高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 . 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习 理讲义
第一章集合与常用逻辑用语 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习理[A 组·基础达标练]1．[2015·滨州模拟]命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数答案D解析该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，结合选项知D 正确．2．[2015·偃师模拟]已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则()A．p 是假命题，綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0B．p 是假命题，綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0C．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0D．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0答案B 解析命题p 为特称命题，故綈p 为全称命题，又对∀x 而言，3x ＋1>1，从而log 2(3x＋1)>0恒成立，故p 为假命题．3．[2015·唐山一模]命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)．则()A．p 假q 真B．p 真q 假C．p 假q 假D．p 真q 真答案A解析∵x 3<x 2，∴x 2(x －1)<0，∴x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．∵对∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，log a 1＝0，即f (x )的图象过点(2,0)，命题q 为真命题．故选A.4．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案D解析命题p 、q 均为真命题，则綈p 、綈q 为假命题．从而结论①②③④均正确，故选D.5．[2016·江西九校联考]已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0，给出命题p ：l 1∥l 2的充要条件是a ＝－3或a ＝2；命题q ：l 1⊥l 2的充要条件是a ＝－35.对于以上两个命题，下列结论中正确的是()A．“p ∧q ”为真B．“p ∨q ”为假C．“p ∨(綈q )”为假D．“p ∧(綈q )”为真答案C解析对于命题p ，因为当a ＝2时，l 1与l 2重合，故命题p 为假命题；当l 1⊥l 2时，2a＋3a ＋3＝0，解得a ＝－35，当a ＝－35时，l 1⊥l 2，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，故命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为假命题，故选C.6．[2015·昆明三模]若“p ：∃x 0∈[1,4]，log 12x 0≤a ”是真命题，则实数a 的最小值是()A．0B．1C．－2D．－1答案C解析问题转化为y ＝log 12x 0在x 0∈[1,4]上的取值范围，则y ∈[－2,0]，∴a ≥－2，∴a 的最小值是－2.故选C.7．[2015·揭阳一模]已知命题p ：函数y ＝sin4x 是最小正周期为π2的周期函数，命题q ：函数y ＝tan x )A．p ∧qB．(綈p )∨qC．(綈p )∧(綈q )D．(綈p )∨(綈q )答案D 解析函数y ＝sin4x 的最小正周期T ＝2π4＝π2，所以p 是真命题；函数y ＝tan x 在q 是假命题，所以綈p 为假，綈q 为真，从而(綈p )∨(綈q )为真，故选D.8．[2016·南昌调研]下列说法错误的是()A．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ”的充要条件D．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假答案D解析易知A、B 正确；由xy ⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．9．[2016·西城模拟]已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析要使函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增，则c －1>0，解得c >1.所以p ：c >1.因为不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅，所以判别式Δ＝1－4c <0，解得c >14，即q ：c >14.因为p 且q 为真命题．所以p ，q 同为真，即c >14且c >1，解得c >1.所以实数c 的取值范围是(1，＋∞)．10．给出下列命题：①命题“∃x ≥2，x 2－2x ＋1<3”的否定为“∀x <2，x 2－2x ＋1≥3”；②“若a >0，b >0，则a ＋b >0”的否命题为“若a ≤0，b ≤0，则a ＋b ≤0”；③若p 是綈q 的充分非必要条件，则綈p 是q 的必要非充分条件；④“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件．其中是真命题的有________(把你认为正确命题的序号都填上)．答案③④解析①错误，命题的否定应为“∀x ≥2，x 2－2x ＋1≥3”；②错误，否命题应为“若a ≤0或b ≤0，则a ＋b ≤0”；③正确，由已知可知“若p ，则綈q ”为真命题且“若綈q ，则p ”为假命题，利用原命题与其逆否命题的等价性可知：“若q ，则綈p ”为真命题且“若綈p ，则q ”为假命题，所以綈p 是q 的必要非充分条件；④正确，令命题p ：a <b ，命题q ：am 2<bm 2，若a <b ，当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以p ⇒q ；当am 2<bm 2时，显然m 2≠0，∴a <b ，∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．11．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以綈p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1，所以綈q ：c >12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c >12且c c 12<c②当p 假，q 真时，{c |c 0<c ∅.综上所述，实数c |12<c <112．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递减，q ：函数y x －2a x ≥2a ，ax <2a且y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．解若p 是真命题，则0<a <1，若q 是真命题，则y >1恒成立，即y 的最小值大于1，而y 的最小值为2a ，只需2a >1，∴a >12，∴q 为真命题时，a >12.又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假，若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，故a 0<a ≤12或a [B 组·能力提升练]1．下列四个命题中是真命题的是()①存在x ∈(0，＋∞)，使不等式2x<3x成立；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③对任意的x ∈(0,1)，不等式log 2x <log 3x 成立；④对任意的x ∈(0，＋∞)，不等式log 2x <1x成立．A．①③B．①④C．②③D．②④答案A解析①中取x ＝1即可满足；②中取x ＝132即可使不等式成立；画图可知③为真命题；④中取x ＝4，不等式不成立．故选A.＋y ≥1，－2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是()A．p 2，p 3B．p 1，p 4C．p 1，p 2D．p 1，p 3答案C解析＋y ≥1，－2y ≤4的可行域D 如图阴影部分：两直线交点A (2，－1)，设直线l 0的方程为x ＋2y ＝0.由图象可知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0.故p 1为真命题，p 2为真命题，p 3，p 4为假命题．3．[2016·衡水调研]直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________；(2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案(1)－1(2)①②③解析(1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )．∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上，∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．4．[2015·天水模拟]已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2(x ≥0)，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又g (1)＝0，f (3)＝2－ 3.(1)求f (x )的表达式及值域；(2)问是否存在实数m ，使得命题p ：f (m 2－m )<f (3m －4)和q ：>34满足复合命题p且q 为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解(1)由g (1)＝0，f (3)＝2－3可得a ＝－1，b ＝1，故f (x )＝1＋x 2－x (x ≥0)，由于f (x )＝11＋x 2＋x在[0，＋∞)上递减，所以f (x )的值域为(0,1]．(2)存在．因为f (x )在[0，＋∞)上递减，故p 真⇒m 2－m >3m －4≥0⇒m ≥43且m ≠2；又＝12，即＝34，故q 真⇒0<m －14<12≤1⇒1<m <3.故存在m ∈43，2p 且q 为真命题．。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件
A．p1，p2 C．p3，p4
B．p2，p3 D．p1，p4
12/11/2021
解析：由指数函数的性质可知 p1 为真命题； ∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0 恒成立，∴p2 为假命题； ∵sin－32π＝1＞2－32π，∴p3 为假命题； ∵当 x＝－12时，cos x＞cosπ6＝ 23＞－122＋－12＋1， ∴p4 为真命题．故选 D. 答案：D
12/11/2021
