2011年江西省高考数学试卷(理科)及答案

2011年江西省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）若z=，则复数=（）

A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i

2．（5分）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}

3．（5分）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）

A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）

4．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）

A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1 B．9 C．10 D．55

6．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）

A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1

7．（5分）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）

A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

8．（5分）已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的

交点，则实数m的取值范围是（）

A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

10．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆

内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）

A．B．C．D．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）已知==2，?=﹣2，则与的夹角为．12．（5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．13．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．

14．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切

线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．

15．（5分）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，

以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．

（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin

（1）求sinC的值

（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．

18．（12分）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．

（1）若a=1，求数列{a n}的通项公式；

（2）若数列{a n}唯一，求a的值．

19．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax

（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．

20．（13分）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一

点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．

21．（14分）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．

2011年江西省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2011?江西）若z=，则复数=（）

A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i

【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简，求出复数z的共轭复数．【解答】解：==2﹣i

所以=2+i

故选D

2．（5分）（2011?江西）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）

A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}

【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．

【解答】解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，

={x|0＜x≤2}

故A∩B={x|0＜x≤1}，

故选B

3．（5分）（2011?江西）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）

【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．

【解答】解：要使函数的解析式有意义

自变量x须满足：

即0＜2x+1＜1

解得

故选A

4．（5分）（2011?江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）

【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．

【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，

令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，

结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．

故选：C．

5．（5分）（2011?江西）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=（）

A．1 B．9 C．10 D．55

【分析】根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．

【解答】解：根据题意，在s n+s m=s n+m中，

令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，

根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，

故选A．

6．（5分）（2011?江西）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），

（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）

A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1

【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．

【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），

（11.8，3），（12.5，4），（13，5），

=11.72

∴这组数据的相关系数是r=，

变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），

（11.8，3），（12.5，2），（13，1）

，

∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，

∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，

故选C．

7．（5分）（2011?江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）

A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

【分析】根据所给的以 5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．

【解答】解：∵55=3125，56=15625，57=78125，

58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…

可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，

∵2011÷4=502…3，

∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，

故选D．

8．（5分）（2011?江西）已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】由已知中α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，结合面面平行的性质，我们分别判断“P1P2=P2P3”?“d1=d2”及“d1=d2”?“P1P2=P2P3”的真假，结合充要条件的定义，即可得到答案．

【解答】解：由已知中α1，α2，α3是三个相互平行的平面，

且平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，

又由直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．

则“P1P2=P2P3”?“d1=d2”为真命题

且“d1=d2”?“P1P2=P2P3”是真命题

故“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的充分必要条件

故选C．

9．（5分）（2011?江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx ﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m

的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．

【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：

（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；

C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，

由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），

在平面直角坐标系中画出图象如图所示：

直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．

当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，

化简得：m2=，解得m=±，

而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，

则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．

故选B．

10．（5分）（2011?江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）

A．B．C．D．

【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，并逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．

【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．

设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．

以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．

大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，

∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，

即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．

点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．

观察各选项，只有选项A符合．故选A．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）（2011?江西）已知==2，?=﹣2，则与的

夹角为．

【分析】利用向量的运算律将向量的等式展开，利用向量的平方等于向量模的平方，求出两个向量的数量积；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，求出夹角．

【解答】解：设两个向量的夹角为θ

∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案为

12．（5分）（2011?江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．

【分析】根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．

【解答】解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，

由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=

故答案为：

13．（5分）（2011?江西）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

10．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．

【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

S n是否继续循

环

循环前01

第一圈02是

第二圈33是

第三圈54是

第四圈105否

此时S值为10．

故答案为：10．

14．（5分）（2011?江西）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．

【分析】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB 的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆

中三参数的关系求出a．，求出椭圆方程．

【解答】解：设切点坐标为（m，n）则

即

∵m2+n2=1

∴m

即AB的直线方程为2x+y﹣2=0

∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点

∴2c﹣2=0；b﹣2=0

解得c=1，b=2

所以a2=5

故椭圆方程为

故答案为

15．（5分）（2011?江西）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为5．

【分析】（1）把曲线的极坐标方程ρ=2sinθ+4c osθ两边同时乘以ρ，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入化简．

