分段连续函数的求导问题
分段函数的连续性
分段函数的连续性分段函数是一种特殊的函数，它可以被分成几个不同的部分，每个部分使用不同的公式进行表示。
由于分段函数的定义域不连续，因此我们需要考虑函数的连续性问题。
在本文中，我们将探讨分段函数的连续性问题，并给出一些例子来说明这个问题。
一、什么是分段函数？分段函数通常被写成如下形式：$$f(x) =\begin{cases}f_1(x), & x \in D_1 \\f_2(x), & x \in D_2 \\\cdots \\f_n(x), & x \in D_n \\\end{cases}$$其中，$D_1,D_2,\cdots,D_n$ 是定义域的子集，$f_1,f_2,\cdots,f_n$ 是定义在 $D_1,D_2,\cdots,D_n$ 上的函数。
当$x$ 属于某个 $D_i$ 时，$f(x)$ 就等于 $f_i(x)$。
例如，下面的函数就是一个分段函数：$$f(x) =\begin{cases}1, & x \leq 0 \\x^2, & 0 < x < 1 \\x+1, & x \geq 1 \\\end{cases}$$二、分段函数的连续性定义在数学中，连续性是指函数在定义域内的连续性质。
一个函数在某个点处连续是指这个点在函数曲线上没有断点，也就是说，函数的左右极限和函数值相等。
在分段函数的情况下，我们需要考虑每个定义域的子集上的连续性。
如果一个分段函数 $f(x)$ 在某个点 $x_0$ 处连续，那么它必须满足下面三个条件：1. $x_0$ 必须属于某个定义域 $D_i$ 上；2. $f_i(x)$ 在 $x_0$ 处有定义；3. $\lim_{x \to x_0} f_i(x) = f_i(x_0)$，即左右极限与函数值相等。
举个例子，我们来看下面这个分段函数：$$f(x) =\begin{cases}x^2, & x < 1 \\1, & x = 1 \\x+1, & x > 1 \\\end{cases}$$在 $x=1$ 处是否连续呢？我们分别考虑三个条件：1. $x=1$ 属于第二个定义域 $D_2$ 上；2. 在 $x=1$，函数值为 $1$，$f_2(x)$ 在 $x=1$ 处有定义；3. $\lim_{x \to 1^-} f_1(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$，$\lim_{x\to 1^+} f_3(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$。
探究分段函数的导数
ｒ．一ｌ‘
ｒ＋一ｌ一
可导
在ｘ＝１处
由于ｌｉｍｆｒ（ｘ）＝ｌｉｍ（４ｘ一２）＝２
ｒ＋Ｉ＋ｒ．１＋
ｌｉＩＩｌｆ，（ｘ）＝ｌｉＩＩｌ２＝２
ｒ＋Ｉ—ｒ＋Ｉ‘
ｒ一４ｘ＋２
故得：ｆ，（ｘ）＝｛２
ｘ（一ｌ 一ｌ（ｘ≤ｌ
０４ｘ一２
ｘ）ｌ
参考文献 ［１］韩云瑞·微积分教程［Ｍ］．清华大学出版社 ［２］吉林大学数学系·数学分析（上册）［Ｍ］．人民出版社，
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万方数据
探究分段函数的导数
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
汪维红 安徽省邮电学校,安徽,合肥,230031
绥化师专学报 JOURNAL OF SUIHUA TEACHERS COLLEGE 2004，24(2) 1次
参考文献(3条) 1.韩云瑞 微积分教程 2.吉林大学数学系 数学分析(上) 1978 3.华罗庚 高等数学引论(第一卷,第二分册) 1979
分段函数的一般形式是区间Ｉ被分成若干个子区间Ｉ。，
（１）△ｘ＜０且△ｒ叼即△】—吣。
１２。……ｌＮ，在每个子区间上函数有不同的表达式。
（２）△ｘ＞０且△】广叼即△）ｆ＿叼＋
注：（１）分段函数虽然在不同的子区间上用不同的表达
并由此得到左、右导数的概念和重要结论
式，但不论分几段只代表一个函数。
重要结论：ｙ＝ｆ（ｘ）在】【ｏ处可导的充分必要条件是ｆ＋（殛）
可导的关系。
拓例Ｉ：Ｉ．求赍下下列万函ＩＩ数溻狮“ｆｘｒ）Ｔ＝、一 ｛一ｌ＋ＶｖＪ矗忑
＾≠‘ｕ的的ｆ，一ｒ（ｎｏ、）及 砝
……ｗＨ……＿，，一…Ｈ－…～…一 四、导函数的右极限不存在。则函数的右导数一定不存在
分段函数在分段点处几个问题讨论
