2019届高考数学专题一函数的图象与性质精准培优专练理201811081156

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2019年高考数学考点18三角函数的图像与性质必刷题理

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……考点18 三角函数的图像与性质1．已知函数，则下列结论错误的是A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在区间上单调递减【答案】B2．已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增【答案】A3．函数的最大值为，【答案】A4．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得函数的周期为2（﹣）=2，∴=2，解得ω=π，∴f（x）=cos（πx+φ），再根据函数的图象以及五点法作图，可得+φ=，解得φ=，f（x）=cos（πx+），令2kπ≤πx+≤2kπ+π，可解得2k﹣≤x≤2k+，∴f（x）的单调递减区间为：[2k﹣，2k+]，k∈Z故答案为：D.5．若（）的最小正周期为，，则（）A．在单调递增 B．在单调递减C．在单调递增 D．在单调递减【答案】D6．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A． B． C． D．【答案】B【解析】7．已知函数，给出下列四个结论：（）①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数图像关于对称；④函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到．其中正确结论的个数是A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】函数的最小正周期，故①正确令8．已知函数的部分图象如图所示，如果，且，则 ( )A． B． C． D． 1【答案】B【解析】由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选：B．9．已知函数，若，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B10．已知函数f(x)= lnx-x，若在△ABC中，角C是钝角，则( )A． f(sinA)>f(cosB) B． f(sin A)<f(cosB) C． f(sinA)<f(sinB) D． f(sinA)<f(sinB) 【答案】B【解析】由题意，函数，则，当时，，所以函数为单调递增函数，当时，，所以函数为单调递减函数，又由中，角C为钝角，所以，即，则，且，所以，故选B.11．已知f(x)= 2sinx-cosx，f(x)的最大值为f(θ)，则cosθ=( )A． B． C． D．【答案】C12．函数在上的单调递减区间为________．【答案】【解析】由题得，由，得，令得，因为，所以函数的单调减区间为．故答案为：.13．已知函数（0≤x≤），若函数的所有零点依次记为，则 =_____.【答案】14．函数的图像向左平移个单位长度，得到偶函数的图像，则的最大值为_________．【答案】【解析】图象向左平移得到f（x+）=sin（2x++φ），∴g（x）=sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又φ＜0，故φ的最大值为．故答案为：.15．函数的最大值是______．【答案】516．函数，的单调递减区间为__________．【答案】【解析】∵，∴，令，则，∵正弦函数在上单调递增，∴由得：．∴函数在的单调递增区间为．17．设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为______________．【答案】18．已知非零实数满足等式，则＝___________. 【答案】±【解析】16θ+=16sinπθcosπθ⇒16θ+=8sin2πθ⇒sin2πθ=2θ+⇒|2θ|+||≥2=1⇒sin2πθ=±1⇒θ=±．故答案为：±．19．已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）1；（2）.20．已知＝(2asin2x，a)，＝(－1,2 sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝＋b，b>a. (1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)若函数y＝f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．【答案】（1）；（2）或.21．已知向量，，，设．（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，，，求的面积．【答案】（1），；（2）【解析】（1）解：．，．得，．所以函数的单调递增区间为，．（2）解：∵，∴．∵，∴，∴，即．由余弦定理得：，∴，∴．∴．22．已知函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为. （1）求的值；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）在区间上的最大值为1，最小值为。

