高三数学-2018年广州市普通高中高考模拟测试(二) 精品
2018年广东省高考数学二模试卷(理科)
2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x，y∈R，集合A={2, log3x}，集合B={x, y}，若A∩B={0}，则x+y=()A.13B.0C.1D.32. 若复数z1=1+i，z2=1−i，则下列结论错误的是（）A.z1⋅z2是实数B.z1z2是纯虚数C.|z14|=2|z2|2D.z12+z22=4i3.已知a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则b→⋅c→=( )A.−7B.−2C.5D.84. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.π16B.316C.π4D.145. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3⋯a99=()A.−9B.9C.−81D.816. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.x28−y28=1B.x2 16−y216=1C.y28−x28=1D.x28−y28=1或y28−x28=17. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.8π+6B.6π+6C.8π+12D.6π+128. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0|x +y|≤2，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A.[−2, 2]B.[−4, 4]C.[0, 4]D.[0, 2]9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ） A. B.C. D.10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n−S m的最小值为（）A.−494B.−498C.−14D.−2811. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60∘，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A−BD−C的余弦值为−13，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A.28√73π B.8√6π C.20√53π D.36π12. 已知函数f(x)=e x−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）A.∀x∈(−3, +∞)，f(x)≥13B.∀x∈(−3, +∞)，f(x)>−12C.∃x0∈(−3, +∞)，f(x0)=−1D.f(x)min∈(0, 1)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．已知a>0，b>0，(ax+bx )6展开式的常数项为52，则a+2b的最小值为________．已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60∘，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90∘，∠ADC=∠DCB=120∘．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求x 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为已知椭圆C 1:x 28+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1, 1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明1m +1n是定值．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x−f′(0)x．（1）求f(x)的单调区间；（2）当x>0时，af(x)<e x−x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=π3与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|mx+3|−|2x+n|．（1）当m=2，n=−1时，求不等式f(x)<2的解集；（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】∵z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=1−i2=2，故A正确；z1 z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=−i，故B正确；|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；z12+z22=(1+i)2+(1−i)2=0，故D错误．3.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则−1×(m−4)−3×m=0，解得m =1， ∴ b →=(1, −3)c →=(2, 3)，b →⋅c →=1×2+(−3)×3=−7．故选A . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的14，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =14， 5.【答案】 B【考点】等比数列的性质 【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3⋯a 99=q 4．即可得出． 【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)， 化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q8×(8+1)2=q 4×9则√a 1a 2a 3⋯a 99=√q 4×99=q 4=9．6.【答案】 A【考点】 双曲线的特性 【解析】由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程． 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一个焦点坐标为(4, 0)，可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线y =ba x 和直线y =−ba x 垂直， 可得a =b ，解方程可得a =b =2√2， 则双曲线的方程为x 28−y 28=1．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可． 【解答】几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论． 【解答】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2所对应的可行域（如图阴影） 变形目标函数可得y =−2x +z ，平移直线y =−2x 可知 当直线经过点A(−2, 0)时，目标函数取最小值−4 当直线经过点B(2, 0)时，目标函数取最大值4， 故z =−2x +y 的取值范围为[−4, 4]． 9.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列， 由S n =2n −1得：S n+1=2n+1−1=2S n +1， 故循环体内S =1+2S ， 10.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由等式变形，可得{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5，运用等差数列的通项公式可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值． 【解答】∵ (2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，∴ a n+12n−3−a n 2n−5=1，a1−3=−5． 可得数列{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5．∴ a n2n−5=−5+n −1=n −6，∴ a n =(2n −5)(n −6)=2n 2−17n +30．∴ S n =2(12+22+……+n 2)−17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6−17×n(n +1)2+30n=4n 3−45n 2+131n6．可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，∵ n ，m ∈N +，n >m ，S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n −S m 的最小值为5−19=−14， 11.【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积． 【解答】如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A −BD −C 的平面角， 过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，∴ cos∠AFC =−13，cos∠AFE =13，AF ＝CF =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，设OO′＝x ，∵ O′B =23CF ＝2，O′F =13CF =1，∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2−x)2， 解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，∴ 四面体的外接球的体积为V =43πR 3=43π×6√6=8√6π．12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】本题首先要对函数f(x)=e x −ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a, b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(−1, −12)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点． 