2.1两条直线的位置关系 第一课时
C
2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们 不是 ____平行线（填“是”或“不是”）。由此可知， 同一平面内 ，两条不相交的直线才能叫平行线。 在___________ 3)在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有 相交和平行 。 2 种，即_____________ _____
例：已知直线AB和直线外一点P，过点P画一 条直线和已知直线 AB平行。
动手实践三
D
O
2 1 34
C
图2.1—7
A N B 图2.1—8
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2.1—7抽象成成图2.1—8，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
动手实践三
D
O
2 1 34
C
A N B 图2.1—7 图2.1—8 小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 你还能得到哪些结论？
问题2：如图2.1—12，点O在直线AB上， ∠DOC和∠BOE都等于900. 请找出图中互余的 E 角、互补的角、相 D C 等的角，并说明理 由。先独立探究， 再小组交流。 O B A
2.1─12
第五环节
学有所思，反馈巩固
1.你学到了哪些知识？ 2.你学会了哪些方法？ 3.你认为应注意哪些问题？ 4.你还有哪些困惑？
推平行线法
可以画无数条 A
B
如图：AB∥EF, CD∥EF, 直线AB与CD相交吗？为什么？
A C
B D F
P
E
//
//
// //
a b
（平行线的传递性）
c
推论：如果两条直线都平行于第三条直 线,那么这两条直线也互相平行.
如果a//c, b//c; 那么a//b
A C E
B D F
∵ AB//EF, CD//EF (已知） ∴ AB//CD（如果两条直线都平行于 第三条直线,那么这两条直 线也互相平行）
第二章
相交线与平行线
生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些线 给我们什么印象呢？
如图，电梯的扶手给 我们什么印象？
电梯扶手所在直线会相交吗？
那么铁轨给我 们什么印象？ 还有什么地方 给我们相同的 印象呢？
铁轨所在直线 会相交吗？
第一环节 走进生活 引入课题
一、成果展示 二、归纳总结
在同一平面内， 两条直线的位置 关系有相交和平 行两种 在同一平面内， 不相交的两条直 线叫平行线。
D E C
A
A O B
O
2.1—13
2.1—14
2.的是（
C）
A、在同一平面内，不相交的两条射线是 平行线； B、在同一平面内，不相交的两条线段是 平行线； C、在同一平面内，两条直线的位置关系 不相交就平行；
D、不相交的两条直线是平行线
做 1、互不重合的三条直线公共点的个 一 数是_______________________ (0个，1个，2个或3个) 做
探究（ : 1）画一条直线 a，再画两条直线
b、c分别与直线a垂直。
（2）、观察直线 b、c是否平行？
b C a
如果两条直线都垂直于 第三条直线,那么这两条 直线互相平行.
如果a⊥c, a⊥b;
那么b//c
做一做
下列说法正确的是（
C）
A、在同一平面内，不相交的两条射线是 平行线； B、在同一平面内，不相交的两条线段是 平行线； C、在同一平面内，两条直线的位置关系 不相交就平行；
的问题更独特！ 加油~
第四环节
拓展延伸，综合应用
巩固练习
问题1：如图2.1—11已知：直线AB与CD交于点 O, ∠EOD=900,回答下列问题： 1.∠AOE的余角是 ；补角是 。 2.∠AOC的余角是 ；补角是 ；对顶角是 。 E D A C O B
2.1─11
第四环节
拓展延伸，综合应用
巩固练习
2、平面内的5条直线，如要使 它们出现5个交点，怎样安排 才能办到？画图说明。
第六环节
布置作业，能力延伸
基础题：1．书P39页随堂练习40习题。 提高题：2.下图由两块相同的直角三角板拼 成，其中∠FDE=∠AOB=900，点O在 FD上，DE在直线AB上， 请找出相等 的角、互余的角、互补的角。 F O
直线AB平行 AB CD 于直线CD
b
a b
直线a平行 于直线b
思考:在同一平面内,两条直线有几 种位置关系?