2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，用“ ∀ ”表示；含有全称量词的命题叫做全称 命题． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词，用“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题叫做 特称命题．
12/11/2021
第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
C目核心考点 互动探究 课时作业
12/11/2021
高考·导航
12/11/2021
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
12/11/2021
2．命题“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”，其否定为________． 答案：若 ab＝0，则 a≠0 且 b≠0
12/11/2021
核心考点 互动探究
12/11/2021
题组练通
1．(2018·西安质检)已知命题 p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( ) A．p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
A．p∨q 为真
B．p∧q 为真
C．p 真 q 假
D．p∨q 为假
高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书
2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书文北师大版1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q 綈p 綈q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假【知识拓展】1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真；(2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p 且q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p 或q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × )1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．(綈p )且(綈q )D ．p 且q 答案 A解析 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 綈p 为真知p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．存在x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A4．设命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1>0，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．存在x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．存在x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．任意x ∈R ，x 2＋1≤0 答案 B解析 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“存在x 0∈R ，x 20＋1≤0”，故选B.5．(2015·某某)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且(綈q ) C ．(綈p )且q D ．p 且(綈q )(2)(2016·聊城模拟)若命题“p 或q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假 答案 (1)D (2)B解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p 且(綈q )是真命题．(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．思维升华 “p 或q ”“p 且q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”等形式命题的真假．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p 且q ；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案 C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知：①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q 为假命题，故选C.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2016·某某模拟)命题p：存在x0∈N，x30<x20；命题q：任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图像过点(2,0)，则( )A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真(2)已知命题p：任意x∈R,2x<3x；命题q：存在x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．(綈p)且(綈q)答案(1)A (2)B解析(1)∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个X围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图像过点(2,0)，∴log a1＝0，对任意a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立．命题q为真命题．(2)容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图像，易知命题q为真命题．根据真值表易判断(綈p)且q为真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“存在x 0∈R ，使得x 20≥0”的否定为( ) A ．任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．任意x ∈R ，都有x 2≥0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≤0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0(2)(2015·某某)命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)＞n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)＞n 0 答案 (1)A (2)D解析 (1)将“存在”改为“任意”，对结论中的“≥”进行否定，可知A 正确． (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)(2016·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin2x2＋cos2x2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(2016·某某质检)已知命题p ：“存在x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．存在x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．存在x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．任意x ∈R ，e x －x －1>0 D ．任意x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 (1)C (2)C解析 (1)C 选项中，当x >0时，x 2＋1－x ＝(x －12)2＋34>0，即x 2＋1>x 恒成立，∴C 正确．(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“任意x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C.题型三 含参数命题中参数的取值X 围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________________．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是( )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞) D．(－∞，－12]答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)A 解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12. ∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值X 围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________． 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值X 围；(2)含量词的命题中参数的取值X 围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．(1)已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“存在x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值X围是( )A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，－1)(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值X围是________________．答案(1)C (2)(－∞，0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值X围是(－∞，0)．1．常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值X围、量词等问题，几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)已知命题p：存在x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么( )A．綈p为假命题B．q为真命题C．p或q为假命题D．p且q为真命题(2)下列命题中错误的个数为( )①若p或q为真命题，则p且q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：存在x0∈R，x20＋x0－1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．