【解答】因为函数f(x)=e x −ln(x +3)，定义域为(−3, +∞)，所以f′(x)=e x −1x+3， 易知导函数f′(x)在定义域(−3, +∞)上是单调递增函数， 又f′(−1)<0，f′(−12)>0，所以f′(x)=0在(−3, +∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(−1, −12)， 则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0+3，两边取以e 为底的对数，得x 0=−ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=ex 0−ln(x 0+3)=1x+3−ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0，因为x 0∈(−1, −12)，所以2<x 0+3<52，故f(x)≥f(x 0)=1x 0+3+(x 0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x ∈(−3, +∞)，都有f(x)>−12．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −π 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值． 【解答】函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度， 得f(x +π3)=2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)的图象，∴ g(x)=2sin(2x +2π3+φ)；又g(x)是偶函数，∴ 2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=−π6+kπ，k ∈Z ； 又φ<0，∴ φ的最大值是−π6． 【答案】 2【考点】 二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =12，再由基本不等式求a +2b 的最小值． 【解答】(ax +bx )6展开式的通项为T r+1=C 6r ∗(ax)6−r ∗(bx )r =a 6−r ∗b r ∗C 6r∗x 6−2r ，由6−2r =0，得r =3．∴ a 3b 3∗C 63=52，即ab =12．∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =12时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2． 【答案】 (0, 1) 【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用单调性求解即可． 【解答】函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f(x)时单调递增函数， 当x =0时，可得f(0)=1，那么不等式f(log 3x)<f(0)的解集， 即{x >0log 3x <0 ， 解得：0<x <1． 【答案】 3【考点】 抛物线的求解 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一： 画出对应的图，设AB 与OP 的夹角为θ，则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为PQsin θOPsin θ=PQOP ， ∴ S △ABQS△ABO =PQ OP =y Q −y P y P=y Q y P−1．设P (y 122p ,y 1)， 则直线OP:y =y 1y 122px ，即y =2p y 1x ，与y 2=8px 联立， 可得y Q =4y 1，从而得到面积比为4y1y 1−1=3．故答案为：3．方法二：记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离， 则S △ABQS△ABO=d(Q,AB)d(O,AB)=|PQ||OP|，设|OQ||OP|=m ，P (x 0,y 0)， 则OQ →=mOP →，即Q (mx 0,my 0)．于是y 02=2px 0，(my 0)2=8pmx 0， 故m =4， 则|PQ||OP|=|OQ|−|OP||OP|=4−1=3，从而S △ABQS△ABO=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【考点】三角形求面积【解析】（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得bsinB =csinC，从而sinC=√33，由b=12>c，得B>C，cosC=√63，从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√36，由此能求出△ABC的面积．【解答】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【答案】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB→=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0 ，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×√5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【考点】平面与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值． 【解答】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB →=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【答案】 解：（1）由题可知：a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题可知：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P(Y=5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【答案】（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2, 0)，则c=2，b2=a2−c2=4，所以C1：x28+y24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m+1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2, 0)，则c =2，b 2=a 2−c 2=4， 所以C 1：x 28+y 24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28.当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m +1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【答案】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增． 令g(x)=af(x)−e x +x =ae 2x −(2a +1)e x +x ， 根据题意，当x ∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x −1)(e x −1)．①当0<a <12，x ∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)， 所以不符合题意；②当a ≥12，x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0， 故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0， 即a −(2a +1)≤0，解得：a ≥−1，故−1≤a ≤0． 综上，a 的取值范围是[−1, 0]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g(x)=af(x)−e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可． 【解答】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x+x=ae2x−(2a+1)e x+x，根据题意，当x∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立．g′(x)=(2ae x−1)(e x−1)．①当0<a<12，x∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a≥12，x∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a−(2a+1)≤0，解得：a≥−1，故−1≤a≤0．综上，a的取值范围是[−1, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x−y−34+a=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a=0．∵圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ρ2+ρ3=3+3√3．∵点M恰好为AB的中点，∴ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a=0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a=0，解得a=94．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C 的极坐标方程．（2）设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，从而ρ2+ρ3=3+3√3，进而M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，能求出a 的值．【解答】∵ 直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t（t 为参数），∴ 在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x −y −34+a =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a =0． ∵ 圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． 在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)． 联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ ρ2+ρ3=3+3√3． ∵ 点M 恰好为AB 的中点， ∴ ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)． 把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a =0，解得a =94．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|， 不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0． 所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n2−x +3−n,x >−n2 ，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：试卷第21页，总21页 A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m ，n 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出A ，B ，C 的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n 的不等式，解出即可．【解答】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2 或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2 或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2， 解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n 2−x +3−n,x >−n 2， 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．。
