一元二次函数PPT
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二次函数与一元二次方程二次函数优秀ppt课件
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－
2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交
点坐标是＿(-2＿，＿0＿) ＿(5＿/3，＿＿0).
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
有 (2.5,0)， (-1,0)
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
从以上可以看出,
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值.
考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交
点坐标是＿(-2＿，＿0＿) ＿(5＿/3，＿＿0).
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
有 (2.5,0)， (-1,0)
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
从以上可以看出,
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值.
考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
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的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
一元二次函数ppt课件
a 0, b 0, c 0 ，
二次函数图象开口向上、对称轴 x
而选项中二次函数图象对称轴 x
错，不符合题意；
b
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
当a＜0时，抛物线开口向下；
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
在区间上[0，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；
函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0
02
探索新知
思考
y＝ax2（a≠0）的图象与y＝－ax2（a≠0）的图象有什么内在关系？
1.二次项系数a决定了函数图象的开口方向及开口大小.
2.直线−
是一元二次函数图象的对称轴，所以a和b共同决定了抛物线对称轴的位置.
2
3.c的值决定了抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交点的位置.
当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有且只有一个交点(0,c)，故
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c = ( + ) +
(a，b，c是常数，且a≠0)
2
4
函数
变化趋势
b
在区间 , 上，y随x的增大而减小，
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大，
2a
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
y＝－2x2，抛物线开口向下；
二次函数图象开口向上、对称轴 x
而选项中二次函数图象对称轴 x
错，不符合题意；
b
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
当a＜0时，抛物线开口向下；
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
在区间上[0，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；
函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0
02
探索新知
思考
y＝ax2（a≠0）的图象与y＝－ax2（a≠0）的图象有什么内在关系？
1.二次项系数a决定了函数图象的开口方向及开口大小.
2.直线−
是一元二次函数图象的对称轴，所以a和b共同决定了抛物线对称轴的位置.
2
3.c的值决定了抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交点的位置.
当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有且只有一个交点(0,c)，故
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c = ( + ) +
(a，b，c是常数，且a≠0)
2
4
函数
变化趋势
b
在区间 , 上，y随x的增大而减小，
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大
2a
b
在区间 , 上，y随x的增大而增大，
2a
在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；
在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．
y＝－2x2，抛物线开口向下；
《利用函数的图象解一元二次方程》PPT课件
煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。
研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。
本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。
煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。
煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。
碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。
同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。
除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。
氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。
此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。
因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。
煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。
氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。
然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。
硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。
硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。
因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。
目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。
除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。
煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。
煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。
孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
问题4：.教材的证明方法叫作“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？
[答案] 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的充分条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
问题5：.你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？
问题1：.如何用 ， 表示 ， 的长度？
[答案] .易证 ，则 ，即 .
问题2：.比较 ， 的长度，能得出什么结论？
[答案] 的长度大于或等于 的长度，通过两者的关系可以得出 .
问题3：.阅读教材用分析法证明的过程，请问每一步推理的依据是什么？
[答案] 教材的证明过程的依据是② ①，③ ②，④ ③，⑤ ④.
C
[解析] 可将图中直角三角形的两直角边分别记作 ， ，斜边记为 ，则外围的正方形的面积为 ，也就是 ，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为 ，故对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时，等号成立.故选C.
3.已知 ， ，则 的取值范围是______________.
[解析] ， ， ， ， ， .
方法总结 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明.
已知 ，求证： ．
[解析] （法一）利用 ． ， ,当且仅当 时，等号成立．（法二） ， .
探究3 不等式的性质
小明说：“ 是 成立的充要条件.”
3.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量 满足条件_________．
[解析] “限重40吨”是不超过40吨的意思．
4.设 ， ，则 与 的大小关系是_________．
[答案] 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的充分条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
问题5：.你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？
问题1：.如何用 ， 表示 ， 的长度？
[答案] .易证 ，则 ，即 .
问题2：.比较 ， 的长度，能得出什么结论？
[答案] 的长度大于或等于 的长度，通过两者的关系可以得出 .
问题3：.阅读教材用分析法证明的过程，请问每一步推理的依据是什么？
[答案] 教材的证明过程的依据是② ①，③ ②，④ ③，⑤ ④.
C
[解析] 可将图中直角三角形的两直角边分别记作 ， ，斜边记为 ，则外围的正方形的面积为 ，也就是 ，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为 ，故对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时，等号成立.故选C.