• 相交 • 平行 垂直
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。 (╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。 (╳)
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线 (╳) 平行。 D 2、用符号“∥”表示图中平行四 边形的两组对边分别平行。 A B AB∥ CD，AD∥ BC。
第二环节 动手实践、探究新知
问题1：小组合作，每人编一道有关余角或者补 角的题目，其余同学抢答，练习2分钟。 问题2：展示优秀成果，投影仪展示，全班抢答。 问题3：下列说法正确的有 ①②④⑥ 。（填序号） ①已知∠A=40º ，则∠A的余角等于500 ②若1+∠2=180º ，则∠1和∠2互为补角。 ③若∠1+∠2+∠3=180º ，则∠1、∠2、∠3互补 ④若∠A=40º 26′，则∠A的补角=139º 34′ ⑤一个角的补角必为钝角。 ⑥一个锐角的补角比这个角的余角大900
祝同学们学习进步
C
巩固练习
下列说法正确的是（
D
）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交，
垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
做一做
一个长方体如图，和 AA′平行的棱有多少 条？和AB平行的棱有 多少条？请用符号把 它们表示出来。
第三环节
学以致用，步步为营
巩固练习
问题1：①.因为∠1+∠2=90º ，∠2+∠3=90º ， 所以∠1= ，理由是 . ② 因为∠1+∠2=180º ，∠2+∠3=180º ，所以 ∠1= ，理由是 .
第三环节
学以致用，步步为营
巩固练习
问题2：①用你手中的三角板，画一个直角三角 形，如图2.1—9.则∠A是∠B的 。 变式训练：在①的基础上，做∠CDA=900。 1.则∠A的余角有哪几个？为什么？ 2.请找出互补的角，并说明理由。 3.你还能提出哪些问题？试试看吧！ 比比看，谁提 C A 2.1─9 B A C D 2.1─10 B
A
D
B
C
D′ A′ B′
C ′
和AA′平行的棱有3条： BB′∥AA′，CC′∥AA′，DD′∥AA′。 和AB平行的棱有3条： A′B′∥AB，C′D′∥AB，CD∥AB。
课堂练习：
1）观察如图所示的长方体后填空 ①用符号表示下列两棱的位置关系：
A1
D1
B1 D A B
C1
⊥ A1B1∥ ____AB AA 1____AB , ⊥ A1 D1 ____C1D1 , AD____BC ∥
1.画出两个角,使它们的和为90度。 2.画出两个角,使它们的和为180度。 3.小组交流画法，相互点评。 4.用自己的语言描述补角余角的定义。 如果两个角的和是 1800，那么称这两 个角互为补角。
注意：互余与互补是
指两个角之间的数量关 系，与它们的位置无关。
如果两个角的和是 900，那么称这两 个角互为余角
第一环节 走进生活 引入课题
巩固练习 ；
问题1：在2.1─1中，直线m和n 的关系是
a 和b 是
；a 和n 是
。
问题2：针对这三幅图，你还能提出哪些问题？ m b a n 2.1─2 2.1─3
2.1—3
2.1─1
平行线的表示
我们通常用符号“//”表示平行。
定义 A 在同一平 C 面内，不 相交的两 条直线。 a 图形 B D 符号 读法
注意事项：
1.独立、高效完成。 2.整理错题。 3.反思解惑。
A
D
B E
1、平行线的定义： 2、平行线的表示法
小结：
同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
通常用符号“//”表示平行。AB//CD或a//b
3、平行线的两条性质 平行公理： （唯一性） 平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线 与这条直线平行。 推论：如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两 条直线也互相平行. 如果a//c, b//c; 那么a//b （平行线的传递性）
P
●
一、放
A 二、贴
推平行线法
B
三、推
四、画
过点P能否再画一条直线与AB平行？
想一想
问题：经过点C能画出几条直线与直线 AB平行？
C A
〃
B
B 平行公理： （唯一性）
平面内经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行。
(垂直)
试一试 （1）你能在右图中的方格中 画出平行线吗？ 方法： ①利用方格纸中的直线画平行线。 ②利用格点（长方形的对角线）画平行线。 （2）若改方格纸为白纸，你能利用以下哪些工具： ①直尺 ②三角板 ③量角器能画已知直线AB的平行 线？能画多少条？
D、不相交的两条直线是平行线
第二环节 动手实践、探究新知
动手实践一
请动手画出两条直线直线AB和 直线CD，交于点O.