2018年广东省高考数学二模试卷(文科)(解析版)
3． （5 分）已知 x∈R，集合 A＝{0，1，2，4，5}，集合 B＝{x﹣2，x，x+2}，若 A∩B＝{0， 2}，则 x＝（ A．﹣2 ） B．0 C．1 D．2
4． （5 分）空气质量指数（简称：AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量 按照 AQI 大小分为六级：[0，50）为优，[50，100）为良，[100，150）为轻度污染，[150， 200）为中度污染，[200，250）为重度污染，[250，300）为严重污染，下面记录了北京 市 22 天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）
线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ A． ＝1
B．
C．
＝1
D．
＝1 或
＝1 ）
8． （5 分）已知某几何体的三视图如图所示
B．6π+6
C．8π+12
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D．6π+12
9． （5 分）在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨 •班•达依尔． 国王问他想要什么， 他对国王说： “陛下， 请您在这张棋盘的第 1 个小格里， 赏给我 1 粒麦子，在第 2 个小格里给 2 粒，第 3 小格给 4 粒，以后每一小格都比前一小 格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的 64 格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ ”国王觉得 这要求太容易满足了， 就命令给他这些麦粒． 当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那 么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计 的程序框图，其中正确的是（ ）
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落在阴影区域内的概率为（
最新广州二模理科数学试题
秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若112z =+i , 21z =-i ，则12z z = A ．6BCD2．已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则M N =A ．(]1,2-B ．[]1,2- C ．{}0,2D ．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 若输出32y =，则输入xA ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为 A ．13y x =±B．y x = C．y =D ．3y x =±5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大 6．若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βαD ．6π=-βα 7．已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左焦点为F，直线y =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A．12 B1 C．12D18．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+πD ．162+π实际利用外资规模 实际利用外资同比增速9．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，则()f x 的单调递增区间是 A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是 A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >11P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A B C D 12．已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ， 且AB AC =，则()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,==a b ()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．（用数字作答）16．已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+，其中n ∈N *．（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; （2）令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A A C =， 侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． （1）证明: 11A A A C ⊥；（2）求二面角1A A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． （1）求该盒A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． （ⅰ）求()40P X =；（ⅱ）求X 的分布列和数学期望EX ．A 1C 1B 1CBA20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =e 2xx ax --．（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ．（1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。
2018年广州二模(测)文科数学参考答案;2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学答案(精校版)
2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题二．填空题13.14. 1 15. ① ③ ④ 16. (2,3-三、解答题17.（1）解:由sin 2sin b A a B =，得2sin cos sin b A A a B =， ……………………1分 由正弦定理得2sin sin cos sin sin B A A A B =， ………………………………2分 由于sin sin 0A B ≠，则1cos 2A =. ………………………………………………………3分 因为0A <<π， 所以A =3π. ………………………………………………………4分（2）解:由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ………………………………………5分又2=a ，则224=+-b c bc .① ………………………………………………………6分又△ABC 则1sin 2=bc A …………………………………………7分即1sin 2bc 3π=4=bc .② …………………………………………………8分 由①②得228+=b c , …………………………………………………9分则()22228816+=++=+=b c b c bc , ……………………………………………10分得4+=b c . ………………………………………………………11分MNC 1B 1A 1CBA所以△ABC 的周长为6. ………………………………………………………12分 18. (1) 解: A 药店应选择乙药厂购买中药材 .……………………………………………2分 (2) 解: (ⅰ) 从乙药厂所抽取的每件中药材的质量的平均值为()17911121217182121221510x =+++++++++=, ………………4分 故A 药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100151500⨯=克. …5分(ⅱ) 乙药厂所提供的每件中药材的质量15n <的概率为50.510=,1520n ≤≤的概 率为20.210=,20n >的概率为30.310=,……………………………………8分 则A 药店所购买的100件中药材的总费用为()100500.50.21000.3a ⨯⨯++⨯.………………………………………9分 依题意得()100500.50.21000.3a ⨯⨯++⨯7000≤,………………………10分 解得75a ≤. ……………………………………………11分 所以a 的最大值为75. ……………………………………………12分19. (1) 证明: 连接11,A B AC , 依题意可得点M 是1A B 的中点, ……………………1分 因为点N 是BC 的中点,所以MN ∥1AC . ……………………2分 又1AC ⊂平面11AAC C , MN ⊄平面11AAC C , 所以MN ∥平面11AAC C .……………………4分 (2) 解法1: 连接1B N ,由于1AB AC ==, 点N 是BC 的中点, 则AN BC ⊥. ……………………5分 又90BAC ︒∠=,则12AN BC === 在直三棱柱111-ABC A B C 中, 可得平面ABC ⊥平面11BB C C , 又平面ABC平面11BB C C BC =, AN ⊂平面ABC ,所以AN ⊥平面11BB C C . …………………………………………6分 又1B N ⊂平面11BB C C , 则1AN B N ⊥. …………………………………………7分在Rt △1B BN 中, 12B N ===,则1111111222B C N S B C B B ∆=⋅⋅== ……………………8分11113224AB N S B N AN ∆=⋅⋅==. ……………………9分 依题意, 点1C 到平面AMN 的距离与它到平面1AB N 的距离相等, 设为h ,由1111C AB N A B C N V V --=, …………………………………………10分得113AB N h S ∆⋅⋅1113B C N AN S ∆=⋅⋅, 得34h = ……………………11分 得43h =. 