【新步步高】2014-2015学年高二数学人教B版必修5 学案：3.3 一元二次不等式及其解法(一) Word版含解析

§3.3一元二次不等式及其解法(一)自主学习知识梳理1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．(1)若a>0，解集为________________；(2)若a<0，解集为________________．2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间存在怎样的关系，并利用这种关系解决下面的问题：已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2<x<3}，求a、b的值．对点讲练知识点一一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集(1)－2x2－x＋1>0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.总结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．变式训练1 求下列关于x 的不等式的解集． (1)－x 2＋7x >6；(2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0.知识点二 解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．总结 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．变式训练2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.知识点三 一元二次不等式与一元二次方程的关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．总结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．变式训练3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中0<α<β，a <0，求cx 2＋bx ＋a >0的解集．1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0))的解集为{x |x <x 1或x >x 2}(或{x |x 1<x <x 2} (x 1<x 2))，可得出x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根.课时作业一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32 2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2)5．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19C ．559D ．不存在二、填空题627．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．10．解关于x 的不等式：ax 2－2x ＋1>0.§3.3 一元二次不等式及其解法(一)知识梳理1．(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a自主探究解 一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．例如本题，方程x 2－ax －b ＝0的根就是2和3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a 2×3＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6. 对点讲练例1 解 (1)由－2x 2－x ＋1>0，得2x 2＋x －1<0，因式分解得(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12.即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12.(2)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， ∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0.即解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 变式训练1 解 (1)∵－x 2＋7x >6，∴－x 2＋7x －6>0. ∴x 2－7x ＋6<0，∴(x －1)(x －6)<0.∴1<x <6，即不等式的解集是{x |1<x <6}． (2)x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0， 因式分解得(x －m )[x －(m ＋1)]<0. ∵m <m ＋1，∴m <x <m ＋1.即不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．例2 解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .变式训练2 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为 (x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．例3 解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a －13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.变式训练3 解 ∵α、β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝ca.∵a <0，∴cx 2＋bx ＋a >0同解变形为c a x 2＋bax ＋1<0.由根与系数关系将α、β代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1<0.即αβ⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0， 由0<α<β，可知1α>1β.所以不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1β<x <1α.课时作业 1．B2．C [由已知⎩⎨⎧－2＋1＝1a －2×1＝－c a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，y ＝f (－x )＝ax 2＋x －c ，即y ＝－x 2＋x ＋2，其图象为C.] 3．B 4．B5．A [由已知方程有两实数根得：Δ≥0，解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.] 6．{x |x <－2或x >3}7．{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}8．a >12解析 f (x )＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .∴a >0且Δ＝1－4a 2<0，∴a >12.9．解 ∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧13－12＝－p 13×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝16q ＝－16，∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0，∴－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 10．解 ①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1>0，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12；②当a <0时，Δ＝4－4a >0，此时不等式为x 2－2a x ＋1a<0，由于方程x 2－2a x ＋1a ＝0的两根分别为1－1－a a 、1＋1－a a ，且1－1－a a >1＋1－a a，∴不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎪⎫x |1＋1－a a <x <1－1－a a ； ③当a >0时，若0<a <1，则Δ>0，此时不等式即x 2－2a x ＋1a>0.∵1－1－a a <1＋1－a a，∴当0<a <1时，不等式解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－1－a a 或x >1＋1－a a . 若a ＝1，则不等式为(x －1)2>0，∴当a ＝1时，不等式解集为{x |x ∈R 且x ≠1}； 若a >1时，则Δ<0，不等式解集为R . 综上所述，当a <0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＋1－a a <x <1－1－a a ； 当a ＝0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12； 当0<a <1时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1－1－a a 或x >1＋1－a a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{}x | x ∈R 且x ≠1；当a >1时，不等式的解集为R .。