分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
例1：讨论分段函数：在处的连续性。
解：，而：因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：试研究在处的连续性。
解：所以在处不连续。
而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。
二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。
”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。
因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。
因为；而，，所以函数在在不连续。
故可知不存在。
2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。
对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。
设，求。
解：由于=1，所以=1。
其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。
定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。
证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。
分段函数的特性
分段函数的特性
分段函数的特性是指函数在一定的区间内有不同的特性。
分段函数具有以下特性：
1.连续性：在分段函数中，对于任意两个区间，该函数都是连续的。
2.可导性：在分段函数中，可以对每个单独的区间求导，以求出其斜率。
3.极大极小值：在分段函数中，可以找到函数的极大值和极小值，但其极值不一定在函数的每个区间中。
4.单调性：在分段函数中，每个单独的区间都是单调的，不同的区间的单调性可能不同。
5.多次导数：在分段函数中，可以计算函数的多次导数，以求出其形式。
6.泰勒级数：在分段函数中，可以对函数求取泰勒级数，以计算函数的值。
7.积分：在分段函数中，可以对函数求取积分，以计算函数的定积分或不定积分。
8.可微函数性：在分段函数中，可以将不同的函数进行可微函数处理，以计算整个函数的定性和定量特性。
9.函数表：在分段函数中，可以用函数表来表示函数的曲线，以便于直观表达和分析。
10.函数图形：在分段函数中，可以通过作图的方式表示函数的曲线，从而可视化地探究函数的特性。
分段函数求导的若干问题
分段函数求导的假设干问题摘要】求分段函数的导函数或分段点处的导数是高等数学学习中的难点，大多数学生在解这类问题时会遇到困难或理解不透.本文从导数极限定理及其证明出发，给出导函数连续的判定定理，结合实例说明分段函数求导的关键要点.【关键词】分段函数;单侧导数;导数极限定理【基金工程】绍兴市课堂教学改革工程〔SXSKG2021091〕.在分段函数求导问题中，大多数学生能够理解为什么在分段点处要用导数定义，但因为有时遇到的分段函数直接求导跟用导数定义所得结果并无差异，这就导致很多学生不明白个中原因.例如，求分段函数F〔x〕=f〔x〕，a的导数，在f〔x〕，g〔x〕可导下，直接求导得F′〔x〕=f′〔x〕，a这种结果在分段点处的导数时对时错.常规的做法是在函数连续的情况下用导数定义进行判断，不过在一定条件下也可用导数极限方法，这在一些文献中也有提及[1-4].但对高职或高中学生而言，定理表述上还应精炼，证明要简洁易懂，而且例题要更有代表性，所以还有必要对这一问题进行探讨，并且文中还给出另一重要推论，这些结论对理解分段函数的导数意义明显.一、导数极限定理及其推论分段函数在除分段点外均可导的情况下，求其导数显然只要讨论分段点处的可导性，通常用导数定义进行判断，这涉及分段函数在分段点处的连续性和左右导数.下面从导数极限定理出发，介绍一些常用的结论，便于理解什么情况下不必用导数定义，什么情况下要用导数定义.引理如果函数f〔x〕在〔a，x0]〔或[x0，b〕〕上连续，在〔a，x0〕〔或〔x0，b〕〕内可导，且limx→x-0f′〔x〕=A〔或limx→x+0f′〔x〕=B〕，那么f〔x〕在点x0处左导数〔右导数〕存在，且f′-〔x0〕=A〔或f′+〔x0〕=B〕.