所以棱锥1C AMN -的高为43. …………………………………………12分 解法2：设点1C 到平面AMN 的距离为h , 因为BC ∥11B C , 且11B C ⊂平面11AB C ,所以BC ∥平面11AB C . …………………………………………5分 所以点B 到平面11AB C 的距离等于点N 到平面11AB C 的距离. ………………………6分 所以111N AC M B AC M C ABM V V V ---==. …………………………………………7分 由于1111AC A B ⊥, 111AC A A ⊥,则11AC ⊥平面11AA B B . …………………………………………8分 所以11111111113326C ABM ABM V S AC ∆-=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. …………………………………9分在△AMN 中, 112MN AC ==, 112AM AB ==, AN =所以13228AMN S ∆=⨯=. ……………………………………10分 由11163C ABM AMN V S h ∆-==⋅⋅, …………………………………………11分 得43h =. 所以棱锥1C AMN -的高为43. …………………………………………12分20.（1）解:依题意，设椭圆C 方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由于椭圆C 的右焦点为()2,0F ，则2c =. ………………………………………1分 又由于椭圆C 的短轴长为4，则24b =，得2b =. ……………………………2分 所以2228a b c =+=， …………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=. …………………………………………4分 (2) 解法1: 设点11(,)M x y ，22(,)N x y , 00(,)P x y ，由221,84y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212280k x +++=, (*)则12x x +=, 1222812x x k =+. …………………………………………5分 由于点P 是线段MN 的中点,则1202212x x x k +==-+, 00212y kx k =+=+. …………………………6分 所以0012OP y k x k==-. …………………………………………7分 因为OP ∥FM , 所以12FM OP k k k==-. 所以直线FM 的方程为()122y x k=--. …………………………………………8分由()12,2y kx y x k ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩解得22.12x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩则点2222,1212k M k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭. …………………………………………9分由于点M 在椭圆C 上,则2228+=⎝⎭⎝⎭, 解得22k =. …………………………………………10分此时,(*)的判别式()()2242812160k ∆=-⨯+=>.则k = ………………………………………11分 所以直线l的方程为y =+y =+ ……………………12分 解法2: 设点11(,)M x y ，22(,)N x y , 00(,)P x y ，由于点P 是线段MN 的中点, 则120120,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由于,M N 在椭圆C 上, 则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ……………………………………5分两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y -+-++=,即121212121222y y y y x x x x +-⋅=-+-, ……………………………………6分得12MN OP k k ⋅=-.故12OP k k=-. ……………………………………7分因为OP ∥FM , 所以12FM OP k k k ==-.所以直线FM 的方程为()122y x k=--. ……………………………………8分由()12,2y kx y x k ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩解得22.12x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩则点2222,1212k M k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭. …………………………………………9分 由于点M 在椭圆C 上,则2228+=⎝⎭⎝⎭, 解得22k =. …………………………………………10分由221,84y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212280k x +++=,则()()2242812160k ∆=-⨯+=>.则k = ………………………………………11分 所以直线l的方程为y =+y =+ ……………………12分21.(1) 解: 函数()f x 的定义域为()0,+∞. ………………………………………1分 由()f x =()1ln a x x --, 得()1f x a x'=-. 当0a >时, 令()1f x a x '=-0=, 得1x a=.则10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0f x '<; 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0f x '>; ………………………2分故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x a=时, 函数()f x 取得极小值, 其值为1111ln 1ln f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.………………………………………………3分令()()1ln 0g a a a a =-+>, 则()111a g a a a-'=-+=-, 当01a <<时, ()0g a '>; 当1a >时, ()0g a '<. 故()g a 在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1a =时, ()g a 取得最大值, 其值为()10g =. ………………………………4分 由于函数()f x 的极小值不大于k 对任意0a >恒成立, 则0k ≥.所以k 的取值范围是[)0,+∞. ………………………………………………5分(2) 证明:由(1)可知, 当1a =时, 函数()f x 在()0,1上单调递减, 在()1,+∞上单调递增. 当1x =时, 函数()f x 取得最小值为()10f =.所以当0x >时, ()0f x ≥, 即1ln 0x x --≥, 得ln 1x x ≤-. ………………6分 ∀n ∈N *, 令12n n x =+, 得ln 122n n n n⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭. ………………………7分 所以2323123123ln 1ln 1ln 1ln 122222222n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++≤++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………………………………………………8分令231232222n n nS =++++, ① 2341112322222n n nS +=++++ ② ①-②得23111111222222n n n nS +=++++-1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--1212n n ++=-. ………………………………………………9分 所以2222n n n S +=-<. ………………………………………………10分所以22123ln 111122222n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………11分 所以2212311112222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e 2. ………………………12分 另法: 令()()ln 1h x x x =+-, 则()1111x h x x x'=-=-++. 当0x >时, ()0h x '<, 则()h x 在()0,+∞上单调递减.故当0x >时, ()()00h x h <=, 即()ln 1x x +<. ………………………6分 ∀n ∈N *, 令2n n x =, 得ln 122n n n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭. ………………………7分所以2323123123ln 1ln 1ln 1ln 122222222n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………………………………………………8分令231232222n n nS =++++, ① 2341112322222n n nS +=++++ ② ①-②得23111111222222n n n nS +=++++-1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--1212n n ++=-. ………………………………………………9分 所以2222n n n S +=-<. ………………………………………………10分所以22123ln 111122222n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………11分 所以2212311112222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e 2.………………………12分 22. (1) 解: 由11,2,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t , 得l 的普通方程为)1y x =-,0y +.