2.3.1导学案

2.3.1直线与平面垂直的判定一、学习目标:知识与技能：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.理解直线与平面所成的角的定义及求法；过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。

二、学习重、难点学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

学习难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升四、知识链接：直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行五、学习过程：自主探究一、直线与平面垂直的判定1、线面垂直的定义A问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？A问题2、直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

符号语言：图形语言:分析思路：直线与平面垂直⇒直线与平面垂直思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若αα⊂⊥al,，则al⊥2、直线与平面垂直的判定定理A问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1（图1）（图2）all aαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭是平面内任一直线D CBA（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ A 问题4、直线与平面垂直的判定定理。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：思想: 直线与直线垂直⇒直线与平面垂直例1有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？A 问题5、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。

并说明这些直线有怎样的位置关系？例2：如图5，已知α⊥a b a ,//，则α⊥b 吗？请说明理由。

3．如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，，GC 垂直于ABCD 所在平面． 求证：EF ⊥平面GMC ．4．已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB 求证：BC AD ⊥七、总结评价：直线与平面垂直的判定方法1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。

3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。

4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和平面垂直学后反思、自查自纠： 要求：1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。

2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。

可查阅课本和相关资料。

【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想. 小结:判断直线与平面垂直的方法(1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面即α⊥a b a ,//，则α⊥b 3、直线与平面所成的角问题6: 斜线: 斜足: 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角:一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4)一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．例3:在正方体1111_ABCD A B C D 中,求:(1)直线1A B 和平面ABCD 所成的角 (2)直线1A B 和平面11A BC D 所成的角 ▲ 小结：直线和平面所成角的步骤①作图—找出或作出直线在平面上的射影②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角六、达标检测:1直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）在平面α内 （D ）无法确定 2对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 距离为定值d 那么这样的直线b 有（ ）（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l nl m l P n m n m ,,,ABCDA 1B 1C 1D 1 aαb2.3.2平面与平面垂直的判定一、学习目标:知识与技能：正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。

二、学习重、难点学习重点: 平面与平面垂直的判定；学习难点: 如何度量二面角的大小。

三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升四、知识链接：直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的判定定理：直线与平面所成的角：五、学习过程：自主探究一、二面角的定义问题1:半平面：二面角：二面角的表示: 二面角的平面角:二面角的平面角∠AOB的特点：(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。

特别指出：① 面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0，0180）；② 二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟一确定；③ 二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的直二面角:规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。

例1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C的大小。

二、两个平面互相垂直两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号语言:AB AB=B ABββααβ⊥⋂⊂⇒⊥，，图形语言:思想:线面垂直⇒面面垂直判断对错:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（）例2、已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。

探究1、四面体P-ABC的四个面的形状是怎样的?探究2、有哪些直线和平面垂直？探究3、有哪些平面相互垂直？求证：平面PAC⊥平面PBC关键:找与平面垂直的线.例3：如图P为ΔABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：⑴平面PAB⊥平面PBC；⑵平面AEF⊥平面PBC；⑶平面AEF⊥平面PAC。

六、达标检测1．过平面α外两点且垂直于平面α的平面（）()A有且只有一个()B不是一个便是两个()C有且仅有两个()D一个或无数个2．若平面α⊥平面β，直线n⊂α，m⊂β,m n⊥，则（）()A n⊥β()B n⊥β且m⊥α()C m⊥α()D n⊥β与m⊥α中至少有一个成立3．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是 （ ） ()A m n ⊥，//,//m n αβ ()B ,,m n m n αβα⊥=⊂()C //,,m n n m βα⊥⊄()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥4．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题： ①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥； ③若,//m m n α⊂，则//n α； ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ． 其中真命题是（ ） ()A ①② ()B ②③ ()C ①③ ()D ③④5：已知平面α∩平面β=直线a ，α、β垂直于平面γ，又平行于直线b ，求证:(1) a ⊥γ；(2)b ⊥γ．七、总结评价：本节课我们讲了二面角的概念，二面角平面角的定义。

两个平面垂直的定义、画法及判定方法. 判定方法有两种，一是利用定义二是利用判定定理，如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键。

学后反思、自查自纠：要求：1、静心思考，查缺补漏，找出在基础、能力方面的漏洞。

2、不讨论，独立思考，将错题重新做一遍。

可查阅课本和相关资料。

【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想.2.3.3直线与平面垂直的性质一、学习目标： 1.知识与技能（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 2.情感态度与价值观（1）发展学生的合情推理能力和空间想象力 ，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （2）让学生亲自从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律. 二学习重、难点1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。