构造函数解不等式剖析
构造函数解不等式
构造函数解不等式构造函数是数学中常用的一种方法，用于解不等式。
不等式是数学中常见的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系。
构造函数解不等式的过程可以帮助我们找到不等式的解集，从而求解各种实际问题。
本文将介绍构造函数解不等式的方法，并通过具体例子来说明其应用。
我们来了解一下构造函数的概念。
构造函数是一种将数学关系转化为函数关系的方法。
通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，并通过函数的性质来求解不等式。
构造函数的基本思路是将不等式中的未知数表示为函数的自变量，并通过对函数的性质进行分析，来确定不等式的解集。
接下来，我们来看一个简单的例子来说明构造函数解不等式的方法。
假设我们要求解不等式2x-3<5。
首先，我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=2x-3。
然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。
由于2x-3是一个线性函数，其图像是一条直线，斜率为2，截距为-3。
我们知道直线的上方表示函数值大于直线上的点，直线的下方表示函数值小于直线上的点。
因此，不等式2x-3<5的解集是x的取值范围使得函数值小于5的区间。
根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为x<4。
上述例子展示了构造函数解不等式的基本思路和方法。
下面，我们来看一些更复杂的例子，以进一步说明构造函数解不等式的应用。
例子1：解不等式x^2-4<0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=x^2-4。
然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。
由于x^2-4是一个二次函数，其图像是一个抛物线，开口向上，顶点为(0,-4)。
我们知道抛物线的上方表示函数值大于抛物线上的点，抛物线的下方表示函数值小于抛物线上的点。
因此，不等式x^2-4<0的解集是x的取值范围使得函数值小于0的区间。
根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为-2<x<2。
例子2：解不等式1/(x-1)>0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=1/(x-1)。
巧用“构造函数法”证明不等式
解 析 ： 题 的通 常想 法 是 用 数 学 归 纳 法 ， 必 须 本 但
先证 明加强 后 的不 等式 ， 很难 构 造或 不 可能 构 造。
若 从ｎ 联 ，是 数（＝ 在 问１］ 能 ｌ去 想它 函 ＿） 区 ［ ２ 厂 ÷ ， ２ 上 定 分即 ｝ ｄ ｌ表 函 ， ） １ 的 积 ，』 ｎ 示 数 （ ＝ ÷ ＝２ ， 与 轴 成 图 的 积左 ＋ ＋ ＋ 围 的 形 面 ， ｌ … 边－ ） ＝ 。看 ｎ 矩 的 ・ 毒 成个 形 面 １ ｎ
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例 ４ 已知 ０ ｂ ｃ ， ， ∈Ｒ 且 ｌ ＜１ ｛ ＜１ ｌ ， ｂ ０ ｌ ，
ｌ ， ｌ ＜１求证 ：６＋６ ＋∞ ＞一１ ｃ ｏ ｃ 。
解 析 ： 据 ｏ ｂ ｃ三 个 变 量 是 对 称 的 ， 以 看 根 ，， 可
．
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函数 ｎ 单调递增 ， ） 即 ｎ ≥－ ２ ＝ ） 厂 ） （
浅谈中学数学中不等式的解法剖析
浅谈中学数学中不等式的解法学生姓名： 指导老师：一、引言不等式与等式在数学问题中所占的地位是一样重的，都是非常重要的课题，而 我们的学生往往重视等式，很少了解不等式的研究范围更广、难度更大、更有助于 提高学生独立思维能力.不等式的种类繁多，其解法难易程度也悬殊，更没有统一 的解决办法，下面我们介绍几种解不等式的方法.二、解不等式的几种方法（一）构造辅助函数解不等式基本思想：针对所要解决的问题构造一个辅助函数则原来的问题的求解就转化为对这一函数性质的研究.对于解不等式的问题，我们经常运用比较法、分析法、综合法等.但有些方法运算还是很麻烦的且不易得到结果.下面我们用例题说明构造辅助函数在这方面的一些应用. 例1 比较()()()()()()()()()()()()x b x c x c x a x a x b a b a c b c b a c a c b ++++++++------ 与1的大小.分析：把题中式子构造成一个函数，则其为二次函数且当x a =-，x b =-，x c =- 时其值相等为1根据二次函数的性质可得其为常数函数. 解： 构造辅助函数()f x =()()()()()()()()()()()()x b x c x c x a x a x b a b a c b c b a c a c b ++++++++------.把,,x a x b x c =-=-=-分别代入()f x ，显然()1,()1,()1f a f b f c -=-=-=，但由题设 的b c a 、、互不相等，即说明二次函数()f x 有三个不同的自变量得到同一函数值. 我们所学的二次函数图像为抛物线，所以不可能产生()()()1f a f b f c -=-=-=，这 充分说明该函数为常数函数，即()1f x =.因此，()()()()x b x c a b a c ++--+()()()()x c x a b c b a ++--+()()()()x a x b c a c b ++--≡1. 例2 已知A 、B 、C 、D 、E 是实数，且满足A +B +C +D +E =8和 2A +2B +2C +2D +2E =16，试确定E 的最大值.分析：构造二次函数使它的二次项系数为4，一次项系数为2()A B C D +++， 常数项为2222()A B C D +++容易看出其与已知的等式中的E 有一定的关系，并根据二次函数的某些性质得出E 的范围.解： 构造辅助函数()f x =24x +2()A B C D +++x +2222()A B C D +++=2()x A ++2()x B ++2()x C ++2()x D +≥0.因为二次函数的二次项系数4>0，()f x ≥0.所以≤0，即24()A B C D +++-222216()A B C D +++≤0，把已知条件代入，于是得 24(8)E -≤216(16)E -.解上不等式得0E ≤165≤， 所以当A =B =C =D 时，有max E =165.例3 >+分析： 构造辅助函数()f x =--()24x -≤≤并且算出此函数为零时x 的值，再结合函数的定义域及其连续性分析它在每个区间上的正负性，从而确定x 的范围.解： 构造辅助函数()f x =--()24x -≤≤，显然()f x 在其定义域上处处连续.令()f x =--=0.解此无理方程得1x =，2x =.所以()f x 在2,5⎡--⎢⎣⎭，55⎛- ⎝⎭，4⎤⎥⎝⎦上恒不等于零，则由连续函数的性质，()f x 在以上三个区间不变号，在每个区间上任取一点进行计算.得()2f -=->0，()1f =-<0，()4f =->0.因此()f x 在区间2,5⎡--⎢⎣⎭与45⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上大于零.所以原不等式的解为：20x -≤≤4x <≤. 例4 已知a b R +∈，，且0a b q <≥，， 求证：a q ab q b+≥+. 分析：由证明题设发现很容易构造一个[)0,+∞上的增函数()a x f x b x +=+()1b ab a b x-=->+， 只要证明此函数为增函数，那么结论就很明显了. 证明：构造辅助函数()a x f x b x +=+()1b ab a b x-=->+, 由于0b >，易知()f x 在[)0,+∞上单调递增.取120x x q =≤=，则()()12f x f x ≤，因此a a qb b q+≤+.例5 已知,a ,b c R +∈+> 分析：由根号下的式子22a b ab ++可以联想到余弦定理，把问题放到三角形中根据 三角形的两边之和大于第三边就会一目了然.解： 由于22a b ab ++=222cos120a b ab ︒+-所以可联想到余弦定理，为此可设想 构造一个三角形，其两边分别为a ，b ，夹角为120︒.在三条射线上分别截取PA a =，PB b =，PC c =.连接AC ，AB ，BC . 如图1 则有：CBAxzyAB=AC=BC=又由ABC 知 AB AC +>BC ， 所以+>例6 已知,a b 是正整数，且2a b ≤<，证明：()()11baa b +>+.