数列求和之错位相减法、倒序相加法
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数列求和之错位相减法、倒序相加法
1、错位相减法适用于c n
=a n ×b n ,其中a n {}是等差数列,b n {}是等比数列。
步骤:此时可把式子
的两边同乘以公比 q (q ¹0且
q ¹1),得到
,两式错位相减整理即可求出
S n .
2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
【例1】已知数列2
11,3,5,
,(21)(0)n a a n a a --≠,求前n 项和.
【例2】已知 a n {
}
是一个公差大于0的等差数列,且满足
a 3a 6
=55,a 2+a 7=16
(Ⅰ)求数列 a n {}的通项公式:
(Ⅱ)若数列 a n {
}
和数列 b n {
}
满足等式:2
n
n n
a b =,求数列 b n {}
的前n 项和S n .
【例3】求和:222
2sin 1sin 2sin 3sin 89+++
+
【例4】已知函数()()R x x f x ∈+=
2
41,点()111,y x P ,()222,y x P 是函数()x f 图像上
的两个点,且线段21P P 的中点P 的横坐标为2
1. (Ⅰ)求证:点P 的纵坐标是定值;
(Ⅱ)若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=,求数列{}n a 的前m
项的和m S ;
【变式训练】
1、已知数列26a --,14a --,2-,0,2a ,24a ,...,(-8+2n )3
n a -求前n 项和.
2、若数列
{}n a 的通项公式为23n
a
n =+,数列 b n {
}
满足等式:2n n n b a =,求数列 b n {
}
的
前n 项和S n
3、求cos1cos 2cos3cos178cos179+++++的值.
【过关练习】
1. 设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2,{b n }为等比数列,且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1, (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;
(2)设c n =
a n
b n
,求数列{c n }的前n 项和T n .
2、已知}{n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,}{n b 是等比数列,
且27,24411=+==b a b a ,1044=-b S .
(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式;
(2)记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ,*N n ∈,证明n n n b a T 10212+-=+(*N n ∈);
3、已知()lg 2,xy =求和1
22lg lg()lg()lg n
n n n
n S x x
y x y y --=++++