（2）先由条件得到0≤x≤2，1≤y≤3，再根据|x﹣2y+1|≤|x|+2|y|+1，求得|x﹣2y+1|的最大值．

【解答】解：（1）∵曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，∴ρ2=2ρ sinθ+4ρ cosθ，∴x2+y2=2y+4x，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，即0≤x≤2，1≤y≤3，

则|x﹣2y+1|=|x﹣1﹣2y+4﹣2|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2≤1+2×1+2=5，∴|x﹣2y+1|

的最大值为5，

故答案为：5．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）（2011?江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望．

【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由古典概型分别求出概率，列出分布列即可．

（2）由（1）可知此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，Y取每个值时对应（1）中的X取某些值的概率，列出Y的分布列，求期望即可．

【解答】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

P（X=0）==

P（X=1）==

P（X=2）==

P（X=3）==

P（X=4）==

（2）此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，

P（Y=3500）=P（X=4）==

P（Y=2800）=P（X=3）==

P（Y=2100）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=

EY==2280

17．（12分）（2011?江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin

（1）求sinC的值

（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．

【分析】（1）利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sinC．

（2）利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边a，b；利用余弦定理求出c

【解答】解：（1）∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（2）由得

即

∴

∵a2+b2=4（a+b）﹣8

∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0

∴a=2，b=2

由余弦定理得

∴

18．（12分）（2011?江西）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．

（1）若a=1，求数列{a n}的通项公式；

（2）若数列{a n}唯一，求a的值．

【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，根据“b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{b n}为等比数列，由等比中项，可解得公比，从而求得通项．

（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）整理得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0，易知方程有一零根，从而求得结果．

【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，

又∵b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{b n}为等比数列，

且b1=2，b2=2+q，b3=3+q2，

∴（2+q）2=2（3+q2）

∴q=2±

∴

（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）

整理得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0

∵a＞0，∴△=4a2+4a＞0

∵数列{a n}唯一，∴方程必有一根为0，得a=．

19．（12分）（2011?江西）设f（x）=﹣x3+x2+2ax

（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的

最大值．

【分析】（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．

（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．

【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2a

f（x）在存在单调递增区间

∴f′（x）≥0在有解

∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为

∴递减

∴f′（x）≤f′（）=+2a，

由0≤+2a，

解得a≥﹣．

检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．

故a＞﹣．

（2）当0＜a＜2时，△＞0；

f′（x）=0得到两个根为；（舍）

∵

∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0

当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）

当x=4时最小∴=解得a=1

所以当x=时最大为

20．（13分）（2011?江西）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：

上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．

【分析】（1）根据P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：

上一点，代入双曲线的方程，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN 的斜率之积为，求出直线PM，PN的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由c2=a2+b2，即可求得双曲线的离心率；

（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代入，即可求得λ的值．【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：

上一点，

∴，①

由题意又有，②

联立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，

则e=，

（2）联立，得4x2﹣10cx+35b2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1?x2=，

设=（x3，y3），，

即

又C为双曲线上一点，即x32﹣5y32=5b2，

有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，

化简得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，

又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，

而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）

=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2=﹣4+5c﹣5c2=﹣35b2=?6b2﹣35b2=10b2，

得λ2+4λ=0，解得λ=0或﹣4．

21．（14分）（2011?江西）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．

【分析】（1）先取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点p3，A3，N作平面α3，先得到两个平行平面，再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行即可．

（2）直接利用（1）中的四个平面以及四面体，建立出以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴的直角坐标系，求出各点对应坐标，求出平面A3P3N的法向量，利用α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1求出正四面体的棱长，进而代入体积公式求出体积即可．

【解答】解：（1）如图所示，取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，

过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，

，A3P3∥MP2，所以平面α2∥α3，

因为A2P2

∥NP3

再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，

那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，

由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其

中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．

（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，

则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体．

设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，

则A1（0，0，a），A2（﹣，a，0），A3（，a，0），A4（0，﹣a，0）．

令P2，P3为．A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3（0，a，a），N（﹣，﹣a，0），

所以=（﹣，a，﹣a），=（a，a，0），=（﹣，a，0）

设平面A3P3N的法向量=（x，y，z），有即，所以=（1，﹣，﹣）．因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，

所以点A4到平面A3P3N 的距离=1，解得a=，