……………………………………2分由()2212sin a ρθ+=, 得2222sin a ρρθ+=, …………………………………3分把222x y ρ=+, sin y ρθ=代入上式, 得223x y a +=,所以C 的直角坐标方程为223x y a +=. ……………………………………5分(2) 解法1: 把11,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入223x y a +=, 得252220t t a -+-=, (*) ………6分设A , B 两点对应的参数分别为12,t t , 得 1225t t +=, 12225a t t -=, ………………………7分12AB t t =-2=9==, ………8分又AB ==, 解得65a =. ………………………………………………9分 此时, (*)式的判别式6445221205∆⎛⎫=-⨯⨯-⨯=> ⎪⎝⎭. 所以a 的值为65. ………………………………………………10分解法2: 由)221,3y x x y a⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2101890x x a -+-=, (*) ………6分 设()()1122,,,A x y B x y , 得1295x x +=, 12910ax x -=, ………………………7分A B ===. ………………………8分又AB =5, 得55=, 解得65a =. ………………………9分 此时, (*)式的判别式6445221205∆⎛⎫=-⨯⨯-⨯=> ⎪⎝⎭. 所以a 的值为65. ………………………10分 23.(1)解: ()2f x ≤, 即21212x x ++-≤, ………………………1分 当12x ≤-时, 得()()21122x x -++-≤, 解得12x ≥-, 故12x =-; ………2分 当1122x -<<时, 得()()21212x x +--≤, 即22≤, 故1122x -<<; ………3分当12x ≥时, 得()()21212x x ++-≤, 解得12x ≤, 故12x =. ………………4分 所以不等式()2f x ≤的解集M 1122x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎭⎩. ………………5分 (2) 证明: 当,a b M ∈时, 即1111,2222a b -≤≤-≤≤, 得11,22a b ≤≤. 当()()0a b a b +-≥时, ()()21a b a b a b a b a ++-=++-=≤; …………7分 当()()0a b a b +-<时, ()()21a b a b a b a b b ++-=+--=≤; …………9分 所以1a b a b ++-≤. ………………………………10分 另法：当,a b M ∈时, 即1111,2222a b -≤≤-≤≤, 得11,22a b ≤≤.()()2222222a b a b a b a b ++-=++- ………………………………6分2222224,,4,.a ab b a b ⎧≥=⎨<⎩ ………………………………7分 由于2211,44a b ≤≤，则2241,41a b ≤≤. ………………………………8分 故()21a b a b++-≤. ………………………………9分所以1a b a b ++-≤. ………………………………10分。
广东省2018届高考模拟考试数学理科试题(二)-有答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B =，则x y +=（ ）A ．13B ．0C ．1D ．3 2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数 C ．24122z z = D ．22124z z i += 3.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，()2,3c m =，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．7- B ．2- C ．5 D ．84.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 5.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+=（ ）A ．9-B ．9 C.81- D ．816.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+ 8.设x ，y 满足约束条件0,2,xy x y ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]4,4- C.[]0,4 D ．[]0,29.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（ ）A ．494-B ．498- C.14- D ．28-11.已知菱形ABCD 的边长为60BAD ∠=，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起，使得二面角A BD C --的余弦值为13-，则该四面体ABCD 外接球的体积为（ ）AB．D ．36π 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．()3,x ∀∈-+∞，()13f x ≥B ．()3,x ∀∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ∃∈-+∞，()01f x =- D ．()()min 0,1f x ∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.将函数()()()2sin 20f x x ϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则ϕ的最大值是 ．14.已知0a >，0b >，6b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为52，则2a b +的最小值为 ．15.已知函数()()2log 41x f x mx =++，当0m >时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为 ． 16.设过抛物线()220y px p =>上任意一点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，AN BM=，求AM 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18. 如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，AD DE =，90ADE ∠=，120ADC DCB ∠=∠=.（1）证明：平面ABCD ⊥平面EDCF ； （2）求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值.19. 经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为Y 的分布及数学期望.20. 已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. 21. 已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10: ABBCC 11、12：BB 二、填空题 13.6π-14. 2 15. ()0,1 16.3 三、解答题17.解：（1）由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点， 设BM x =，则2BN x =，AN =，又60B =，8AB =， 在ABN ∆中，由余弦定理得2212644282cos60x x x =+-⨯⨯， 解得2x =（负值舍去），则2BM =. 在ABN ∆中，AM ===（2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 123c BC b===. 又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以6cos 3C =. 则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+=+=， 所以ABC ∆的面积1sin 482S bc A ===18.（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D ⊃=， 所以DE ⊥平面ABCD .又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平面ABFE . 又平面ABCD平面ABFE AB =，故//AB CD .所以四边形ABCD 为等腰梯形.又AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()B ，所以3,,122FA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =，1,22DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,10,22x y z =⎨-++=⎪⎩取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，cos ,2FA n FA n FA n⋅<>===. 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=. 所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为5.19.解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==⨯=，()1113313100002424432P Y ==⨯+⨯⨯=，()2111331500024416P Y C ==⨯⨯⨯=， ()11112000024432P Y ==⨯⨯=. 所以Y 的分布列为()1500010000150002000093758321632E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y 联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k km n k k⎫+++=+=⎪++⎭为定值.21.解：（1）由()()0120f f=+，得()01f=-.因为()()'2'220x xf x e e f=--，所以()()''0220f f=--，解得()'00f=.所以()22x xf x e e=-，()()'22221x x x xf x e e e e=-=-，当(),0x∈-∞时，()'0f x<，则函数()f x在(),0-∞上单调递减；当()0,x∈+∞时，()'0f x>，则函数()f x在()0,+∞上单调递增.（2）令()()()221x x xg x af x e x ae a e x=-+=-++，根据题意，当()0,x∈+∞时，()0g x<恒成立. ()()()()'222211211x x x xg x ae a e ae e=-++=--.