分析：对不等式两边同时取对数，对含对数的不等式进行变形，再构造辅助函数 分析函数的单调性，从而根据2a b ≤<得出原函数成立.证明：因为2a b ≤<，且,a b 是正整数,所以要证明以上不等式成立，只需证明 ()ln 1ba +>()ln 1ab +.即证 ()ln 1a a +>()ln 1b b+ . 令()f x =ln(1)x x+()2x ≥， 则()f x '=()21ln 1xx x x+-+，由2x ≥知，011x x ≤<+，()ln 1ln31x +≥>， 所以()0f x '<，即函数()f x 为单调递减函数，又2a b ≤<， 所以()()ln 1ln 1a b a b++>，即原不等式成立. （二）运用导数解不等式基本思想:“构造一个函数”.在数学问题中运用导数可以证明函数的单调性、凹凸性及求函数的极值等，而不等式有与之对应的函数，运用导数来证明和求解不等式的依据是函数的单调性、极值等，这一方法在高等数学中应用非常广泛，加强这方面的练习，对培养学生分析问题、解决问题的能力有很大益处，更有助于以后进一步学习高等数学.下面就如何用导数为工具求解不等式，介绍几种具体的思路与方法.例7 求证当0a >时，()ln 1a a >+22a a >-.p分析：首先构造辅助函数通过对函数的求导以及导函数的性质得出原函数的单调 性，使得原不等式得到证明.证明：设()f a =()ln 1a a -+()0a >,求得()f a '=111a -+1aa=+. 由于0a >,所以()f a 在区间(),-∞+∞上单调递增. 因为()00f =，所以 ()ln 10a a -+>，也即()ln 1a a >+.同理设 ()g a =()2ln 12a a a --+()0a >，求得()g a '201a a=-<+. 即()g a 在区间(),-∞+∞上单调递减又()00g =，所以()2ln 102a a a --+<，也即()2ln 12a a a -<+.原不等式得证.例8 设0a >，0b >，求证：ln a a +ln b b ≥()ln2a ba b ++. 分析：通过观察很容易构造函数()f x =ln x x ()0x >，通过分别对其求一二阶的导数可得出其为凹函数，再根据凹函数的基本性质2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤()()12f a f b +⎡⎤⎣⎦原不等式得证.证明：设()f x =ln x x ()0x >,则求得()f x '=1ln x +； ()f x ''=1x0>. 所以()f x 是凹函数，即2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤()()12f a f b +⎡⎤⎣⎦,所以 ln 22a b a b ++≤()1ln ln 2a ab b +. 即ln a a +ln b b ≥()a b +ln 2a b+,原命题得证.例9 求证当01x ≤≤时，()1211qq q x x -≤+-≤. 证明：设()()1qq f x x x =+-，01x ≤≤. 因为()()111q q f x qx q x --'=--.令()0f x '=，求得12x =. 因为()()011f f ==， 111()()22q f -=.所以()f x 的最大值为1，最小值为111()22q q --=.所以12(1)1q q q x x -≤+-≤.例10 求证：当0b >时，22(1)ln (1)b b b -≥-.证明：设22()(1)ln (1)f x x x x =---(0)x >,且令()0f x '= 求得1x =,()f x 在()0+∞，上仅有一个极小值点1x =，从而()f x 在(0)+∞，内有最小值. 即22(1)ln (1)b b b -≥-.（三）含参数不等式的解法基本思想：将一个问题分成若干个问题，并且每个部分都容易求解，这就是一种化整为零，各个击破的解题方法.简单的说就是对参数进行分类讨论.例11 解关于x 的不等式2x +()2a a x -3a -0>.分析：对原不等式的左边进行因式分解，可得()223x a a x a +--=()2x a -()x a +，由此可知，对不同的a 原不等式的解可能不同，故对a 进行分类.解： 对原不等式进行因式分解得()2x a -()x a +0>，当2a a >-，即0a >或1a <-时，原不等式的解集为{}2x x a x a ><-或； 当2a a =-，即0a =或1a =-时，原不等式的解集为{}x x a ≠； 当2a a <-，即10a -<<时，原不等式的解集为{}2x x a x a <>-或. （四）用代换和转化思想解不等式基本思想：根据题设条件和待求结论的特点，研究问题的结构选择合适的代换和转化，使问题得到合理、有效的解决.代换和转化思想在解不等式问题中也起着很重要的作用.例12 已知1234a a a a ，，，均大于零，且1234a a a a +++=1.求证123411111111a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥81分析：将1234a a a a ，，，分别用含有m n p q ，，，的式子表示，即把证明关于1234a a a a ，，， 的不等式转化为证明关于m n p q ，，，的不等式. 证明：设1a =mm n p q +++，2a =nm n p q +++，3a =pm n p q+++，4a =qm n p q+++，()m n p q R +∈，，，则111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭211a ⎛⎫- ⎪⎝⎭311a ⎛⎫- ⎪⎝⎭411a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=n p q m ++m p q n ++⋅m n q p ++⋅m n p q++⋅≥33⋅3⋅3⋅()/mnpq =()43/mnpq mnpq81=当且仅当123414a a a a ====时，等号成立. 例13 设()222f x x mx =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围.解： 当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，即2220x mx m -+-≥，故有()()22420m m ∆=---≤,于是解得不等式的解为32m -≤<-，21m -≤≤.所以m 的取值范围为[]3,1-.例14 已知222332x y z xy y z +++<++，试确定整数,,x y z .分析：不等式的左边是大于等于零的数，可见其右边是大于零的数，我们可以在不等式的左边加一个整数L 使其变成等式，再对其变形分析即可求出,,x y z 的值.解： 因为,,x y z Z ∈，故一定存在正整数L ，使222332x y z L xy y z ++++=++,经变形可得23122y y x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2110z L +-+-=.由L Z +∈，故10L -≥，021021010y x y z L ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩，，， 故11022y yx z ==-=，，，解得121x y z ===，，.（五）用放缩法解不等式基本思想：对所给不等式进行适当放大或缩小时问题容易被解决.放缩法表现了学生解不等式的高度灵活性，在解题过程中无论是“放”还是“缩”，都要恰到好处，否则，将使问题复杂化，达不到应有的效果.例15 若正数x y z ，，满足x y z +>，求证：1x x ++1yy +1z z>+. 证明：因为x y +>z 即x y z +->0，故1zz +<()()1z x y z z x y z ++-+++- =1x x y +++1y x y ++<1x x ++1yy+. 即1x x ++1yy +>1z z+. 注：本题巧妙地运用了一个众所周知的性质()x x n x y n R x y y y n++<∈<+，，，且. （六）用数形结合的方法解不等式基本思想：通过数与形的相互转化，使数学问题得到简捷的解法，也可以通过图形将复杂或抽象的数量关系，直观形象的翻译出来，探索出一条简捷的解题途径.在解决某些有关不等式的问题时，如果能根据题目的结构特征，联想有关的几何图形，灵活的运用数形结合的思想，往往可以将不等式问题巧妙地转化为几何问题，避免复杂的推理和运算.例16 已知关于xx ≥()0A >的解集为[]M,N ，且M N 2A -=，求A 的值.分析：借助函数y =()0A >的图像，利用数形结合便可找到解决问题的思 路.解：如图2,设y x =与y =p ，由题设知：M 2A =-又因为p 在直线y x =上，所以32A =解得 169A =.例17 设,m n R ∈，且22m n ≠m n <-.