【高考专题】最新2019年高考数学函数图象专题复习(含答案)文理通用版

2019年高考数学函数图象文理通用一．选择题（共40小题）1．函数4()|41|x x f x =-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．2．已知22(2)(2sin 1)(4)f x x ln x =-，则数()f x 的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 3．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，()[]f x x x =-，若()f x 的图象上恰好存在一个点与2()(1)(20)g x x a x =+--剟的图象上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．1(1,)4--C ．1(0,1)(1,)4--D ．1(0,1](1,]4--⋃ 4．函数sin31cos x y x=+，(,)x ππ∈-图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．5．函数()cos sin f x x x x =-，[x π∈-，]π的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．6．函数1(1)y ln x x =-+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．7．函数(1)cos ()1x x e x f x e -=+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ． D ．8．函数1()(1)x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．9．函数2()(1)f x ln x x =+-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．函数2()sin cos f x x x =+的部分图象符合的是( )A ．B ．C ．D ．11．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则()f x 可能是下列函数中的哪个函数？( )A ．1()1f x x =+B ．11()x x f x e e --=-C ．2()f x x x=+ D ．2()log (1)1f x x =++ 12．函数sin y x x π=-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．13．如图，在直角坐标系xOy 中，边长为1的正方形OMNP 的两个顶点在坐标轴上，点A ，B 分别在线段MN ，NP 上运动．设PB MA x ==，函数()f x OA BA =，()g x OA OB =，则()f x 与()g x 的图象为( )A ．B ．C ．D ．14．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 15．函数2(1)21ln x y x x +=-+的部分图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．16．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T ．若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．17．函数3()cos f x x x x =-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．18．已知函数2|1()|23x f x x e x -=--+，则()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．19．函数()f x =( ) A ．B ．C ．D ． 20．函数1(1)y x ln x =-+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．21．函数2()(41)x f x x x e =-+的大致图象是( )A ．BC ．D ．22．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+23．函数1()sin 1x f x x ln x -=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．24．函数3()||y x x ln x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．25．函数||sin 2()2x x f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．26．函数2()()x f x x tx e =+（实数t 为常数，且0)t <的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．27．函数2()(2)||f x x ln x =-的图象为( )A ．B ．C ．D ．28．函数()1ln xf x x =+，的图象大致是( ) A ． B ．C ． D ．29．函数()cos sin f x x x x =-在[3x π∈-，3]π的大致图象为( )A ．B ．C ．D ． 30．函数233()sin ()22f x x x x ππ=-剟的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．31．函数2||8x y ln x =-的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．32．反映函数2()||f x x x -=-基本性质的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．33．函数433()x xf x x --=的大致图象为( ) A ． B ． C ． D ．34．函数2()22x x f x x -=--的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．35．函数()|1||1|f x ln x ln x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．36．函数11x y lnx -=+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．37．设函数2()1xx xe f x e =+的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ． 38．函数()||cos f x x x =的部分图象为( )A．B．C．D．39．函数()sin2cosf x x x x=+的大致图象有可能是() A．B．C．D．40．函数1()()cosf x x xx=+在[3-，0)(0⋃，3]的图象大致为()A．B．C．D．参考答案一．选择题（共40小题）【解答】解：4()()()|41|x x f x f x f x --=≠≠--，故()f x 为非奇非偶函数，故排除A ，B ．当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()f x →+∞，故排除C ，故选：D ．【解答】解：2(2)cos2(2)f x xln x =-，令2x t =，则2()cos f t t lnt =-，(0)t ≠2()cos f x xlnx ∴=-，(0)x ≠．cos y x =为偶函数，2y lnt =为偶函数，2()cos f x xlnx ∴=-，(0)x ≠．为偶函数．排除B ，C ．当(0,1)x ∈时，cos 0x -<，20lnx <．所以当(0,1)x ∈时，()0f x >，排除A ．故选：D ．【解答】解：设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则2()()(1)h x g x x a =-=--，(02)x 剟．()f x 的图象上恰好存在一个点与2()(1)(20)g x x a x =+--剟的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[0，2]上有一个交点，①当0a <时，()f x 与()h x 图象如图：当()h x 与()f x 在[1，2]的部分相切时，联立()h x 与()f x 在[1，2]的部分2(1)1y x a y x ⎧=--⎨=-⎩，得2320x x a -+-=，由△0=得，14a =-，当1a -…时，()h x 始终在1y =上方，与()f x 无交点．故此时1(1,)4a ∈--． ②0a =时，有两个交点，不成立．③当0a >时，()f x 与()h x 图象如图：要使()f x 与()h x 在[0，2]上有一个交点，需满足：(0)0(2)(0)1h h h ⎧⎨=⎩……，即(0a ∈，1]．综上，1(0,1](1,]4--⋃．故选：D ．【解答】解：函数sin31cos x y x =+满足sin3()()1cos x f x f x x--==-+，函数为奇函数，排除A ，由于3sin2()121cos 2f πππ==-+，sin ()031cos 3f πππ==+，2sin 2()0231cos 3f πππ==+ 故排除B ，C故选：D ．【解答】解：()cos sin (cos sin )()f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C()cos sin 102222f ππππ=-=-<，排除B ，故选：D ．【解答】解：由于函数1(1)y ln x x=-+在(1,0)-，(0,)+∞单调递减，故排除B ，D ，当1x =时，120y ln =->，故排除C ，故选：A ．【解答】解：(1)cos()(1)cos ()()11x x x x e x e x f x f x e e ------==-=-++， ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，D ，当x →+∞时，()0f x →，故排除C ，故选：A ．【解答】解：当0x >时，1x e >，则()0f x <；当0x <时，1x e <，则()0f x <，所以()f x 的图象恒在x 轴下方，排除B ，C ，D ，故选：A ．【解答】解：代0x =，知函数过原点，故排除D ．代入1x =，得0y <，排除C ．带入0.0000000001x =-，0y <，排除A ．故选：B ．【解答】解：函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，(0)sin0cos01f =+=排除C ，22()sin cos sin 02424f ππππ=+=>，排除A ，D ，故选：B ．【解答】解：A ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度得到12y x =+，图象关于原点不对称，不是奇函数，不满足条件． B ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到x x y e e -=-，则此时函数为奇函数，满足条件． C ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到211y x x =+++，(0)1230f =+=≠，则函数不是奇函数，D ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到2log (2)1y x =++，定义域关于原点不对称，不是奇函数，故选：B ．【解答】解：()sin (sin )()f x x x x x f x ππ-=-+=--=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ，当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，故选：D ．【解答】解：由已知可得(1,)A x ，(,1)B x ，[0x ∈，1]，则(1,1)BA x x =--，(1,)OA x =，(,1)OB x =，所以2()1(1)(1)f x OA BA x x x x ==-+-=-，()2g x OA OB x ==，故选：A ．【解答】解：函数2()sin f x x x x =+是偶函数，关于y 轴对称，故排除B ，令()sin g x x x =+，()1cos 0g x x ∴'=+…恒成立，()g x ∴在R 上单调递增，(0)0g =，()()0f x xg x ∴=…，故排除D ，当0x >时，()()f x xg x =单调递增，故当0x <时，()()f x xg x =单调递减，故排除C ．故选：A ．【解答】解：当2x =时，f （2）330441ln ln ==>-+，故排除C ，当12x =时，3132()401224lnf ln ==>，故排除D ，当x →+∞时，()0f x →，故排除B ，故选：A ．【解答】解：函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，【解答】解：函数33()cos()()cos ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，33()cos ()()022222f πππππ=-=-<，排除B ，故选：A ．【解答】解：由题意知2|12|1()|2323|x x f x x e x x x e --=--+=-+-，223y x x =-+对称轴为1x =，|1|x y e -=对称轴为1x =，所以知()f x 的对称轴为1x =，排除B ，D ．代特殊值3x =得0y <，排除C ，选A ．故选：A ．【解答】解：1(0)02ln f ==，排除C ，Df （1）11)0ln e e -=<+，排除B 故选：A ．【解答】解：f （1）1012ln =>-，排除C ，D ，由10(1)y x ln x ==-+，则方程无解，即函数没有零点，排除B ，故选：A ．【解答】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ．故选：A ．【解答】解：由图可知()02f π>，故可排除A ，B ；对于||:()cos x C f x e x =+，当(0,1)x ∈时()0f x >，故可排除C ．故选：D ．【解答】解：111()sin sin sin ()111x x x f x x lnx ln x ln f x x x x --+--=-=-==-+-+，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C ，f （3）1sin302ln =<，排除B ，【解答】解：3()()||()f x x x ln x f x -=--=-，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{|0}x x ≠，由()0f x =，得3()||0x x ln x -=，即2(1)||0x ln x -=，即1x =±，即函数()f x 有两个零点，排除D ， f （2）620ln =>，排除A ，故选：C ．【解答】解：||||sin(2)sin 2()()22x x x x f x f x ----===-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ， ||44sin(2)14()0422f ππππ⨯==>，排除C ，故选：D ．【解答】解：由()0f x =得20x tx +=，得0x =或x t =-，即函数()f x 有两个零点，排除A ，C ，函数的导数22()(2)())[(2)]x x x f x x t e x tx e x t x t e '=+++==+++，当x →-∞时，()0f x '>，即在x 轴最左侧，函数()f x 为增函数，排除D ，故选：B ．【解答】解：22()(2)||(2)||()f x x ln x x ln x f x -=--=-=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，当x →+∞时，()f x →+∞，排除C ，故选：B ．【解答】解：||||()()1||1||ln x ln x f x f x x x --===+-+，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，D f （1）0=，则f （e ）1011lne e e ==>++，排除A ，故选：C ．【解答】解：()cos sin (cos sin )()f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D()cos sin 0f πππππ=-=-<，排除C ，故选：A ．【解答】解：因为233,()sin ()22x f x x x f x ππ--=-=-剟，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，又因为()333222x f x f πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭时剟?，排除B 故选：D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，则22()()||||()88x x f x ln x ln x f x --=--=-=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，当x →+∞时，y →+∞，排除A ，2222()2088e e f e lne =-=-<， ∴函数在0x >时，存在负值，排除C ，故选：D ．【解答】解：函数22()||()||()f x x x x x f x ---=---=-=，则()f x 是偶函数，排除C 且在(0,)+∞上是增函数，排除B 、D ，故选：A ．【解答】解：443333()()x x x xf x f x x x -----==-=-，则()f x 是奇函数，则图象关于原点对称，排除A ， f （1）183033=-=>，排除D ，当x →+∞，3x →+∞，则()f x →+∞，排除C ，故选：B ．【解答】解：2()22()x x f x x f x --=--=，则()f x 是偶函数，排除C ，f （3）1798088=--=>，排除A ， f （5）112532703232=--=--<，排除D ，故选：B ．【解答】解：()|1||1|(|1||1|)()f x ln x ln x ln x ln x f x -=--+=-+--=-，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，f （2）3130ln ln ln =-=>，排除B ，故选：D ．【解答】解：当x →+∞时，y →+∞，排除D ，由0y =得101x lnx -=+，得10x -=，即1x =，即函数只有一个零点，排除A ，B ，故选：C ．【解答】解：f （1）201e e =>+，排除D ，122(1)011e ef e e ----==-<++，排除B ，C 故选：A ．【解答】解：()||cos()||cos ()f x x x x x f x -=--==，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，B ，1()cos 33362f ππππ==>，故排除D ，故选：C ．【解答】解：()sin(2)cos()sin2cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，则函数()f x 是偶函数，排除D ，由()2sin cos cos 0f x x x x x =+=，得cos (2sin 1)0x x x +=，得cos 0x =，此时2x π=或32π，由2sin 10x x +=得1sin 2x x =-，作出函数sin y x =和12y x=-，在(0,2)π内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上()f x 在(0,2)π有四个零点，排除B ，C ，故选：A ．【解答】解：11()()cos()()cos ()f x x x x x f x x x-=---=-+=-，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，f （1）2cos10=>，排除C ，故选：A ．。