A 4 1 D 2.1─4 B
2
《两条直线的位置关系》(教案)-四年级上册数学人教版
教案：《两条直线的位置关系》年级：四年级学科：数学教材版本：人教版课时：2课时教学目标：1. 让学生理解平行线和垂直线的定义，并能够识别平行线和垂直线。
2. 培养学生的观察力和空间想象力。
3. 培养学生运用平行线和垂直线解决实际问题的能力。
教学重点：1. 平行线和垂直线的定义。
2. 如何识别平行线和垂直线。
教学难点：1. 理解平行线和垂直线的定义。
2. 能够在实际问题中运用平行线和垂直线。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的几何图形，如直线、线段等。
2. 提问：两条直线在平面内可以有哪些位置关系？二、新课导入（15分钟）1. 讲解平行线的定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 讲解垂直线的定义：在同一个平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
3. 通过课件或黑板展示平行线和垂直线的图形，让学生观察并理解。
三、巩固练习（15分钟）1. 出示练习题，让学生判断哪些是平行线，哪些是垂直线。
2. 引导学生运用平行线和垂直线的性质解决实际问题。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生复述平行线和垂直线的定义。
2. 提问：如何在实际问题中运用平行线和垂直线？第二课时：一、复习导入（5分钟）1. 复习上节课所学内容，让学生回顾平行线和垂直线的定义。
2. 提问：如何识别平行线和垂直线？二、新课导入（15分钟）1. 讲解如何识别平行线和垂直线，如利用角度、对边等性质。
2. 通过课件或黑板展示具体的例子，让学生观察并理解。
三、巩固练习（15分钟）1. 出示练习题，让学生识别平行线和垂直线。
2. 引导学生运用平行线和垂直线的性质解决实际问题。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生复述如何识别平行线和垂直线。
2. 提问：在实际问题中，如何运用平行线和垂直线？教学反思：本节课通过讲解平行线和垂直线的定义，让学生理解并能够识别这两种特殊的直线位置关系。
《第二章1两条直线的位置关系》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册
《两条直线的位置关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《两条直线的位置关系》的学习，使学生掌握平行线、相交线等基本概念，并能熟练运用相关定理进行实际问题的分析和解答。
同时，通过作业练习，增强学生对两条直线位置关系的理解和运用能力，为后续学习打下坚实的基础。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础知识巩固：复习两条直线的基本概念，包括平行线、相交线等，理解其定义及性质。
2. 定理应用：运用平行线的性质和判定定理，解决实际问题。
如：判断两条直线是否平行，计算平行线之间的距离等。
3. 图形分析：通过分析复杂的图形，理解其中两条直线的位置关系，培养学生的空间想象能力。
4. 作业题目设计：设计一系列具有代表性的练习题，包括选择题、填空题、解答题等，题型丰富，难度适中。
三、作业要求针对本课时的作业内容，提出以下要求：1. 认真审题：学生在完成作业时，要仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误而导致答案错误。
2. 独立思考：鼓励学生独立思考，尝试运用所学知识解决实际问题。
在遇到困难时，可适当查阅资料或向老师请教。
3. 规范答题：要求学生按照规范的格式和要求完成作业，字迹工整，步骤清晰。
4. 及时反馈：学生应按时完成作业，并在规定时间内将作业交给老师，以便老师及时反馈作业情况。
四、作业评价本作业的评价将从以下几个方面进行：1. 知识掌握情况：评价学生对两条直线位置关系相关知识的掌握程度。
2. 解题能力：评价学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3. 作业规范程度：评价学生作业的规范性、字迹工整程度及步骤清晰度。
4. 创新思维：鼓励学生在解题过程中尝试新的思路和方法，培养其创新思维。
五、作业反馈老师将根据学生的作业情况，进行及时的反馈和指导。
对于优秀的学生给予表扬和鼓励，对于存在的问题及时指出并帮助其改正。
同时，老师还将根据学生的作业情况，调整教学计划，以便更好地满足学生的需求。
鲁教版六年级下册《相交线与平行线》《两条直线的位置关系》(第一课时)教学课件共26页含两个视频及素材
有公共顶点 角的两边互为反向延长线
3、如图所示，有一个破 损的扇形零件，利用图 中的量角器可以量出这 个扇形零件的圆心角的 度数吗？你能说出所量 角的度数是多少吗？为 什么？
1、已知∠A=40º，则∠A的余角等于 50
°
2、若∠1+∠2=90°，则∠1和∠2互为余角 3、如图所示，已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,回答下列问题： （1）∠AOC的余角是 ∠AOE ；补角是∠AOD， ； ∠BOC 对顶角是 ∠BOD。 （2）∠AOE的余角是∠AOC,∠BOD ；补角是∠EOB。 E D
A 4 D
o
1
2
C 3 B
几何语言： ∵直线AB与CD相交于点O
∴ ∠1=∠2, ∠3=∠4
1、下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ D ） 1
A 2
1
B
2Leabharlann 112 C
2
D
2、判断（1）顶点相对的角是对顶角。（ × ）