分析：把不等式两边的三个式子看做三角形的三条边的长度，并画出图形标出坐标 根据三角形两边之和大于第三边可得出所要证明的结论.证明：因为22,m n ≠所以，m n -可看做三条线段长，根据结构设()()1,,1,A m B n ，则AO =，BO =，AB m n =-由三角形两边之差小于第三边，得AO BO AB -<.如图，即x y <- 三、总结：解不等式是中学数学的一个重要内容，它是历年高考必备的知识点，也是解答数学问题必不可少的工具，因此能否迅速准确地解答不等式会直接影响解答数学问题的速度与质量.在解不等式过程中既要注意同解变形又要灵活运用合理的解答策略，才能提高解题的速度与质量，本文的宗旨就是给学生介绍几种比较常见的解不等式的方法，以便学生在考试中遇到不等式的问题能够心中有数.致谢：本文在选题及研究过程中都得到xx 老师的悉心指导.王老师多次询问研究过程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨，热忱鼓励，正是在王老师科学、严谨的指导下，这篇论文才得以顺利的完成，王老师那种诲人不倦的教育精神不仅使我掌握了基本的学术论文写作及研究方法，还让我学会了许多做人的道理.再次向xx老师表示深深的谢意.其次，我还要感谢我的同学们，在论文的写作过程中，他们给了我很多的帮助和建议.通过论文的写作，使我对不等式的解法有了更进一步的了解.参考文献：【1】用导数研究不等式.宁夏工学院学报（自然科学版）.1993,3.9（1）.【2】田保元.不等式问题中的数思想.中学数学研究.2004，（1）P16-18.【3】李益强.等与不等相互转换的若干途径.中学数学研究.2004，（1）P30-32. 【4】武增明.不等式证明中放与缩的策略.中学数学研究.2004，（1）P32-34.【5】周凤麟邱捷.辅助函数的构造及应用.景德镇高专学报.2006，6.11。
构造函数法解不等式问题
构造函数法解不等式问题首先，我们来考虑一道简单的例题：求解不等式：x^2-4x+3>0解题思路：1.首先，我们将不等式转化成方程：x^2-4x+3=02.求出方程的根：x1=1，x2=33.通过观察，我们知道函数f(x)=x^2-4x+3在x<1和x>3时是负值，在1<x<3时是正值。
4.根据函数的性质，我们可以得出结论：不等式x^2-4x+3>0的解集为x∈(1,3)。
通过这个例题，我们可以看出，构造函数法的基本思路就是将不等式转化为方程，并找出方程的根，然后利用函数的性质来确定不等式的解集。
接下来，我们来考虑一个稍微复杂一些的例题：求解不等式：x^3-5x^2+4x+20>0解题思路：1.首先，我们将不等式转化成方程：x^3-5x^2+4x+20=02.求出方程的根：x1≈-2.77，x2≈3.39，x3≈4.393.通过观察，我们知道函数f(x)=x^3-5x^2+4x+20在x<-2.77和3.39<x<4.39时是负值，在-2.77<x<3.39时是正值。
4.根据函数的性质，我们可以得出结论：不等式x^3-5x^2+4x+20>0的解集为x∈(-2.77,3.39)∪(4.39,+∞)。
通过这个例题，我们可以看出，在求解不等式时，我们首先将不等式转化成方程，然后求出方程的根。
最后，通过观察函数的性质，确定不等式的解集。
除了上述的例题，构造函数法还可以用于求解复杂的不等式问题。
下面，我将通过一个具体的例题来进一步说明。
例题：求解不等式：2x^3-11x^2+17x-6>0解题思路：1.首先，我们将不等式转化成方程：2x^3-11x^2+17x-6=02.求出方程的根：x1=1，x2≈2.24，x3≈2.763.通过观察，我们知道函数f(x)=2x^3-11x^2+17x-6在x<1和2.24<x<2.76时是负值，在1<x<2.24和2.76<x时是正值。
构造函数法证明导数不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
构造函数 解决不等式及相关问题
例５ 已知ｚ （ １２… ） ∑ 五： ， ， ＞ｏ ， 且 ，
求∑ ＝ 的 小 ． １ 最 值
分 析 ： 接 去 求该 式 的最 小 值 不 太 好 下 手 ， 直 因为 三
个 数之 和虽 然 为 定值 ， 去求 三 数 平 方 的倒 数 之 和 的最 但 值 ， 有 现成 的公 式 或方 法 去 套． 考 虑 构 造 函 数 ＿ ｚ 没 可 厂 ） （
分 析 ：这样 一 类 问 题传 统 方 法 是 采 用 反 证 法 ， 明 证 起 来较 为罗 唆 ． 题 目 的 两 个 条 件 ， 其 稍 加 变 形 变 为 由 对
０
分 析 ： 是 个 不 等 式 问 题 ， 是 利 用 不 等 式 知 识 这 只 直 接 去 证 不 太 好 证 ． 以 考 虑 转 化 为 函 数 问题 ， 这 里 可 而
“
ｏ
变量 ， 问题 便 可 转 化 为一 个 函 数 问 题 ． 原 证 明 ：令 ｆ（ ） （ ＋ｆ 口 ｃ １ ａ 一 ６ ） ＋ｂ ＋
ｃ 为该 方程 的两 个实 根 ， 因此 △ ≥Ｏ 即 ：？ ｏ≥Ｏ 所 以 ， ａ 一一 ，
“
则 函 数 ｆ ａ 是 关 于 ａ的一 次 函数 ， 以 ｆ ａ 是 单 （） 所 （）
分 析 ： 使 得 能 以 ａ， ， 要 ｂ Ｃ为 边 构 成 三 角 形 ， 只需 ｎ， ６Ｃ 意两数之和大于第三个数 ， ａ ，任 由 ＋ｂ 一 Ｃ ， ｎ 且 ， ｂ ｆ 均 为 正 数 ， 以 显 然 Ｃ最 大 ， 此 只需 ａ＋ ６ Ｃ ，， 所 因 ＞
凸 函 数 很 简 单 的 证 明 出来 ．
面没有变量 ， 因此 可 以 考虑 任 选 ｎ，ｂ，ｃ之 一 作 为 一 个
构造函数解不等式
构造函数解不等式我们需要明确什么是构造函数。
构造函数是一种特殊的函数，它的定义域和值域都是实数集。
通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，从而更加直观地进行分析和解决问题。
在解不等式时，我们常常需要考虑不等式的根、极值点和函数的变化趋势。
构造函数可以帮助我们清晰地展示这些信息，从而更好地理解不等式的解集。
接下来，我们将通过几个具体的例子来说明构造函数解不等式的过程和方法。
例1：解不等式x^2-3x<2我们可以构造函数f(x)=x^2-3x-2。
通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和2，且在-1和2之间的区间内函数值都小于0。
因此，不等式的解集为(-1,2)。
例2：解不等式x^2-4x>5我们可以构造函数g(x)=x^2-4x-5。
通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和5，且在-1和5之外的区间内函数值都大于0。
因此，不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,∞)。
通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法可以帮助我们直观地分析不等式的解集。
不仅如此，构造函数还可以帮助我们解决更加复杂的不等式问题。
例3：解不等式x^3-3x^2+2x>0我们可以构造函数h(x)=x^3-3x^2+2x。
通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为0、1和2，且在0和1之间的区间内函数值都小于0，在1和2之间的区间内函数值都大于0。
因此，不等式的解集为(0,1)∪(2,∞)。
通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法在解决高次不等式时也同样有效。
通过构造函数，我们可以更加清晰地理解不等式的解集。
除了以上的例子，构造函数还可以应用于更加复杂的不等式问题，如绝对值不等式、分式不等式等。
通过构造函数，我们可以将这些复杂的不等式转化为函数的形式，从而更好地解决问题。
构造函数是解不等式的一种有效方法。
通过构造一个特定的函数，我们可以直观地分析不等式的解集。
构造函数不仅适用于简单的一元不等式，还适用于高次不等式和复杂的不等式问题。
构造函数法解决导数不等式问题(二)