下面证明f〔x〕在点x=x0处左侧导数的情形.证明由于函数f〔x〕在〔a，x0]上连续，在〔a，x0〕内可导，显然函数f〔x〕在[x，x0]〔a，x0]上连续，在〔x，x0〕〔a，x0〕内可导，运用拉格朗日中值定理可得f′-〔x0〕=limx→x-0f〔x〕-f〔x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕〔x-x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕=limξ→x-0f′〔ξ〕=A，这里，由于ξ∈〔x，x0〕，所以有x→x-0ξ→x-0，即证得f〔x〕在点x0处左导数存在，且f′-〔x0〕=limx→x-0f′〔x〕=A.类似地，可以证明f〔x〕在点x=x0处右侧导数的情形.定理设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在，那么f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，且f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.证明由函数在点x0处导数存在的充要条件是f′-〔x0〕与f′+〔x0〕存在，且f′-〔x0〕=f′+〔x0〕，根据引理有f′-〔x0〕=f′〔x0-0〕，f′+〔x0〕=f′〔x0+0〕，故在定理的条件下f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕相等.推论设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在且相等，那么f〔x〕的导函数在點x0处连续.证明因为f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，所以limx→x0f′〔x〕存在，且limx→x0f′〔x〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.由定理可知f′〔x0〕存在且f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，即limx→x0f′〔x〕=f′〔x0〕.根据推论，可以断定不存在满足推论条件的函数，其导数具有第一类间断点.二、典型例题例1求函数f〔x〕=x2+ex，x≤0，x+cosx，x>0的导函数.分析因f〔x〕在点x=0处连续，且当x≠0时，f′〔x〕=2x+ex，x0.又limx→0-f′〔x〕=limx→0-〔2x+ex〕=1，limx→0+f′〔x〕=limx→0+〔1-sinx〕=1，即f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1.根据定理，f〔x〕在点x=0处可导，且f′〔0〕=f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，解得f′〔x〕=2x+ex，x≤0，1-sinx，x>0.例2函数f〔x〕=ex，x≤0，ax2+bx+c，x>0在点x=0处的f″〔0〕存在，试确定a，b，c的值.分析因为函数在x=0处的二阶导数存在，所以f〔x〕和f′〔x〕在x=0处都要连续，因此，f〔0-0〕=f〔0+0〕=1，f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，得c=1，b=1.又当x≠0时，f″〔x〕=ex，x0，由此得f″〔0-0〕=1，f″〔0+0〕=2a.根据定理，f″〔0〕存在的充要条件是f″〔0-0〕=f″〔0+0〕=2a=1，即a=12，综上，a=12，b=1，c=1.例3求函数f〔x〕=ln〔1-x2〕，x≤0，x2sin1x，x>0在点x=0处的导数.分析当x≠0时，由函数得f′〔x〕=-2x1-x2，x0，所以limx→0-f′〔x〕=0，limx→0+f′〔x〕不存在，但是f′-〔0〕=limx→0-ln〔1-x2〕x=0，f′+〔0〕=limx→0+x2sin1xx=0，所以f′〔0〕=0.例4討论函数f〔x〕=arctan1x，x≠0，0，x=0在x=0处的可导性【4】.