2020郑州市八校联考高一数学【含答案】
即
，所以
， ...................................3
由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，
故只能选
．
从表中任意取两组值代入可求得：
........................
2
6
当
时，
在 上是减函数，在
上是增函数，
所以，当 当
时， 时，
百元 为减函数，
所以，当
时，
百元
综上所述：当
时，
百元 ...............................................................12
21.解： 当
时，令
，
由
，得
，
，
当 时，
；当 时，
，
函数 的值域为
；...............................................6
．
所以
．
综上： 图象如图所示．
．....................4
单调增区间： 单调减区间：
当 时，
， ．.........................8
解得
或
，
因为 ，所以
，
当 时，
，
解得
满足条件
综上所述，
或
....................................12
20.解： 依题意有：
.........10
，
，
，
解得：
，
则实数 m 的取值范围是
；.........4
（2）由
，得到
分两种情况考虑：
当
，即
， 时，
，符合题意；
当
，即
时，需
，
解得：
，
综上得：
，
1
则实数 m 的取值范围为
．......ห้องสมุดไป่ตู้......12
19.解：
由于函数 是定义域为 R 的奇函数，则
；
当 时，
，因为 是奇函数，所以
若对任意
，任意
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，
，对称轴 ， 在 递减，在 递增，
， ，对称轴 ，
即 时， 在 递增，
；
即
时， 在 递减，在 递增，
，
，
4
恒成立
，故：
；
即 时， 在 递减，
综上：
，
，
，解得：
，
．.............................................12
4 10
3
1 5
-5 2
2 3
－
3 2
3
1 3
－1
0
........5
原式
2lg 2 lg 3
1 1 lg 0.62 1 lg 24
2lg 2 lg 3 1 lg 2 3 lg
2
2lg 2 lg 3
1 lg 2 lg 3 lg10 lg 2
1
2
4
10
18.解：（1） P Q ，
5
郑州市八校联考
郑州八校 2020-2021 学年上期期中高一年级数学期中联考试题 参考答案及评分细则
一、选择题 CBCBA CDBAD AB
二、填空题 13.-2 14.6 15. 0，4 16.9
三、解答题：
17.解：
2
原式
64 1000
1 5
-5 2
3
－（
27 8
1
）3－1
令
，由 知 ，且函数
在
上单调递增．
原问题转化为方程
设
，则
在
上有两个不等实根，求 a 的取值范围．
a 2 12 0
，即
a 2
a
4
0
解得
．
实数 a 的取值范围是
22.解：
时，
．........................................12 ，
3
令
，得：
，解得：
，
所以
的解集为：
；.......................................4
若对任意 ，都有
成立，
即
在 恒成立，
令
，
，
即
时，
和 x 轴无交点，开口向上，符合题意，
时，解得： 或
，
只需
，解得： ，
综上： ；.......................................................8
河南省郑州市八校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题(带答案)
河南省郑州市八校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{12},A x x =-<<{}21B y y x ==+，则A B =I （ ） A ．∅B ．[1,2)C ．(1,2)-D ．(1,2)2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）． A ．()1f x =，()0g x x =B ．()2f x x =-，()242x g x x -=+C ．()f x x =，()2g x =D ．()f x x =，()g x =3．函数()lg(2)f x x =++的定义域是（ ）A ．3(2,)2-B ．3(2,]2-C ．(2,)-+∞D ．3(,)2+∞4．函数2x y =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数()()32log 110f x x x =+--零点存在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．在函数22,?1{,? 122,? 2x x y x x x x +≤-=-<<≥中，若()1f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．312或C ．1±D7．设2log 3a =，则6log 12可表示为（ ） A ．12aa++ B ．21aa++ C ．12aa+ D ．21aa+ 8．已知点(2,8)在幂函数()nf x x =图像上，设0.345a f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,254b f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，125log 4c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>9．已知f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=x e m +(m 为常数),则 f(-ln 5)的值为( ) A ．-4B ．4C ．6D ．-610．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()30f -=，则不等式()()20x f x -< 的解集是（ ）A ．()(),32,3-∞-UB ．()()3,23,--⋃+∞C ．()3,3-D ．()2,3-11．若函数()24xf x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞12．设函数()1,02,0xx x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则()22x f x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题)13．已知幂函数()22221m m y m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m =__________. 14．若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = ． 15．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．16．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.17．计算：（Ⅰ）2log 351log 25lg 2100++； (Ⅱ) 已知()11223a aa R -+=∈，求值：22111a a a a --++++ 18．已知全集 {|65}Ux x =-≤≤，1{|24}8x M x =≤≤，{|02}N x x =<<. （1）求(M ⋂ )U N ð；（2）若{|21}C x a x a =≤≤-且C M M ⋃=，求a 的取值范围. 19．已知函数()1f x x x=+（1）请判断函数()f x 在()0,1和(1,)+∞内的单调性，并用定义证明在()0,1的单调性； （2）当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立， 求实数a 的取值范围.20．设函数()1log 12a f x x ⎛⎫ ⎪⎝+⎭=，()1log 12a g x x ⎛⎫⎪⎝-⎭=（0a >且1a ≠），若()()() h x f x g x =-.（1）求函数()h x 的定义域；（2）判断()h x 的奇偶性，并说明理由；（3）求使()0h x >成立的x 的集合.21．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t (单位：天)的函数，且销售量满足()f t =()60,160{?,1150,611002t t t t t +≤≤∈-≤≤N ，价格满足()g t =()2001100,t t t -≤≤∈N ． (1)求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?22．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）若,0a a ∈≠R ，证明：函数()2f x ax x a =+-必有局部对称点；（2）若函数()2xf x c =+在区间[]1,2-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】求出B 中y 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】由B 中211y x =+≥，得到[1,)B =+∞，(1,2),[1,2)A A B =-∴=Q I ，故选B ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．D 【解析】 【分析】利用同一函数的定义对每一个选项的函数分析判断得解. 【详解】同一函数指的是两个函数定义域和对应关系分别相同.A. ()1f x =的定义域是R ,而函数()0g x x =的定义域是{|0}x x ≠，定义域不同，所以两个函数不是同一函数；B. ()2f x x =-的定义域是R ，而函数()242x g x x -=+的定义域是{|2}x x ≠-，定义域不同，所以两个函数不是同一函数；C. ()f x x =的定义域是R ，而函数()2g x =的定义域是{|0}x x ≥，定义域不同，所以两个函数不是同一函数； D. ()f x x =，()||g x x ==，两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数. 故选：D本题主要考查同一函数的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．A 【解析】 【分析】要使函数有意义，则需2x +＞0，且32x -＞0，即可得到定义域． 【详解】要使函数有意义，则需2x +＞0，且32x -＞0，即有x ＞-2且x ＜32， 则-2＜x ＜32， 即定义域为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意对数真数大于0，偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】讨论x 的取值，得到右半部分图像，再有函数为偶函数，图像关于y 轴对称即可得到选项。
2020年河南省郑州市八校联考高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin（-600°）的值是（）A. B. - C. D. -2.若，则sin2θ=（）A. B. C. D.3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin 2C.D. 2sin 14.已知向量，，若，则锐角α为（）A. 30°B. 60°C. 45°D. 75°5.已知tanα=3，则=（）A. B. C. D.6.对于非零向量，，下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则，的夹角为锐角7.若A为三角形ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则这个三角形是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 正三角形8.已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A. A、B、DB. A、B、CC. B、C、DD. A、C、D9.若α、β是锐角△ABC的两个内角，则有（）A. sinα＞sinβB. cosα＞cosβC. sinα＞cosβD. sinα＞cosβ10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A. B. C. D.11.已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A. A=4B. ω=1C. φ=D. B=412.若，则tanα•tanβ=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若的最小正周期为，则的最小正周期为______．14.已知平面向量满足，，则在方向上的投影等于______．15.已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（θ+）=，则x1x2+y1y2的值为______．17.设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若，求λ的值；（Ⅱ）若，求λ的值．18.计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．19.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．（1）求A和ω的值；（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．20.已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间上所有根之和．21.如图，在平行四边形ABCD中，||=3，||=2，=，=，与的夹角为．（1）若=x+y，求x、y的值；（2）求•的值；（3）求与的夹角的余弦值．22.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin（-600°）=sin（-720°+120°）=sin120°=sin（180°-60°）=sin60°=，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：若，则 sin（-θ）=-，∴sin2θ=cos（-2θ）=1-2=1-2•=，故选：C．利用诱导公式、求得 sin（-θ）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin 2θ的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题．连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为，这个圆心角所对的弧长为2×=，故选：C．4.【答案】C【解析】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，及三角函数的化简求值，其中根据两个向量平行，交叉相乘差为0，构造三角方程是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：∵tanα=3，∴===．故选：D．6.【答案】C【解析】解：A：若，则或⊥（-），故A错误；B：若，则||+||≥|+|=||，故B错误；C：⇔•=0⇔，故C正确；D：若，则，的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．对选项逐个进行分析即可本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．