2019版高考数学理一轮讲义：第10讲函数的图象含答案精品

第10讲函数的图象1．利用描点法作函数图象基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换y ＝f (x )――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝__f (x －a )__； y ＝f (x )――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b|个单位y ＝__f (x )＋b __； (2)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→0<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1ω倍ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ω倍y ＝__f (ωx )__； y ＝f (x )――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝__Af (x )__； (3)对称变换y ＝f (x )关于x 轴对称,y ＝__－f (x )__； y ＝f (x )关于y 轴对称,y ＝__f (－x )__； y ＝f (x )关于原点对称,y ＝__－f (－x )__. (4)翻折变换y ＝f (x )――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝__f (|x |)__； y ＝f (x )――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝__|f (x )|__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致．( × )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( × )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( × ) 解析 (1)错误．前者是函数y ＝f (x )图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称． (2)错误．例如，函数y ＝|log 2x |与y ＝log 2|x |，当x >0时，它们的图象不相同． (3)错误．函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )分别是对函数y ＝f (x )作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．(4)错误．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象．2．函数y ＝x 2＋ln|x |x的图象大致为( C )解析因为f ⎝⎛⎭⎫1e f (1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上存在零点，故排除A ，D 项；又当x <0时，f (x )＝x 2＋ln (－x )x，而f ⎝⎛⎭⎫－1e ＝1e 2＋e>0，排除B 项，故选C ． 3．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称的图象过点( D )A ．(1，－2)B ．(2，－2)C ．(3，－2)D ．(4，－2)解析由已知有f (4)＝2，故函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称的图象过点(4，－2)，故选D ．4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( D )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位得到的，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1．5．若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝__lg(3－x )__.解析把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象，∴f (x )＝lg(3－x )．一函数图象的作法函数图象的作法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．【例1】作出下列函数的图象． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1．解析 (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)的图象，再将y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如右图中实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如右图．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2－2|x |－1的图象，如下图．二函数图象的识别函数图象识别的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象． (2)利用间接法排除筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手： ①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； ②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势； ③从函数的奇偶性判断图象的对称性； ④从函数的周期性判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．【例2】 (1)(2018·湖北天门、仙桃、潜江三市联考)已知图(1)是函数y ＝f (x )的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是( C )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)(2)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( C )A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析 (1)由图(2)知，图象对应的函数是偶函数，故B 项错误，且当x >0时，对应的函数是y ＝f (－x )，显然A 项，D 项不正确．故选C ．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x p >0，即c <0，排除A 项，B 项．令f (x )＝0，可得x ＝－b a ，则x N ＝－ba ，又x N >0，则ba<0.所以a ，b 异号，排除D 项．三函数图象的应用函数图象的两个应用(1)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．(2)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【例3】 (1)(2018·湖北华师一附中检测)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，则函数y ＝f (x )－33x ＋12的零点的个数为( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析 (1)分别作出y ＝f (x )与y ＝g (x )＝33x －12的图象，如图．显然直线y ＝g (x )与曲线y ＝1－x 2(x ≤1)有两个交点；对于直线y ＝33x －12与曲线y ＝ln x (x >1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x →＋∞时，直线y ＝g (x )的图象肯定在y ＝ln x (x >1)的上方，又f (3)＝ln 3，g (3)＝12，∴f (3)＝ln 3＝12ln 3>12ln e ＝12，∴f (3)>g (3)，故两图象有4个交点．(2)因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1m y i ＝m2×2＝m ，故选B ．1．(2018·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( A )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x ＋1x解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 项，C 项．若函数f (x )＝x ＋1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D 项，故选A ．2．(2017·辽宁大连测试)函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 项，B 项． f ′(x )＝2－4cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得x ＝±π3，故选D ．3．为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的( A ) A ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右移1个单位B ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左移1个单位C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位解析把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，即函数y ＝log 2(x－1)12＝log 2x －1的图象．4．(2017·北京东城二模)对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是( D )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析令g (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3，其图象如图所示．f (x )＝g (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个交点即y ＝g (x )与y ＝－k 的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k ≤2，即－2≤k <1，故选D ．易错点1 混淆函数图象变换规律错因分析：①左右平移只针对x ，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换．【例1】设函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( ) A ．直线y ＝0对称 B ．直线x ＝0对称 C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析 f (x －1)的图象是f (x )的图象向右平移1个单位而得到的，又f (1－x )＝f (－(x －1))的图象是f (－x )的图象也向右平移1个单位而得到的，因f (x )与f (－x )的图象关于y 轴(即直线x ＝0对称)，因此f (x －1)与f (－(x －1))的图象关于直线x ＝1对称，故选D ．答案 D【跟踪训练1】已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (1－x )的图象为( D )解析方法一把函数y ＝f (x )的图象上的所有的点向左平移1个单位长度．得到y ＝f (x ＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y ＝－f (1－x )的图象，故选D ．方法二取函数y ＝f (x )的图象上的点(2,4)，则有f (2)＝4，因为－f (1－(－1))＝－f (2)＝－4，所以函数y ＝－f (1－x )的图象过点(－1，－4)，排除A 项，B 项，C 项，故选D ．易错点2 赋值不准，根的范围或根的个数产生偏差错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要用赋值法讨论，看它们图象的交点有几个．【例2】已知f (x )＝x 2－3，g (x )＝m e x ，若方程f (x )＝g (x )有三个不同的根，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，6e 3 B ．⎝⎛⎭⎫－3，6e 3 C ．⎝⎛⎭⎫－2e ，6e 3 D ．(0,2e)解析当m ＝0时，f (x )＝g (x )⇒x ＝±3，只有两个实根，排除B ，C 项．对于A 项，D 项，赋值m ＝1，方程f (x )＝g (x )变为x 2－3＝e x ，在同一直角坐标系中，作出f (x )＝x 2－3，g (x )＝e x 的图象，由图可知，两图象在y 轴左侧有且仅有一个交点，很明显，当x >0时，g (x )＝e x 的增长速度较f (x )＝x 2－3要快．又由f (3)＝0，g (2)＝e 2>1＝f (2)，…，故两图象只有一个交点，∴排除D 项，故选A ．答案 A【跟踪训练2】已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( C )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12，故选C ．课时达标第10讲[解密考纲] 数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题，解决求解不等式的问题等．一、选择题1．函数y ＝2xln x的图象大致为( D )解析由题意知x ≠1，∵0<x <1时，2x >0，ln x <0.∴y <0，图象在x 轴下方，排除B 项，C 项；当x >1时，2x >0，ln x >0，∴y >0，图象在x 轴上方，当x →＋∞时，y ＝2xln x →＋∞，故选D ．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝( C )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C ．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝( A ) A ．3 B ．2 C ．1D ．－1解析 ∵函数f (x )图象关于直线x ＝1对称，∴f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (2)＝f (0)，即3＋|2－a |＝1＋|a |，排除D 项，C 项，又f (－1)＝f (3)，即|a ＋1|＝4＋|3－a |，用代入法知选A ．4．(2018·四川成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( D ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x <0，即xf (x )<0，则f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．5．(2018·河南统考)若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程是( C )A ．x ＝－1B ．x ＝－12C ．x ＝12D ．x ＝1解析 ∵f (2x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (2x ＋1)＝f ⎝⎛⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴f (2x )的图象可由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到，即f (2x )的图象的对称轴方程是x ＝12.6．(2018·广东名校模拟)已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( D )解析易证函数f (x )＝4－x 2为偶函数，又g (x )是奇函数，所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 项、B 项．当x >0时，f (x )·g (x )＝(4－x 2)log 2x 有两个零点1,2，且0<x <1时，f (x )·g (x )<0，因此排除C 项，故选D ．二、填空题7．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__[－1,0)__.解析首先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是__(0,1]__.解析当x ≤0时，0<2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0<a ≤1．9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__0__.解析函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示：(3)由图象知f (x )的减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解析 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解析 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