3.已知 ， ，则 的取值范围是______________.
[解析] ， ， ， ， ， .
方法总结 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明.
已知 ，求证： ．
[解析] （法一）利用 ． ， ,当且仅当 时，等号成立．（法二） ， .
探究3 不等式的性质
小明说：“ 是 成立的充要条件.”
3.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量 满足条件_________．
[解析] “限重40吨”是不超过40吨的意思．
4.设 ， ，则 与 的大小关系是_________．
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习课-(新教材人教版必修第一册)(21张PPT)
＜m}，则 m＝________.
根，
m>1， 且m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
⇒ma＝＝22.， ]
不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都 成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零， 求x的取值范围．
c＜a 对于C： b2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判 断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对， 不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩 下的就是正确答案了.
数学（人教版） 必修第一册
第二章 一元二次函数、方 程和不等式
章末复习课
不等式的性质
【例 1】 如果 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 ac＜0，则以下列选项中不
一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A： ba＞＞c0⇒ab＞ac，A正确． 对于B： bc＜＜0a⇒b－a＜0⇒c·(b－a)＞0，B正确．
5．若不等式 ax2－2x＋2>0 对于满足 1<x<4 的一切实数 x 恒成立，求 实数 a 的取值范围．
[解] ∵1<x<4， ∴不等式 ax2－2x＋2>0 可化为 a>2xx－2 2. 令 y＝2xx－2 2，且 1<x<4， 则 y＝2xx－2 2＝－21x－122＋12≤12，
一元二次函数 ppt课件
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的 形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物 线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
y轴对称,y轴就
的值最小,最小值是0.
是它的对称轴.
8
6
4
对称轴与抛物 线的交点叫做
当x<0 (在对称轴的
2
抛物线的顶点.
左侧)时,y随着x的增大而
1
减小. -4
-3 -2
-1
0
1
2 当x3>0 (在4对称x轴的
-2
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
7 2018
一元二次函数
1.在某一问题中，保持不变 的量叫常量，可以取不同数值 的 量，叫做变量.
2.函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于 x的每—个值，y都有__唯__一__确_定__的__值___与之对应，我们就把 y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y 的值是b，就把b叫做x=a时的函数值.
新教材北师大版必修第一册 4.1一元二次函数 课件(46张)
2.参数“a,h,k”对y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的影响 (1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小; (2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置; (3)k决定了二次函数图象的顶点的高度.
【跟踪训练】
1.已知二次函数 y=x2-8x +c的图象的顶点在 x轴上,则c=
类型三 一元二次函数的最大值和最小值(数学运算)
角度1 求一元二次函数的最大值或最小值
【典例】求函数y= 1 x2-2x+4的最小值.
2
【思路导引】先配方变形,然后确定函数图象的开口方向和对称轴,最后求最小
值.
【解析】配方:y=
1 2
x2-2x+4=
1 (x 2)2 +2,此函数的图象是一条抛物线,开口
【拓展训练】 已知一元二次函数的图象经过点(1,0),(-5,0),且顶点纵坐标为 9 ,求这个函
2
数的解析式.
类型二 一元二次函数的函数值的变化趋势(逻辑推理) 【典例】试述一元二次函数y=3x2-6x-1函数值的变化趋势.
【解题策略】
一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 函数值的变化趋势
2
y=x2-mx+5的函数值y随x的增大而增大,所以 m ≤2,解得m≤4.
2
2.一元二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于(0,7)点. (1)求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标; (2)试述函数值的变化趋势.
【补偿训练】 试述一元二次函数y=4x2+16x+5函数值的变化趋势. 【解析】配方,得y=4x2+16x+5=4(x+2)2-11, 此函数的图象开口向上,对称轴是直线x=-2, 所以在区间 (－,－上2,]y随x的增大而减小; 在区间 [－2,上),y随x的增大而增大.
