哈工大理论力学期末考试及答案

三、计算题（本题10分）

图示平面结构，自重不计，B 处为铰链联接。已知：P = 100 kN ，M = 200 kN ·m ，L 1 = 2m ，L 2 = 3m 。试求支座A 的约束力。

四、计算题（本题10分）

在图示振系中，已知：物重Q ，两并联弹簧的刚性系数为k 1与k 2。如果重物悬挂的位置使两弹簧的伸长相等，试求：（1）重物振动的周期；（2）此并联弹簧的刚性系数。

五、计算题（本题15分）

半径R =0.4m 的轮1沿水平轨道作纯滚动，轮缘上A 点铰接套筒3，带动直角杆2作上下运动。已知：在图示位置时，轮心速度C v =0.8m/s ，加速度为零，L =0.6m 。试求该瞬时：（1）杆2的速度2v 和加速度2a ；（2）铰接点A 相对于杆2的速度r v 和加速度r a 。

六、计算题（本题15分）

在图示系统中，已知：匀质圆盘A 和B 的半径各为R 和r ，质量各为M 和m 。试求：以φ和θ为广义坐标，用拉氏方程建立系统的运动微分方程。

七、计算题（本题20分）

在图示机构中，已知：纯滚动的匀质轮与物A 的质量均为m ，轮半径为r ，斜面倾角为β，物A 与斜面的动摩擦因数为'f ，不计杆OA 的质量。试求：（1）O 点的加速度；（2）杆OA 的内力。

答案

三、解，以整体为研究对象，受力如图所示。

由()0C M F =∑ 11222(2)20Ax Ay P L F L L F L M ⋅-⋅--⋅-= ……(1) 再以EADB 为研究对象受力如图所示,

由12()0

0B Ax Ay M F F L F L M =⋅-⋅-=∑ (2)

联立（1）（2）两式得

600kN 85.71kN 7Ax F == 400kN 19.05kN 21

Ay F ==

四、解：（1）选取重物平衡位置为基本原点，并为零势能零点，其运动规律为

sin(x A ωt θ)=+

在瞬时t 物块的动能和势能分别为

222

21cos ()22n n Q T mv ωA ωt θg

==+

()22122121()()

2

1

()2

st st st st V k k x δδQ x δδk k x ⎡⎤=++--+-⎣⎦=+

当物块处于平衡位置时

22

max 12n Q T ωA g

=

当物块处于偏离振动中心位置极端位置时，

221max )(2

1

A k k V +=

由机械能守恒定律，有

,max max V T = 2221211

()22

n Q ωA k k A g =+

12()

n k k ωg Q

+=

重物振动周期为

1222()n πQ T πωk k g

=

=+⋅ （2）两个弹簧并联，则弹性系数为21k k k +=。 五、解：

轮作纯滚动，轮上与地面接触点P 为瞬心，则 2rad/s ,=0C v

ωαR

==

以套管A 为动点，杆为动参考系，由点的速度合成定理

r e a v v v +=

大小2ωLR ？ ？

方向 √ √ √

由速度平行的四边形得

sin 1.2m/s r A v v θ==

cos 0.8m/s e A v v θ==

所以有 1.2m/s r v =，20.8m/s v =

再进行加速度分析

以C 点为基点，由基点法得加速度

t n A C AC AC a a a a =++ ①

再与速度分析一样选取点，动系，由点的加速度合成定理

r e A a a a += ……②

将①②两式联立得

t n

C AC AC e r a a a a a ++=+ ……③

大小 0 0 2ωR ？ ？ 方向 √ √ √ √ √

由加速度平行四边形得

2cos 0.83 1.3856m/s r A a a α===

2

sin 0.8m/s e a a a α==

所以有21.3856m/s r a =，2

20.8m/s

a =

六、解，以圆盘A 和B 的转角φ和θ为广义坐标，以A 位置为势能位置，系统动能、势能分别为

22222222111

222

111

()424

A B B B T J m v J θMR m R r θmr θ=

ϕ++=ϕ+ϕ++

()V mg R r θ=-ϕ+（略去常数项）

由于是保守系统，拉格朗日函数为

22222111

()()424

L T V MR m R r θmr θmg R rθ=-=ϕ+ϕ+++ϕ+

利用第二类拉格朗日方程

d ()0d L L t ∂∂-=∂ϕ∂ϕ， 2()02M m R mRr θmgR +ϕ+-= d ()0d L L t θθ∂∂-=∂∂， 2302

mr θmRr mgr +ϕ-= 七、解，以物块A 为研究对象，受力如图所示。

由质点的运动微分方程，有

y

F ma =∑， sin sA

A

F mg βF ma +-= ……① 0x F =∑， cos 0NA

F mg β-= ……②

及补充方程

''cos sA NA F f F f mg β== ……③

设物块A 沿斜面下滑s ，速度为A v ，则系统的动能为

2222222211111115()22222224

A A O O A A A v T mv mv J ωmv mv mr mv r =++=++⋅⋅=

系统的理想约束不作功，功率为

2sin A sA A P mgv βF v =- 利用功率方程

d d T

P t

=∑ 5

22sin 4

A A A sA A m v a mgv βF v ⋅=-⋅ 联立以上各式，得

4sin 2'cos 5

O A βf β

a a g -==

3'cos sin 5

f βF m

g -β=