2019版高考数学：§2.5 函数的图象

数m的最小值等于
.
答案 1 解析由f(1+x)=f(1-x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1.结合图象知函数f(x)=2|x-1|在[1, +∞)上单调递增,故实数m的最小值为1.
2019年4月28日
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25
3.(2014湖北,15,5分)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
19
2.(2016浙江,3,5分)函数y=sin x2的图象是 ( )
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
20
答案
D
排除法.由y=sin
x2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A,C;当x= 时,y=sin
2

2

2
=
sin 2 ≠1,排除B,故选D. 4
若∀x∈R, f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为
.
答案
0, 16

解析 ∀x∈R, f(x)>f(x-1).
由题图易知a>0,且6a<1,
∴0<a< 1 .
2019年46月28日
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
3
2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为 ( )
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
4
答案 D 本题考查函数图象的识辨.
令y=f(x)=-x4+x2+2,则f '(x)=-4x3+2x,当x<- 2 或0<x< 2 时, f '(x)>0, f(x)递增;当- 2 <x<0或x> 2

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题18三角函数的图象和性质(押题专练)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ的值是( )A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解析：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ3是偶函数．∴φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋32π，k ∈Z. 又φ∈[0，2π]，取k ＝0，得φ＝32π.答案：C2．在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案：A3．若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：B4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝－π12解析：由题意知平移后的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．结合选项知，选A 正确．答案：A5．设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增答案：A6．将函数f(x)＝cos x －3·sin x(x ∈R)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则ɑ的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析：f(x)＝cos x － 3 sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将f(x)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后得到 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ɑ＋π3的图象，则由题意知π3＋ɑ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ɑ＝π6＋k π，k ∈Z.又因为ɑ＞0，所以ɑ的最小值为π6.答案：B7.关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π答案 C8.若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N +)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.8解析由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N +，∴ωmin ＝2. 答案 B9.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2. 答案 A10.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B11.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π答案 B12.若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.答案5π613.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.解析由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ).答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )14.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，则正确结论的序号为________. 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝－32sin 2x －12cos 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π，但它不是奇函数，故①错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，故②正确；由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝0，故③正确；由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故④正确.答案 ②③④15.若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，－4]16．函数f (x )＝sin2x ＋2sin 2x －1(x ∈R )的最小正周期为__________，最大值为__________。

备考2019年高考数学一轮专题：第18讲三角函数的图象与性质

备考2019年高考数学一轮专题：第18讲三角函数的图象与性质一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）函数f (x )＝3sin(2x － π6 )在区间[0， π2 ]上的值域为( )A ．[ −32 ， 32 ]B ．[ −32 ，3]C ．[ −3√32， 3√32 ]D ．[ −3√32，3]2．（2分）函数 y =tan(2x +π4) 的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．（2分）函数 y =√1−tan(x −π4) 的定义域为（）A ．(kπ，kπ+π4)，k ∈Z B ．(kπ，kπ+π2)，k ∈Z C ．(kπ−π4，kπ+π2)，k ∈ZD ．(kπ−π4，kπ)，k ∈Z4．（2分）与函数 y =tan(2x +π4) 的图象不相交的一条直线是（） A ．x =π2B ．y =π2C ．x =π8D ．y =π85．（2分）已知函数 f(x)=sin(2x +φ) .若 f(x)≤|f(π6)| 对 x ∈R 恒成立，且 f(π2)>f(π) ，则 f(x) 的单调递增区间是（）A ．[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z) B ．[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)C ．[kπ，kπ+π2](k ∈Z)D ．[kπ−π2，kπ](k ∈Z)6．（2分）设函数 f(x)=sin(2x +π3) ，则下列结论正确的是（）A ．f(x) 的图象关于直线 x =π3 对称 B ．f(x) 的图象关于点 (π4，0) 对称C ．把 f(x) 的图象向左平移 π12 个单位，得到一个偶函数的图象 D ．f(x) 的最小正周期为 π ，且在 [0，π6] 上为增函数7．（2分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x ，下列说法错误的是（）A ．f （x ）的最小正周期为πB．x= π2是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣π4，π4）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]8．（2分）函数y=tan(12x+π3)图象的一个对称中心是（）A．(π6，0)B．(2π3，−3√3)C．(−2π3，0)D．(0，0)9．（2分）函数f(x)=sin(x+5π2)是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数10．（2分）函数y＝cos(2x－3π2)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为π2的偶函数D．最小正周期为π的偶函数11．（2分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y=sinx B．y=sin2x C．y=tan2x D．y=cos2x 12．（2分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x 二、填空题(共4题；共5分)13．（1分）函数f(x)=√3sin(2x+π3)的图象在区间(0，π2)上的对称轴方程为．14．（2分）函数y=2cosx﹣1的最大值是，最小值是．15．（1分）函数y=3+cosx的值域是16．（1分）已知f（x）=tanx+cos（x+m）为奇函数，且m满足不等式m2﹣3m﹣10＜0，则m的值为三、解答题(共4题；共40分)17．（10分）判断下列函数的奇偶性：（1）（5分）f(x)=|sin x|+cos x；（2）（5分）f(x)=√1−cos x+√cos x−1.18．（10分）已知函数f（x）= 12tan（2x+ π4），（1）（5分）求函数f（x）的定义域；（2）（5分）求函数g（x）=f（x﹣π4）的单调区间及对称中心．19．（10分）已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.（1）（5分）求函数f(x)的最小正周期；（2）（5分）求函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．20．（10分）已知a⃗=(sin(π2−x)，√3cosx)，b⃗=(sinx，−cosx)，若f(x)=a⃗⋅b⃗（1）（5分）求f(x)的最小正周期和最大值；（2）（5分）讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解： ∵x ∈[0，π2]，∴2x ∈[0，π] ， ∴2x −π6∈[−π6，5π6] ， ∴sin(2x −π6)∈[−12，1] ， ∴f(x)=3sin(2x −π6)∈[−32，3] ，即 f(x) 在区间 [0，π2] 上的值域为 [−32，3] ，故答案为：B.【分析】结合x 的范围，计算出2x −π6的范围，利用三角函数的性质，即可得出答案。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题15三角函数的图象和性质(题型专练)含解析