构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四构造F (x )＝f (x )±g (x )，F (x )＝f (x )g (x )，F (x )＝f (x )g (x )类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )＋ax n ＋b ，则F ′(x )＝f ′(x )＋nax n －1；(2)若F (x )＝f (x )±g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )±g ′(x )；(3)若F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(4)若F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2．由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nax n －1形式，构造函数F (x )＝f (x )＋ax n ＋b ；(2)出现f ′(x )±g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )±g (x )；(3)出现f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )g (x )；(4)出现f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )g (x )．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝3，对任意x ∈R ，f ′(x )<3，则f (x )>3x ＋6的解集为()A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．R答案C解析设g (x )＝f (x )－(3x ＋6)，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )为减函数，又g (－1)＝f (－1)－3＝0，所以根据单调性可知g (x )>0的解集是{x |x <－1}．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对∀x ∈R ，f ′(x )＜12，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为________．答案(0，2)解析构造函数F (x )＝f (x )－12x ，则F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，∴函数F (x )在R 上是减函数．由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)－12＝1－12＝12∴f (log 2x )＞log 2x ＋12⇔f (log 2x )－12log 2x ＞12⇔F (log 2x )＞F (1)⇔log 2x ＜1⇔0＜x ＜2．(3)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x2的解集为()A B －π3，C D －π3，答案D解析令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )>32－2sin 2x2，即g (2cos x )>0，∴2cos x >1，又x ∈－π2，3π2，∴x －π3，(4)f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f ′(x )＞2x ．若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)答案A解析令G (x )＝f (x )－x 2，则G ′(x )＝f ′(x )－2x ．当x ∈[0，＋∞)时，G ′(x )＝f ′(x )－2x ＞0，∴G (x )在[0，＋∞)上是增函数．由f (a －2)－f (a )≥4－4a ，得f (a －2)－(a －2)2≥f (a )－a 2，即G (a －2)≥G (a )，又f (x )是定义在R 上的偶函数，知G (x )是偶函数．故|a －2|≥|a |，解得a ≤1．(5)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，且f (－x )＝f (x )，当x ≥0时，f ′(x )>3x ，则不等式f (x )－f (x －1)<3x －32的解集是()A －12，B ∞CD ∞答案D解析设g (x )＝f (x )－32x 2，则g ′(x )＝f ′(x )－3x ．因为当x ≥0时，f ′(x )>3x ，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－3x >0，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增．因为f (－x )＝f (x )，所以g (－x )＝f (－x )－32x 2＝f (x )－32x 2＝g (x )，所以g (x )是偶函数．因为f (x )－f (x －1)<3x －32，所以f (x )－32x 2<f (x －1)－32(x －1)2，即g (x )<g (x －1)，所以g (|x |)<g (|x －1|)，则|x |<|x －1|，解得x <12．故选D ．(6)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导数，当x >0时，f (x )＋f ′(x )·x ln x <0，则不等式(x －1)f (x )>0的解集为________．答案(0，1)解析由于函数y ＝f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0．当x >0时，f (x )＋f ′(x )·x ln x <0，则f (1)<0．当x >0时，构造函数g (x )＝f (x )ln x ，则g ′(x )＝f ′(x )ln x ＋f (x )·1x ＝f (x )＋f ′(x )·x ln xx <0，所以函数y ＝g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0．当0<x <1时，ln x <0，g (x )>g (1)＝0，即f (x )ln x >0，此时f (x )<0；当x >1时，ln x >0，g (x )<g (1)＝0，即f (x )ln x <0，此时f (x )<0．又f (1)<0，所以当x >0时，f (x )<0．由于函数y ＝f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )>0．对于不等式(x －1)f (x )>0，当x <0时，x －1<0，则f (x )<0，不符合题意；当0<x <1时，x －1<0，则f (x )<0，符合题意；当x >1时，x －1>0，则f (x )>0，不符合题意．综上所述，不等式(x －1)f (x )>0的解集为(0，1)．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且(x ＋1)f ′(x )－f (x )＜x 2＋2x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是()A．2f(2)－3f(1)＞5B．若f(1)＝2，x＞1，则f(x)＞x2＋12x＋12C．f(3)－2f(1)＜7D．若f(1)＝2，0＜x＜1，则f(x)＞x2＋12x＋12解析CD答案设函数g(x)＝f(x)－x2x＋1，则g′(x)＝(x＋1)f′(x)－f(x)－(x2＋2x)(x＋1)2．因为(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以g′(x)＜0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而g(1)＞g(2)＞g(3)，整理得2f(2)－3f(1)＜5，f(3)－2f(1)＜7，故A错误，C正确．当0＜x＜1时，若f(1)＝2，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)＞g(1)＝12，即f(x)－x2x＋1＞12，即f(x)＞x2＋12x＋12，故D正确，从而B不正确．即结论正确的是CD．(8)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上，f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为()A．[－2，2]B．[2，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案B解析因为对∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，所以f(0)＝0，设g(x)＝f(x)－12x2，则g(－x)＝f(－x)－12x2，所以g(x)＋g(－x)＝f(x)－12x2＋f(－x)－12x2＝0，又g(0)＝f(0)－0＝0，所以g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12x2，所以f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋12(4－m)2－g(m)＋12m2＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，则g(4－m)－g(m)≥0，即g(4－m)≥g(m)．