A．1 B．2 C．3 D．4解析(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题； 对于命题q ，当m ＝0时，－1<0恒成立， 所以命题q 为假命题． 综上可知，綈p 为真命题，p 且q 为假命题，p 或q 为假命题，故选C.(2)对于①，若p 或q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p 且q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x 2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2，故选B.答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值X 围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1](2)(2016·某某一模)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈[12，3]，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值X 围是( ) A ．a ≤1 B．a ≥1 C ．a ≤0 D．a ≥0 解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－xx ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2，由p 是q 的充分不必要条件，知k >2，故选B. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0，故选C.答案 (1)B (2)C三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A．p或q B．p且q C．q D．綈p答案 B解析命题p假，q真，故命题p且q为假命题．2．下列命题中，真命题是( )A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈R，－1<sin x<12x<0C．存在x0∈R,0D．存在x0∈R，tan x0＝2答案 D解析任意x∈R，x2≥0，故A错；任意x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；由y＝2x的图像可知任意x∈R,2x>0，故C错，D正确．3．(2016·某某质检)已知命题p：存在x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：任意x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：任意x ∈R ，log 2(3x＋1)>0，故选B.4．(2016·某某某某收官考试)已知p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：存在x 0∈(0，＋∞)，sinx 0>1，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或(綈q )B ．(綈p )或qC ．p 且qD ．(綈p )且(綈q ) 答案 A解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；任意x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p 或(綈q )是真命题，故选A. 5．(2016·某某高安中学等九校联考)下列判断错误的是( ) A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少之一为假命题B ．命题“任意x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2－1>0” C ．“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题 D ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的否命题是假命题 答案 C解析 选项A ，B 中的命题显然正确；选项D 中命题的否命题为：若am 2≥bm 2，则a ≥b ，显然当m ＝0时，命题是假命题，所以选项D 中命题正确；对于选项C 中的命题，当c ＝0时，命题是假命题，即选项C 中的判断错误，故选C.6．(2016·某某检测)已知命题p ：任意x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：存在x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )且qC ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q ) 答案 B解析 若x 3<x 4，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题； 若sin x －cos x ＝2sin(x －π4)＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴(綈p )且q 为真命题．7．已知命题“存在x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1) 答案 B解析 依题意可知“任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3，故选B.8.(2016·某某师大附中月考)函数f (x )＝ln x －x a(a >0)，若存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，＋∞) D．(0,1)∪(2，＋∞)答案 D解析 由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1a(a >0)，当x ∈(0，a )时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；故f (x )max ＝f (a )，存在x 0∈R ，使得任意x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1)对任意x 1∈[1,2]恒成立，故a ∉[1,2]，所以实数a 的取值X 围是(0,1)∪(2，＋∞)，选D.9．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x 10∈Q ，x 20＝2；③存在x 0∈R ，x 20＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．10．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________．答案 存在x 0∈A,2x 0∉B解析 命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题， ∴綈p ：存在x 0∈A,2x 0∉B .11．(2016·某某区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (12，1)∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“任意x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值X 围是(12，1)∪(1，＋∞)． 12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )且p ”为真，则x 的取值X 围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值X 围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．13．(2016·某某五校联考)已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p 且q 为假命题，则实数m 的取值X 围为______________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14．已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值X 围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1. 15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值X 围为________________；(2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值X 围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值X 围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．。
旧教材适用2024高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词
第3讲简洁逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：全部的，随意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中随意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题经常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区分：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2024·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2024·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成果不低于100分，命题q ：乙的数学成果低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成果都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成果低于100分C ．甲、乙两人数学成果都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成果不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成果低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成果不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成果不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 确定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；依据逆否命题的定义可知p 3为真命题．