1.在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为()A.∪B.C. D.∪【解析】选B.画出y=sinx，y=cosx在(0，2π)内的图象，它们的交点横坐标为，由图象可知x的取值范围为.2.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是()A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是()A.-1B.-C.D.0【解析】选B.因为x∈，所以2x-∈，根据正弦曲线可知，当2x-=-时，f(x)取得最小值-.4.已知函数f(x)=sin(x-φ)，且f(x)dx=0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=5. y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.作出y=1+sinx在[0，2π]上的图象，可知只有一个交点.6.下列函数中，周期为1的奇函数是()A.y=1-2sin2πxB.y=sinC.y=tan xD.y=sinπxcosπx【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数，周期为1，y=sin的周期为1，是非奇非偶函数，y=tan x是奇函数，周期为2，y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数，周期为1.7.已知函数y=2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b-a的值是()A.2B.3C.+2D.2-8.已知函数f(x)=2sin，x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A. B. C.π D.2π【解析】选C.由f(x)=1，得sin=，所以ωx1+=，或ωx2+=，所以ω(x2-x1)=.又因为x2-x1=，故ω=2，所以T==π.9.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是()A. B. C.[1，2] D.[0，2]10.关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π【解析】函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误.∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心. 【答案】C11.若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N +)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.8【解析】由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N +，∴ωmin ＝2. 【答案】B12.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③【答案】A13.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 【解析】∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.【答案】B14.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫2π3，π 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3<x <k π＋56π(k ∈Z ).取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，56π.【答案】B15.若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.【答案】5π616.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________.【解析】由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ).【答案】⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )17.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，则正确结论的序号为________.【答案】②③④18.函数y=sin2x+cos 2x 的最小正周期为 .【解析】y=sin2x+cos 2x=sin2x+cos2x+=sin +，所以T==π.【答案】π19.设常数a 使方程sinx+cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3= .【答案】20.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值，当x=时取最小值，与y 轴的交点为(0，)，则f(x)的解析式为 .【解析】由题设知T=2=π，又T=，所以ω=2，由2×+φ=得φ=;由=Asin ，得A=2，所以f(x)=2sin .【答案】f(x)=2sin21.若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________. 【解析】f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4.【答案】(－∞，－4]22.已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.23.已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值. 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，24.已知函数y=cos.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数的对称轴及对称中心.(3)求函数的单调增区间.【解析】(1)由题可知ω=，T==8π，所以函数的最小正周期为8π.(2)由x+=kπ(k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z)，所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);又由x+=kπ+(k∈Z)，得x=4kπ+(k∈Z);所以函数的对称中心为(k∈Z).(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z)，得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);所以函数的单调递增区间为，k∈Z.25.已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.。

2019年高考数学总复习专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破理(含解析)新人教版

2019年高考数学总复习专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破理（含解析）新人教版1．(xx·唐山模拟)函数y ＝log 0.54x －3的定义域为A ，全集为R ，则∁R A 为( ) A ．⎝⎛⎦⎤34，1B ．⎣⎡⎭⎫34，1C ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[1，＋∞) 解析：选C 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1.∴34<x ≤1.所以函数y ＝log 0.54x －3的定义域A ＝⎝⎛⎦⎤34，1，所以∁R A ＝⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞)．选C. 2．(xx·佛山模拟)定义运算a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b 2，则f (x )＝2⊕xx ⊗2－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由题意得f (x )＝4－x 2x －22－2.∵4－x 2≥0且x －22－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x (x ∈[－2,0) ∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x 2x ，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数，故选A.3．(xx·邯郸摸底)函数f (x )＝log 2 |x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )解析：选C 因为函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2均为偶函数，所以f (x )g (x )是偶函数，且定义域为{x ∈R |x ≠0}，排除A ，D.又当x →0时，f (x )＝log 2|x |→－∞，g (x )＝－x 2＋2→2，即f (x )g (x )→－∞，故选C.4．(xx·广东六校联考)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．lg x >x 12>2xB ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x解析：选D 当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x 12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所2x >x 12>lg x ．故选D.5．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C 依题意得f (3)＝log 12 2＝－1<0，log 12 2<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 12 32<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 6．(xx·吉林一中模拟)2013年8月30日到银行存入a 元，若年利率为x ，且按复利计算，到2021年8月30日可取回( )A ．a (1＋x )8元B ．a (1＋x )9元C ．a (1＋x 8)元D ．a ＋(1＋x )8元解析：选A 2013年8月30日存入银行a 元，年利率为x 且按复利计算，则xx 年8月30日本利和为a (1＋x )元，xx 年8月30日本利和为 a (1＋x )2元，……，则2021年8月30日本利和为a (1＋x )8元，故选A.7．(xx·温州模拟)已知2a ＝3b ＝6c ，则有( ) A ．a ＋bc ∈(2,3)B ．a ＋b c ∈(3,4)C ．a ＋b c∈(4,5)D ．a ＋b c∈(5,6)解析：选C 设2a ＝3b ＝6c ＝k ，则a ＝log 2 k ，b ＝log 3 k ，c ＝log 6 k ， ∴a ＋bc ＝log 2 k log 6 k ＋log 3 k log 6 k ＝log k 6log k 2＋log k 6log k 3＝log 2 6＋log 3 6 ＝1＋log 2 3＋1＋log 3 2>2＋2＝4，又2＋log 2 3＋log 3 2<2＋2＋1＝5.故选C.8．(xx·安徽高考)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2 x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：{x |－1<x ≤0或x >2} ①当x ≤0时，3x ＋1>1∴x ＋1>0，∴－1<x ≤0；②当x >0时，log 2 x >1∴x >2，综上所述，x 的取值范围为{x |－1<x ≤0或x >2}．10．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0； ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ； ④2a ＋2c <2.解析：④ 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图所示)，由图象可知：a <0，b 的符号不确定，1>c >0，故①②错； ∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立．又2a ＋2c >22a ＋c ∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0∴－a >c ， ∴2－a >2c ，③不成立．11．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，记g (x )＝f (x )[f (x )＋f (2)－1]．若y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：⎝⎛⎦⎤0，12 由已知可得y ＝f (x )＝log a x ，∴g (x )＝log a x ·(log a x ＋log a 2－1)＝(log a x )2＋log a 2a ·log a x ．当a >1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 12，log a 2，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≥－12log a 2a ，解得a ≤12(舍去)；当0<a <1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 2，log a 12，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≤－12log a 2a ，解得0<a ≤12. 12．(xx·沈阳监测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x ＋1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则函数f (x ＋1)的图象关于点A (1,0)对称； ④函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有2个实数根．其中正确命题的序号是________．解析：①②④ 对于①，y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，其他三个函数均为增函数，故①正确；对于②，结合对数函数的图象可知，底数小于1时，图象越靠近x 轴底数越小，则0<n <m <1，故②正确；对于③，根据图象平移的左加右减的规律可知，f (x ＋1)的图象是由f (x )的图象向左平移了一个单位长度，故对称中心变为(－1,0)，故③不正确；对于④，令f (x )＝3x ，g (x )＝2x ＋3，作出它们的图象可以发现有两个交点，故④正确，正确命题的序号是①②④.13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；或不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4 (a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减，又y ＝log 4 x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.14．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性．解：(1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数． (2)∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎫a －1a (e x －e －x )＝0，又∵对任意x ∈R 都成立， ∴有a －1a＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝e x 1＋e －x1－e x 2－e －x 2∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )＝e －x a ＋ae－x ，当a ＝1时，在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．15．(xx·陕西调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵x ∈[－1,1]，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3，若t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数，又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， ∴满足题意的m ，n 不存在．16．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n .∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1. 又f (－1＋x )＝f (－1－x )， ∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝2－2λ21＋λ＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数．综上λ的取值范围为(－∞，0]．.。

【助力高考】2019年高考数学专题复习第10讲《函数的图象》(含详细答案和教师用书)