（2）有公共顶点，并且相等的角是对顶角。（×） （3）两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角。 （× ）
（3） 两直线相交有多少对对顶角？
余角、补角、对顶角的性质：
（1） 同角或等角的余角相等；
互余与互补只与角的 数量有关，与位置无 关。而对顶角是根据 角的位置来判断的
（2） 同角或等角的补角相等； （3） 对顶角相等。
鲁教版 六年级下册
第七章
相交线与平行线
）
在同一平面内， 两条直线的位置关系
相交 平行
1.若两条直线只有一个公共点， 我们称这两条直线为相交线.
2.在同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线.
在图中，直线m和n 的关系是 平行 ； a和b是 平行 ； a和n是垂直（或相交） 。
北师大版七年级数学下册《二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 对顶角、余角和补角》公开课教案_11
北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级下册2.1.1两直线的位置关系第1课时教学设计一、教材分析1、地位作用：本节课研究的相交线是平面内两条直线的两种位置关系中的其中一种情形，学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识，因此，本节课是在学生已有知识和经验的基础上，来进一步研究平面内两条直线相交的情形。
在本节课中首先探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；为接下来研究两条直线被第三条直线所截的情形，即同位角、内错角、同旁内角等概念的学习作了最基本的准备。
同时是后续学习垂直的基础。
2、目标和目标解析：1.理解邻补角和对顶角的概念;2.掌握“对顶角相等”的性质;3.理解对顶角相等的说理过程;4.经历质疑,猜想,归纳等数学活动,培养学生的观察,转化,说理能力和数学语言规范表达能力;5.通过师友互助、小组讨论,培养合作精神,让学生在探索问题的过程中,体验解决问题的方法和乐趣,增强学习兴趣。
3、教学重、难点教学重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用。
教学难点：对顶角相等的性质的探索。
突破难点的方法：通过相关旧知的复习，按照猜想、推理的思维过程进行突破。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、剪刀，纸。
三、教学过程教学内容师生活动设计意图一、创设情景，引入新知问题：在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，（播放图片）请找出图片中的相交线、平行线。
由此引入本节的主要内容。
（板书）课题学生观察图片，获得感性认识.让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的，通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣。
二、小组合作，探究新知1. 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角问题1：张开地剪刀给人以什么形象？（出示一把张开的剪刀），张开的剪刀可看作两条相交直线。
（教师可以同时在黑板上画出几何图形）在用剪刀剪布的过程中，用力握紧把手引发了剪刀张角的变化，表演剪布过程，让学生仔细观察，提出问题问题2：两个把手之间的的角发生了什么变化？剪刀刀刃张开的口又怎么变化？握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小. 如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.教师：如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.2．认识邻补角和对顶角，探索它们性质（1）角的位置关系探究画直线AB、CD相交于点O问题：1 、两条相交直线.形成的小于平角的角有几个?2、两两相配共组成几对角？3、各对角存在怎样的位置关系？按位置关系对他们怎样进行分类?4、各对角的度数有什么关系？学生观察、思考、回答问题学生观察、思考、回答,得出结论学生思考并在小组内交流,全班交流.由实际问题引导学生初步感知相交线形成的角及特点，同时明确本节课要学习的内容用现实生活中的例子引出两线相交所成角的问题，自然而贴切，同时在这个过程中，让学生对两线相交所成角的关系有了初步的认识，这就为研究对顶角相等作了铺垫三．细心观察，归纳定义1、探究邻补角的定义问题：（1）∠1与∠2有怎样的位置关系？（2）∠1与∠2的顶点有什么特点？（3）∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？邻补角定义：∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。
两条直线的位置关系第1课时课件初中数学北师大版七年级下册
3.补角和余角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，类似地， 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 性质：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
12
C
4 O3
D
∠1和∠3是对顶角，所以∠1=∠3，故④正确；
B
∠1和∠4是邻补角，所以∠1+∠4=180°，故⑤正确；
四、典型例题
例2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠BOE互为余角，∠BOE=18°，
求∠AOC的度数.