当x>0时，g′(x)＝f′(x)－x<0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，又g(x)为奇函数，所以4－m≤m，解得m≥2．(9)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋f(x)x >0，则函数F(x)＝xf(x)＋1x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0，当x>0时，g′(x)＝x[f′(x)＋f(x)x]>0，g(x)是增函数，g(x)>0；当x<0时，g′(x)＝x[f′(x)＋f(x)x]<0，g(x)是减函数，g(x)>0．在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋1x的零点个数是1．(10)函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，当x>0时，f(x)的极值状态是___________．答案没有极大值也没有极小值解析因为x2f′(x)＋2xf(x)＝e x x，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因此把等式左边函数的原函数找出来，设h (x )＝x 2f (x )，则h ′(x )＝e x x ，且h (2)＝e 22，因为x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，则f ′(x )＝e x －2h (x )x 3，判断f (x )的极值状态就是判断f ′(x )的正负，设g (x )＝e x －2h (x )，则g ′(x )＝e x －2h ′(x )＝e x －2·e xx ＝e x ·x －2x ，这里涉及二阶导，g (x )在x ＝2处取得最小值0，因此g (x )≥0，则f ′(x )≥0，故f (x )没有极大值也没有极小值(有难度，但不失为好题目)．【对点训练】1．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，且对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为()A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)1．答案B解析由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0．设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2．因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B ．2．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为．2．答案{x |x <－1或x >1}解析设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．3．已知定义域为R 的函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f ′(x )<2x ，f (2)＝3，则不等式f (x )>x 2－1的解集是()A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)3．答案D解析令g (x )＝f (x )－x 2，则g ′(x )＝f ′(x )－2x <0，即函数g (x )在R 上单调递减．又不等式f (x )>x 2－1可化为f (x )－x 2>－1，而g (2)＝f (2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化为g (x )>g (2)，故不等式的解集为(－∞，2)．故选D ．4．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝4，则不等式f (x )＞1x ＋3的解集为________．4．解析(1，＋∞)答案由x 2f ′(x )＋1＞0得f ′(x )＋1x 2＞0，构造函数g (x )＝f (x )－1x －3，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x2＞0，即g (x )在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝4，则g (1)＝f (1)－1－3＝0，从而g (x )＞0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＞1x＋3的解集为(1，＋∞)．5．设f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f ′(x )－cos x <0，则不等式f (x )<sin x 的解集为．5．答案(0，＋∞)解析令φ(x )＝f (x )－sin x ，∴当x ≥0时，φ′(x )＝f ′(x )－cos x <0，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递减，又f (x )为R 上的奇函数，∴φ(x )为R 上的奇函数，∴φ(x )在(－∞，0]上单调递减，故φ(x )在R上单调递减且φ(0)＝0，不等式f (x )<sin x 可化为f (x )－sin x <0，即φ(x )<0，即φ(x )<φ(0)，故x >0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)．6．设f (x )和g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′(x )，g ′(x )分别为其导数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是()A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)6．答案D解析令h (x )＝f (x )g (x )，当x ＜0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，则h (x )在(－∞，0)上单调递增，又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以h (x )为奇函数，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由g (－3)＝0，可得h (－3)＝－h (3)＝0，所以当x ＜－3或0＜x ＜3时，h (x )＜0，故选D ．7．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有()A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )7．解析C答案令F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2＜0，所以F (x )在R 上单调递减．又a ＜x ＜b ，所以f (a )g (a )＞f (x )g (x )＞f (b )g (b )．又f (x )＞0，g (x )＞0，所以f (x )g (b )＞f (b )g (x )．8．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上f ′(x )<x ，若f (2－m )＋f (－m )－m 2＋2m －2≥0，则实数m 的取值范围为__________．8．答案[1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－x 22，则g (－x )＋g (x )＝0，g (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－x <0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )是R 上的单调减函数．原不等式等价于g (2－m )＋g (－m )≥0，g (2－m )≥－g (－m )＝g (m )，所以2－m ≤m ，m ≥1．9．已知f (x )是定义在R 上的减函数，其导函数f ′(x )满足f (x )f ′(x )＋x <1，则下列结论正确的是()A ．对于任意x ∈R ，f (x )<0B ．对于任意x ∈R ，f (x )>0C ．当且仅当x ∈(－∞，1)，f (x )<0D ．当且仅当x ∈(1，＋∞)，f (x )>09．