依据复合命题的真假推断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的推断 例1 (2024·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中随意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中全部真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有多数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内全部直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．推断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先推断复合命题的结构形式．(2)辨真假：推断构成这个命题的每一个简洁命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出推断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列推断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2024·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．随意一个有理数，它的平方是有理数B．随意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析依据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“随意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．假如所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2024·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析依据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“全部”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的推断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的全部内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于随意一个负数x ，都有1x <0，不满意1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种推断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不简洁正面推断时，可先推断其否定的真假．命题名称 真假 推断方法一 推断方法二 全称命题真 全部对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假全部对象使命题假否定为真4.(2024·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题确定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满意a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对随意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满意题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).依据命题真假求参数的方法步骤(1)先依据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不确定只有一种状况，本例(2)中有两种状况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最终依据每个命题的真假状况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .假如命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2024·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“全部x∈A，都有2x∉B”，它的否定应当是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析依据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2024·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的确定值是正数B．全部平行四边形都不是菱形C．随意两个等边三角形都是相像的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，明显A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满意P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2024·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于随意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2024·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于全部k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2024·河南济源、平顶山、许昌其次次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得其次名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙其次、丙第三B ．甲其次、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙其次D ．甲第一、乙没得其次名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得其次名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能确定其他队员得其次名，乙没得其次名．故选D.12．(2024·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中全部真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2024·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2024·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2024·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．假如“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时作业3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件理新人教A版
A．p∧q B．p∨(綈q) C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧q
解析 对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以
命题p为假命题，命题綈p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝
n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题綈q为假
命题。所以(綈p)∧q为真命题。故选D。 答案 D
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
解析 由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题， ∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题。故选C。
答案 C
5．已知命题p：∃x0∈R，cosx0＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0。则 下列结论正确的是( )
课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础过关组 一、选择题 1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( ) A．老师和学生 B．9的平方根是3 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分的四边形是矩形
解析 根据逻辑联结词“且”的含义，可知C符合。A不是命题，B， D不是“p且q”形式。故选C。
答案 D
二、填空题 9．命题p的否定是“对所有正数x， ____。
x >x＋1”，则命题p可写为
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对
结论否定即可。 答案 ∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时 为假命题，则x＝________。
C．0，14
D．0，41
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词
第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文
题
p(x)成立
∃x∈_M_，_ p(x)
存在性 存在M中的一个x，使 _____________
命题
p(x)成立
___
答案
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)
____∃_x_∈__M__，__¬_p_(x_)____ ___∀_x_∈__M__，__¬_p_(_x)___
解析答案
(2)下列四个命题p1：∃x Nhomakorabea∈(0，＋∞)，
1 2
x0
1 3
x0
;
p2：∃x0∈(0,1)，log1x0 log1x0;
2
3
p3：∀x∈(0，＋∞)，
1 2
x
log 1 x;
2
p4：∀x∈0，13，
解析答案
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例 2 (1)下列命题中，为真命题的是_①__④__.
①∀x∈R，x2≥0;
②∀x∈R，－1<sin x<1；
③∃x0∈R, 2 x0 0 ;
④∃x0∈R，tan x0＝2.
解析 ∀x∈R，x2≥0，故①正确； ∀x∈R，－1≤sin x≤1，故②错； ∀x∈R,2x>0，故③错，故④正确.
12345
解析答案
3.(2015·浙 江 改 编 ) 命 题 “∀n∈N* ， f(n)∈N* 且 f(n)≤n” 的 否 定 形 式 是 _∃__n_0∈__N__*，__f_(n_0_)_∉_N_*_或__f_(n_0_)_＞__n_0 . 解析 写全称命题的否定时， 要把量词∀改为∃，并且否定结论， 注意把“且”改为“或”.