利用sin A+cos A=，两边平方可得sin A cosA=-，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sin A+cos A=两边平方可得：sin2A+cos2A+2sin A cosA=，化为sin A cosA=-，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，cos A＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．8.【答案】A【解析】解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．9.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质结合三角函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：∵α、β是锐角△ABC的两个内角，∴α+β＞90°，∴90°＞α＞90°-β＞0°，∴1＞sinα＞cosβ＞0，故选：C．10.【答案】D【解析】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（-）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[-，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x-）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x-∈[-，]，故y=sin（2x-）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选：C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．【解答】解：因为，所以；．故选：D．13.【答案】【解析】解：∵的最小正周期为，∴T==得ω=8，则的最小正周期为T=，即g（x）的周期为，故答案为：．结合三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算，利用正弦函数的周期公式T=以及正切函数的周期公式T=是解决本题的关键．注意两者的周期公式不相同．14.【答案】-【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的投影，属于中档题．两边平方得出，再代入投影公式计算投影．【解答】解：∵||=，∴=3，即1+2+4=3，∴=-1．∴在方向上的投影为=-．故答案为：．15.【答案】【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-，0），∴α-β∈（0，π），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】-【解析】解：依题意知=（x₁，y₁）=（x₂，y₂）•=x1x2+y1y2，另外P₁，P₂在单位圆上，||=||=1•=||•||cosθ=1•1•cosθ=cosθ，∴x1x2+y1y2=cosθ，∵sin（θ+）=sinθ+cosθ=，①sin2θ+cos2θ=1，②，且θ为钝角联立①②求得cosθ=-．故答案为：-．根据题意表示出•，根据向量数量积的运算求得x1x2+y1y2=cosθ，进而根据sin（θ+）的值，求得cosθ的值．本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用．注重了对学生基础知识的考查．17.【答案】解：（Ⅰ）则存在唯一的μ使，∴=．∴，∴当时，；（Ⅱ）则，∴化简得，∵，是两个相互垂直的单位向量，∴λ=2∴当λ=2时，．【解析】（Ⅰ）则存在唯一的μ使，解得所求参数的值．（Ⅱ）则，解得所求参数的值．本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．18.【答案】解：（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π-）+cos（π-）=cos+cos-cos-cos=0．-------------------（6分）（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°-30°）+sin（-2×360°+30°）•cos（-2×360°+60°）=sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°=×+×=1．-------------------------------------（12分）【解析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式以及两角和的正弦函数，特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．∴A=2，T=2×（-）=π∴ω==2∴A=2，ω=2（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=∴sin2α=，cos2α=1-2sin2α=-由（1）知∴=sin2α-cos2α=+=【解析】（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可本题主要考察了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题20.【答案】解：（1）=1+cos2x+sin2x+2=3+2sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y=3+2sin（4x+），再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象即g（x）=3+2sin[4（x-）+]=3+2sin（4x-），由g（x）=4得g（x）=3+2sin（4x-）=4，得sin（4x-）=，得4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，得x=+或x=+，k∈Z，∵x∈，∴k=0时，x=或，即方程g（x）=4在区间上所有根之和为+=．【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）利用三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合方程进行求即可解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）∵||=3，||=2，=，=，∴=3+2=x+y，∴x=3，y=2．（2）由向量的运算法则知，=2-3，∴．（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，又，∴====，∴====，设与的夹角为θ，可得，∴与的夹角的余弦值为．【解析】（1）由平行四边形法则得，而分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；（2）由题意可以为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求得•的值；（3）直接套用夹角公式cos＜，＞=计算．利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．22.【答案】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．。
2023届高三第一次八省八校T8联考高考数学试卷-含答案详解
绝密★启用前2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 复数z 满足1+zi +zi 2=|1−√3i|，则z = A. 1+iB. 12+12iC. −12−12iD. −12+12i2. 若集合M ={x|2x >4}，N ={x|log 3x ≤1}，则M ∪N =( ) A. {x|2<x ⩽3} B. {x|x >0} C. {x|0<x <2或x >2}D. R3. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“a n >0”是“{S n }是递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2C. 方差是2.4，平均数是2D. 平均数是3，众数是25. 已知sin(α+π6)−cosα=12，则sin(2α+π6)=( ) A. −12B. 12C. −34D. 34……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为A. 136B. 43√3C. 1312D. 437. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R ，记g(x) = f(1+x)−x ，若f′(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f′(2023)=A. 2021B. 2022C. 2023D. 20248. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，直线l 过坐标原点并交椭圆于P ，Q 两点(P 在第一象限)，点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √33D. √63二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2020年河南省郑州市八校联考高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.sin（-600°）的值是（）2.A.若B.-，则sin2θ=（）C. D.-3.A. B. C. D.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A.2 B.sin2 C. D.2sin14.已知向量，，若，则锐角α为（）A.30°B.60°C.45°D.75°5.已知tanα=3，则=（）6.A. B. C. D. 对于非零向量，，下列命题正确的是（）A.B.C.D.若若若若，则，则，则，则，的夹角为锐角7.若A为三角形ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.正三角形8.已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D9.若α、β是锐△角ABC的两个内角，则有（）A.sinα＞sinβB.cosα＞cosβC.sinα＞cosβD.sinα＞cosβ10. 同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A. B. C. D.11. 已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A.A=4B.ω=1C.φ=D.B=412. 若，则tanα•tanβ=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若期为______．的最小正周期为，则的最小正周14. 已知平面向量______．满足，，则在方向上的投影等于15. 已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知P（x，y），P（x，y）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P OP=θ（θ为钝角）．若sin（θ+）=，则x x +y y的值为______．17. 设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若（Ⅱ）若，求λ的值；，求λ的值．11122212121218. 计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．19. 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．（1）求A和ω的值；（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．20. 已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所上所有得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间根之和．，=，与的夹角为．21. 如图，在平行四边形ABCD中，||=3，||=2，=（1）若=x+y，求x、y的值；（2）求•的值；（3）求与的夹角的余弦值．22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（△R t FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20 米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin（-600°）=sin（-720°+120°）=sin120°=sin（180°-60°）=sin60°=，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：若∴sin2θ=cos（-2θ）=1-2，则sin（-θ）=-，=1-2•=，故选：C．利用诱导公式、求得sin（-θ）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题．连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为，这个圆心角所对的弧长为2×故选：C．4.【答案】C=，【解析】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，及三角函数的化简求值，其中根据两个向量平行，交叉相乘差为0，构造三角方程是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：∵tanα=3，∴== =．故选：D． 6.【答案】C【解析】解：A：若，则或⊥（-），故A错误；B：若，则||+||≥|+|=||，故B错误；C：⇔•=0⇔，故C正确；D：若，则，的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．对选项逐个进行分析即可本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．利用sinA+cos A=，两边平方可得sin A cosA=-，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sin A+cos A=两边平方可得：sin2A+cos2化为sinA cosA=-，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，cos A＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．8.【答案】AA+2sin A cosA=，【解析】解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．9.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质结合三角函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：∵α、β是锐△角ABC的两个内角，∴α+β＞90°，∴90°＞α＞90°-β＞0°，∴1＞sinα＞cosβ＞0，故选：C．10.