答案B解析∵f (x )f ′(x )＋x <1，f (x )是定义在R 上的减函数，f ′(x )<0，∴f (x )＋xf ′(x )>f ′(x )，∴f (x )＋(x －1)f ′(x )>0，∴[(x －1)f (x )]′>0，∴函数y ＝(x －1)f (x )在R 上单调递增，而x ＝1时，y ＝0，则x <1时，y <0，故f (x )>0．x >1时，x －1>0，y >0，故f (x )>0，∴f (x )>0对任意x ∈R 成立，故选B ．10．已知y ＝f (x )为R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x ＞0，若g (x )＝f (x )＋1x，则函数g (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．0D ．0或210．答案C 解析令h (x )＝xf (x )，因为当x ≠0时，xf ′(x )＋f (x )x＞0，所以h ′(x )x ＞0，因此当x ＞0时，h ′(x )＞0，当x ＜0时，h ′(x )＜0，又h (0)＝0，易知当x ≠0时，h (x )＞0，又g (x )＝h (x )＋1x，所以g (x )≠0，故函数g (x )的零点个数为0考点五构造具体函数关系式【方法总结】这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则()A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2答案B解析由指数和对数的运算性质得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b ．令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b ．故选B ．(2)已知α，β∈－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是()A ．α＞βB ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＋β＞0答案B解析构造函数f (x )＝x sin x ，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ．当x ∈0，π2时，f ′(x )≥0，f (x )是增函数，当x ∈－π2，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，又f (x )为偶函数，∴αsin α－βsin β＞0⇔αsin α＞βsin β⇔f (α)＞f (β)⇔f (|α|)＞f (|β|)⇔|α|＞|β|⇔α2＞β2，故选B ．(3)(多选)若0<x 1<x 2<1，则()A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．12e x x >21e x x D ．12e x x <21e x x 答案AC解析令f (x )＝x －ln x ，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当0<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，1)上单调递减．∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 2)<f (x 1)，即x 2－ln x 2<x 1－ln x 1，即x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1．设g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2．当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即22e x x <11e x x ，∴12e x x >21e x x ，故选AC ．A ．(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a＋1B ．log a (a ＋1)>log a ＋1(a ＋2)C ．log a (a ＋1)<a ＋1a D ．log a ＋1(a ＋2)<a ＋2a ＋1答案ABD解析若A 成立，则(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1，两边取自然对数，得(a ＋2)ln(a ＋1)>(a ＋1)ln(a＋2)，因为a ≥2，所以ln(a ＋1)a ＋1>ln(a ＋2)a ＋2．令f (x )＝ln xx ，则x ≥3，f ′(x )＝1－ln x x 2<0，故f (x )在[3，＋∞)上单调递减，所以ln(a ＋1)a ＋1>ln(a ＋2)a ＋2，故A 成立；若B 成立，则log a (a ＋1)>log a ＋1(a ＋2)，即ln(a ＋1)ln a >ln(a ＋2)ln(a ＋1)，设g (x )＝ln(x ＋1)ln x ，x ≥2，则g ′(x )＝ln x x ＋1－ln(x ＋1)x (ln x )2＝x ln x －(x ＋1)ln(x ＋1)x ·(x ＋1)(ln x )2，令h (x )＝x ln x ，x ≥2，则h ′(x )＝ln x ＋1>0，故h (x )在[2，＋∞)上单调递增，所以x ln x －(x ＋1)ln(x ＋1)<0，所以g ′(x )<0，故g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以ln(a ＋1)ln a >ln(a ＋2)ln(a ＋1)，故B 成立；若C 成立，则log a (a ＋1)<a ＋1a ，即ln(a ＋1)a ＋1<ln a a ，由A 知f (x )＝ln xx 在[2，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，取a ＝2，故C 不成立；若D 成立，则log a ＋1(a ＋2)<a ＋2a ＋1，即ln(a ＋2)a ＋2<ln(a ＋1)a ＋1，由A 知D 成立．故选ABD ．(6)(2021·全国乙)设a ＝2ln1.01，b ＝ln1.02，c ＝1.04－1，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <a <b答案B 解析b －c ＝ln1.02－ 1.04＋1，设f (x )＝ln(x ＋1)－1＋2x ＋1，则b －c ＝f (0.02)，f ′(x )＝1x ＋1－221＋2x＝1＋2x －(x ＋1)(x ＋1)1＋2x，当x >0时，x ＋1＝(x ＋1)2>1＋2x ，故当x >0时，f ′(x )＝1＋2x －(x ＋1)(x ＋1)1＋2x<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (0.02)<f (0)＝0，即b <c ．a －c ＝2ln 1.01－ 1.04＋1，设g (x )＝2ln(x ＋1)－1＋4x ＋1，则a －c ＝g (0.01)，g ′(x )＝2x ＋1－421＋4x ＝2[1＋4x －(x ＋1)](x ＋1)1＋4x，当0<x <2时，4x ＋1＝2x ＋2x ＋1>x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2＝x ＋1，故当0<x <2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递增，所以g (0.01)>g (0)＝0，故c <a ，从而有b <c <a ，故选B ．(7)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，导函数为f ′(x )，若xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，且＝1e ，则()A ．f 0B ．f (x )在x ＝1e 处取得极大值C ．0<f (1)<1D ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增答案ACD解析由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，导函数为f ′(x )，xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，即满足xf ′(x )－f (x )x 2＝ln x x ．因为f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2，所以f (x )x ′＝ln x x ，所以可设f (x )x ＝12ln 2x ＋b (b 为常数)，所以f (x )＝12x ln 2x ＋bx ．