①当12a<<，()ln2,x a∈-+∞时，()'0g x>恒成立，所以()g x在()ln2,a-+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a∈-+∞，所以不符合题意；②当12a≥，()0,x∈+∞时，()'0g x>恒成立，所以()g x在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g∈+∞，所以不符合题意；③当0a≤时，因为()0,x∈+∞，所有恒有()'0g x<，故()g x在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x<对任意()0,x∈+∞都成立”的充要条件是()00g≤，即()210a a-+≤，解得1a≥-，故10a-≤≤.综上，a的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）在直线l的参数方程中消去t可得，34x y a--+=，将cosxρθ=，sinyρθ=代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为3cos sin04aρθρθ--+=.同理，圆C的极坐标方程为26cos6sin140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3Mπρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3Aπρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭.联立2,36cos6sin140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3,23M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a +⨯-+=，所以94a =. 23.解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩ 或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <. 所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞.（2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。
【高三数学试题精选】2018年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)
2018年高三数学二模理科试卷(广州市含答案)
5 c 广东省广州市2=0的位置关系是
A相交B相切c相离D取决于的值
3若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解，则p+q=
A-3 B -1 c 1D 3
4已知函数=f(x)的图象如图l所示，则其导函数=f’(x)的图象可能是
5若函数的一个对称中心是( ,则ω的最小值为
A1B 2c 4D 8
6一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l7的上、下两部分，则截面的面积为
A B
c B
7某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为15万元年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是
A 8 年
B I 年c 12 年D 15 年
9记实数x1，x2,…，xn中的最大数为ax{x1，x2,…，xn} ,最小数为in{x1，x2,…，xn}则ax{in{x+1，x2 - x + 1, -x +6}}=
A B 1 c 3 D
二、填空题本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
(-)必做题（9-13题）
9某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 234 现用分层抽样的方法抽出一个容量为。
【高三数学试题精选】2018广东高考理科数学模拟考试题二(有答案)
20解因为抛物线的焦点为，所以，故
所以椭圆
（1）设，，则
两式相减得，
又的中点为，所以，
所以
显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为
（2）椭圆右焦点
当直线的斜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不存在或者为时，
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
设，联立方程得
消去并化简得，
因为，
所以，
所以，
同理可得
所以为定值
21解（1）由，得
因为，所以，解得
所以，，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增
（2）令，根据题意，当时，恒成立
①当，时，恒成立，
所以在上是增函数，且，所以不符合题意；
②当，时，恒成立，
所以在上是增函数，且，所以不符合题意；
③当时，因为，所有恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条是，
即，解得，故
综上，的取值范围是
22解（1）在直线的参数方程中消去可得，，
将，代入以上方程中，
所以，直线的极坐标方程为
同理，圆的极坐标方程为
（2）在极坐标系中，由已知可设，，
联立可得，
所以
因为点恰好为的中点，所以，即
把代入，得，
所以
23解（1）当，时，
不等式等价于
或
或
解得或，即
所以不等式的解集是
（2）由题设可得，
所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，
所以三角形的面积为
由题设知，，解得
5 c
设，则，，又，，
在中，由余弦定理得，
解得（负值舍去），则
在中，
（2）在中，由正弦定理，
得
2018年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
A．18+π 9． （5 分） 已知 x＝
B．18+2π
C．16+π
D．16+2π ） ＜f （π ） ，
是函数 f （x） ＝sin （2x+φ） 的图象的一条对称轴， 且f （
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则 f（x）的单调递增区间是（ A．[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）
） B．[kπ D．[kπ ，kπ+ ]（k∈Z）
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题：共 60 分． 17． （12 分）已知各项均为正数的数列{an}满足 其中 n∈N*． （1）证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 18． （12 分）如图，已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，A1A＝A1C， 侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成角为 60°． （1）证明：A1A⊥A1C； （2）求二面角 A﹣A1B﹣C 的余弦值． ＝ +2anan+1，且 a2+a4＝3（a3+3） ，
19． （12 分）某工厂生产的 A 产品按每盒 10 件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检 验方案是：从每盒 10 件产品中任取 4 件，4 件都做检验，若 4 件都为合格品，则认为该 盒产品合格且其余产品不再检验；若 4 件中次品数多于 1 件，则认为该盒产品不合格且 其余产品不再检验；若 4 件中只有 1 件次品，则把剩余的 6 件采用一件一件抽取出来检 验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检 验．假设某盒 A 产品中有 8 件合格品，2 件次品． （1）求该盒 A 产品可出厂的概率； （2）已知每件产品的检验费用为 10 元，且抽取的每件都需要检验，设该盒 A 产品的检验 费用为 X（单位：元） ． （ⅰ）求 P（X＝40） ； （ⅱ）求 X 的分布列和数学期望 EX． 20． （12 分）已知 O 为坐标原点，点 R（0，2） ，F 是抛物线 C：x ＝2py（p＞0）的焦点， |RF|＝3|OF|． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 R 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，与直线 y＝﹣2 交于点 M，抛物线 C 在
【高三数学试题精选】2018年广州市普通高中毕业班二模数学试题(理科)及答案
2018年广州市普通高中毕业班二模数学试题(理科)及答案
5 c 试卷类型B
2 D．±2或0
2．设集合A={(x，)|2x+=6}，B={(x，)|3x+2=4}，满足c (A B)的集合c
的个数为
A．1 B．2 c．3 D．4
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是
A． 4 B． c． D．-4
4．已知等差数列{ }的差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为
A．10 B．2）
(1)求A和的值；
(2)已知 (0， )，且，求的值．
17．(本小题满分12分)
如图3，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为．
(1)当≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；
(2)求的分布列和数学期望．
18．(本小题满分l4分)
某建筑物的上半部分是多面体N—ABcD，下半部分是长方体ABcD—A1B1c1D1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成．
(1)求直线A与平面A1B1c1D1所成角的正弦值；
(2)求二面角A—N—c的余弦值；
(3)求该建筑物的体积．。
最新届广州市高三二模数学(理)