【答案】D【解析】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（-）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[-，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x-）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x-∈[-，]，故y=sin（2x-）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选：C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．【解答】解：因为，所以；故选：D．13.【答案】【解析】解：∵∴T==得ω=8，则．的最小正周期为T=的最小正周期为，，即g（x）的周期为，故答案为：．结合三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算，利用正弦函数的周期公式T=以及正切函数的周期公式T=是解决本题的关键．注意两者的周期公式不相同．14.【答案】-【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的投影，属于中档题．两边平方得出【解答】，再代入投影公式计算投影．解：∵|∴=-1．∴|=，=3，即1+2+4=3，∴在方向上的投影为故答案为：．15.【答案】=-．【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-∴α-β∈（0，π），，0），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+ ×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】-【解析】解：依题意知=（x，y）=（x，y）₁₁₂₂1212第9 页，共14 页另外 P ₁，P ₂在单位圆上，||=| |=1•=| |•||cos θ=1•1•cos θ=cos θ，∴x x +y y =cos θ， ∵sin （θ+ ）= sinθ+ cosθ= ，①sin 2θ+cos 2θ=1，②，且 θ 为钝角联立①②求得 cos θ=-．故答案为：-．根据题意表示出 • ，根据向量数量积的运算求得 x x +y y =cosθ，进而根据 sin （θ+ ） 的值，求得 cos θ 的值．本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用．注重了对学生基础知识的 考查．17.【答案】解：（Ⅰ），∴时， ；∴当（Ⅱ）则，则存在唯一的 μ 使 ，∴ =．∴化简得∵ ， 是两个相互垂直的单位向量， ∴λ=2，∴当 λ=2 时，．【解析】（Ⅰ）则存在唯一的 μ 使，解得所求参数的值．（Ⅱ）则，解得所求参数的值．本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．18.【答案】解：（1）cos +cos +cos +cos =cos +cos +cos （π- ）+cos （π- ）=cos +cos -cos -cos =0．-------------------（6 分）（2）原式=sin （360°+60°）cos （360°-30°）+sin （-2×360°+30°）•cos （-2×360°+60°） =sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°1 2 1 21 2 1 2=×+×=1．-------------------------------------（12分）【解析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式以及两角和的正弦函数，特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．-）=π∴A=2，T=2×（∴ω==2∴A=2，ω=2（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=∴sin2α=，cos2α=1-2sin2α=-由（1）知∴=sin2α-cos2α=+=【解析】（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可本题主要考察了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题20.【答案】解：（1）=1+cos2x+sin2x+2=3+2sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y=3+2sin（4x+），再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象即g（x）=3+2sin[4（x-）+]=3+2sin（4x-），由g（x）=4得g（x）=3+2sin（4x-）=4，得sin（4x-）=，得4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，得x=+或x=+，k∈Z，∵x∈，∴k=0时，x=或，即方程g（x）=4在区间上所有根之和为+=．【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）利用三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合方程进行求即可解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．21.∴【答案】解：（1）∵||=3，||=2，==3+2=x+y，，=，∴x=3，y=2．（2）由向量的运算法则知，∴=2-3，．（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，又，∴====，∴====，设与的夹角为θ，可得．∴与的夹角的余弦值为【解析】（1）由平行四边形法则得，而，分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；（2）由题意可以得•的值；为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求（3）直接套用夹角公式cos＜，＞=计算．利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．22.【答案】解：（1），，由于．，，所以，所以．所以（2）当，时，．，（米）．（3）设sinθ+cosθ=t，，则，所以．由于，所以．由于所以当在即上单调递减，或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L 关于θ的函数，是解答本题的关键．。
河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案
，
所以
的解集为：
；.......................................4
若对任意 ，都有
成立，
即
在 恒成立，
令
，
，
即
时，
和 x 轴无交点，开口向上，符合题意，
时，解得： 或
，
只需
，解得： ，
综上： ；.......................................................8
若对任意
，任意
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，
，对称轴 ， 在 递减，在 递增，
， ，对称轴 ，
即 时， 在 递增， ；
恒成立
即
时， 在 递减，在 递增，
，
，
，故：
；
即 时， 在 递减，
综上：
，
，
，解得：
，
．.............................................12
10
18.解：（1）Θ P ⊆ Q ，
.........10
，
，
，
解得： ，
则实数 m 的取值范围是
（2）由
，得到
分两种情况考虑：
当
，即
；.........4 ， 时， ，符合题意；
当
，即 时，需
，
解得：
，
综上得： ，
则实数 m 的取值范围为
．.............12
19.解： 由于函数 是定义域为 R 的奇函数，则
×
-
5 2
×
2 3
－
河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高一上学期期中联考试题 数学 Word版含答案
2020～2021学年上期高一年级期中联考试题数学学科考试时间：120分钟 分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)。
在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。
1.集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B ＝ A.{x|－1≤x ≤l} B.{x|x ≥0} C.{x|0≤x ≤1} D.φ2.已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，则函数y ＝f(|x|)的图象为3.下列四组函数中f(x)与g(x)是同一函数的是A.f(x)＝x ，g(x)＝2x xB.f(x)＝2lgx ，g(x)＝lgx 2C.f(x)＝|x|，g(x)＝(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩ D.f(x)＝(12)x，g(x)＝12x4.函数f(x)＝()22m m 1m m 1x+---是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 为A.1B.－1C.2D.－1或25.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为 A.3x －2 B.3x ＋2 C.2x ＋3 D.2x －36.若函数f(x)＝lnx －1x ＋a 在区间(1，e)上存在零点，则常数a 的取值范围为 A.(0，1) B.(1e ，1) C.(1e －1，1) D.(1，1e＋1)7.已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则三个数的大小顺序为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b8.定义在R 上的函数f(x)的图象关于x ＝2对称，且f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，2]，且(x 1≠x 2)都有()()1212f x f x x x --<0，且f(4)＝0，则关于x 的不等式()f x x <0的解集是A.(－∞，0)∪(4，＋∞)B.(－∞，0)∪(0，4)C.(0，2)∪(4，＋∞)D.(0，2)∪(2，4) 9.若函数f(x)＝log 3(x 2＋ax ＋a ＋5)，f(x)在区间(－∞，1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为A.[－3，－2]B.[－3，－2)C.(－∞，－2]D.(－∞，－2) 10.设方程5－x ＝|lgx|的两个根分别为x 1，x 2，则 A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1 D.0<x 1x 2<111.已知函数f(x)＝()a a 3x 3a x 1log x x 1-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，是R 上的减函数，那么a 的取值范围是A.[34，1) B.(1，3) C.(0，1) D.(0，3) 12.已知a>0，a ≠1，f(x)＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f(x)<12，则实数a 的取值范围是 A.(0，12]∪[2，＋∞) B.[12，1)∪(1，2] C.(0，14]∪[4，＋∞) D.[14，1)∪(1，4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州市八校2019～2020学年度高2021届高2018级高二第一学期期中联考试题数学理科数学试题及参考答案解
河南省郑州市八校2019～2020 学年度第一学期期中联考试题高中二年级理科数学一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知a＜0,-1＜b＜0,则有( )A. B. C. D.2.在△ABC中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b等于( )A. B.C. D.3.设是公比为q的等比数列,则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为假命题,则p、q均为假命题B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题“若,则“的逆否命题为:“若,则”D. 对于命题p:,使得,则:,均有5.已知在△ABC中内角ABC的对边分别为ab边c上的高为,ab=2,则角C的大小( )A. B. C. D.6.若x,y满足x＋1≤y≤x,则y-2x的最大值是( )A. B. 2 C. D. 17.已知在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∠A=60°,b=4,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是( )A. B.C. 或D.8.在等差数列{a n}中,a1＞0,a2012＋a2013＞0,a2012a2013＜0,则使S n＞0成立的最大自然数n是()A. 4025B. 4024C. 4023D. 40229.已知函数,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N＋)且对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(a m-a n)＞0,那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.10.在△ABC中,A为锐角,lg b＋lg()=lgsin A=－lg,则△ABC为()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形11.已知数列{a n}满足,S n是数列{a n}的前n项和,若S2017＋m=1010,且a1•m＞0,则的最小值为( )A. 2B.C.D.12.若正数x,y满足x＋2y＋4=4xy,且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy-34≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.设数列{a n}满足a1=1,且a n＋1-a n=n＋1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为______.14.在△ABC中,已知b=1,c=2,AD是∠A的平分线,AD=,则∠C=______.15.设不等式组表示的平面区域为Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线2x＋y=0对称,对于任意的C∈Ω1,D∈Ω2,则|CD|的最小值为______.16.在△ABC中,∠ACB=60°,BC＞2,AC=AB＋1,当△ABC的周长最短时,BC的长是______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设p:实数x满足x2-4ax＋3a2＜0,q:实数x满足|x-3|＜1.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式kx2-2x＋6k＜0(k≠0)(1)若不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2},求k的值;(2)若不等式的解集是R,求k的取值范围;(3)若不等式的解集为∅,求k的取值范围.19.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a,b,c成等差数列,△ABC的周长为15,且c2=a2＋b2＋ab.