复数的几何表示
复数的三角形式和运算

与代数形式转换方法
三角形式转换为代数形式
根据三角形式的定义,将$r(costheta + isintheta)$展开得到$rcostheta + irsintheta$。
将实部和虚部分别对应到代数形式的$a$和$b$,即得到代数形式$a + bi$。
03 复数运算规则
加减法运算规则
同类项合并
在复数的加减运算中,实部与实部相加、虚部与行化简,得到最简复数表达式。
乘法运算规则
分配律
复数乘法遵循分配律,即先将一个复数与另一个复数的实部和虚部分别相乘,再将所得的积相加。
乘法公式
根据复数乘法公式,可将两个复数的乘积表示为实部和虚部的形式。
除法运算规则
共轭复数
01
在复数除法中,为了消去分母中的虚部,需要引入共轭复数的
表示其振幅和相位。
阻抗和导纳
在正弦交流电路中,阻抗和导纳是 描述电路元件对交流电信号响应的 重要参数,它们可以用复数表示。
复数运算
通过复数的加、减、乘、除等运算, 可以方便地分析正弦交流电路中的 电压、电流和功率等问题。
阻抗匹配问题
阻抗匹配概念
阻抗匹配是指使负载阻抗与源阻抗共轭相等,以实现最大功率传 输或最小反射功率的电路设计方法。
在复数 $z = a + bi$ 中,$a$ 称为复数的实部,$b$ 称为复数的虚部。
复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
复平面表示法
复平面
以实轴和虚轴为坐标轴的平面称为复 平面,其中实轴上的点表示实数,虚 轴上的点表示纯虚数。
复数的几何意义
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应的 点为 $(a, b)$,该点到原点的距离表 示复数的模长,与正实轴的夹角表示 复数的辐角。
复数运算的几何意义解读

复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数构成的数学概念,具有实部和虚部两个部分。
在复平面中,复数可以表示为一个有序数对(a,b),其中a为实部,b为虚部。
复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。
首先,复数可以用来表示平面上的点。
复平面以实轴为x轴,以虚轴为y轴,每个复数可以对应平面上的一个点。
实部表示该点在x轴上的位置,虚部表示该点在y轴上的位置。
例如,复数z=3+4i表示平面上的一个点,该点在x轴上的位置是3,在y轴上的位置是4加法运算是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相加得到的结果是一个新的复数,其实部等于两个复数的实部之和,虚部等于两个复数的虚部之和。
在几何上,两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加,得到一个新的点。
减法运算也是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相减得到的结果是一个新的复数,其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部,虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。
在几何上,两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量,进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。
两个复数相乘得到的结果是一个新的复数,其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积,虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。
在几何上,两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。
除法运算是复数运算中的一种特殊操作。
两个复数相除得到的结果是一个新的复数,其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方,虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。
在几何上,两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量,进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
复数的模是复数到原点的距离,可以用勾股定理计算。
复数的模平方等于复数实部的平方加上虚部的平方。
1.1复数及几何表示(1)

复数的定义 对于任意两实数 x, y, 称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re z, y Im z. 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 把它看作实数 x. 注意: 全体复数的集合记为 .
a1 ib1 (a1 ib1)(a2 ib2 ) a2 ib2 (a2 ib2 )(a2 ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a22
a1b2 b22
(a2
ib2
0).
复数的加法、减法、乘法和除法的定义 设 a1, a2,b1,b2 R,则复数的加法、减法、
二、 复数域是实数域的扩充
让形如(a,0)的复数与实数a对应,记作(a,0) a. 由定义可看出它们的和、积
(a,0) (c,0) (a c,0) a c, (a,0)(c,0) (ac,0) ac.
因此 是一个同构对应. 在同构的意义下,简记(a,0) a. 从而实数集 : {(a,0) a} 是复数集的子集,复数集 是实数集的扩充.
(c id) (a ib) x iy (c a) i(d b)
(c id) (a) i(b). 注:(1) 复数减复数等于实部减实部,虚部减虚部;
或 (2) 减去一个复数等于加上它相反的数.
除法是乘法的逆运算
若复数x iy满足(a ib)(x iy) c id,则称 x iy是c id和a ib的商,记为x iy (c id) /(a ib).
(4) 每个复数a ib有相反的数(a) i(b);
(5)
每个非零复数a
ib有倒数
a2
a
复数的几何表示