因为＝12·1e ln 21e ＋b e ＝1e ，解得b ＝12，所以f (x )＝12ln 2x ＋12x ，所以f (1)＝12，满足0<f (1)<1，所以C 正确；因为f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，且仅有f 0，所以B 错误，A ，D 正确．故选ACD ．【对点训练】1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 66，则()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c1．答案C解析设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x2，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，即有f (6)<f (4)<f (3)，所以ln 66<ln 44＝ln 22<ln 33，故c <a <b ．2．设a ，b >0，则“a >b ”是“a a >b b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案D解析因为a ，b >0，由a a >b b 可得a ln a >b ln b ．设函数f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0可得x >1e ，所以函数f (x )＝x ln x a >b 不一定有a ln a >b ln b ，即a a >b b ，所以充分性不成立；当a a >b b ，即a ln a >b ln b 时，不一定有a >b ，所以必要性不成立，所以“a >b ”是“a a >b b ”的既不充分也不必要条件，故选D ．3．已知0<x 1<x 2<1，则()A ．ln x 1x 2>ln x 2x 1B ．ln x 1x 2<ln x 2x 1C ．x 2ln x 1>x 1ln x 2D ．x 2ln x 1<x 1ln x 23．答案D解析设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，所以函数f (x )调递增；由f ′(x )<0，得0<x <1e f (x )f (x )在(0，1)上不单调，所以f (x 1)与f (x 2)的大小无法确定，从而排除A ，B ；设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )>0，得0<x <e，即函数g (x )在(0，e)上单调递增，故函数g (x )在(0，1)上单调递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即ln x 1x 1<ln x 2x 2，所以x 2ln x 1<x 1ln x 2．故选D ．4．已知a >b >0，a b ＝b a ，有如下四个结论：(1)b <e ；(2)b >e ；(3)存在a ，b 满足a ·b <e 2；(4)存在a ，b 满足a ·b >e 2，则正确结论的序号是()A ．(1)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)4．答案C解析由a b ＝b a 两边取对数得b ln a ＝a ln b ⇒ln a a ＝ln b b ．对于y ＝ln xx，由图象易知当b <e<a 时，才可能满足题意．故(1)正确，(2)错误；另外，由a b ＝b a ，令a ＝4，b ＝2，则a >e ，b <e ，ab ＝8>e 2，故(4)正确，(3)错误．因此，选C ．5．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则()A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z5．答案D解析令2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，两边取对数得x ＝log 2t ＝ln t ln 2，y ＝log 3t ＝ln t ln 3，z ＝log 5t ＝ln tln 5，从而2x ＝2ln 2ln t ，3y ＝3ln 3ln t ，5z ＝5ln 5ln t ．由t >1知，要比较三者大小，只需比较2ln 2，3ln 3，5ln 5的大小．又2ln 2＝4ln 4，e<3<4<5，由y ＝ln x x 在(e ，＋∞)上单调递减可知，ln 33>ln 44>ln 55，从而3ln 3<4ln 4<5ln 5，3y <2x <5z ，故选D ．6．已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则()A ．c <b <a B ．b <c <a C ．a <c <bD ．a <b <c6．答案D解析方法一由已知e 55＝e a a ，e 44＝e bb，e 33＝e c c ，设f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝(x －1)e x x 2，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c )<f (b )<f (a )，所以a <b <c ．方法二设e x＝e 55x ，①，e x ＝e 44x ，②，e x＝e 33x ，③，a ，b ，c 依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，∵e 55>e 44>e 33，由图可知a <b <c．7．若0<x 1<x 2<a ，都有x 2ln x 1－x 1ln x 2≤x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A ．12B ．1C ．eD ．2e7．答案B解析ln x 1x 1－ln x 2x 2≤1x 2－1x 1，即ln x 1x 1＋1x 1≤ln x 2x 2＋1x 2，令f (x )＝ln x x ＋1x，则f (x )在(0，a )上为增函数，所以f ′(x )≥0在(0，a )上恒成立，f ′(x )＝－ln xx 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，所以f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以a ≤1，所以a 的最大值为1，选B ．8．下列四个命题：①ln 5<5ln 2；②ln π>πe；③；④3eln 2>42．其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．48．答案B解析构造函数f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．①ln 5<5ln 2⇒2ln 5<5ln 2⇒ln 55<ln 22，又2<5<e ，故错误．②ln π>πe ⇒2ln π>πe ⇒ln ππ>12e＝ln e e ，又e>π>e ，故正确．③⇒11ln 2<ln 11＝2ln 11⇒ln 22＝ln 44<ln 1111，又4>11>e ，故正确．④3eln 2>42⇒322eln 2>2×322⇒3232ln 22>ln e e ，显然错误．因此选B ．A ．0<a <b <1B ．b <a <0C ．1<a <bD ．a ＝b 10．答案ABD 解析因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，所以设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x ，在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象如图所示．由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，b <a <0，故B 正确；②当x ＝0或1时，f (x )＝g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，a ＝b ＝0或a ＝b ＝1，故D 正确；③当0<x <1时，f (x )>g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，0<a <b <1，故A 正确；④当x >1时，f (x )<g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，1<b <a ，故C 错误．故选ABD ．11．已知函数f (x )＝e x x －ax ，x ∈(0，＋∞)，当x 2>x 1时，不等式f (x 1)x 2<f (x 2)x 1恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e]B ．(－∞，e)C ∞D ∞，e 211．