(Ⅰ)求△ABC的面积;(Ⅱ)设G为△ABC的重心,求CG的长.20.已知等差数列{a n}与公比为正数的等比数列{b n}满足b1=2a1=2,a2＋b3=10,a3＋b2=7.(1)求{a n},{b n}的通项公式;(2)若,求数列{c n}的前n项和S n.21.郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似的为圆面,该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及线段AC的长;(2)因地理条件的限制,边界AD,DC不能变更,而边界AB,BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在弧上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.22.各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且满足.各项均为正数的等比数列{b n}满足b1=a1,b3=a2.(1)求证{a n}为等差数列并求数列{a n}、{b n}的通项公式;(2)若c n=(3n-2)•b n,数列{c n}的前n项和T n.①求T n;②若对任意n≥2,n∈N*,均有恒成立,求实数m的取值范围.答案和解析1.【试题参考答案】D解:∵a＜0,-1＜b＜0,∴0＜b2＜1,ab＞0,∴ab2＞a,ab2＜ab,ab＞a,∴ab＞ab2＞a,故选:D.根据不等式的性质,逐一分析四个答案的真假,可得答案.本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,难度不大,属于基础题.2.【试题参考答案】A解:由正弦定理可得,∴===故选A由正弦定理可得,,代入可求本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题3.【试题参考答案】D本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查等比数列的函数性质,属于基础题.根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【试题解答】解:设数列的首项为,若为递增数列,则对恒成立,即或,所以由为递增数列,由为递增数列,故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.4.【试题参考答案】A解:对于选项A,由命题p∧q为假命题可知命题p和命题p至少有一个为假,命题p、q均为假命题错误,所以选择A项.对于B项,x=1⇒x2-3x＋2=0,但是x2-3x＋2=0≠＞x=1故“x=1”是“x2-3x＋2=0”的充分不必要条件,判断对.对于C项,由逆否命题的概念可知C项中的命题是真命题,判断对,对于D项,有特称命题的否定是全称命题可知选项D中的命题的否命题是¬p:∀x∈R,均有x2＋x＋1≥0,推理对.故选:A.本选择题可以逐一判断,显然对于A选项p∧q为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题,因此A的结论错误,选择A项即可.对于B项,x=1⇒x2-3x＋2=0,反之无法推出,所以“x=1”是“x2-3x＋2=0”的充分不必要条件.对于C项条件,结论否定且互换,正确.特称命题的否定是全称命题,由∃x∈R,使得x2＋x＋1＜0对应的全称命题是:∀x∈R,均有x2＋x＋1≥0,可知D判断正确.本题考查复合命题的真假判断问题,充要条件,命题的否定,全称命题以及特称命题的概念.5.【试题参考答案】A解:由题意,根据三角形的面积公式,可得:ab sin C=c•,解得sin C=cos C,即tan C=1,又0＜C＜π,可得C=.故选:A.根据三角形的面积公式,解得sin C=cos C,即tan C=1,即可求解C的大小;本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息,合理选择正、余弦定理求解,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6.【试题参考答案】A解:作出实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):令z=-2x＋y,则y=2x＋z,由图可知当直线y=2x过点A(2,2)时,z最大,即-2x＋y取最大值为-4＋2=-2,故选:A.作出x,y满足的可行域,利用z的几何意义即可解答.本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用结合数形结合是解决本题的关键.属于基础题.7.【试题参考答案】C解:∵在△ABC中,∠A=60°,b=4,∴由正弦定理可得b sin A=4×=6;∵这样的三角形有且只有一个,∴a=6或a≥4;故选:C.根据题意求出c sin A=6,然后数形结合可得a的范围.本题考查正弦定理的应用,考查三角形解得情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.8.【试题参考答案】B本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前n项和,当等差数列中有奇数项时,前n项和等于中间项乘以项数,属于基础题.由题意可得a2012＞0,a2013＜0,再根据S4024==2012(a2012＋a2013 )＞0,而S4025=4025a2013＜0,由此可得S n＞0成立的最大自然数n的值.【试题解答】解:∵等差数列{a n},首项a1＞0,a2012＋a2013＞0,a2012a2013＜0,∴a2012＞0,a2013＜0.(假设a2012＜0＜a2013,则d＞0,而a1＞0,可得a2012=a1＋2011d＞0,矛盾,故不可能.)再根据S4024==2012(a2012＋a2013 )＞0,而S4025=4025a2013＜0,因此使前n项和S n＞0成立的最大自然数n为4024.故选B.9.【试题参考答案】C解:∵对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(a m-a n)＞0,∴数列{a n}是递增数列,又∵f(x)=,a n=f(n)(n∈N*),∴1＜a＜3且f(7)＜f(8)∴7(3-a)-3＜a2解得a＜-9,或a＞2故实数a的取值范围是(2,3)故选C.由函数f(x)=,数列a n满足a n=f(n)(n∈N*),且对任意的两个正整数m,n(m≠n)都有(m-n)(a m-a n)＞0,我们得函数f(x)=为增函数,根据分段函数的性质,我们得函数在各段上均为增函数,根据一次函数和指数函数单调性,我们易得a＞1,且3-a＞0,且f(7)＜f(8),由此构造一个关于参数a的不等式组,解不等式组即可得到结论.本题考查的知识点是分段函数,其中根据分段函数中自变量n∈N*时,对应数列为递增数列,得到函数在两个段上均为增函数,且f(7)＜f(8),从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键.10.【试题参考答案】D根据对数的运算法则,得到=sin A=,结合A为锐角得到A=,再利用余弦定理表示a2的式子,化简整理得a=b,由此得到△ABC为以c为斜边的等腰直角三角形.本题给出含有对数的三角形的边角关系式,判断三角形的形状,着重考查了对数的运算法则和利用正、余弦定理解三角形等知识,属于基础题.【试题解答】解:∵lg b＋lg()=lgsin A=-lg,A为锐角,∴=sin A=,即c=且A=,根据余弦定理,得a2=b2＋c2-2bc cos=b2＋2b2-2b×b×=b2,∴a=b=c,可得△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形.故选:D.11.【试题参考答案】A本题考查数列与三角函数的结合,注意运用整体思想和转化思想,考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,考查运算能力,属于中档题.由S2017-a1=(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2016＋a2017),结合余弦函数值求和,再由S2017＋m=1010,可得a1＋m=2,由a1•m＞0,可得a1＞0,m＞0,运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值.【试题解答】解:数列{a n}满足,可得a2＋a3=3cosπ=-3,a4＋a5=5cos2π=5,a6＋a7=7cos3π=-7,…,a2016＋a2017=2017cos1008π=2017,则S2017-a1=(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2016＋a2017)=-3＋5-7＋9-…＋2017=1008,又S2017＋m=1010,所以a1＋m=2,由a1•m＞0,可得a1＞0,m＞0,则=(a1＋m)()=(2＋＋)≥(2＋2)=2,当且仅当a1=m=1时,取得最小值2,故选A.12.【试题参考答案】C解:∵正实数x,y满足x＋2y＋4=4xy,可得x＋2y=4xy-4,∴不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy-34≥0恒成立,即(4xy-4)a2＋2a＋2xy-34≥0恒成立,变形可得2xy(2a2＋1)≥4a2-2a＋34恒成立,即xy≥恒成立,∵x＞0,y＞0,∴x＋2y≥2,∴4xy=x＋2y＋4≥4＋2,即2()2-•-2≥0,解不等式可得≥,或≤-(舍负)可得xy≥2,要使xy≥恒成立,只需2≥恒成立,化简可得2a2＋a-15≥0,即(a＋3)(2a-5)≥0,解得a≤-3或a≥,故答案为:(-∞,-3]∪[,＋∞).故选:C.原不等式恒成立可化为xy≥恒成立,由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2,故只需2≥恒成立,解关于a的不等式可得.本题考查基本不等式的应用,涉及恒成立问题,变形并求出需要的最小值是解决问题的关键,属中档题.13.【试题参考答案】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.数列{a n}满足a1=1,且a n＋1-a n=n＋1(n∈N*),利用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.【试题解答】解:∵数列{a n}满足a1=1,且a n＋1-a n=n＋1(n∈N*),∴当n≥2时,a n=(a n-a n-1)＋…＋(a2-a1)＋a1=n＋…＋2＋1=.当n=1时,上式也成立,∴a n=.∴=2.∴数列{}的前n项的和S n===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.14.【试题参考答案】90°解:因为AD是∠A的平分线,所以=,不妨设BD=2x,CD=x,结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD,在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2＋AD2-2AB•AD cos∠BAD,即:4x2=4＋-2×cos∠BAD,…①在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AC2＋AD2-2AC•AD cos∠CAD,即:x2=1＋-2×cos∠BAD…②,①-②×2,可得:2x2=2-=,解得:x2=.在△ADC则,cos C===0.∠C=90°.故答案为:90°.根据角平线的性质,可设BD=2x,CD=x,然后结合余弦定理列方程解x,然后利用余弦定理求解C即可.本题考查了解三角形的有关知识和方法,解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解.15.【试题参考答案】解:由不等式组作出可行域如图,由图可知,可行域Ω1内的点A(1,-1)到直线2x＋y=0的距离最小,则Ω2中的点B与Ω1内的点A的距离的最小值为A到直线2x＋y=0的距离的2倍.|AB|的最小值等于2×=.故答案为:.由题意作出可行域,数形结合得到的平面区域是Ω1内到直线2x＋y=0距离最小的点,由点到直线的距离公式求得答案.本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.16.【试题参考答案】2解:设A,B,C所对的边a,b,c,根据余弦定理可得a2＋b2-c2=2ab cos C=ab,将b=c＋1代入上式,可得a2＋2c＋1=ac＋a,化简可得c=,所以△ABC的周长L=a＋b＋c=a＋2c＋1=a＋1＋2•设a-2=t(t＞0),则a=t＋2,可得L=t＋3＋2•=3t＋＋9≥2＋9=9＋6,当且仅当3t=,即t=,此时a=2＋时,可得周长的最小值为9＋6.BC的长是2＋.故答案为:2＋.设A,B,C所对的边a,b,c,根据余弦定理可得a2＋b2-c2=ab,以及b=c＋1可得c,再利用均值不等式即可求出答案.本题考查余弦定理和均值不等式的应用,以及化简变形、运算能力,属于中档题. 17.【试题参考答案】解:(1)由x2-4ax＋3a2＜0得(x-3a)(x-a)＜0当a=1时,1＜x＜3,即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由|x-3|＜1,得-1＜x-3＜1,得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4,若p∧q为真,则p真且q真,∴实数x的取值范围是2＜x＜3.(2)由x2-4ax＋3a2＜0得(x-3a)(x-a)＜0,若￢p是￢q的充分不必要条件,则￢p⇒￢q,且￢q⇏￢p,设A={x|￢p},B={x|￢q},则A⊊B,又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2},则0＜a≤2,且3a≥4∴实数a的取值范围是.(1)若a=1,根据p∧q为真,则p,q同时为真,即可求实数x的取值范围;(2)根据￢p是￢q的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数a的取值范围.本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用,考查学生的推理能力.18.【试题参考答案】解:(1)∵不等式kx2-2x＋6k＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2},∴k＜0,且-3和-2是方程kx2-2x＋6k=0的实数根,由根与系数的关系,得(-3)＋(-2)=,∴k=-;(2)不等式的解集是R,∴△=4-24k2＜0,且k＜0,解得k＜-,(3)不等式的解集为∅,得△=4-24k2≤0,且k＞0,解得k≥.(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k的值;(2)跟你就题意△=4-24k2＜0,且k＜0,解得即可,(3)根据题意,得△≤0且k＞0,由此求出k的取值范围本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目.19.【试题参考答案】解:(Ⅰ)设a=x,b=x＋d,c=x＋2d,由,△ABC的周长为15,可得:x＋d=5,∵c2=a2＋b2＋ab,∴(x＋2d)2=x2＋(x＋d)2＋x(x＋d),将d=5-x代入到上式中,解得:x=3,d=2,∴a=3,b=5,c=7,∴由余弦定理可得:cos C==-,∴由C∈(0,π),可得C=,∴S△ABC=ab sin C==(Ⅱ)延长CG,交AB于F点,则F为AB的中点,∵=(＋),∴2=(＋)2=(2＋2＋2•)=[32＋52＋2×]=,∴CF=,∴CG=CF=.本题主要考查了数列,余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题.(Ⅰ)设a=x,b=x＋d,c=x＋2d,由△ABC的周长为15,可得:x＋d=5,进而由c2=a2＋b2＋ab,可得x=3,d=2,解得a=3,b=5,c=7,由余弦定理可得cos C=-,结合范围C∈(0,π)可得C的值,根据三角形面积公式即可计算得解.