辐角:表示复数在复平面上的旋转角度
复数的几何运算
03
加法运算
举例:例如z1=3+4iz2=1+2i则z1+z2=4+6i
定义:两个复数相加相当于在复平面内将它们的向量相加
规则:平行四边形法则即以实部和虚部分别为邻边作平行四边形其对角线即为相加后的复数
几何意义:表示在复平面内将z1和z2对应的点相加得到的结果对应的点就是z1+z2
复数的几何表示
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汇报人:
目录
01
添加目录项标题
02
复数的几何定义
03
复数的几何运算
04
复数的几何意义
05
复数的几何应用
06
复数的几何表示的扩展
添加目录项标题
01
复数的几何定义
02
复数平面的坐标系
实轴和虚轴:复数平面的水平轴表示实数垂直轴表示虚数
点的表示:每个复数z可以表示为平面上的一点(,b)其中是实部b是虚部
模长:复数z的模长定义为√(^2 + b^2)表示点(,b)到原点的距离
幅角:复数z的幅角定义为rctn(b/)表示点(,b)与实轴正方向的夹角
复数在平面上的表示
实部为横坐标虚部为纵坐标
复数平面的表示方法有多种
复数由实部和虚部组成
复数可以用平面上的点来表示
复数的模和辐角
复数的模:表示复数在复平面上的距离
除法运算
定义:复数 + bi 与 c + di 的除法运算可以通过乘以共轭数的方式进行
单击此处添加标题
单击此处添加标题
应用:在电路分析、信号处理等领域中复数的除法运算有广泛应用
第一章 第2节 复数几何表示

0
, ( 0)
0 ,
无意义
二、区域
1.区域的概念 集合中的各类点
1)集合的各类点(集)
一维空间:邻域(开区间)
( x0
x0
) x0
二维空间:邻域(开圆)
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1
z0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
2.单连通域与多连通域
(5)0 arg z ;
非开集
边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D 中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界.
说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
C2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域
z0
R
邻域: 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
说明
z0所对应的点P的邻域和去心邻域也可 分别记作U(P,), U (P,δ)
说明 包括无穷远点自身在内且满足 z M 的
所有点的集合, 其中实数 M 0, 称为无穷远 点的邻域.
第一章
1.2 复数的几何表示

r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 ) z1 r1
棣莫佛(de Moivre)公式
(cos i sin )n cos n i sin n
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28
思考题
是否任意复数都有辐角?
29
思考题答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
放映结束,按Esc退出.
第二节 复数的表示
2.1 复数的模和辐角 2.2 复数模的三角不等式 2.3 复数的三角表示 2.4 用复数的三角表示作乘除法 2.5 复数的乘方与开方 2.6 小结与思考
2.1 复数的模(或绝对值)和辐角 1 . 如 果 z 是 一 个 不 等于 零 的 复 数 , 把 它 对 应的 向 量 的 长 度 叫 做 z 的 模, 记 做 z
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
21
例如 k n时,
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
w0
.
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
22
例3 计算 3 1 i 的值.
4
5
arctan
y x
,
arctan
y
+π,
argz
=
arctan
x y
-π,
x
当z在第一象限 当z在第二象限 当z在第三象限
arctan
y
,
x
当z在第四象限
复数的加减法及其几何意义

复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi,其中a,b∈ R,a称为复数z的实部,记作Re(z)=a;b称为复数z的虚部,记作Im(z) = b。
- 例如,z = 3 + 2i,实部a = 3,虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i,z_{2}=a_{2}+b_{2}i,则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如,若z_{1}=2 + 3i,z_{2}=1 - 2i,则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i,z_{2}=a_{2}+b_{2}i,则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如,若z_{1}=4+5i,z_{2}=2 + 3i,则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内,复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示,也可以用向量→OZ来表示,其中O为坐标原点。
- 例如,复数z = 3+2i对应的点为(3,2),对应的向量→OZ,起点为O(0,0),终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i,z_{2}=a_{2}+b_{2}i,它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2},即平行四边形法则:以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形,则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如,z_{1}=2 + i,z_{2}=1+2i,→OZ_{1}=(2,1),→OZ_{2}=(1,2),以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3),对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数的坐标表示