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案：和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第二章函数的概念与基本初等函数第10讲函数的图象★★★核心知识回顾★★★知识点一、描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象．知识点二、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝.②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝．★★★高考典例剖析★★★考点一、作函数的图象例1：作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解： (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．例2：（2018•新课标Ⅲ）函数y=-x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y＝x2ln|x||x|的图象大致是()3．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()4．(2017·湖南长沙四县联考)函数f (x )＝sin xln (x ＋2)的图象可能是( )5．(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )考点三、函数图象的应用命题点①研究函数的性质例3：已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解： (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．♦♦♦跟踪训练♦♦♦6．(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.命题点②解不等式例4：函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________________．解：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. ♦♦♦跟踪训练♦♦♦7．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．命题点③求参数的取值范围例4：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．8．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．9．已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x 的解集是__________．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．（2018•钦州三模）图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（）A．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述D．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少2．（2018•潍坊一模）若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|-1）的图象可以是（）A．B．C．D．3．函数f(x)＝sin xx2＋1的图象大致为()4．函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为()5．(2017·太原二模)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解：式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )8．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)9．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－210．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．（2018•福州二模）已知函数f （x ）=e x -1-e 1-x +1，直线l ：mx-y-m+1=0（m ∈R ），则l 与y=f （x ）图象的交点个数可能为（） A ．0 B ．2C ．3D ．512．（2018•西宁模拟）函数f （x ）=x-xln|x|的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．13．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解：式为( ) A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e－x ＋1D ．f (x )＝e－x －114．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0二、填空题16.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝______.17．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．19．(2017·银川调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________．20．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.21．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k的取值范围为________________________．23．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______．三、解答题24．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．25．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第二章函数的概念与基本初等函数第10讲函数的图象★★★核心知识回顾★★★知识点一、描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象．知识点二、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．★★★高考典例剖析★★★考点一、作函数的图象 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦则对应的图象如图：（2）要使不等式f （x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 2．答案： D解：从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D.3．答案： B解：方法一由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.方法二当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B. 4．答案： A解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，ln (x ＋2)≠0，∴x >－2且x ≠－1，故排除B ，D ，由f (1)＝sin 1ln 3>0可排除C ，故选A. 5．答案： B解： y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，其图象是由y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B 满足．考点三、函数图象的应用命题点①研究函数的性质 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 6．答案： 9解：作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点②解不等式 7．答案： [－1，＋∞)解：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．命题点③求参数的取值范围 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 8．答案： ⎝⎛⎭⎫12，1解：先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.9．答案： (－1,0)∪(1，2]解：由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案： C解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确；故选：C ． 2．答案： D解：由函数f （x ）=a x -a -x （a ＞0且a≠1）在R 上为减函数，故0＜a ＜1．函数y=log a （|x|-1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜-1，函数y=log a （|x|-1）的图象，x ＞1时是把函数y=log a x 的图象向右平移1个单位得到的，故选：D ． 3．答案： A解：因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除选项C ，D ；当0<x <π时，sin x >0，所以当0<x <π时，f (x )>0，排除选项B ，故选A. 4．答案： C解：由已知得a ＝2，所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|.函数y ＝log 2(x ＋1)在(－1,0)上单调递增且y <0，在(0，＋∞)上单调递增且y >0，所以函数g (x )在(－1,0)上单调递减且g (x )>0，在(0，＋∞)上单调递增且g (x )>0，观察各选项，只有C 符合．5．答案： D解：函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C.取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.6．答案： A解：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.7．解：由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．答案： C 8．答案： D解：根据图象可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，∴m ≠0.当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2，函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2>0，∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立， ∴(x 2－m )max <0，∴m >1，综上所述，1<m <2，故选D. 9．答案： A解：因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1. 10．答案： C解：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．11．答案： C解：如图，函数f（x）在R上为增函数，且函数f（x）关于点（1，1）对称，而直线l：m（x-1）-y+1=0过定点（1，1），则l与y=f（x）图象的交点个数至少是1个或者是3个，故选：C．12．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-x+xln|-x|=-x+xln|x|=-（x-xln|x|）=-f（x），则f（x）是奇函数，函数图象关于原点对称，排除A，D，f（x）=x（1-ln|x|），则f（e）=e（1-ln|e|）=e（1-1）=0，则f（1）=1-ln1=1＞0，则在[1，e]上不是增函数，排除B，故选：C．13．答案： D解：与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.14．答案： B解：作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．15．答案： D解：函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.二、填空题 16．答案： 2解： ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.17．答案： {x |x ≤0或1<x ≤2} 解：画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 18．答案： (3，＋∞)解：如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.19．答案： (4,5)解：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．20．答案： 0解：方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0. 21．答案： 6解：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.22．答案： ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解：对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.作出f (x )的图象如图实线部分所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.23．答案： [－2,1)解：解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.三、解答题24．解： (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是单调减区间；(1,2]，[3，＋∞)是单调增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}． 25．解： (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第二章函数的概念与基本初等函数第10讲函数的图象★★★核心知识回顾★★★知识点一、描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象．知识点二、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．★★★高考典例剖析★★★考点一、作函数的图象例1：作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解： (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．则对应的图象如图：（2）要使不等式f（x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，要使g （x ））≤-k 有解，则-k ＞0，即k ＜0，即实数k 的取值范围是（-∞，0）．考点二、函数图象的辨识例2：（2018•新课标Ⅲ）函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案： D解：从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D.3．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案： B解：方法一由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.方法二当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.4．(2017·湖南长沙四县联考)函数f (x )＝sin xln (x ＋2)的图象可能是( )答案： A解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，ln (x ＋2)≠0，∴x >－2且x ≠－1，故排除B ，D ，由f (1)＝sin 1ln 3>0可排除C ，故选A.5．(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )答案： B解： y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，其图象是由y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B 满足．考点三、函数图象的应用命题点①研究函数的性质例3：已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解： (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．♦♦♦跟踪训练♦♦♦6．(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.答案： 9解：作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点②解不等式例4：函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________________．解：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. ♦♦♦跟踪训练♦♦♦7．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案： [－1，＋∞)解：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．命题点③求参数的取值范围例4：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．8．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．答案： ⎝⎛⎭⎫12，1解：先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.9．已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是__________．答案： (－1,0)∪(1，2]解：由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．（2018•钦州三模）图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（）A．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述D．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少答案：C解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确；故选：C．2．（2018•潍坊一模）若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|-1）的图象可以是（）A．B．C．D．答案：D解：由函数f（x）=a x-a-x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，故0＜a ＜1．函数y=log a （|x|-1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜-1，函数y=log a （|x|-1）的图象，x ＞1时是把函数y=log a x 的图象向右平移1个单位得到的，故选：D ．3．函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为( )答案： A解：因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除选项C ，D ；当0<x <π时，sin x >0，所以当0<x <π时，f (x )>0，排除选项B ，故选A.4．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )答案： C解：由已知得a ＝2，所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|.函数y ＝log 2(x ＋1)在(－1,0)上单调递增且y <0，在(0，＋∞)上单调递增且y >0，所以函数g (x )在(－1,0)上单调递减且g (x )>0，在(0，＋∞)上单调递增且g (x )>0，观察各选项，只有C 符合．5．(2017·太原二模)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )答案： D解：函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C.取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解：式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x答案： A解：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解：由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．答案： C8．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)答案： D解：根据图象可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，∴m ≠0.当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2，函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2>0，∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立， ∴(x 2－m )max <0，∴m >1，综上所述，1<m <2，故选D.9．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 答案： A解：因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.10．已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案： C解：在平面直角坐标系内作出f(x)，g(x)的图象如图所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．11．（2018•福州二模）已知函数f（x）=e x-1-e1-x+1，直线l：mx-y-m+1=0（m∈R），则l与y=f（x）图象的交点个数可能为（）A．0 B．2C．3 D．5答案： C解：如图，函数f（x）在R上为增函数，且函数f（x）关于点（1，1）对称，而直线l：m（x-1）-y+1=0过定点（1，1），则l与y=f（x）图象的交点个数至少是1个或者是3个，故选：C．12．（2018•西宁模拟）函数f（x）=x-xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-x+xln|-x|=-x+xln|x|=-（x-xln|x|）=-f（x），则f（x）是奇函数，函数图象关于原点对称，排除A，D，f（x）=x（1-ln|x|），则f（e）=e（1-ln|e|）=e（1-1）=0，则f（1）=1-ln1=1＞0，则在[1，e]上不是增函数，排除B，故选：C．13．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解：式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案： D解：与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.14．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为() A．1 B．2C．3 D．0答案： B解：作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案： D解：函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.二、填空题16.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝______.答案： 2解： ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.17．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________．答案： {x |x ≤0或1<x ≤2}解：画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案： (3，＋∞)解：如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.19．(2017·银川调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________．答案： (4,5)解：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．20．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案： 0解：方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.21．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．答案： 6解：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________________________．答案： ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解：对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.作出f (x )的图象如图实线部分所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54. 23．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______．答案： [－2,1)解：解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3). 函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.三、解答题24．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解： (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是单调减区间；(1,2]，[3，＋∞)是单调增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．25．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解： (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

