高考数学复习：空间的平行与垂直押题

高考数学复习：空间的平行与垂直押题1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH.故选B.答案：B2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中正确命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：对于①，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，当直线m位于平面β内，且平行于平面α，β的交线时，满足条件，但显然此时m与平面β不垂直，因此②不正确；对于③，在平面β内取直线n平行于m，则由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，直线m可能位于平面α内，显然此时m与平面α不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的序号是①③，选A.答案：A3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．46.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC.对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．答案：B7．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直解析：对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故A错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面α内，边AC、BC可以与平面α都成30°角，故B错；C显然错误；对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，故D正确，故选D.答案：D8．三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.35C.710D.45解析：取BC 的中点O ，连接NO ，AO ，MN ，因为B 1C 1綊BC ，OB ＝12BC ，所以OB ∥B 1C 1，OB ＝12B 1C 1，因为M ，N 分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以MN ∥B 1C 1，MN ＝12B 1C 1，所以MN 綊OB ，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO ∥MB ，所以∠ANO 或其补角即为BM 与AN 所成角，不妨设AB ＝2，则有AO ＝3，ON ＝BM ＝5，AN ＝5，在△ANO 中，由余弦定理可得cos ∠ANO ＝AN 2＋ON 2－AO 22AN ·ON ＝5＋5－32×5×5＝710.故选C.(2)求四棱锥P -ABCD 的体积．(1)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，如图：因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点． 又E 是P A 的中点，所以PC ∥OE . 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， 所以PC ∥平面BDE .(2)解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以V P -ABCD ＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×2＝23， 所以四棱锥P -ABCD 的体积为23.25．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG . (1)证明：在等边△ABC 中，AD ＝AE ， 在折叠后的图形中，仍有AD ＝AE ，AB ＝AC ， 因此AD AB ＝AEAC ，从而DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ＝CF ＝12，BC ＝22.所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ， 由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ， 所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG . 在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36，故V 三棱锥F -DEG ＝V 三棱锥E -DFG ＝13×12DG ·FG ·GE ＝16×⎝⎛⎭⎫132×36＝3324. 26．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，AC ⊥BM ，且BM 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，CF ∥AE ，AE ＝3，AC ＝4，CF ＝1.(1)证明：BF ⊥EM ；(2)求三棱锥B -EFM 的体积．解：(1)证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥BM ， 又BM ⊥AC ，AC ∩EA ＝A ，∴BM ⊥平面ACFE ， ∴BM ⊥EM .①∵CF ∥AE ，∴CF ⊥平面ABC ，∴CF ⊥AC ， ∴FM ＝MC 2＋FC 2＝2，又EM ＝AE 2＋AM 2＝32，EF ＝42＋22＝25， ∴FM 2＋EM 2＝EF 2，∴EM ⊥FM .②由①②并结合FM ∩BM ＝M ，得EM ⊥平面BMF ，∴EM ⊥BF . (2)由(1)知EM ⊥平面BMF ，∴V B -EFM ＝V E -BMF ＝13×S △BMF ×EM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×32＝ 3.27．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，AM ＝2.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥P -MAC 的体积．解：(1)证明：由∠PCB ＝90° 得PC ⊥CB . 又AB ⊥PC ，AB ∩CB ＝B ，所以PC ⊥平面ABC . 又PC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .(2)在平面PCBM 内，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N ，连接AN ，则CN ＝PM ＝1，又PM ∥BC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PC ∥MN 且PC ＝MN ， 由(1)得PC ⊥平面ABC ，所以MN ⊥平面ABC ，在△ACN 中，AN 2＝AC 2＋CN 2－2AC ·CN cos 120°＝3，即AN ＝ 3. 又AM ＝2，所以在Rt △AMN 中，MN ＝1，所以PC ＝MN ＝1.在平面ABC 内，过点A 作AH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥平面PMC ， 因为AC ＝CN ＝1，∠ACB ＝120°，所以∠ANC ＝30°. 所以在Rt △AHN 中，AH ＝12AN ＝32，而S △PMC ＝12×1×1＝12，所以V P -MAC ＝V A -PMC ＝13×S △PMC ×AH ＝13×12×32＝312.29．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ＝2a ，AC ＝23a ，E 是PA 的中点．(1)求证：平面BED ⊥平面PAC ； (2)求点E 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：在平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ， ∴四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC . ∵PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PC ⊥BD .又PC ∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面PAC .(2)设AC 交BD 于点O ，连接OE ，如图．在△PCA 中，易知O 为AC 的中点，又E 为PA 的中点， ∴EO ∥PC .∵PC ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，∴EO ∥平面PBC . ∴点O 到平面PBC 的距离就是点E 到平面PBC 的距离．∵PC ⊥平面ABCD ，PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为BC .在平面ABCD 内过点O 作OH ⊥BC 于点H ， 则OH ⊥平面PBC .在Rt △BOC 中，BC ＝2a ，OC ＝12AC ＝3a ，∴OB ＝a .由S △BOC ＝12OC ·OB ＝12BC ·OH ，得OH ＝OB ·OC BC ＝a ·3a 2a ＝32a . ∴点E 到平面PBC 的距离为32a . 30．如图，已知四棱锥S -ABCD ，底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平面SAB ⊥平面ABCD ，△SAB 是等边三角形，已知AC ＝2AB ＝4，BC ＝2AD ＝2CD ＝25，M 是SD 上任意一点，SM ―→＝mMD ―→，且m >0.(1)求证：平面SAB ⊥平面MAC ；学科网(2)试确定m 的值，使三棱锥S -ABC 的体积为三棱锥S -MAC 体积的3倍．解：(1)证明：在△ABC 中，由于AB ＝2，AC ＝4，BC ＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，故AB ⊥AC .又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面SAB ，又AC ⊂平面MAC ，故平面SAB ⊥平面MAC .(2)V S -MAC ＝V M -SAC ＝mm ＋1V D -SAC ＝mm ＋1V S -ACD ， ∴V S -ABC V S -MAC ＝m ＋1m ·V S -ABC V S -ACD ＝m ＋1m ·S △ABC S △ACD ＝m ＋1m·2＝3， ∴m ＝2，即当m ＝2时，三棱锥S -ABC 的体积为三棱锥S -MAC 体积的3倍．31．如图，在三棱柱ABC -DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，BC ＝212.点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝3，点M 在线段CF 上，且CM ＝14CF .(1)证明：直线GM ∥平面DEF ； (2)求三棱锥M -DEF 的体积．解：(1)证明：∵点F 在平面ABED 内的正投影为G ，∴FG ⊥平面ABED ，∴FG ⊥GE ，又BC ＝212＝EF ，FG ＝3，∴GE ＝32.∵四边形ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，∴AE ＝2，∴AG ＝12.如图，过点G 作GH ∥AD 交DE 于点H ，连接FH .则GH AD ＝GE AE ，∴GH ＝32，由CM ＝14CF 得MF ＝32＝GH .∵GH ∥AD ∥MF ，∴四边形GHFM 为平行四边形， ∴GM ∥FH .又GM ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴GM ∥平面DEF .(2)由(1)知GM ∥平面DEF ，连接GD ，则有V M -DEF ＝V G -DEF .又V G -DEF ＝V F -DEG ＝13FG ·S △DEG ＝13FG ·34S △DAE ＝34，∴V M -DEF ＝34.。