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y=-2x2+5x+3 10 0 -10 -5 -10 0 -20 y -30 -40 -50 -60 -70 -80 x 數列1 5 10
一元二次函數圖像和系數的關 係
y=-2x2+5x+2
10 0 -10 -5 -10 0 -20 y -30 -40 -50 -60 -70 -80 x 數列1 y 5 10 -10
0
5
10
y
-60 -80 -100 -120 -140 x
一元二次函數圖像和系數的關 係
一元二次函數基本是一 條抛物線，但隨著系數 的變化而改變開口端向 上、下或整條曲線向 左、 、右、上、下 移 動 右圖顯示的是函數 y = 2x2-5x+3 的圖像，它 和前述的y =-2x2-5x+3比 較，只有一符號的差 別， ，但曲線向上開口， 可見開口端是曲系數a 的符號决定的，a 是正 數、向上，a 是負數、
y=-2x2+5x+1
10 0 -5 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 x 數列1 y 5 10 -10
y=-2x2+5x-2
10 0 -5 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 x 5 10
數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
36-x x
一元二次函數的例子
周長為72 cm 的長方形，當面 積最大時，各邊長應為若干? 解答 : 此長方形的面積 y 和 x 的關係 既然已找到: Y =x(36-x) =36x – x2= -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y ? 這有賴我們對一元二次函數 的認識 解答可以在隨後有關一元二次 函數的解說中獲得
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 y 50 40 30 20 10 0 -10 -5 x 0 5 10 數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y = 2x2+5x+3 的圖像 它和前述的y =2x25x+3 比較，也只有 一符號的差別，但 這條曲條的拐點， 卻落在y-軸的左邊。
y=2x +5x+3
160 140 120 100 y 80 60 40 20 0 -10 -5 0x 5 10 數列1
2
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y =- 2x2-5x+3 的圖像 它和前述的y=2x2+5x+3 比較，有二個符號不一 樣。 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見 拐點是由系數 b/a決定 的: b/a 是 +，拐點在y-軸左 邊 b/a 是-，拐點在y-軸右 邊
36-x x
一元二次函數的專有名辭
一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產 生一個 y 的數值 a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系 數
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
周長為72 cm 的長方形，當面 積最大時，各邊長應為若干? 解答 : 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成: Y =x(36-x) =36x – x2 這是典型的一元二次函數例子
5
10
-10
-5 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 x
5
一元二次函數圖像和系數關係 的解說
Y=ax2+bx+c =a(x2+b/a x+c/a) =a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a] =a[(x+b/2a)2-(b/2a)2+c/a)] =a(x+b/2a)2+a[-(b/2a)2+c/a] =a(x+b/2a)2+a[-b2/4a2 +c/a] =a(x+b/2a)2 + a[-b2+4ac/4a2] =a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
y=-2x2+5x-3
0 -10 -5 -10 0 -20 -30 y -40 -50 -60 -70 -80 -90 x 數列1
y
y=-2x2+5x-4
0
y=-2x2+5x-7
0 10 -10 -5 -10 0 -20 -30 數列1 y -40 -50 -60 -70 -80 -90 x 數列1 5 10
y=-2x2-5x+3
20 0 -10 -5 -20 0 -40 y -60 -80 -100 -120 -140 x 數列1 5 10
一元二次函數圖像和系數的關 係
曲線的左右移動决定於 a、b 的符號 曲線的上下移動决定於 a、b、c 的符號及數值 的大小 右圖顯示的是函數 y =- 2x2+5x+c 的圖像， 隨著 c 值 由 3 遞減至 – 7，曲線也在同一位置 由上向下滑動。
一元二次函數圖像和系數關係 的表解
y=ax*x+bx+c
a>0 拋物線開口向上 b*b-4ac=D a<0 拋物線開口向下 b*b-4ac=D
D>0
D=0
D<0
D>0
D=0
D<0
拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點 拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
一元二次函數例子的解答(I)
36-x
x
400 300
y=-x2+36x
Y = -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值 的Y? 右邊的圖表給了解答，它說 明在 x=18 cm 的時候，Y有最 大值，也是拐點的坐標 就是說：給予一定邊長矩形 的條件下，正方形的面積最 大。
一元二次函數圖像的普遍式樣