(Ⅱ)延长CG,交AB于F点,则F为AB的中点,由=(＋),可求CF的值,利用重心的性质可求CG=CF=.20.【试题参考答案】解(1)由题意a1=1,b2=2.设公差为d,公比为q,则,解得.故a n=a1＋(n-1)d=n;.(2)因为,所以=,故=.(1)直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出结果.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.21.【试题参考答案】解:(1)∵四边形ABCD内接于圆,∴∠ABC＋∠ADC=180°连接AC由余弦定理得AC2=42＋62-2×4×6×cos∠ABC,AC2=42＋22-2×2×4×cos∠ADC又∵cos∠ABC=-cos∠ADC,∴又∵∠ABC∈(0,π),故,∴(万平方米).在△ABC中,由余弦定理,AC2=AB2＋BC2-2AB•BC•cos∠ABC=,∴.(2)∵S四边形APCD=S△ADC＋S△APC,又∵设AP=x,CP=y,则.又由余弦定理AC2=x2＋y2-2xy.cos60°=x2＋y2-xy=28,∴x2＋y2-xy≥2xy-xy=xy,∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号.∴,∴面积最大为万平方米.(1)四边形ABCD内接于圆,可得∠ABC＋∠ADC=180°,连接AC,分成两三角形,利用余弦定理即可求解ABCD的面积及线段AC的长;(2)由S四边形APCD=S△ADC＋S△APC,分成两三角形,利用余弦定理结合基本不等式即可即可求解.本题考查了圆内接四边形面积问题,化简为三角形问题利用余弦定理和三角形面积公式累加求解.考查了计算能力和基本不等式的运用.属于中档题.22.【试题参考答案】解:(1)∵,∴.∴,∴,又各项为正,∴a n＋1=a n＋3(n≥2),∴a2开始成等差,又a2=4,=6a1＋9＋1,∴a1=1,∴a2-a1=3,∴{a n}为公差为3的等差数列,∴a n=3n-2,b1=1,b3=4,∴.(2),①,,∴,,,∴.②(3n-5)•2n•m≥6n2-31n＋35恒成立,∴,即恒成立,设,,当n≤4时,k n＋1>k n ;当n≥5时,k n＋1＜k n,∴,∴.本题考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式的求法,数列求和,以及数列与不等式的关系,考查函数思想的应用,属于中档题.(1)利用已知条件转化求解数列{a n}是等差数列,求解通项公式,利用等比数列求数列{b n}的通项公式.(2)①化简c n=(3n-2)•b n,利用错位相减法求解数列{c n}的前n项和T n.②转化求出m与n的不等式,利用最值求解m的范围即可.。
2019-2020学年河南省八市高一下学期第一次联考数学(理科)试题Word版含解析
2019-2020学年河南省八市高一下学期第一次联考数学（理科）试题一、选择题1．已知集合则{}2{|2320},1,0,1,2,3,A x x x B =--≤=-则A B ⋂=（ ）A. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. {}0,1,2 C. {}1,0,1,2- D. 1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由题意，得{}()(){}21|2320|2120,22A x x x x x x ⎡⎤=--≤=+-≤=-⎢⎥⎣⎦，{}1,0,1,2,3B =-，所以{}0,1,2A B ⋂=；故选B.2．下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A. y x x = B. xy e = C. 1y x=- D. 2log y x = 【答案】A【解析】易知e xy =、2log y x =为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项B 、D ，而1y x=-为奇函数，但在()(),0,0,-∞+∞上单调递增，故排除选项C ；故选A. 点睛：本题易错之处是在判定函数1y x=-的单调性时出现错误，要注意该函数在()(),0,0,-∞+∞为增函数，但不能说在定义域()(),00,-∞⋃+∞上单调递增.3．已知不重合的直线m l 、和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则//αβ；④若//m l ，则αβ⊥；其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】试题分析：因为//αβ，m α⊥，所以m β⊥，又因为l β⊂，所以m l ⊥，所以①正确；由αβ⊥，m α⊥，可得m β∥或m β⊆，有l β⊂，得不到//m l ，所以②错误；．m l ⊥，l β⊂，推不出l β⊥，进而得不到//αβ，所以③错误；因为m α⊥，//m l ，所以l α⊥，又因为l β⊂，所以αβ⊥，所以④正确，故选择B【考点】空间直线与平面的位置关系4．已知函数()22,1,{22,1,x x f x x x -≤-=+>-则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】()2f a ≥等价于21{22a a -≤-≥或1{222a a >-+≥，解得1a ≤-或0a ≥，即满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是(][),10,-∞-⋃+∞；故选D.5．已知直线20x y -+=与圆()()22:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（ ）A. 82B. 8C. 42D. 4 【答案】C【解析】由题意，得MN AB ⊥，因为圆心()3,3到直线20x y -+=的距离为33222d -+==，所以4,24222MN AB ==-=，则四边形AMBN 的面积为114224222S MN AB =⋅=⨯⨯=；故选C.6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）33233【答案】A【解析】由三视图，可知该几何体是一个三棱锥，其底面是以2为底边、1为高的等腰三角形，三棱锥的高3，所以该几何体的体积为11321332V ⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；故选A.7．已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1,f x f x +=-当[]0,1x ∈时， ()32,f x x =则函数()()3log 2x f xx φ=--的所有零点之和为（ ）A. 24B. 28C. 32D. 36 【答案】C【解析】因为函数()f x 满足()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为2的周期函数，又因为()f x 为偶函数，且当[]0,1x ∈时， ()32f x x =，所以函数()f x 的部分图象如图所示，令()()()333log 2,2log 2{log 2,2x x g x x x x ->=-=-< ，作出函数()g x 的部分图象（如图所示），由图象可知两函数的图象有16个不同的交点，且关于直线2x =对称，所以函数()()3log 2x f x x φ=--的所有零点之和为4832⨯=；故选C.点睛：涉及函数的周期性的问题时，可记住以()20a a ≠为周期的函数()f x 的一些结论：①()()2f x a f x +=，②()()f x a f x +=-；③()()1f x a f x +=；④()()1f x a f x +=- . 8．执行下图的程序框图，则输出S 的值是（ ）A. 4log 7B. 2log 3C. 32D. 2 【答案】C【解析】由程序框图，得44544,log 5;5,log 5log 6log 6;k S k S ====⋅= 464474lg83lg236,log 6log 7log 7;7,log 7log 8log 8lg42lg22k S k S ==⋅===⋅====；故选C. 点睛：本题的难点在于利用利用换底公式进行化简： log log 1a b b a ⋅=， log log log a b a b c c ⋅=，要灵活利用换底公式进行化简.9．在[]3,3-上随机地取一个数b ，则事件“直线y x b =+与圆22210x y y +--=有公共点”发生的概率为（ ）A. 23B. 13C. 16D. 34【答案】A【解析】将22210x y y +--=化为()2212x y +-=，若直线y x b =+与圆22210x y y +--=有公共点，则122b d -+=≤，解得13b ≤≤，由几何概型的概率公式，得事件“直线y x b =+与圆22210x y y +--=有公共点”发生的概率为()()312333P --==--；故选A.10．为了解某社区物业部门对本小区业主的服务情况，随机访问了100位业主，根据这100位业主对物业部门的评分情况，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.由于某种原因，有个数据出现污损，请根据图中其他数据分析，评分不小于80分的业主有（ ）位.A. 43B. 44C. 45D. 46 【答案】B【解析】设污损数据为a ，由频率分布直方图可得()0.0290.0190.01122101a ++⨯+⨯=，解得0.015a =，则评分不小于80分的频率为()0.0290.015100.44+⨯=，则评分不小于80分的业主为1000.4444⨯=位；故选B.11．一个长为12,m 宽为4m 的长方形内部画有一个中国共青团团徽,在长方形内部撒入80粒豆子,恰好有30粒落在团徽区域上,则团徽的面积约为（ ）A. 216mB. 230mC. 218mD. 224m 【答案】C【解析】由几何概型，得团徽的面积约为301241880S =⨯⨯=；故选C. 12．下面的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是（ ）A. 76,75x x ==甲乙B. 乙同学成绩较为稳定C. 甲数据中3,x =乙数据中6y =D. 甲数据中6,x =乙数据中3y = 【答案】D【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以6x =，因为乙得分的平均数是75分，所以()566868707270808688897510y ++++++++++=，解得3y =，故选D.13．若点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin cos αα+的值为（ ） A. 312-312 C. 312+312+ 【答案】C【解析】因为点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，所以点13,2⎛ ⎝⎭在角α的终边上，则31sin cos 2αα+=；故选C. 14．5sin (0)6y x πωωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,0,2⎛⎫⎪⎝⎭那么该函数图像的所有对称轴中，距离y 轴最近的一条对称轴是（ ） A. 1x =- B. 12x =- C. 1x = D. 32x = 【答案】A【解析】因为5sin (0)6y x πωωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以5πsin 026ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得5π2π3k ω=-（Z k ∈），又因为0ωπ<<，所以2π3ω=，即2π5πsin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2π5π362x π+=，解得1x =-，即距离y 轴最近的一条对称轴是1x =-；故选A.15．若函数()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，且在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是减函数，则φ的值可以是（ ） A. 3π-B. 23πC. 53πD. 3π【答案】B【解析】因为函数()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数，所以π3k πφ+=， Z k ∈，则ππ3k φ=-，故排除选项D ，又因为在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是减函数，所以][π5ππ3π,,3622φφ⎡⎤++⊆⎢⎥⎣⎦，解得π2π63φ≤≤，即2π3φ=；故选B.点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如： 若()sin y x ωϕ=+为奇函数，则π,Z k k ϕ=∈； 若()sin y x ωϕ=+为偶函数，则ππ+,Z 2k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数，则π,Z k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为奇函数，则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 16．如图所示的是函数()sin2f x x =和函数()g x 的部分图像，则函数()g x 的解析式是（ ）A. ()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()5cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. ()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象，得π17π824f g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π282f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，经验证选项C 中17π17π5π9ππcos cos cos 2412644g ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选C. 17．若4x π≤，则()2cos sin f x x x =+的最小值是（ ）A.12B. 12-C. 1-D. 12【答案】D【解析】令sin t x =，因为4x π≤，所以22t -≤≤，则22cos sin 1sin sin y x x x x =+=-+ 2215124t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当t =时，min y =；故选D. 点睛：求形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令sin t x =或cos t x =，则2y at bt c =++，但要注意t 的取值范围.二、填空题18．已知圆()224x a y -+=与射线()0y x =≥没有公共点，则实数α的取值范围是__________． 【答案】{|2a a <-或a >【解析】因为圆()224x a y -+=与射线)0y x =≥没有公共点，所以()2234x a x -+=，即224240x ax a -+-=没有非负根，则()()222416441630a a a ∆=--=-<或()2241630{04404a a a ∆=-≥<->，解得3a >或3a <-或2a ≤<-，即实数α的取值范围是{|2a a <-或a >. 点睛：本题考查的是射线和圆的位置关系，而不是直线与圆的位置关系，若判定直线和圆的公共点个数问题时，可利用圆心到直线的距离与半径的大小进行判定，而研究射线和曲线的公共点问题，则往往转化为方程在某个范围有解问题进行处理.19．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为__________．