指数函数指数与指数幂的运算

第六讲指

数函数

——指数与指数幂的运算 知识点一、根式

1

叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根都等于0

2、两个等式：A 、n>2时，且n N +∈

时，n a =

B 、n

a ；n

00

a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩L L L L 知识点二、分数指数幂

1

、正数的正分数指数幂的意义：0,,,1)m n a a m n N n +=>∈>

2

、正数的负分数指数幂的意义：1

0,,,1)m

n m

n a a m n N n a -+==>∈>

3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

知识点三、分数指数幂的运算性质

1、对任意的有理数r ，s 均有如下性质：

A 、(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈

B 、()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈

C 、()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =⋅>>∈

D 、()(0,0,)r a a r a b r Q r b b

=>>∈ E 、(0,,)r

a r s a a r s Q s

a -=>∈ 2、简化过程：①先括号内，再括号外；②先乘除，后加减；③有根号的，按从内到外的顺序计算；④采用同一种形式；⑤结果要最简。

巩固习题

1、如果0,0,,a b m n >>都是有理数，下列各式错误的是（）

A 、()m n mn a a --=

B 、m n m n a a a --⋅=

C 、()n n n a a b b

-=⋅D 、m n m n a a a ++= 2、,x y R ∈时，下列各式恒成立的是（）

A

、6x y =-B

22x y =+C

x y =-D

、x y =+

3、下列各式运算错误的是（）

A 、222378()()a b ab a b -⋅-=-

B 、2332333()()a b ab a b -÷-=

C 、322366()()a b a b -⋅-=

D 、322331818[()()]a b a b ⋅-=-

4、计算1221

21(2)()2()48

n n n n N +++-⋅∈⋅的结果为（） A 、416B 、252n +C 、2262n n -+D 、271()2

n - 5、计算1

020.5231(2)2(2)(0.01)54

--+⋅-6

7、若102,103m n ==，求3210

m n

-的值。8

9、已知1

1

223a a -+=，求下列各式的值。

（1）1a a -+（2）22a a -+（3）33221

1

22a a

a a ----

10已知11()212

x f x =

+-，试判断()f x 的奇偶性。 知识点四、指数函数的概念。 1、一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠叫做指数函数，定义域为R ，值域为(0,)+∞

2、在x y a =表达式中，任何部位发生改变后都不是指数函数：1x y a +=，1x y a =+等叫“类指数函数”

知识点五、指数函数的图象

（1）一般地，(0,1)x y a a a =>≠的图象分两种情况，即1a >和01a <<的图象。

作法：对x y a =的图象的作法有三个关键点：1(1,),(0,1),(1,)a a

- 例题1、如图是指数(1)x y a =(2)x y b =(3)x y c =(4)x y d =的图象，

试比较a 、b 、c 、d 的大小关系（）

A 、1c a d b <<<<

B 、1a c b d <<<<

C 、1d b c a <<<<

D 、1b d a c <<<<

例题2、函数11(0,1)x y a a a +=+>≠中，无论a 取什么值，恒过一个定点，此定点的坐标为____________。

例题3、比较下列各组数的大小

例题4、若01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图象不过（）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

例题5、已知1010()1010x x

x x

f x ---=+，求()f x 的值域 巩固习题：

1、2()(1)x f x a =-在R 上是减函数，则a 满足的条件为（）

A 、1a >

B 、a

C 、a >

D 、1a <<2、已知

111()()1222

b a <<<，则（） A 、1a b >>B 、01b a <<>D 、01a b <<< 3、()x f x a =在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，()f x 在[0,1]上为增函数，则a=（）

A 、12

B 、2

C 、4

D 、14

4、若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图象在第一、三、四象限，则有（）

A 、1a >且0b <

B 、1a >且0b >

C 、01a <<且0b >

D 、01a <<且0b <

5、不等式2821()33

x x -->的解集是_____________________________________。 6、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系为

_____________________________________。

7、函数382(0)x y x -=-≥的值域为_____________________________________。

8、若1x y >>，01a <<，那么正确的结论是（）

A 、x y a a >

B 、1x a >

C 、1x a -<

D 、x y a a -->

9、若10.225x ≤≤，则实数x 的取值范围为_____________________________________。

10、函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系为__________。

11、求2121

x x y -=+的定义域和值域 12、若关于x 的函数123()35x a a +=-有负根，求a 的取值范围。