专题01 函数的图像与性质(解析版)

专题01 函数的图像与基本性质1、（2019年江苏卷）.函数y =_____. 【答案】[1,7]-.【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.2、（2019年江苏卷）.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()gx 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 3【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A. 233231(log )(2)(2)4f f f -->> B. 233231(log )(2)(2)4f f f -->>C. 233231(2)(2)(log )4f f f -->> D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案：C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221log 4--<<<<；所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>；故选C.4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】Ba b c <<a c b <<c a b <<b c a <<【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．5、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= （） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．6、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．7、【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .8、【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.9、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．10、【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮2sin cos ++x xx x度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（） A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.11、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是（）【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.12、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则（）A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．13、【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（） A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =，考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=，由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去），所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.一、函数的性质 1、求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质. 2、复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减. 3、正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.4、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.5、判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.6、判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0).对于偶函数的判断以此类推.7、分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 二、抽象函数的问题：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

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培优点一函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数f x log (x 4) 的单调递增区间是（）212A．(0,) B．(,0) C．(2,) D．(,2)（2）yx 2 2 x 3的单调递增区间为________．【答案】（1）D；（2）(,1] ，0,1【解析】（1）因为y t，t 0 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，log12即求函数t x 2 4 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(,2) ．（2）由题意知，当x 0 时，yx 2 2x 3 (x 1)2 4 ；当x 0 时，yx 2 2x 3 (x 1)2 4 ，二次函数的图象如图．由图象可知，函数yx 2 2 x 3在(,1] ，0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数y x x 1 的最小值为________．【答案】1【解析】易知函数y x x 1 在[1,) 上为增函数，∴x 1时，y．min 13．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数f x的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x x 时，2 1 1f x f x x x 恒成立，设2 1 ( 2 1) 0a f12 ，b f 2，c f 3，则a，b，c的大小关系为（）A．c a b B．c b a C．a c b D．b a c1（2）定义在 R 上的奇函数 y f x 在 (0,) 上递增，且f1 20 ，则满足 fx log 019的 x 的集合为________________．1【答案】（1）D ；（2） x | 0 x 或1 x 33 【解析】（1）根据已知可得函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，且在 (1,) 上是减函数，15因为，且 a ff2252< <3，所以b ac ．2（2）由题意知 f 12 0 ， f 12 0 ，由f log x0 191 得 log x 或1291 log x 0129解得 01 或1 x3． x 3４．奇偶性例４：已知偶函数 f x 在区间[0,) 上单调递增，则满足f x f (2 1)1 3的 x 的取值范围是（）1 2 A ． ,3 31 2 B ． ,3 31 2 C ．,2 31 2 D ． ,2 3【答案】A 【解析】因为 f x 是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，又 fx 在[0,) 上单调递增，f xf(2 1)11| 2x1|，所以，所以1 2 x ．3 333５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数y f x在0,7上只有1和3两个零点，且y f x2与y f x7都是偶函数，则函数y f x在0,2013上的零点个数为（）A．404 B．804 C．806 D．402【答案】C【解析】f x2，f x7为偶函数f x2f x2，f x7f x7，f x关于2x ， x 7 轴对称， fx 为周期函数，且T 27 210 ，2将0,2013划分为0,1010, 202000,20102010,2013关于 x 2 ， x 7 轴对称 fx f 4 x ， f x f 14 xf xff， f 8 f 14 8 f60 ， f3 f4 3 f 1 016 0在0,10中只含有四个零点，而0,1010, 202000,2010 共 201组所以 N 201 4 804 ；在2010,2013中，含有零点 f2011f 1 0 ， f 2013f3 0 共两个，所以一共有 806个零点６．中心对称例６：函数 f x 的定义域为 R ，若 f x 1与 f x 1都是奇函数，则（）A ． f x 是偶函数B ． f x是奇函数C ． fxf x 2 D ． f x 3是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看 fx 的性质，由 f x 1， f x 1为奇函数分别可得到：f x1f x 1， f x 1 f x 1，所以 f x 关于1,0，1,0中心对称，双对称出周期可求得T 211 4 ，所以 C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合 A ，B ．