【答案】4【解析】由程序框图，得55232,1;32264,2;S k S k ====+==5564296,3;962128100,4;S k S k =+===+=>= 故填4.20．从1,2,3中随机选取一个数记为a ，从2,3,4中随机选取一个数记为b ，则5a b +>的概率为__________． 【答案】13【解析】从1,2,3中随机选取一个数记为a ，从2,3,4中随机选取一个数记为b ，有()()()1,2,1,3,1,4,()()()()()()2,2,2,3,2,4,3,2,3,3,3,4共9个基本事件，其中满足5a b +>的有 ()()()2,4,3,3,3,4共3个基本事件，所以5a b +>的概率为3193P ==. 21．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部随机取一个点,M 则点M 到顶点A 的距离超过1的概率为__________．【答案】1162π-【解析】由题意，得棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的体积为3327V ==，若点M 到顶点A 的距离不超过1，则点M 的轨迹是以A 为球心、半径为1的球的八分之一，其体积为16V π=，所以点M 到顶点A 的距离超过1的概率为1π27π6127162V V P V--===-. 22．已知一扇形所在圆的半径为10,cm 扇形的周长是45,cm 那么这个扇形的圆心角为__________rad ．【答案】2.5【解析】因为一扇形所在圆的半径为10,R cm =扇形的周长是45cm ，所以该扇形的弧长为452025l =-=，则这个扇形的圆心角为252.510θ==. 23．已知10,sin cos ,2απαα<<⋅=-则111sin 1cos αα+=++__________．【答案】4【解析】因为10,sin cos 2απαα<<⋅=-，所以()2sin cos 12sin cos 0αααα+=+=，即sin cos 0αα+=，则112sin cos 1sin 1cos 1sin cos sin cos αααααααα+++=+++++ 24112==-.点睛：涉及sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +- 的“知一求二”问题，主要利用三角函数的符号问题、22sin cos 1x x +=及()2222a b a b ab ±=++进行求解.24．在下列结论中,正确结论的序号为__________．①函数()()sin y k x k Z π=-∈为奇函数；②若()tan 2,x π-=则21cos 5x =； ③函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的一条对称轴为2.3x π=-【答案】①②④【解析】因为()sin ,21,Zsin π{sin ,2,Zx k m m y k x x k m m =+∈=-=-=∈为奇函数，即①正确；若()tan πtan 2x x -=-=，则22222cos 11cos sin cos tan 15x x x x x ===++，即②正确；当π12x =时，πtan 03y ==≠，即③错误；当2π3x =-时， cos π1y ==-， 即函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的一条对称轴为23x π=-，即④正确；故填①②④. 点睛：考查函数()sin y A x ωϕ=+的对称性问题时，往往结合整体思想和正弦函数的对称性，若以选择题或填空题的形式进行考查，往往利用“对称轴过函数图象的最高点或最低点，对称中心是函数图象与x 轴的交点”进行验证.三、解答题25．已知集合{}51,x A x =集合()13log 11.B x x ⎧⎫⎪⎪=+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭（Ⅰ）求()R C A B ⋂；（Ⅱ）若集合{|},C x x a =<满足,B C C ⋃=求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {|10}x x -<≤;（Ⅱ）2α≥.【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用指数函数、对数函数的单调性解不等式，进而化简两集合，再利用集合的运算进行求解；（Ⅱ）先将B C C ⋃=等价转化为B C ⊆，再利用图示法进行求解.试题解析：(Ⅰ)依题意有{}0,{|12}A x x B x x ==-<< {}0,{|0};R A x x C A x x =∴=≤Q(){|10}R C A B x x ∴⋂=-<≤（Ⅱ）{|12},{|},B x x C x x α=-<<=<Q,2B C C B C α⋃=⇒⊆∴≥Q26．已知圆228x y +=内一点()1,2,M AB -为过点M 且倾斜角为α的弦. （Ⅰ）当34πα=时，求AB 的长； （Ⅱ）当弦AB 被点M 平分时，求直线AB 的方程.【答案】（Ⅱ）250x y -+=.【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用直线的点斜式方程求得该直线方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而利用AB =（Ⅱ）先利用平面几何知识得到OM AB ⊥，再利用两直线垂直的条件得到所求直线的斜率，再利用点斜式进行求解.试题解析：（Ⅰ） 当3π4α=时，直线AB 的方程为： ()2110y x x y -=-+⇒+-=设圆心到直线AB 的距离为,d 则d =AB ∴==（Ⅱ）当弦AB 被点M 平分时 OM AB ⊥因为2OM K =-,可得1,2AB K =故直线AB 的方程为： ()1212y x -=+ 即250x y -+= 点睛：在处理直线和圆的位置关系时，要结合初中所学平面几何知识进行求解，若本题中的直线与圆的位置关系、弦长公式、由弦AB 被点M 平分得到OM AB ⊥等.27．已知定义域为R 的函数()122xx n f x m+-=+是奇函数. （Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()()2210f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2,1m n ==;（Ⅱ）(),1.-∞-【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用奇函数的性质()00f =求出n 值，再利用特殊值求得m 值，再验证即可；（Ⅱ）先利用单调性的定义证明函数()f x 为单调递减函数，再结合函数的奇偶性将问题等价转化为212kx x <-恒成立，再分离常数，将问题转化为求函数的最值问题.试题解析：（Ⅰ） ()f x Q 在定义域为R 是奇函数，所以()00, 1.f n =∴=又由()()11,2,f f m -=-∴=检验知，当2,1m n ==时，原函数是奇函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()11211,22221x x x f x +-==-+++任取12,,x x ∈R 设12,x x < 则()()()()121212211122,21212121x x x x x x f x f x --=-=++++因为函数2x y =在R 上是增函数， 且12,x x <所以12220,x x -<又()()()()122121210,0x x f x f x ++>∴-<即 ()()21,f x f x <∴函数()f x 在R 上是减函数.因()f x 是奇函数，从而不等式()()2210f kx f x +->等价于()()()22112,f kx f x f x >--=-因()f x 在R 上是减函数，由上式推得212,kx x <-即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有： 212x k x -<恒成立，设()2212112,x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭令11,,2,3t t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则有()212,,2,3g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦()()()min min 11,1,g x g t g k ∴===-∴<-即k 的取值范围为(),1.-∞-点睛：利用函数的奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：①若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =；②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数⨯奇函数=偶函数⨯偶函数=偶函数； ③特殊值验证法，如本题中由()()11f f -=-.28．如图ABCD 为矩形， CDFE 为梯形， CE ⊥平面,ABCD O 为BD 的中点， 2AB EF =（Ⅰ）求证： //OE 平面ADF ；（Ⅱ）若ABCD 为正方形，求证：平面ACE ⊥平面.BDF【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) 取AD 的中点M ，利用三角形的中位线和平行四边形证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（Ⅱ）先利用正方形和线面垂直的性质证明线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明.试题解析：（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接,,MF OM 因为ABCD 为矩形， O 为BD 的中点，所以//,2.OM AB AB OM =又因为CE ⊥平面ABCD ,所以.CE CD ⊥因为CDEF 为梯形，所以//,CD EF 又因为2,AB EF =所以//,,EF OM EF OM =所以EFMO 为平行四边形，所以//,OE MF 又,MF ADF ⊂所以//OE 平面.ADF（Ⅱ）因为ABCD 为正方形， O 为BD 的中点，所以,BD AC ⊥又因为CE ⊥平面,ABCD 所以,BD CE ⊥所以BD ⊥平面,ACE 所以平面BDF ⊥平面.ACE29．脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要.现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i 个农户的年收入i x （万元），年积蓄i y （万元），经过数据处理得10010010010021111500,100,1000,3750.i i i i i i i i i x y x y x ========∑∑∑∑（Ⅰ）已知家庭的年结余y 对年收入x 具有线性相关关系，求线性回归方程；（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？附：在ˆˆˆy bx a =+ 中， 1221ˆˆˆ,,n i ii n i i x y nxy b ay bx x nx ==-==--∑∑其中,x y 为样本平均值. 【答案】（Ⅰ）0.41ˆyx =- ;（Ⅱ）15万元. 【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题中所给数据和最小二乘法求出相关系数，进而求出线性回归方程；（Ⅱ）利用线性回归方程进行预测.试题解析：（Ⅰ）由题意知所以线性回归方程为0.41ˆyx =- （Ⅱ）令0.415ˆyx =-≥ 得15,x ≥ 由此可预测该农户的年收入最低为15万元.30．春节期间某超市搞促销活动，当顾客购买商品的金额达到一定数量后可以参加抽奖活动，活动规则为：从装有3个黑球， 2个红球， 1个白球的箱子中（除颜色外，球完全相同）摸球.（Ⅰ）当顾客购买金额超过100元而不超过500元时，可从箱子中一次性摸出2个小球，每摸出一个黑球奖励1元的现金，每摸出一个红球奖励2元的现金，每摸出一个白球奖励3元的现金，求奖金数不少于4元的概率；（Ⅱ）当购买金额超过500元时，可从箱子中摸两次，每次摸出1个小球后，放回再摸一次，每摸出一个黑球和白球一样奖励5元的现金，每摸出一个红球奖励10元的现金，求奖金数小于20元的概率.【答案】(Ⅰ) 25;（Ⅱ）8.9【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意列举出所有基本事件和满足要求的基本事件，再利用古典概型的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式进行求解；（Ⅱ）根据题意列举出所有基本事件和满足要求的基本事件，再利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式进行求解.试题解析：(Ⅰ) 3个黑球依次为黑1,黑2,黑3,2个红球依次为红1,红2,白球为白,从箱子中一次性摸出2个小球的基本事件为(黑1黑2),(黑1黑3),(黑2黑3),(黑1红1),(黑1红2),(黑2红1),（黑2红2），（黑3红1），（黑3红2），（红1红2），（黑1白），（黑2白），（黑3白），（红1白），(红2白)基本事件总数为15，奖金数恰好为4元基本事件为（红1红2），（黑1白），（黑2白），（黑3白），其基本事件数为4，记为事件A ，奖金数恰好为4元的概率()4.15P A =奖金数恰好为5元基本事件为（红1白），（红2白），其基本事件数为2，记为事件B ，奖金数恰好为5元的概率()2.15P B = 奖金数恰好不少于4元的概率()()14262.1515155P P A P B =+=+==（Ⅱ） 3个黑球依次为黑1，黑2，黑3， 2个红球依次为红1，红2，从箱子中摸两次，每次摸出1个小球后，放回再摸一次的基本事件为（黑1黑1）（黑1黑2），（黑1黑3），（黑1红1），（黑1红2），（黑1白），（黑2黑1）（黑2黑2），（黑2黑3），（黑2红1），（黑2红2），（黑2白），（黑3黑1）（黑3黑2），（黑3黑3），（黑3红1），（黑3红2），（黑3白），（红1黑1）（红1黑2），（红1黑3）， （红1红1），（红1红2），（红1白），（红2黑1）（红2黑2），（红2黑3），（红2红1），（红2红2），（红2白），（白黑1）（白黑2），（白黑3），（白红1），（白红2），（白白），基本事件总数为36，奖金数最高为20元，奖金数恰好为20元的基本事件为（红1红1），（红1红2），（红2红1），（红2红2），基本事件总数为4,设奖金数20元的事件为,C 则()41,369P C == 奖金数小于20元的概率()31811.99P P C =-=-= 31．已知()()()()()sin sin tan 2.tan sin f πααπαααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-- （Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）若α为第四象限角，且32cos ,23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求()f α的值. 【答案】（Ⅰ）cos ;α-（Ⅱ） 【解析】试题分析：(Ⅰ)利用诱导公式进行化简；（Ⅱ）先利用诱导公式得到2sin 3α=-，再利用三角函数基本关系式进行求解. 试题解析：（Ⅰ） ()()()()()sin sin tan 2tan sin f πααπαααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-- ()()()cos sin tan cos .tan sin αααααα--==-- （Ⅱ）由32cos ,23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得2sin .3α=- 又因为α为第四象限角，所以cos α== 所以此时()3f α=-32．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωφωϕ=+>><的部分图像如图所示,求(Ⅰ)函数()f x 的解析式;(Ⅱ)函数()cos y A x ωφ=+的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;（Ⅱ）2,,.36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由图象和五点作图法的关键点的坐标进行求解；（Ⅱ）利用整体思想进行求解.试题解析：（Ⅰ）由五点作图法知， ππ122{,π3ωφωφπ⨯+=⨯+=解得π2,,2,3A ωφ=== 所以函数解析式为π2sin 2,3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ （Ⅱ）令π2ππ22π,Z,3k x k k -≤+≤∈解得， 2ππππ36k x k -≤≤- 所以()cos y A x ωφ=+的单调增区间为2πππ,π,Z.36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦。