分析当x≠0时，f′〔x〕=-11+x2，所以limx→0f′〔x〕=-1，但是limx→0f〔x〕=limx→0arctan1x不存在，即f〔x〕在x=0处不连续，显然f〔x〕在x=0处不可导.例1和例2说明，如果函数满足定理的条件，求分段点处的导数可不必用导数定义，尤其如例2，其解题方法比用导数定义要简练;而例3和例4说明，定理的运用应注意其适用的条件，即函数在分段点连续以及导函数在该点的左右极限存在且相等.三、结论特别对高职学生而言，分段函数的求导问题一直是个难点，原因在于分不清什么情况下可以直接求导，什么情况下又不可以直接求导.文中给出导数极限定理及其推论和证明，在理论上说明这一问题，对学生理解分段函数求导问题会有帮助.当然，导数定义方法和导数极限方法在不同的题型中各有千秋，譬如，当导函数极限并不简单时，导数极限方法反而更烦琐，而且导数极限方法也有其适用条件.【参考文献】【1】华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2021.方法的研究[J].数学学习与研究，2021〔15〕：107-108.方法[J].高等数学研究，2021〔3〕：20-22，43.【4】王禧宏.关于分段函数在分界点处导数问题的讨论[J].高等数学研究，1999〔3〕：13.。
关于分段函数的求导问题
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专 题
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矛努 函数蚴露导 雹
◎ 张新 燕 （ 吉林 广播 电视 大 学 长 春 １０ ２ ） ３０ ２
【 要 】 分 段 函数 ， 们 常 见 的一 类 问题 是 讨 论 它在 摘 对 我
分 界 点 的可 导 性 ． 常 规 的做 法 ， 段 函数 在 分 界 点 处 的导 按 分
例１ 函 ） ， ０ ．ｏ 否 在 设 数 ｛ 问 （是 存 ？ ＞ 厂）
ｔ
解 法一
按 导 数 定 义 （ ） 厂 在 ＝０处 的 左 、 导 数 分 右
，
别 为 ．，０ ：ｌ ） ￣ Ｏ ：ｌ ：ｌ ：０ （ ） ｉ ｆ － ＬＡ ｉ ｍ ａｘ （ ｍ ｉ ｍ
ｒ
这表 明，（ ） ０ 存在 ， 且厂（ ） ． ０ ＝０ 但是 ， 当 ≠ ０时 ）
的导 函数 为
二 、 段 函 数 的 导 数 实例 分
厂）（ｉ ）２ｉ ｃ ． （＝２｝’ｘ 一ｓ ｎ ＝ 。 ｓ ｓ ｎ
显然 （ 在 ＝０处的极限不存 在 ， ） 而厂（ ） ０ 却存 在 ，
ｘ －Ｏ－ ＇ —
例 ， ： ．ｏ０ ＞， （ 否 在 ４（ ｛ ｏ 厂） 存 ？ 【 ≤ 问 ０ ） ｝ ｃ 是 ０
判断分段函数在分段点处可导性的简便方法
A Simple Method of Judging the Piecewise Function
＇s Differentiability at Piecewise Points 作者： 许燕;张永明
作者机构： 北京印刷学院,北京102600
出版物刊名： 北京印刷学院学报
页码： 61-63页
年卷期： 2012年 第6期
主题词： 分段函数;分段点;可导;连续
摘要：分段函数在《高等数学》中经常出现,其分段点处的求导问题一向是学生学习的一大
难点。
通常我们是依据导数定义来判断分段点处的可导性,学生实际用起来感觉很吃力。
对分段
函数在分段点处可导性的判别方法做了详细梳理,对满足一定条件的分段函数,利用求导公式分别求出分段点左、右两侧的导函数,再将分段点代入作为分段点处的左、右导数,并以此得出分段函数在分段点处的可导性,这样做可使计算过程大大简化,更易于学生接受。
关于分段函数求导数的教学思考
关于分段函数求导数的教学思考黄金城【摘要】通过分析分段函数求导数中常见的错误及其原因,探讨了如何进行分段函数求导数的教学,并提出了几点建议.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)001【总页数】3页(P102-104)【关键词】分段函数;单侧导数;可导性【作者】黄金城【作者单位】河海大学数理教学部,江苏常州213022【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数在高等数学所研究的函数中是一类比较特殊的函数.分段函数在分段点的极限存在性，连续性以及可导性[1]，是高等数学教学的一个重要内容，也是学生学习的一个难点.