2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若112z =+i , 21z =-i，则12z z =（ ）A ．6BCD2、已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则MN =（ ）A ．(]1,2-B ．[]1,2- C ．{}0,2D ．{}0,1,23、执行如图的程序框图, 若输出32y =， 则输入x 的值为（）A ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4、若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．13y x =±B ．3y x =±C ．y = D．3y x =±5、根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6、若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βα D ．6π=-βα7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 18、某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面 积是（ ）A ．18+πB ．182+πC ．16+πD ．162+π9、已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜， 则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z10、已知函数()f x =e 2x x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e ln 2a b +>B ．e ln 2a b +<C ．223a b +<D ．1ab >11的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为（ ）A ．3π B ．3π C ．3D ．3π 12、已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ，且AB AC =，则()31=+∑i i i x y =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知向量a 与b 的夹角为4π，2,==a b ()⊥+λa a b ，则实数λ= ．14、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,… 这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+； ④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……15、622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．（用数字作答）16、已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+，其中n ∈N *．（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; （2）令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S .18、（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A A C =，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒．（1）证明: 11A A A C ⊥；（2）求二面角1A A B C --的余弦值．A 1C 1B 1 CBA19、（本小题满分12分）某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品， 则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品 不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取 出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格 且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． （1）求该盒A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． （ⅰ）求()40P X =；（ⅱ）求X 的分布列和数学期望EX ．20、（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形，求直线l 的方程.21、（本小题满分12分）已知函数()f x =e 2x x ax --． （1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点， 以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值．23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。
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试卷类型：A2018年广州市普通高中高考模拟测试（二）数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．（1）已知集合A ＝{2，3}，集合B ⊆A ，则这样的集合B 一共有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（2）若sin cos ,sin cos 0,θθθθθ><且则在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ） 第四象限（3）复数10011i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的值等于（A ）1 （B ）－1 （C ） i （D ） －i（4）在等差数列{}n a 中，若1234110100,80,a a a a a a +=+=+则的值是（A ）40 （B ）50 （C ）60 （D ）70 （5）函数lg ||x y x=的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ） （6）如果a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式中正确的是（A ）a ＜ab 2＜ab （B ）ab 2＜a ＜ab （C ）a ＜ab ＜ab 2 （D ）ab 2＜ab ＜a （7）若点P （3，4）、Q （a ，b ）关于直线x －y －1＝0对称，则（A ）a ＝1，b ＝－2 （B ）a ＝2，b ＝－1 （C ）a ＝4，b ＝3 （D ）a ＝5，b ＝2 （8）已知向量a 与b 不共线，且|a |＝|b |≠0，则下列结论正确的是（A ）向量a ＋b 与a －b 垂直 （B ）向量a －b 与a 垂直 （C ）向量a ＋b 与a 共线 （D ）向量a ＋b 与a －b 共线 （9）若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体与该球的体积之比为（A 12π （B ）9π （C ）2π （D ）3π（10）设函数f (x )在x ＝1处连续，且1()lim1x f x x →-＝2，则f (1)等于 （A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （11）如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝300，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（A ）3 （B ）1（C ）23 （D ）2（12）在空间直角坐标系O －xyz 中，有一个平面多边形，它在xOy 平面的正射影的面积为8，在yOz 平面和zOx 平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为（A （B ） （C （D ）第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． （13）不等式22043x x x -<-+的解集为 .（14）2女3男共5个小孩站成一排，其中2个女孩必须站在两端，则不同的排法共有 种.（15）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点M 是棱BC 上的中点，则D 1B 与AM 所成角的余弦值是 . （16）将大小不同的两种钢板截成A 、B 两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如下表所若现在需要A 、B 两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共张.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）求函数2()(3)f x x x =-的极值.（18）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b a ＋c ＝4，求a 的值.（19）（本小题满分12分）如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ；（Ⅱ）求AB 与平面BDF 所成角的大小.（20）（本小题满分12分）今有甲、乙两个篮球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场则整个比赛宣告结束.假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是21.并记需要比赛的场数为ξ. （Ⅰ）求ξ大于5的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列与数学期望.（21）（本小题满分14分）一动圆经过点A （2，0）且在y 轴上截得的弦长为4. （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）设线段AO 的中点为B （其中O 为坐标原点），如果过点B 的直线l 与动圆圆心P 的轨迹相交于不同的两点C 、D ，证明：以线段CD 为直径的圆与一定直线相切.（22）（本小题满分14分）2n （n ≥4且n ∈N *）个正数排成一个n 行n 列的数阵：第1列 第2列 第3列 …… 第n 列第1行 11a 12a 13a …… 1n a 第2行 21a 22a 23a …… 2n a 第3行 31a 32a 33a …… 3n a …… …… …… …… …… …… 第n 行 1n a 2n a 3n a …… nn a其中ik a （1i n ≤≤，1k n ≤≤，且*,i k N ∈）表示该数阵中位于第i 行第k 列的数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且23a ＝8，34a ＝20.（Ⅰ）求11a 和ik a ；（Ⅱ）设12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 为3的倍数时，（A n ＋n ）能被21整除.2018年广州市普通高中高考模拟测试（二）数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （13）{x | x ＜1，或2＜x ＜3} （14）12（15 （16）7三、解答题：（17）本小题主要考查函数和导数等基础知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分10分.解：∵ ()f x '＝3x 2－6x ＝3x （x －2）. …2分 令()f x '＝0，解得x 1＝0，x 2＝2， …4分 当x 变化时，()f x '、f (x )的变化情况如下表：…8分 ∴ 当x ＝0时，f (x )有极大值，且f (x )极大值＝0，当x ＝2时， f (x )有极小值，且 f (x )极小值＝－4. …10分（18）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的三角函数等基础知识和利用三角公式进行恒等变形的技能，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.