨯=． 【点睛】本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题． 25．（1）49；（2）分布列见解析，1 【分析】（1）甲获胜的情况为3:1,3:2,2:1分别计算概率即可得解；（2）X 的所有可能取值是0，1，2，3，分别计算概率，写出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）甲以3:1获胜的概率221211329P ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲以3:2获胜的概率22122212C 329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

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