对于分段函数求其导数时，一般地首先讨论在每一分段开区间内部的可导性，由于分段函数在其分段区间上是初等函数，因此分段函数在每一分段区间上的导数可以直接用求导公式及求导法则计算；然后用定义判断分段点处左右导数是否存在且相等；最后归纳出函数在定义域上的导函数表达式.很多学生对于分段函数在分段点的导数的求法及其原理感到很困惑，经常出现一些错误的做法，根本原因是对于导数的定义没有理解.如何让学生正确理解并掌握分段函数求导数的方法，已有很多建议[2-4].本人通过多年的课堂教学，总结了学生在求分段函数的导数时经常易犯的错误及其原因，并给出了解决问题的几点思考.1 关于函数在一点处的导数公式的讨论函数在一点x0处的导数的定义公式是用增量比的极限给出的，有两种不同的形式，分别为于分段函数，由于其在分段点x0左右两侧的表达式往往不同，需要求上述两个公式的左右极限，也就是分段函数在分段点处的左导数(x0)和右导数(x)，来判断分段函数在分段点x处的可导性.00当左右极限都存在且相等，即左导数(x0)和右导数(x0)都存在且相等时，增量比的极限才存在，也就是分段函数在分段点x0的导数f′(x0)存在.反过来，当分段函数在分段点处的左导数(x0)或右导数(x0)至少有一个不存在或都存在但是不相等时，分段函数在分段点不可导.对于公当x0=0时，两个公式用起来都非常方便，当x0≠0时，若使用公式，需要计算函数值（fx0+Δx），较麻烦.因此在求导数时，最常使用的是公式在求基本初等函数的导函数时，主要利用公式，只要将函数在一点x0处的导数的定义公式中的点x换成任意的点x0即可.2 求分段函数在分段点导数时常见的错误及原因错误一：将两个不同形式的公式中的极限过程混淆例1求函数在x=1处的左右导数.错误解法：利用公式求，将极限过程x→1错误的改为x→0.比如或者利用公式求时，将极限过程Δx→0错误的改为Δx→1.在记忆这两个公式时，学生经常将极限过程混淆，将公式的极限过程Δx→0记为的极限过程x→x0记为x→0.一定要向学生重点强调这两个公式在表达形式上的差别.正确解法：错误二：将左右导数公式中的函数值（fx0）分别代入不同的值例2求函数在x=0处的左右导数.错误解法：在求左导数时，利用当x＜0时，（fx）=x2+1计算（f0），求右导数时，利用当x≥0时，（fx）=x2-1计算（f0）.事实上，公式中的（f0）是函数（fx）在x=0处的函数值，是唯一确定的实数楚什么是相同的，什么是不同的，两个极限中（fx）是不同的，但（f0）是相同的.正确解法：错误三：认为分段函数在分段点的导数是分段函数的导数的极限，即例3讨论函数x=0处的可导性.错误解法：当x≠0时因为不存在，所以f（x）在x=0处的不可导.事实上，不能由不存在，就说φ(x)在x=x0处无意义.正确解法：利用函数在一点处的导数的定义可以判断f（'x）在x=0处是可导的.因为所以f（x）在x=0处是可导的.对于，只有当分段函数的导函数在分段点x=x0连续时才成立，而在做题时，导函数根本还没有求出来，更无从知晓其是否连续.错误四：认为单侧导数是导函数的单侧极限，即例4求分段函数的导数.错误解法：当x＜1时，（fx）在x=1处可导且f′(1)=2.这种错误的解法同错误三相似.事实上，直接由（fx）在x=1处不连续，可以得出（fx）在x=1处不可导.显然得出f′(1)=2是错误的.正确解法：当x＜1时，显然函数f（x）在x=1处不可导.如果先求了右导数，左导数不需要求，就可以判断f（x）在x=1处不可导，因为f（x）在x=1处的右导数不存在，而只要一个单侧导数不存在，分段函数在该分段点就不可导.综上可得3 教学建议为了避免学生在对分段函数求导数时出现以上错误，除了在讲解导数的定义要求学生理解定义以外，在讲解例题时，可以有针对性的列举一些错误的做法，让学生指出其中的错误，并加以修改，这样可以使学生印象深刻，从而在做题时避免采用类似的错误方法.参考文献:[1] 同济大学数学系.高数数学[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.[2] 刘晓妍.关于单侧导数的一种求法[J].高等数学研究,2006,9(5):26-27.[3] 陈茜.浅谈分段函数的求导[J].邢台学院学报,2010,25(2):103-104.[4] 马胜萍.数学教学中常见求导错误的剖析[J].甘肃科技,2005,21(12):241-243.。