2023八省联考数学试卷及答案
2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。
新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。
这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。
部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。
八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。
这亦是数学核心素养的重要要求。
如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。
这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。
2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。
2020-2021学年高考总复习数学(理科)八校联考模拟试题及答案解析
最新八校高三联合考试理科数学一、选择题：共12题1．复数z=2−i1+i的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】主要考查复数代数形式的乘除运算和复数的代数表示法及其几何意义.∵z=2−i1+i=(2−i)(1−i) (1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i,∴z̅=12+32i.∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(12,32),在第一象限.故选D.2．某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N＝3,则输出i＝A.6B.7C.8D.9 【答案】C【解析】主要考查直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.执行程序框图,可得N＝3是奇数,满足条件:n=10,i=2,不满足条件:返回循环;n=10是偶数,不满足条件,n=5,i=3不满足条件,返回循环;n=5是奇数,满足条件,n=16,i=4不满足条件,返回循环;n=16是偶数,不满足条件,n=8,i=5不满足条件,返回循环;n=8是偶数,不满足条件,n=4,i=6不满足条件,返回循环;n=4是偶数,不满足条件,n=2,i=7不满足条件,返回循环;n=2是偶数,不满足条件,n=1,i=8满足条件,结束循环,输出i的值为8.故选C.3．设集合A={x|2x>1},B={y|y=√2x−1,x∈A},则A∩(C R B)等于A.(√3,2)B.[√3,2)C.(0,√3)D.(0,2)【答案】B【解析】本题主要以分式不等式的解法及指数函数的值域为载体,考查集合的补集和交集运算.由集合A={x|2x>1}={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2},∵ 0<x<2,∴1<2x<4,0<2x−1<3,∴B={y|y=√2x−1,x∈A}={y|0<y<√3}.又全集是U=R,∴C R B={y|y≤0或y≥√3},∴A∩(C R B)=[√3,2).故选B.4．函数y=sin2x的图像的一个对称中心为A.(0,0)B.(π4,0)C.(π4,12)D.(π2,1)【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质以及二倍角公式. 因为函数y =sin 2x =12−12cos2x ,令2x =k π+π2,kϵZ,求得x =k π2+π4,可得它的图象的对称中心为(k π2+π4,12),kϵZ,故选C.5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是A.143B.4C.103D.3【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,及简单几何体的体积.由三视图知余下的几何体如图所示:其中E 、F 都是侧棱的中点,∴上、下两部分的几何体相同,∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积V =12×23=4.故选B.6．在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为A.1 193B.1 359C.2 718D.3 413附:若X ∼(μ,σ2),则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544, 【答案】B【解析】主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考查正态分布中两个变量μ和σ的应用,以及正态分布的图象的对称性.正态分布的图象如下图:正态分布N (-1,1),则在(0,1)的概率如图中阴影部分,由概率为12×[P (μ−2σ<X ≤μ+2σ)−P (μ−σ<X ≤μ+σ)]=0.1359;即阴影部分的面积为0.1359;所以点落入图中阴影部分的概率为P =0.1359;所以投掷10 000 个点,则落入阴影部分的个数的估计值为10000×0.1359=1359.故选B.7．已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1⋅a 6⋅a 11=−3√3,b 1+b 6+b 11=7π,则tanb 3+b 91−a 4⋅a 8的值是A.1B.√22C.−√22D.−√3【答案】D【解析】主要考查等差数列和等比数列的性质以及正切函数的求值.因为数列{a n }是等比数列,且a 1⋅a 6⋅a 11=−3√3,所以a 1⋅a 6⋅a 11=a 63,解得a 6=−√3∴1−a 4⋅a 8=1−a 62=−2;又因为数列{b n }是等差数列,所以b 1+b 6+b 11=7π=3b 6,b 6=7π3,∴b 3+b 9=2b 6=14π3.故tan b 3+b 91−a4⋅a 8=tan14π3−2=tan (−7π3)=tan2π3=−√3.故选D.8．已知实数x,y 满足{x +y −4≤0y −1≥0x −1≥0,则z =y 2x的最大值是A.13B.1C.3D.9【答案】D【解析】主要考查简单的线性规划问题.作出不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =y 2x表示的几何意义可知,当曲线过点C(1,3)时,z 取最大值9.故选D.9．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若cos 2B ＋cos B ＝1-cos A cos C ,则A.a ,b ,c 成等差数列B.a ,b ,c 成等比数列C.a ,2b ,3c 成等差数列D.a ,2b ,3c 成等比数列【答案】B【解析】主要考查正弦定理,诱导公式,同角三角函数间的基本关系,两角和的余弦公式以及等比数列的性质,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.∵cos 2B ＋cos B ＝1-cos A cos C ,∴1−cos 2B =cosB +cosAcosC.即sin 2B =−cos (A +C )+cosAcosC =sinAsinC,由正弦定理可知:b 2=ac.所以a ,b ,c 成等比数列.故选B.10．某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析,则在取到选择题时解答题也取到的概率为A.C 121⋅C 61⋅C 201C 223−C 103 B.C 121⋅C 61⋅C 41+C 121⋅C 62C 223−C 103C.C 121⋅(C 61⋅C 41+C 62)+C 122⋅C 61C 223−C 103 D.C 223−C 103−C 163C 223−C 103【答案】C【解析】主要考查分布计数原理以及古典概型的概率计算公式. 由条件,采用分类的方法:分三类;第一类:抽到的3道题分别为:一道选择题,一道填空题,一道解答题;共有C 121⋅C 61⋅C 41种; 第二类:抽到的3道题分别为一道选择题,两道解答题,共有C 121⋅C 62种; 第三类:抽到的三道题为两道选择题,一道解答题,共有C 122⋅C 61种;总的抽取方式共有C 223−C 103种,由古典概型的概率计算公式可知:在取到选择题时解答题也取到的概率为C 121⋅(C 61⋅C 41+C 62)+C 122⋅C 61C 223−C 103.故选C.11．双曲线eq f(x 2,a 2)-eq f(y 2,b 2)＝1(a ,b ＞0)的两顶点为A 1,A 2,虚轴两端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是A.3−√52B.√5−12C.√5+12D.3+√52【答案】C【解析】主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离和直线与圆锥曲线的位置关系.因为双曲线的虚轴两端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.∴F 1(−c,0),B 1(0,b ),可得直线F 1B 1的方程为y =bc (x +c ),即bx −cy +bc =0.∵双曲线的两顶点为A 1,A 2, 以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ∴点O 到直线F 1B 1的距离等与半径,即22=a,化简得b 2c 2=a 2(b 2+c 2),∵b 2=c 2−a 2,∴上式化简整理得c 4−3a 2c 2+a 4=0.两边同时除以a 4,得e 4−3e 2+1=0,解之得e 2=3±√52.∵双曲线的离心率大于1,∴e 2=3+√52,可得e =√5+12.故选C.12．已知f (x )=|x ∙e x |,又g (x )=f 2(x )+tf (x ),(t ∈R ),若满足g(x)=−1的x 有四个,则t 的取值范围为A.(−∞,−e 2+1e) B.(e 2+1e,+∞) C.(−e 2+1e,−2) D.(2,e 2+1e)【答案】A【解析】主要考查利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系.f (x )=|xe x |={xe x ,x ≥0−xe x,x <0,易知f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,当xϵ(−∞,0)时,f (x )=−xe x ,f ′(x )=−e x (x +1),故f (x )在(−∞,−1)上是增函数,在(−1,0)上是减函数,作其图象如下:且f (−1)=1e ;故方程f 2(x )+tf (x )+1=0(t ∈R )有两个不同的实根,x 1∈(0,1e),x 2∈(1e,+∞),故{0+0+1>01e 2+t 1e+1<0,解得,tϵ(−∞,−e 2+1e ). 故选A.二、填空题：共4题13．设n=∫4sinxdx π20,则(x +2x )(x −2x )n 的展开式中各项系数和为_________.【答案】3【解析】主要考查二项式定理和定积分的应用.n =∫4sin x dx =−4cos x|0π2π20=4.则(x +2x )(x −2x )n=(x +2x )(x −2x )4,令x =1得,(x +2x)(x −2x)4=3.故答案为3.14．正ΔABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为−1,且AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =________. 【答案】23【解析】主要考查平面向量的数量积.因为正ΔABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为−1,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.以BC 边上的高为y 轴,以BC 为x 轴建立平面直角坐标系,A(0,√3),C (1,0),B (−1,0),由AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知:D (23,√33),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(53,√33),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23.故答案为23.15．已知P ,A ,B ,C 是球O 球面上的四点,ΔABC 是正三角形,三棱锥P −ABC 的体积为9√34,且∠APO =∠BPO =∠CPO =30°,则球O 的表面积为______________.【答案】16π【解析】主要考查球的体积和表面积的求法.如图,P,A,B,C 是球O 球面上的四点,∆ABC 是正三角形,设∆ABC 的中心为S ,球O 的半径为R,∆ABC 的边长为2a,∵∠APO =∠BPO =∠CPO =30°,OB =OP =R,∴OS =R2,BS =√32R .∴2√33a =√32R ,解得a =34R,2a =32R,∵三棱锥P −ABC 的体积为9√34,∴13×12×12×32R ×32Rsin60°×32R =94√3,解得R =2,∴球O 的表面积S =4πR 2=16π.故答案为16π.16．下列说法中所有正确的序号是________.①”p ∧q “为真的一个必要不充分条件是”p ∨q “为真.②若p:1x>0,则¬p:1x ≤0.③若实数a,b 满足√a +√b =1,则12≤a +b ≤1.④数列{2n(2n +1)2}(n ∈N ∗)的最大项为29. 【答案】①③④【解析】主要考查命题的真假判断.① “p ∧q ”为真等价于p 、q 均为真;“p ∨q ”为真等价于p 、q 只需一真即可,∴①正确;②若1x>0,则x >0,故¬p:x ≤0,∴②错误;③由基本不等式可知a +b ≤(√a +√b)2=1,a+b2≥(√a+√b 2)2=14,∴ a +b ≥12, ∴③正确.④函数y =2n (2n +1)2=2n +1(2n +1)2−1(2n +1)2=12n +1−1(2n +1)2(n ∈N ∗)是单调递减的,∴n =1时,y 有最大值29,∴④正确.故答案为:①③④三、解答题：共8题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N ∗),且满足a n +S n =2n +1．(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:12a 1a 2+122a2a 3+⋯+12n an a n+1<13．【答案】(1)∵a n +S n =2n +1,令n =1,得2a 1=3,a 1=32．∵a n +S n =2n +1,∴a n−1+S n−1=2(n −1)+1,(n ≥2,n ∈N ∗), 两式相减得2a n −a n−1=2,整理a n =12a n−1+1,a n −2=12(a n−1−2),(n ≥2) ∴数列{a n −2}是首项为a 1−2=−12,公比为12的等比数列,∴a n −2=−(12)n ,∴a n =2−12n ．