右圖顯示的是函數 y = -2x2-5x+3 的圖像 所有的一元二次函數都 有相似的圖像 這樣形式的圖像稱為抛 物線 每條抛物線都有一最高 或最低的點稱「拐點」 此函數的系數是-2，曲 線向下開口
y=-2x2-5x+3
20 0
數列1
-10
-5
-20 -40
一元二次函數圖像和系數的關 係
y=-2x2+5x+2
10 0 -10 -5 -10 0 -20 y -30 -40 -50 -60 -70 -80 x 數列1 y 5 10 -10
0
5
10
y
-60 -80 -100 -120 -140 x
一元二次函數圖像和系數的關 係
一元二次函數基本是一 條抛物線，但隨著系數 的變化而改變開口端向 上、下或整條曲線向 左、 、右、上、下 移 動 右圖顯示的是函數 y = 2x2-5x+3 的圖像，它 和前述的y =-2x2-5x+3比 較，只有一符號的差 別， ，但曲線向上開口， 可見開口端是曲系數a 的符號决定的，a 是正 數、向上，a 是負數、
y=-2x2+5x+1
10 0 -5 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 x 數列1 y 5 10 -10
y=-2x2+5x-2
10 0 -5 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 x 5 10
數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
36-x x
一元二次函數的例子
周長為72 cm 的長方形，當面 積最大時，各邊長應為若干? 解答 : 此長方形的面積 y 和 x 的關係 既然已找到: Y =x(36-x) =36x – x2= -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y ? 這有賴我們對一元二次函數 的認識 解答可以在隨後有關一元二次 函數的解說中獲得
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 y 50 40 30 20 10 0 -10 -5 x 0 5 10 數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y = 2x2+5x+3 的圖像 它和前述的y =2x25x+3 比較，也只有 一符號的差別，但 這條曲條的拐點， 卻落在y-軸的左邊。
y=2x +5x+3
160 140 120 100 y 80 60 40 20 0 -10 -5 0x 5 10 數列1
2
一元二次函數圖像和系數的關 係
右圖顯示的是函數 y =- 2x2-5x+3 的圖像 它和前述的y=2x2+5x+3 比較，有二個符號不一 樣。 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見 拐點是由系數 b/a決定 的: b/a 是 +，拐點在y-軸左 邊 b/a 是-，拐點在y-軸右 邊
36-x x
一元二次函數的專有名辭
一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產 生一個 y 的數值 a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系 數
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
周長為72 cm 的長方形，當面 積最大時，各邊長應為若干? 解答 : 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成: Y =x(36-x) =36x – x2 這是典型的一元二次函數例子
5
10
-10
-5 -10 0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 x
5
一元二次函數圖像和系數關係 的解說
Y=ax2+bx+c =a(x2+b/a x+c/a) =a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a] =a[(x+b/2a)2-(b/2a)2+c/a)] =a(x+b/2a)2+a[-(b/2a)2+c/a] =a(x+b/2a)2+a[-b2/4a2 +c/a] =a(x+b/2a)2 + a[-b2+4ac/4a2] =a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
y=-2x2+5x-3
0 -10 -5 -10 0 -20 -30 y -40 -50 -60 -70 -80 -90 x 數列1
y
y=-2x2+5x-4
0
y=-2x2+5x-7
0 10 -10 -5 -10 0 -20 -30 數列1 y -40 -50 -60 -70 -80 -90 x 數列1 5 10
y=-2x2-5x+3
20 0 -10 -5 -20 0 -40 y -60 -80 -100 -120 -140 x 數列1 5 10
一元二次函數圖像和系數的關 係
曲線的左右移動决定於 a、b 的符號 曲線的上下移動决定於 a、b、c 的符號及數值 的大小 右圖顯示的是函數 y =- 2x2+5x+c 的圖像， 隨著 c 值 由 3 遞減至 – 7，曲線也在同一位置 由上向下滑動。
一元二次函數圖像和系數關係 的表解
y=ax*x+bx+c
a>0 拋物線開口向上 b*b-4ac=D a<0 拋物線開口向下 b*b-4ac=D
D>0
D=0
D<0
D>0
D=0
D<0
拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點 拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
一元二次函數例子的解答(I)
36-x
x
400 300
y=-x2+36x
Y = -x2+36x 怎樣的 x 才可以找到最大值 的Y? 右邊的圖表給了解答，它說 明在 x=18 cm 的時候，Y有最 大值，也是拐點的坐標 就是說：給予一定邊長矩形 的條件下，正方形的面積最 大。
一元二次函數圖像的普遍式樣
右圖顯示的是函數 y = -2x2-5x+3 的圖像 所有的一元二次函數都 有相似的圖像 這樣形式的圖像稱為抛 物線 每條抛物線都有一最高 或最低的點稱「拐點」 此函數的系數是-2，曲 線向下開口
y=-2x2-5x+3
20 0
數列1
-10
-5
-20 -40