C
E
分析：根据余角定义可得∠BOD=90°-18°=72°，再根据
创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种: 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
三、概念剖析
思考：两直线相交只有一个交点，那么两直线相交形成了几个角呢？
A
D
2
1
3
4
C
B
很显然，两直线相交形成了4个角，我们用∠1，∠2，∠3，∠4表示.
求∠2的度数．
A
解：设∠1=2x，∠2=3x，
∵∠AOC和∠DOB是对顶角(对顶角的定义) CDO Nhomakorabea1
2
E
B
∴∠AOC=60°=∠1+∠2，
∵∠1：∠2=2：3，
∴2x+3x=60°，x=12°，
则∠2=3x=3×12°=36°．
四、典型例题
例3.如图ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. ∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？∠3与∠4有什么关系？为什么？
北师大版七年级下册数学《两条直线的位置关系》相交线与平行线研讨说课复习课件
对顶角相等
探究新知
素养考点 1利用对顶角的性质求角的度数
例 如图,直线a,b相交，∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
解：由平角的定义可知， ∠2=180°-∠1
=180°-40°=140°；
b
1（ 2
a
4 ）3
由对顶角相等可得，
12 43
58 67
所以∠2的补角有∠1,∠3,∠6和∠8.
连接中考
1.（2020•金昌）若α＝70°，则α的补角的度数是（ B ） A．130° B．110° C．30° D．20° 2.（2020•陕西）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ B ） A．57° B．67° C．77° D．157°
DO
C
12 34
AN B
图2
图3
探究新知
将图2简化为图3，ON 与 DC 相交所成的 ∠ DON和∠CON
都等于90° ，且∠1=∠2．在图 3 中： （1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 互补的角： ∠1与∠AOC， ∠1与∠BOD，
DO
C
12
34
∠互2余与的∠角B：OD∠，1与∠∠2与3，∠∠AO1C与，∠∠4，D∠ON2与与∠∠4N，O∠C.2与∠A3，N图3 B （2） ∠3与∠4有什么关系？为什么？
第一课时垂线的定义及性质 核心要点 1垂线的有关概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是 直角 ，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线 的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。 2.垂线的性质： （1）平面内，过一点有且 只有一条 直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 最短。 3.点到直线的距离：过点A作直线L的垂线，垂足为B，线段 AB 的长度叫做点A到直线L的距离。
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（2）空间两条异面直线的画法
借助平面来反映线与线的异面关系
（3）异面直线的判定方法
证明和判断异面直线的方法有两种：
（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，此时需借反证法；
（2）定理法：
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（1）证明： ， ， ；
（2）求 的值。
有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：
（1）利用等角定理及其推论；
（2）利用三角形相似；
（3）利用三角形全等；
例4、如图所示，设 分别是空间四边形 的边 上的点，且 ，求证：
（1）当 时，四边形 是平行四边形；
（2）当 时，四边形 是梯形；
第二课时 异面直线及其夹角
推理模式： 与 是异面直线。
图形：
注：判定两直线为异面直线的常用方法是排除法核心思想是反证法。
2、异面直线所成的角
已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 所成的角（或夹角）。
若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作： ，以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的即有共面垂直，也有异面垂直这两种情形；
（5）求异面直线所成的角的基本步骤：一作、二证、三计算；
一“作”：作平行线，将“异面直线”的空间问题转化为“相交直线”的平面问题来解决，这是我们解决立体几何问题的常用方法；
作平行线的方法一般有三种：
①直接平移法；②中位线平移法（含成比例线平移法）；③补形平移法。
作平行线往往是在某个平面中完成，因此需要寻找一个“方便面”，该面的特点是：该面包含其中一条异面直线；该面与另一条异面直线相交，即方便作“平行线”。
高中数学同步教学 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件
解:法一
解方程组
x 2y 1, 2x ky 3,
得
x
y
k k
k
1
6, 4
. 4
即前两条直线的交点为(
k k
6 4
,
k
1
4
).