(2)∵12n a n a n+1=12n ⋅2n+1−12n ⋅2n+2−12n+1=2n+1(2n+1−1)(2n+2−1)=12n+1−1−12n+2−1,∴12a 1a 2+122a 2a 3+⋯+12n a n a n+1=(122−1−123−1)+(123−1−124−1)+⋯+(12n+1−1−12n+2−1)=13−12n+2−1<13.【解析】主要考查由递推公式求数列的通项公式及数列求和(裂项相消法). (1)令n=1,得a1=32,根据通项公式求出2a n−a n−1=2,整理得到数列{a n−2}是首项为a1−2=−12,公比为12的等比数列,根据等比数列的通项公式即可得出结果;(2)∵12n a n a n+1=12n+1−1−12n+2−1,∴12a1a2+122a2a3+⋯+12n a n a n+1=13−12n+2−1<13.18．已知正方形ABCD的边长为2,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点．(1)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足|PE|<1的概率;(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【答案】(1)所有点P构成的区域是正方形ABCD的内部,其面积为S正=2×2=4．满足|PE|<1的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分,其面积为S=π2．所以|PE|<1的概率为P=SS正=π24=π8．(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,任意选取两个点,共可构成28C28条不同的线段,其中长度为1的线段有8条,长度为√2的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为√5的线段有8条,长度为2√2的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为1,2,4,5,8,且P(ξ=1)=828=27,P(ξ=2)=428=17,P(ξ=4)=628=314,P(ξ=5)=828=27,P(ξ=8)=228=114,所以随机变量ξ的分布列为:ξ 1 2 4 5 8P 271731427114随机变量ξ的数学期望为Eξ=1×27+2×17+4×314+5×27+8×114=247.【解析】主要考查离散型随机变量的分步列,离散型随机变量的数学期望及几何概型的概率计算公式.(1)根据已知条件可知:满足|PE|<1的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分, 其面积为S=π2.根据几何概型的概率计算公式即可得出结果;(2)根据条件列出随机变量ξ的分布列,根据随机变量的数学期望的计算公式即可得出结果.19．如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,过A1C作平面A1CD平行于BC1,交AB于点D.(1)求证:CD⊥AB;(2)若四边形BCC1B1是正方形,且A1D=√5,求直线A1D与平面BCC1B1所成角的正弦值.【答案】(1)连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则E 为AC 1中点,∵BC 1∥平面A 1CD ,DE =平面A 1CD ∩平面ABC 1, ∴DE ∥BC 1, ∴D 为AB 的中点,又∵ΔABC 为正三角形,∴CD ⊥AB .(2)222115AD +A A =A D Q =, ∴A 1A ⊥AD ,又B 1B ⊥BC,B 1B ∥A 1A , ∴A 1A ⊥BC , 又AD BC B I ,∴A 1A ⊥平面ABC,设BC 的中点为O ,B 1C 1的中点为O 1,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,OO 1所在的直线为y 轴,OA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O-x y z .则A 1(0,2,√3),D(12,0,√32),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−2,−√32), 平面BCC 1B 1的一个法向量n =(0,0,1),|cos 〈A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 〉|=|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n||A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√1510. 所以直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值为√1510. 【解析】主要考查线面平行的性质定理以及用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. (1)连结AC 1,设AC 1与A 1C 相交于点E ,连接DE ,由线面平行即可得出DE ∥BC 1, 进而得到D 为AB 的中点,又因为ΔABC 为正三角形,所以得证;(2)由勾股定理得出:A 1A ⊥AD ,结合题中条件得出A 1A ⊥平面ABC, 建立适当的空间直角坐标系,求出平面BCC 1B 1的一个法向量n =(0,0,1),进而求出结果.20．已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接ΔABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y−20=0.(1)求抛物线方程;(2)过抛物线上一动点M作抛物线切线l,又MN⊥l且交抛物线于另一点N,ME(E在M的右侧)平行于x轴,若∠FMN=λ∠NME,求λ的值.【答案】(1)设抛物线的方程为y2=2px,则其焦点为(p2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),联立{4x+y−20=0y2=2px,整理得8x2−(p+80)x+200=0,∴x2+x3=p+808,y2+y3=20−4x1+20−4x2=−p2,又ΔABC的重心为焦点F,⇒{p2=x1+x2+x33⇒x1=11p−8080=y1+y2+y33⇒y1=p2,代入抛物线中,解得p=8,故抛物线方程为y2=16x.(2)设M(x0,y0),即切线l:y0y=8(x+x0)⇒k MN=−y08,即tan∠NME=−k MN=y08,又tan∠FME=−k MF=−y0x0−4,∵tan∠FME=−k MF=−y0x0−4,即λ=1.【解析】主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查了直线的倾斜角与斜率的关系.(1)先设抛物线的方程为y2=2px,然后表示焦点坐标,抛物线和直线方程联立可消去y得到关于x的一元二次方程,进而可得到B,C的横坐标之和与纵坐标之和,再由A点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程,最后将A,B,C的坐标代入ΔABC的重心坐标公式可求得p的值,从而确定抛物线方程;(2)设M(x 0,y 0),即切线l:y 0y =8(x +x 0)⇒k MN =−y 08,由直线倾斜角与斜率的关系和题上的已知条件即可得出结果.21．已知函数f(x)=−x 3+x 2(x ∈R),g(x)满足g ′(x)=ax (a ∈R,x >0),且g(e)=a,e 为自然对数的底数.(1)已知ℎ(x)=e 1−x f(x),求ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程;(2)设函数F(x)={f(x),x <1g(x),x ≥1,O 为坐标原点,若对于y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任一点P ,在曲线y =F(x)(x ∈R)上总存在一点Q ,使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且PQ 的中点在y 轴上,求a 的取值范围. 【答案】(1)∵ℎ(x)=(−x 3+x 2)e 1−x ,ℎ′(x)=(x 3−4x 2+2x)e 1−x ,∴ℎ(1)=0,ℎ′(1)=−1.∴ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程为y =−(x −1),即y =−x +1.(2)∵g ′(x)=a x(a ∈R,x >0), ∴g(x)=alnx +c ,∴g(e)=alne +c =a +c =a ,故c =0,从而g(x)=alnx ,设P(t,F(t))为y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点,则t ≤−1,∵ PQ 的中点在y 轴上,∴Q 的坐标为(−t,F(−t)),∵ t ≤−1,∴−t ≥1,所以P(t,−t 3+t 2),Q(−t,aln(−t)) ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2−at 2(t −1)ln(−t). 由于OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,所以a(1−t)ln(−t)<1.当t =−1时,a(1−t)ln(−t)<1恒成立,∴ a ∈R , 当t <−1时,a <1(1−t)ln(−t),令φ(t)=1(1−t)ln(−t)(t <−1),则φ′(t)=(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2,∵t <−1,∴t −1<0,tln(−t)<0,∴φ′(t)>0,从而φ(t)=1(1−t)ln(−t)在(−∞,−1)上为增函数,由于t →−∞时,φ(t)=1(1−t)ln(−t)→0,∴φ(t)>0,∴a ≤0.【解析】主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性问题,同时也考查了分类讨论的数学思想方法. (1)∵ℎ(x)=(−x 3+x 2)e 1−x ,求出ℎ(1)=0,并对ℎ(x)求导,求出导函数在x =1时的值,也即切线的斜率,利用直线方程的点斜式即可求出结果;(2)根据导数的定义和题干中的已知条件,求出g(x)=alnx , 设P(t,F(t))为y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点,∵ PQ 的中点在y 轴上,∴Q 的坐标为(−t,F(−t)),再利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,得a(1−t)ln(−t)<1.当t =−1时,a(1−t)ln(−t)<1恒成立,∴ a ∈R ,当t <−1时,a <1(1−t)ln(−t),令φ(t)=1(1−t)ln(−t)(t <−1),则φ′(t)=(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2,根据φ(t)的单调性求出φ(t)>0,进而求出a 的取值范围.22．如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点．(1)求证:DE ∥AB ;(2)求证:AC ·BC ＝2AD ·CD .【答案】(1)连接OE ,因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点, 所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点, 所以OE ∥AB ,故DE ∥AB .EACD(2)因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,所以∠BAD ＝∠DAC , 又∠BAD ＝∠DCB ,∠DAC ＝∠DCB . 又因为AD ⊥DC ,DE ⊥CE △DAC ∽△EC DAC CD=AD CE, AD ·CD ＝AC ·CE , 2AD ·CD ＝AC ·2CE,2AD ·CD ＝AC ·BC .【解析】主要考查直径所对的圆周角为直角以及与圆有关的比例线段的知识,解题时,注意线段乘积的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出.(1) 连接OE ,因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点,所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点,所以OE ∥AB ,故DE ∥AB ;(2)要证AC ·BC ＝2AD ·CD ,转化为AD ·CD ＝AC ·CE ,再转化为比例式AC CD=AD CE,最后只须证明△DAC ∽△ECD 即可.23．已知直线l :{x =1+12t,y =√32t,(t 为参数), 曲线C 1:{x =cos θ,y =sin θ,(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB |;(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.【答案】(1) l 的普通方程为y =√3(x −1),C 1的普通方程为x 2+y 2=1,联立方程组{y =√3(x −1),x 2+y 2=1,解得l 与C 1的交点为A (1,0),B(12,−√32), 则|AB |=1.(2)C 2的参数方程为{x =12cos θ,y =√32sin θ,(θ为参数).故点P 的坐标是(12cos θ,√32sin θ),从而点P 到直线l 的距离是d =|√32cos θ−√32sin θ−√3|2=√34[√2sin (θ−π4)+2],由此当sin (θ−π4)=−1时,d 取得最小值,且最小值为√64(√2−1).【解析】主要考查直线的参数方程,函数的图象与图像变化,圆的参数方程和点到直线的距离公式,以及两点间距离公式. (1)分别求出直线l 的普通方程和曲线C 1的普通方程,联立直线方程与曲线方程,求出点A,B 的坐标,利用两点间距离公式即可得出结果;(2)把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C 2的参数方程:{x =12cos θ,y =√32sin θ,(θ为参数),任取一点P 的坐标是(12cos θ,√32sin θ),利用点点到直线的距离公式即可求出d =√34[√2sin (θ−π4)+2],根据三角函数的值域得出d 的最小值为√64(√2−1).24．已知函数f (x )=|x −2|.(1)解不等式:f (x )+f (x +1)≤2; (2)若a <0,求证:f (ax )−f (2a )≥af (x ).【答案】(1)由题意,得f (x )+f (x +1)=|x −1|+|x −2|, 因此只须解不等式|x −1|+|x −2|≤2,当x ≤1时,原不式等价于-2x +3≤2,即12≤x ≤1;当1<x ≤2时,原不式等价于1≤2,即1≤x ≤2; 当x >2时,原不式等价于2x -3≤2,即2<x ≤52.综上,原不等式的解集为{x|12x ≤52}.(2)由题意得f (ax )−af (x )=|ax −2|−a |x −2| =|ax −2|+|2a −ax |≥|ax −2+2a −ax | =|2a −2|=f (2a ).所以f(ax)−f(2a)≥af(x)成立．【解析】主要考查含绝对值不等式,取绝对值时常用零点分段法.(1)根据题意,不等式f (x )+f (x +1)≤2可等价转化为|x −1|+|x −2|≤2,通过对x ≤1与1<x ≤2及x >2的讨论分析,去掉绝对值符号,即可求得原不等式的解集;(2)利用绝对值不等式a <0时,可得f (ax )−af (x )=|ax −2|−a |x −2|≥|ax −2+2a −ax |=f (2a ). 从而可得结论.。