（Ⅰ）解法一：由正弦定理sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2R ， 得a ＝2RsinA ，b ＝2R si nB ，c ＝2R si nC ， 代入cos cos 2B bC a c =-+中，得 cos sin cos 2sin sin B BC A C=-+， …2分即 2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=，2sin cos sin()0A B B C ++=， …4分 ∵ A ＋B ＋C ＝π， ∴ sin(B ＋C )＝A∴ 2sin cos sin 0A B A += …6分 ∵ sinA ≠0， ∴ cos B ＝－21， 又角B 为三角形的内角，故B ＝32π. …8分 解法二：由余弦定理cos B ＝2222a c b ac +-，cos C ＝2222a b c ab+-，代入cos cos 2B bC a c=-+中，得2222a c b ac+-·2222ab a b c +-＝2b a c -+， …2分整理，得 2220a c b a c +-+=， …4分 ∴ c os B ＝2222a c b ac+-＝2acac -＝－21， …6分又角B 为三角形的内角，故B ＝32π. …8分 （Ⅱ）将ba ＋c ＝4，B ＝32π，代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅，得 22213(4)2(4)cos 3a a a a π=+---⋅， …10分 整理得 2430a a -+=，解得 a ＝1或a ＝3. …12分（19）本小题主要考查空间线面关系和空间角的概念，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.满分12分. （Ⅰ）解：取AB 的中点G ，连CG ，FG ，则FG ∥BE ，且FG ＝12BE ， ∴ FG ∥CD 且FG ＝CD ， …2分 ∴ 四边形FGCD 是平行四边形， ∴ DF ∥CG ，又∵ CG ⊂平面ABC ，∴ DF ∥平面ABC . …4分（Ⅱ）解法一：设A 到平面BDF 的距离为h ，由 A BDF D ABF V V --=得 ABF BDFS CBh S ∆∆⋅=． …8分在△BDF 中，BFBD ＝DF∴ BDF S ∆＝23，又12ABF ABE S S ∆∆=＝1，且CB ＝2．∴ 124332h ⋅=＝． …10分又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝42323h AB ==，故AB 与平面BDF 所成的角为arcsin23. …12分 解法二：以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），D （0，2，1），E （0，0，2），F （1，0，1）.∴ BD ＝（0，2，1），DF ＝（1，－2，0）.…6分设平面BDF 的一个法向量为n ＝（2，a ，b ）， ∵ n ⊥DF ，n ⊥BD ，∴ 0n DF n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， …8分即(2,,)(1,2,0)0(2,,)(0,2,1)0a b a b ⋅-=⎧⎨⋅=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴ n ＝（2，1，－2）. …10分又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则法线n 与BA 所成的角为2π－θ， ∴ cos （2π－θ）＝||||BA nBA n ⋅⋅＝(2,0,0)(2,1,2)2233⋅-=⋅， 即 sin θ＝23，故AB 与平面BDF 所成的角为arcsin 23. (12)分（20）本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题意可知，ξ的可能取值最小为4.当ξ＝4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着甲连胜4场，或乙连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得P （ξ＝4）＝240441122C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝18 …2分当ξ＝5时，需要比赛5场整个比赛结束，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或者乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜.显然这两种情况是互斥的，于是，P （ξ＝5）＝234334111222C -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝14…4分∴ P （ξ＞5）＝1－[P （ξ＝4）＋P （ξ＝5）]＝1－[18＋14]＝58即ξ＞5的概率为58. …6分 （Ⅱ）∵ ξ的可能取值为4，5，6，7，仿照（Ⅰ），可得P （ξ＝6）＝235335111222C -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝516 …7分P （ξ＝7）＝236336111222C -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝516 …8分∴ξ的分布列为：…10分 ξ的数学期望为：E ξ＝4·18＋5·14＋6·516＋7·516＝93. …12分 （21）本小题主要考查曲线的方程、直线与二次曲线的关系等有关知识，考查综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：设动圆圆心P 的坐标为（x ，y ）， 动圆与y 轴相交于点M 、N ，MN 的中点为Q ，连 PQ ，则|PQ |2＋|QN |2＝|PN |2， …2分 其中 |PQ |＝|x |，|QN |＝21|MN |＝2，|PN |＝|PA |∴ |x |2＋22＝(x －2)2＋y 2， …4分 故动圆圆心P 的轨迹方程为：y 2＝4x . …6分 （Ⅱ）解法一：如图，点B （1，0）为抛物线 y 2＝4x 的焦点. …8分设CD 的中点M ，过C 、M 、D 分别作抛物线的准线x ＝－1的垂线，垂足分别为C '、M '、D '.根据抛物线的定义，|CB |＝|C C '|，|DB |＝|D D '|， …10分 则 |M M '|＝21（|C C '|＋|D D '|） ＝21（|CB |＋|DB |）＝21|CD |，…12分 这说明以CD 为直径的圆的圆心M 到直线x ＝－1的距离等于圆的半径，故以线段CD 为直径的圆必与直线x ＝－1相切. …14分 解法二：点B 的坐标为（1，0）.（1）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为 x ＝1，它与y 2＝4x 相交于点C （1，－2）和D （1，2），则以线段CD 为直径的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，其必与直线x ＝－1相切.…8分（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1) (k ≠0)将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x 中，并整理得22222(2)0k x k x k -++= （*）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则xx 为方程（*）的两相异实根，∴ 21222(2)k x x k++=，121x x ⋅=， 于是 12124(2)y y k x x k+=+-=， ∴ CD 的中点坐标为（222k k +，2k ）， (10)分而|CD |224(1)k k+， ∴ 以线段CD 为直径的圆的半径为r ＝222(1)k k +， (12)分圆心（222k k +，2k ）到直线x ＝－1的距离为222k k +＋1＝222(1)k k +＝r ，即以CD 为直径的圆与直线x ＝－1相切.综上可知，以线段CD 为直径的圆必与直线x ＝－1相切. …14分 （22）本小题主要考查数列的有关知识，考查综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）设第一行公差为d ，则ik a ＝[11a ＋(k －1)d ]·2i －1， …2分∵ 23a ＝8，34a ＝20， ∴ 11112(2)84(3)20a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a ＝2，d ＝1. …4分∴ 11a ＝2，ik a ＝（k ＋1）·2i －1.（1i n ≤≤，1k n ≤≤，n ≥4，且*,,i k n N ∈） (6)分（Ⅱ）证法一：∵12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=++++＝（n ＋1）＋n ·2＋(n －1)·22＋(n －2)·23＋……＋2·2n －1 ① …8分则 2A n ＝（n ＋1）·2＋n ·22＋(n －1)·23＋(n －2)·24＋……＋2·2n ② ②－①得：2 A n ＝－（n ＋1）＋2＋22＋23＋……＋2n －1＋2·2n ＝2n －2＋2·2n －（n ＋1）∴ A n ＋n ＝3·（2n －1）. …10分 下面证明当n 是3的倍数时，（A n ＋n ）能被21整除. 设n ＝3m （m ∈N *，m ≥2），则A n ＋n ＝A 3m ＋3m ＝3·（23m －1）＝3·[（7＋1）m －1]＝3· [（7m ＋1m C ·7m －1＋2m C ·7m －2＋……＋2m m C -·72＋1m m C -·7＋1）－1]＝21·（7m －1＋1m C ·7m －2＋2m C ·7m －3＋……＋2m m C -·7＋1m m C -） …12分∵ 1m C 、2m C 、……、2m m C -、1m m C -均为正整数，且m ≥2， ∴7m －1＋1m C ·7m －2＋2m C ·7m －3＋……＋2m m C -·7＋1m m C -是整数，故 （A n ＋n ）能被21整除. …14分 证法二：用数学归纳法证明：当n 是3的倍数时，（A n ＋n ）能被21整除. 设n ＝3m （m ∈N *，m ≥2），则 A n ＋n ＝A 3m ＋3m ＝3·（23m －1）（1）当m ＝2时，A 6＋6＝3·（26－1）＝21·9能被21整除. …8分（2）假设当m＝k（k∈N*，k≥2）时，（A3k＋3k）能被21整除，即3·（23k－1）能被21整除，…10分那么A3（k＋1）＋3（k＋1）＝3·[23（k＋1）－1]＝3·（8·23k－1）＝8·[3·（23k－1）]＋21. …12分由归纳假设，3·（23k－1）能被21整除，这就是说，当n＝k＋1时，A3（k＋1）＋3（k＋1）能被21整除.根据（1）和（2），可知命题对任何m∈N*，m≥2都成立. …14分。