对于 D 选项，因为T 4 ，所以 f x 5 f x 1f x 1，进而可推出 f x 关于3, 0 中心对称，所以 f x 3为 f x 图像向左平移 3个单位，即关于0, 0对称，所以 f x 3为奇函数，D正确．７．周期性的应用3则f2017f 2019的值为（）A． 1 B．1 C．0 D．无法计算【答案】C【解析】由题意，得g (x ) f (x 1) ，∵f x是定义在R 上的偶函数，g x是定义在R 上的奇函数，∴g (x ) g x，f (x ) f x，∴f(x1) f(x 1) ，∴fxf(x 2) ，∴fx f(x 4) ，∴f x的周期为4，∴f2017（f1），f2019f3f (1) ，又∵（f1）f (1) g00，∴f2017f20190 ．对点增分集训一、选择题1．若函数fx | 2x a| 的单调递增区间是[3,) ，则a的值为（）A． 2 B．2 C． 6 D．6 【答案】Ca【解析】由图象易知函数f x | 2x a| 的单调增区间是,2a，令=3，∴a6 ．22．已知函数y ax 在1, 2上是增函数，则实数a的取值范围是（）log2 ( 1)A ．0,1B ．1,2C．[1,) D．[2,) 【答案】C【解析】要使y ax 在1, 2上是增函数，则a 0 且a 10 ，即a 1．log2 ( 1)3．设函数fx ln(1x ) ln(1x) ，则f x是（）A．奇函数，且在(0,1) 内是增函数B．奇函数，且在(0,1) 内是减函数C．偶函数，且在(0,1) 内是增函数D．偶函数，且在(0,1) 内是减函数【答案】A为奇函数，4又y ln(1x)与yln(1x) 在(0,1) 上是增函数，所以fx ln(1x ) ln(1x) 在(0,1) 上是增函数．4．已知函数y f x的图象关于x 1对称，且在(1,) 上单调递增，设a f12，b f，2c f，则a，b，c的大小关系为（）3A．c b a B．b a c C．b c a D．a b c 【答案】B【解析】∵函数图象关于x 1对称，∴a f 1f 52 2 ，又y f x在(1,) 上单调递增，∴f f 5f(2) (3)2，即b a c，故选B．5．已知f x是奇函数，g x是偶函数，且f (1) g 1 2 ，f 1g (1) 4 ，则g 1等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】由已知得f (1) f 1，g (1) g 1，则有11 2f g解得g 1 3 ，故选Bf 1 g1 4．6．函数 1f(x ) x cos x (x 且x 0) 的图象可能为（）x【答案】D【解析】因为1 1f( x) x cos( x) x cos x f(x )x x，x 且x 0 ，所以函数5f x为奇函数，排除A，B．当x 时，f x( ) cos 0 ，排除C，故选D．17．奇函数f x的定义域为R ，若f(x 1) 为偶函数，且f 1 2 ，则f4f 5的值为（）A．2 B．1 C． 1 D． 2 【答案】A【解析】∵f(x 1) 为偶函数，∴f (x 1) f(x 1) ，则f (x ) f(x 2) ，又y f x为奇函数，则f (x ) fx f(x 2) ，且f00 ．从而f(x 4) f(x 2) f x，y f x的周期为4．∴f4f5f0f 10 2 2 ，故选A．8．函数f x的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y e 关于y轴对称，则f x的解x析式为（）A．f xD．f xB．fx e x 1 C．e x e x11 f x e x1【答案】D【解析】与y e x的图象关于y轴对称的函数为y e x．依题意，f x的图象向右平移一个单位，得y e x的图象．∴f x的图象由 ey 的图象向左平移一个单位得到．∴xfx1)1 ．e x e x(9．使log2 (x ) x 1成立的x的取值范围是（）A．(1, 0) B．[1, 0) C．(2, 0) D．[2, 0)【答案】A【解析】在同一坐标系内作出y x，y x 1的图象，知满足条件的x (1,0) ，故选Alog2 ( )．10．已知偶函数f x对于任意x R 都有f(x1) f x，且f x在区间0,1上是单调递增的，则f(6．5) ，f(1) ，f0的大小关系是（）A．f0f( 6.5) f(1) B．f( 6.5) f0f(1)6C ． f (1) f ( 6.5) fD ． f (1) f0 f ( 6.5)【答案】A 【解析】由 f (x1)fx ，得 f (x 2) f (x 1) f x，∴函数 f x 的周期是 2．∵函数 f x 为偶函数，∴ f ( 6.5) f (0.5) f (0.5) ， f (1) f1． ∵ fx在区间0,1上是单调递增的，∴ ff (0.5) f1，即 ff (6.5) f (1) ．11．对任意的实数 x 都有 f (x 2) fx 2 f 1，若 y f (x1) 的图象关于 x 1对称，且f，0 2 则 f2015f2016 （）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 y f (x1) 的图象关于 x 1对称，则函数 y fx 的图象关于 x 0 对称，即函数 f x是偶函数，令 x1，则 f (1 2) f (1)2 f1，∴ f1f12 f10 ，即 f 1＝0 ，则 f (x 2) f x 2 f 1 0，即 f (x 2) f x，则函数的周期是 2，又 f0 2 ，则 f2015f2016f1 f0 2 2 ．12．已知函数e 1 g xx x ，若存在 fag b ，则实数b 的取值范围f x x ，243为（）A ．[0,3]B ． (1, 3)C ．2 2,22D ．2 2,22【答案】D 【解析】由题可知 fx e1 1，xg xx 24x 3 (x 2) 211，若 fa gb ，则 g b(1,1] ，即b 2 4b 3 1，即b 24b 2 0 ，解得 2 2 b 2 2 ．所以实数b 的取值范围为 (2 2,2 2) ，故选 D ．二、填空题13．设函数f x1 x 0 0 x 0 g x x2 f (x 1) ，则函数 g x 的递减区间是_______．，1 x0【答案】[0,1)7【解析】由题意知g x2xx 1x 1 ，函数的图象如图所示的实线部分，xx 12根据图象，g x 的减区间是[0,1) ．14．若函数 f x(xR)是周期为 4的奇函数，且在[0, 2] 上的解析式为f xx 1xx 1，x xxx则f29 f 41 4 6________．5【答案】16 【解析】由于函数 fx是周期为 4的奇函数，所以 ffffffff29 4137 3 7 37 3 5 2 42 4 sin4 6 46464616 6 16．15．设函数 fx | x a | ， gx x 1，对于任意的 x R ，不等式 f x g x 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．【答案】[1,)【解析】如图作出函数 fx | x a | 与 gxx 1的图象，观察图象可知：当且仅当 a 1，即 a1时，不等式 fxgx 恒成立，因此 a 的取值范围是[1,) ．16．设定义在R 上的函数f x同时满足以下条件：①fx f (x ) 0 ；②fx f(x 2) ；③当0 x 1时，f x2x 1，则f 1 f f 3f f 51 (2)2 22________．【答案】 28【解析】依题意知：函数 f (x )为奇函数且周期为 2，1 351(2) ∴ff ff f2 221 111(0)fffff2 22f1 ff1 f f1 1 (0)2 2 2f 1 f f1 01 021 21 2 1 2 ．1 22三、解答题a17．已知函数 ( ) ln( 2)f x x ，其中 a 是大于 0的常数．x （1）求函数 f x 的定义域；（2）当 a(1, 4) 时，求函数 fx 在[2,) 上的最小值；（3）若对任意 x [2,) 恒有 fx0，试确定 a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2） ln a2 ；（3）(2,) ．a【解析】（1）由 x20 ，得xxx a22 ，x当 a 1时， x 2 2x a0 恒成立，定义域为 (0,) ，当 a1时，定义域为{x | x0且x1}，当 0 a 1时，定义域为{x | 0 x11a 或x1 1 a } ．a （2）设 g (x ) x 2，当 a (1, 4) ， x[2,)时，∴xaxa 2． g (x ) 1xx22因此 g x 在[2,) 上是增函数，∴ f x 在[2,) 上是增函数．则af (x )f (2)ln ．min2a（3）对任意 x[2,) ，恒有 fx 0．即2 1对 x[2,) 恒成立．xx∴ a 3x x 2 ．令 hx 3x x ， x[2,) ．22由于 ( )h x x 39 24在[2,) 上是减函数，∴ h xh．max22故 a 2 时，恒有 fx 0．因此实数 a 的取值范围为 (2,) ．918．设f x是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1x ) f (1x) ，当1x时，fxx．（1）判定f x的奇偶性；（2）试求出函数f x在区间[1,2]上的表达式．【答案】（1）f x是偶函数；（2）f xxx1, 0x x0,1x 2 x 1,2．【解析】（1）∵f (1x ) f (1x) ，∴f (x ) f (2 x) ．又f(x 2) f x，∴f (x ) f x．又f x的定义域为R ，∴f x是偶函数．（2）当x[0,1]时，x [1,0]，则fx f (x ) x；进而当1x 2 时，1x 2 0，fx f(x 2) (x 2) x 2 ．故f xxx1, 0x x0,1 ．x 2 x1, 210。