因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,
故有 3k( k 6 )+4( 1 )=5,
k4
k4
解得 k=1 或 k=- 16 . 3
法二 过直线 x-2y-1=0 与 2x+ky-3=0 的交点的直线可设为 x-2y-1+λ (2x+ky-3)= 0(λ∈R),即(1+2λ)x+(kλ-2)y-1-3λ=0.由于三条直线交于
类型三 直线位置关系的综合应用
【例3】 当m为何值时,三条直线l1:4x+y-3=0与l2:x+y=0,l3:2x-3my-4=0能围成一 个三角形?
解:三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点, 所以 4×(-3m)-2≠0 且-3m-2≠0,
解得 m≠- 1 且 m≠- 2 ;
6
3
又因为 l1:4x+y-3=0 与 l2:x+y=0 的交点为(1,-1),
解:法一 设直线 l 的斜率为 k,则因 l 与直线 3x+4y+1=0 平行,所以 k=- 3 , 4
又因为 l 经过点(1,2),所以 l 的方程为 y-2=- 3 (x-1),即 3x+4y-11=0. 4
法二 设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线的方程为 3x+4y+m=0, 又因为 l 经过点(1,2),所以 3×1+4×2+m=0, 即 m=-11, 所以所求直线 l 的方程为 3x+4y-11=0.
_2.1.1两条直线的位置关系 课件 2023—2024学年北师大版数学七年级下册
A
M
C
∴∠1= ∠BOC,∠2= ∠AOC ∴∠1+∠2= ∠BOC + ∠AOC
21 O
N
= (∠BOC+∠AOC)
B
= ∠AOB
∴∠MON= ∠AOB
记忆口诀：一半一半又一半
典例精析 例2： 如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别
平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数？图中哪些角互为余角？
O
A
∠AOB度数.理由对顶角相等.
D
例3. 判断以下说法是否正确：
(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．(× ) (2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．(×) (3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．( ×) (4)互补的两个角不可能相等．( ×) ((56))钝 互角余没 的有 两余 个角 角，一但定一都定是有锐补角角，．两(个√锐) 角一定互余．(×) (7)如果∠A＝25°，∠B＝75°，那么∠A与∠B互为余角．(×) (8)如果∠A＝x°，∠B＝(90－x)°，那么∠A与∠B互余．(√)
即其中的一个角是另外一个角的补角.
几何语言： ∵∠1+∠2=180°(或∠1=180°-∠2)，
∴∠1与∠2互为补角 .
12
典例精析
∠α 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90)
∠α的余角 58° 45° 13°
27°37′ 90°－ x°
∠α的补角 148° 135° 103°
117°37′ 180°－x°
M
C'
N ∴∠MOB'= ∠BOB'，∠C'ON= ∠C'OC
两条直线的位置关系ppt课件
理论说明对顶角性质：
A
D
因为直线AB,CD相交于点O（已知）
O
所以∠AOD＋∠AOC＝180°（补角的意义）
C
B
∠AOD＋∠BOD＝180°（补角的意义）
所以∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）
－40°＝140°（等量代换）
例二：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.
解：因为OE平分∠BOC，
A
所以∠BOE=∠COE＝65°
得∠BOC＝130°.
C
O
因为直线AB、CD相交于点O， 所以∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠AOD＝∠BOC＝130°.
余角、补角的识别及性质总结
一、余角的识别：
两角的和为90度，则两角互为余角. 特别说明：余角只与数量有关，与位置无关 判定：若∠1+∠2=900，则∠1与∠2互为余角. 性质：若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=900.
二、补角的识别： 两角的和为180度，则两角互为补角. 特别说明：补角只与数量有关，与位置无关.
请将图简化成几何图，并抽
象成数学问题： ON 与 DC 交于点 O ，∠ DON =∠ CON
=90°， 且∠1=∠2.
问:1）图中有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 2）有哪些角相等？为什么？
归纳总结: 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角 相等.
例题讲解：
例一：如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°， 求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。