例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R),
(1)求a为何值时,表示复数Z的点Z在第二、三象限?
(2)a为何值时,点Z在实轴上,虚轴上?
(3)能否在原点?
复数的模
定义:复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点的距离。
即 | z || a bi | a 2 b 2
例:若复数 z1 , z2满足Re z1 Re z2 0, Im z1 Im z2 0, 则z1 , z2在复平面上的对应点有 怎样的对称关系?
关 于x轴 对 称
例:如果复数 z (m 2) (m 2 16)i (m R)在复平面上 的对应点在第四象限, 则m的范围?
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形:
以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
模的几何意义
满足 3<|z|<5 (z∈C)的 5 y
复数z对应的点在复平面
上将构成怎样的图形? 设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
a bi(a, b R)。建立了直角坐标系用来
b
表示复数 z a bi(a, b R) 的平面叫做复平面. 这里 x轴 实轴; y轴 虚轴。
o
a
x
表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上,原点表示实数0.
这样复数集中的元素和复平面上的点集中的元素是一一对应的。
并数一数(1) 复数
解: (1) 10×10=100 个
(2) 10个
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复数z 的辐角:向量 OP 的方向角 . 记作 Arg z .
y
注意:
y
z x yi
2) 0的模为零,0的辐角不确定. 3)
O
x
x
复数z的幅角主值: 满足 π π 的那个幅角.
记作 arg z . 于是幅角与幅角主值的关系
例5
求下列复方程所表示的曲线:
(1) z 1 z 1 4;
(2)Re( z 2 ) 1.
x2 y2 设 z x iy, 代入复方程得 1 4 3
3i
(1)
(2)
2
1
1
2
1
1
3i
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*二、复球面
1.南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
复数 z 的指数表示式为 z 4e
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5π i 6
.
习惯上取主辐角
例5
将下列复数化为三角表示式与指数表示式 :
z sin 5 i cos 5 ;
解
r z 1,
3 sin cos cos , 5 10 2 5
Arg z arg z 2 k π , k 0, 1, 2, .
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幅角主值的计算: 注意arg z ( , ]. arctan y , 若z在第一、四象限; x y arctan π, 若z在第二、三象限; x arg z π, x 0, y 0, 若 2 0或π, 若 x 0, y 0.
y
为2的点的轨迹.
即表示中心为 i , 半径为 2 的圆. 设 z x iy,
o
-i
x
x ( y 1)i 2,
x 2 ( y 1)2 2, 圆方程 x 2 ( y 1)2 4.
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( 2) z 2i z 2
表示所有与点 2i 和 2距离相等的垂直平分线.
y
z2
z2
o
z1
z1 z2
z1 z 2 z1
x
z1
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例3 求下列在复平面上所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
( 3) Im(i z ) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
线用复数形式的方程来 表示.
解
通过两点( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
所以它的复数形式的参数方程为(复方程)
z z1 t ( z2 z1 )
设 z x iy,
化简后得
x yi 2i x yi 2 ,
2i 2
y x.
( 3) Im( i z ) 4 i z x (1 y )i ,
设 z x iy,
Im( i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为y 3.
各种表示法可相互转化,
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思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
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作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
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例4 将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直
, ( ),
0
, ( 0)
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为了用球面上的点来表示复数,引入了无穷远
点.无穷远点与无穷大这个复数相对应 , 所谓无穷
大是指模为正无穷大(辐角无意义)的唯一的一个 复数,不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为
一谈.
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z x iy
y 其中arctan ( , ). x 2 2
y
y
z x iy
O
x
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例1 求 z 的模和幅角: (1) z 1 i ; (2) z i .
2 2 解 (1)模为 | z | x y 2 .
由于z 位于第二象限, y z z y arg z arctan x π x arctan(1) π , 4 3π Arg z arg z 2k 2 k π , k 0, 1, 2, . 4
sin 3 , cos sin 10 5 2 5
3 3 故三角表示式为 z cos i sin , 10 10
指数表示式为 z e
3 i 10
.
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内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值;
2.复数的各种表示法.
N P
通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一 点 N,
我们称 N 为北极, S 为南极.
S O
y
x
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2.复球面的定义 球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系 . 我们可以用球
面上的点来表示复数.
规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平 面上的无穷远点相对应 , 记作∞. 因而球面上
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关于 的四则运算规定如下:
(1) 加法 : , ( ) (2) 减法 : , ( ) (3) 乘法 : , ( 0)
(4) 除法 :
0,
的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,
这样的球面称为复球面.
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3.扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说,实部、虚部、辐角等概念均 无意义,它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
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2.用复平面上的向量表示复数 向量 OP 与复数 z x iy 一一对应,故用它表示复数.
y
P
z
o
z x iy
x
y
注意: 复数 z,点 z,向量 z 可视为同一个概念。 z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y
O
z x yi
r
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y arctan x
arctan
y x
y arctan x
y arctan x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则,
且 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离 , 故成立不等式.
第二节 复数的几何表示
一、复数的几何表示 二、模和辐角
第一章
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一、复数的几何表示
1.用复平面上的点表示复数
复数z x iy与有序实数对( x, y )一一对应.
故用直角坐标平面上的点可以用来表示复数.
(虚轴) (2,2) z =2+2i
(实轴)
把该直角坐标面称为复平面, x轴叫实轴, y轴叫虚轴.
参数 t ( , ),
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故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
1 若取 t , 2 z1 z2 . 得线段 z1 z2 的中点坐标为 z 2
0 t 1
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y
z x yi
三、复数的三角表示和指数表示
O
r
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
x
则z也可以表示成
复数的三角表示式 再利用欧拉公式 ei cos i sin , 则z也可以表示成 复数的指数表示式
x
z x yi
x
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二、复数的模和幅角 复数z 的模:向量 OP 的长度,记作
z r x2 y2 .
y
P
容易看出,
r
o
x z, y z,
z x y,
z z z z2 ,
2
x
z x iy y x
z x iy
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例4 解
| z | 12 4 4, 2 arg z arctan( )π 12 1 arctan π 3
y
2
12
x
π 5π π . 6 6 5π 5π z i sin ). 复数 的三角表示式为 z 4 ( cos 6 6
(2) z 1, arg z , Arg z arg z 2k 2k 2 2
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2i 2(1 i ) 3 i . 解 z 1 i i