答案D 解析因为x ∈(0，＋∞)，所以x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即函数g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2在x ∈(0，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x )＝e x －2ax ≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以2a ≤e x x在x ∈(0，＋∞)上恒成立．令m (x )＝e x x ，则m ′(x )＝(x －1)e x x 2，当x ∈(0，1)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增，所以2a ≤m (x )min ＝m (1)＝e ，所以a ≤e 2．故选D ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (e)＝1e，则下列结论正确的是()A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增B ．f (x )在(0，＋∞)单调递减C ．f (x )在(0，＋∞)上有极大值D ．f (x )在(0，＋∞)上有极小值12．答案B 解析由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，得xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，构造F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，F (x )＝xf (x )＝ln 2x 2＋m ，当x ＝e 时，xf (x )＝ln 2x 2＋m ，又e f (e)＝ln 2e 2＋m ，所以m ＝12，所以f (x )＝ln 2x ＋12x，所以f ′(x )＝－(ln x －1)22x 2≤0，f (x )在(0，＋∞)单调递减，选B ．13．(多选)下列不等式中恒成立的有()A ．ln(x ＋1)≥x x ＋1，x >－1B ．ln x x >0C ．e x ≥x ＋1D ．cos x ≥1－12x 213．答案ACD 解析A 选项，因为x >－1，令t ＝x ＋1>0，f (t )＝ln t ＋1t －1，则f ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2，所以当0<t <1时，f ′(t )＝t －1t 2<0，即f (t )单调递减；当t >1时，f ′(t )＝t －1t 2>0，即f (t )单调递增，所以f (t )min ＝f (1)＝0，即f (t )＝ln t ＋1t －1≥0，即ln t ≥t －1t，即ln(x ＋1)≥x x ＋1，x >－1恒成立，故A 正确；B 选项，令f (x )＝ln x x >0，则f ′(x )＝1x －＝2x －x 2－12x 2＝－(x －1)22x 2≤0显然恒成立，所以f (x )＝ln x x >0上单调递减，又f (1)＝0，所以当x ∈(0，1)时，f (x )>f (1)＝0，即ln x B 错；C 选项，令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )＝e x －1>0，所以f (x )单调递增；当x <0时，f ′(x )＝e x －1<0，所以f (x )单调递减，则f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1恒成立，故C 正确；D 选项，令f (x )＝cos x －1＋12x 2，则f ′(x )＝－sin x ＋x ，令h (x )＝f ′(x )＝－sin x ＋x ，则h ′(x )＝－cos x ＋1≥0恒成立，即函数f ′(x )＝－sin x ＋x 单调递增，又f ′(0)＝0，所以当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )＝cos x －1＋12x 2单调递增；当x <0时，f ′(x )<0，即f (x )＝cos x －1＋122单调递减，所以f (x )min ＝f (0)＝0，因此cos x ≥1－12x 2恒成立，故D 正确．。
用构造函数的方法解决有关不等式问题
江苏省泗 洪 中学 张飞 飞
在中学数 学教 材中， 对 于不 等式 的证 明， 一般 只介绍两 种方 法． 一种是作差法， 一种是求 商法。但是有些不等式 的证 明却不 能用这些方法解决威 者说用这些方法解决起来难度大。 我们可 以尝试用构造函数 的方法 ，通过求导证 明不等式。下面我结合 具体的实例来 阐述这种数学方法。
成立 的函数 ｇ ） 有无穷多个 。 解： （ １ ） 令ｐ ） ） ） ＝ａ 一
成立 ，
一 ２ ａ ｘ ＋ ｌ ｎ ｘ ＜ ０ ， 对 ∈ （ １ ， ＋ ｏ ｏ ） 恒
因 为 ｐ ’ ）＝ （ ２ 。一 １ 江－ ２ ｎ＋ （ ｘ － １ ） ｌ （ ２ ａ － １ ） ｘ － １ ］ 一
为增函数 ， 所 以 ） ） １ ） （ １ ） ＝ １．
所以 土 ＜
＜ １ ，
设 ） ） ＋ ｝ ， （ ０ ＜ ＜ １ ） ， 则 ） ） ） ，
所 以在 区间（ １ ， ＋ 。 。 ） 上， 满足 ） ＜ ｇ ） ） 恒成立 的函数 ｇ ）
．
一（ ２ ａ － １ ） ｘ ￣ － ２ ａ ｘ ＋ １ 一＝
ｆ （ ｔ ） ＝ Ｉ ｎ ｔ ＋ ÷一 １ ，
， （ ￡ ） ＝ ｝ 专＝ ．
（ ｉ ） 当０ ≥６时， ｔ ≥１ （ ￡ ） ≥０ ， 即 ￡ ） 单调递增 。当 拄１ 时， Ｊ （ ｔ ） ｍ ￣ ＝ ｌ ｎ ｌ ＋ ｌ 一 １ ＝ ０ ． 所 以ｆ ｉｔ ） ｉ０ ＞ ． （ ｉ ｉ ） 当ａ ＜ ｂ ， ￡ ＜ １ 时 （ ） ＜ ０ ， 即 ） 单调递减 。当 ｔ ＝ ｌ时 一＝
例 １ 若Ⅱ 。 ｂ ＞ Ｏ ， 求证 ｌ ｎ ａ 一 １ ｎ ６ ≥１ －ｂ． 证 明： 令 ＝ ， 则 ＝ 一 １ 因为 ａ ＞ Ｏ ， ｂ ＞ Ｏ ， 所 以， 构 造 函数
构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理
构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理1.构造多项式函数法：通过构造一个多项式函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$x^3+x^2+x+1>0$，我们可以构造多项式$f(x)=x^3+x^2+x+1$，然后证明$f(x)$的系数全为正数，从而得到结论。
2. 构造变形函数法：通过构造一个特定的变形函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$x+\frac{1}{x}>2$，我们可以构造变形函数$f(x)=x+\frac{1}{x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。
3. 构造反函数法：通过构造一个特定的反函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}>2$，我们可以构造反函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。
4. 构造积分函数法：通过构造一个特定的积分函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt<x$，我们可以构造积分函数$f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt-x$，然后证明$f(x)$的取值范围为负数，从而得到结论。
5. 构造递推函数法：通过构造一个特定的递推函数来证明不等式。
例如，要证明$n$个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，我们可以构造递推函数$f(n)=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}-\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}$，然后证明$f(n)$关于$n$的递推关系为非负数，从而得到结论。
6. 构造交换函数法：通过构造一个特定的交换函数来证明不等式。
例如，要证明当$x,y,z>0$时，$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$，我们可以构造交换函数$f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz$，然后证明$f(x,y,z)$在$x,y,z$的任意交换下都保持不变或增加，从而得到结论。